2. KRALLIĞIN ÇÖKÜŞÜYLE YENİ BİR REJİMİN BAŞLAMASI; ROMA
2.1 Krallık Rejiminin Çöküşü
Agora, ser˜ao expostos os resultados obtidos para a recupera¸c˜ao de um ´oleo pesado quando injetamos um fluido inv´ıscito, ou seja, quando a raz˜ao da viscosidade ´e sempre
3.3 Resultados 72
infinita. Durante as simula¸c˜oes desse sistema, foi considerado que a press˜ao na regi˜ao invadida ´e sempre igual e press˜ao de inje¸c˜ao. Isso significa que a press˜ao ´e propagada de forma instantˆanea nessa ´area. Tal caracter´ıstica nos permite usar esse modelo de poros para sistemas maiores, j´a que n˜ao ´e necess´ario resolver as equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao para os s´ıtios j´a invadidos.
Nas Figuras 31 e 32, s˜ao mostradas as configura¸c˜oes finais de penetra¸c˜ao com difer- entes valores de ∆T e B, em um ´unico tamanho de rede L = 256. Para cada conjunto de parˆametros ´e apresentado o resultado obtido em uma realiza¸c˜ao. Os ”dedos viscosos”que est˜ao presentes em todos os quadros de ambas as figuras s˜ao gerados devido `a viscosidade do fluido invasor ser sempre igual a zero. Assim uma interface irregular entre os dois fluidos aparece, ocasionando uma competi¸c˜ao de escoamento para diferentes posi¸c˜oes na interface. Ao aplicar o gradiente constante de temperatura ao longo do sistema, a viscosi- dade do ´oleo depender´a implicitamente da posi¸c˜ao ao longo da dire¸c˜ao x. Isto significa que esses ”dedos viscosos”ter˜ao diferentes viscosidades `a medida que penetram no meio. Dessa forma a viscosidade aumenta com x, quando ∆T for positivo, e diminui, no caso contr´ario, levando ao aumento (ou diminui¸c˜ao) da competi¸c˜ao natural de crescimento entre os pontos na interface.
Na Figura 31, analisamos as estruturas presentes para diferentes valores de ∆T man- tendo B igual a 5. Quando a temperatura de inje¸c˜ao ´e menor do que a de sa´ıda (∆T < 0), a viscosidade nas regi˜oes pr´oximas a entrada do sistema ´e alta, o que dificulta o escoa- mento na parte inicial do sistema. Por´em para aqueles pontos da interface que conseguem penetrar, o escoamento torna-se cada vez mais r´apido como consequˆencia da diminui¸c˜ao da viscosidade do ´oleo. Isso ´e o que podemos ver no quadro a esquerda da Figura 31, onde h´a o desenvolvimento de um n´umero menor de ”dedos viscosos”pois poucos pontos da interface conseguem ultrapassar a regi˜ao de alta viscosidade. No quadro do meio da figura, temos o resultado da simula¸c˜ao para o caso isot´ermico (∆T = 0), e no da direita, o caso para uma diferen¸ca de temperatura positiva (∆T = 4), o que representa o caso da inje¸c˜ao de ´agua quente. Neste ´utimo caso, ´e poss´ıvel notar uma satura¸c˜ao maior do fluido invasor, ocasionando uma melhor eficiˆencia de recupera¸c˜ao. Isso se d´a pela menor viscosi- dade das regi˜oes iniciais de penetra¸c˜ao, permitindo uma maior invas˜ao desde o in´ıcio do processo.
J´a na Figura 32, onde ∆T ´e mantido constante e igual a 4 e variamos B (= 1, 3 e 5), observamos um aumento gradativo na satura¸c˜ao do fluido invasor. Tal aumento ocorre a medida que h´a um crescimento no valor de B, o que nos leva a comparar um aumento de
3.3 Resultados 73
Figura 31: Forma¸c˜ao de penetra¸c˜ao do fluido invasor no momento do breakthrough para o caso da raz˜ao da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita: ∆T = -4, 0 e 4. Com B = 5 e L = 256.
Figura 32: Forma¸c˜ao de penetra¸c˜ao do fluido invasor no momento do breakthrough para o caso da raz˜ao da viscosidade infinita. Da esquerda para a direita: B = 1, 3 e 5. Com ∆T = 4 e L = 256.
3.3 Resultados 74
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x/L
0
0.2
0.4
S
I∆Τ = 0
∆Τ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x/L
0
0.2
0.4
S
IB
Figura 33: Perfil da satura¸c˜ao do fluido invasor versus dire¸c˜ao de inje¸c˜ao no momento do breakthrough para o caso da raz˜ao da viscosidade infinita. As curvas no gr´afico superior foram feitas para v´arios valores de ∆T (= -4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3 e 4) com B = 5. No gr´afico inferior, mostramos as curvas para B = 3, 5 e 7 quando ∆T = 4.
3.3 Resultados 75
-4
-2
0
2
4
∆Τ
10
15
20
25
30
R(%)
L = 64, B = 3
L = 64, B = 5
L = 128, B = 3
L = 128, B = 5
L = 256, B = 5
-4
-2
0
2
4
∆Τ
-2
-1
0
1
2
[R(%)*L
α- a]/B
L = 64, B = 3
L = 64, B = 5
L = 128, B = 3
L = 128, B = 5
L = 256, B = 5
1.74*tanh(∆Τ)
Figura 34: No gr´afico superior mostramos a porcentagem do volume recuperado de ´oleo versus ∆T para diferentes valores de B para o caso da raz˜ao da viscosidade infinita. No gr´afico inferior mostramos que essas curvas s˜ao colapsadas obedecendo a Eq. 3.11.
3.3 Resultados 76
B com uma eleva¸c˜ao de temperatura.
Enquanto que as Figuras 31 e 32 mostram a ´ultima configura¸c˜ao dos ”dedos vis- cosos”para uma realiza¸c˜ao t´ıpica de um meio poroso desordenado. Para se obter um resultado estatisticamente confi´avel deste sistema, n´os realizamos 100 simula¸c˜oes com diferente configura¸c˜oes de desordem para cada conjunto de parˆametros, cujas as m´edias s˜ao mostradas nas Figuras 33 e 34.
No gr´afico superior da Figura 33, temos o perfil da satura¸c˜ao do fluido invasor, SI, ao
longo do eixo de penetra¸c˜ao, x. Nesse est˜ao as curvas de SIpara diferentes valores de ∆T ,
com B = 5. Quando ∆T < 0, a satura¸c˜ao sempre diminui com x, sendo menor do que 20% a partir de x/L = 0.2. No caso de ∆T > 0, existe uma regi˜ao (0.2 < x/L < 0.7) onde a satura¸c˜ao ´e basicamente constante e aproximadamente igual a 23%. No gr´afico inferior da figura apresentamos os resultados das simula¸c˜oes para ∆T = 4 com valores de B = 1, 3 e 5. Ou seja, mantemos o mesmo gradiente de temperatura, mas modificamos o fator B da viscosidade do ´oleo com a temperatura. As estruturas apresentam uma forma¸c˜ao bastante similar para diferentes valores de B, mas pode-se perceber uma dependˆencia do volume da regi˜ao invadida com este parˆametro.
No gr´afico superior da Figura 34, mostramos a porcentagem do volume recuperado, R(%), versus ∆T , para trˆes tamanhos de rede, L = 64, 128 e 256, e dois valores de B, 3 e 5. O gr´afico inferior da figura mostra o colapso das curvas seguindo uma dada rela¸c˜ao. Os resultados mostram que R(%) obedece a seguinte equa¸c˜ao
R(%) = a + bBtanh(∆T )
Lα (3.11)
onde a = 51.11 e b = 1.74. O expoente α ´e igual a 0.2 e pode ser obtido por 2 - df, onde
2 ´e a dimens˜ao euclidiana e df ´e a dimens˜ao fractal das estruturas, calculada como sendo
igual a 1.8 nesse sistema. Os resultados mostram que a partir de um certo valor de ∆T , aproximadamente igual a 2, a recupera¸c˜ao atinge um valor m´aximo, o que representa uma satura¸c˜ao residual. Esse comportamento lembra a satura¸c˜ao residual do ´oleo devido `as curvas de permeabilidade relativa. Por´em, neste modelo a permeabilidade usada ´e apenas fun¸c˜ao do raio do poro, e n˜ao da satura¸c˜ao, permitindo, a princ´ıpio, a total recupera¸c˜ao do ´oleo de cada tubo.
3.4 Conclus˜oes 77
3.4
Conclus˜oes
Foi estudada de forma qualitativa a recupera¸c˜ao de ´oleo em escala de poro sobre a influˆencia de um gradiente de temperatura. Um fluido invasor ´e injetado no meio poroso a fim de empurrar o ´oleo, cuja viscosidade tem a seguinte dependˆencia exponencial com a temperatura, exp(B/T ), onde T ´e a temperatura e B ´e um parˆametro f´ısico-qu´ımico do ´oleo que controla a dependˆencia de sua viscosidade com T . O perfil das regi˜oes de invas˜ao e o percentual de recupera¸c˜ao do ´oleo s˜ao analisados para diferentes gradientes de temperatura e v´arios valores de B.
Dois casos da raz˜ao da viscosidade foram considerados. No primeiro deles, a vis- cosidade do fluido invasor ´e constante e unit´aria, sendo portanto a raz˜ao da viscosidade finita e dependente somente da temperatura. Nesse caso, verificamos que as estruturas de invas˜ao podem mudar drasticamente quando alteramos os valores de B e ∆T , que ´e a diferen¸ca global de temperatura.
Observamos que, dependendo dos parˆametros usados, fingers s˜ao formados no ´ınico da rede (quando ∆T < 0) e no final (quando ∆T > 0). Isso ´e resultado de algumas regi˜oes de baixa temperatura terem alta raz˜ao entre as viscosidades. Percebemos tamb´em que o percentual de recupera¸c˜ao de ´oleo obedece a seguinte rela¸c˜ao para o caso isot´ermico: R′(%)B′ = R”(%)B”, onde R′(%) ´e o percentual de recupera¸c˜ao usando o parˆametro B′
e R”(%) usando o parˆametro B”.
No segundo caso, an´alisamos as estruturas de penetra¸c˜ao usando a m´edia sobre 100 realiza¸c˜oes, para cada conjunto de parˆametros. Os resultados mostram que a satura¸c˜ao do fluido invasor sempre diminui com a dire¸c˜ao de inje¸c˜ao, quando uma diferen¸ca negativa de temperatura ´e aplicada. Quando essa diferen¸ca ´e positiva, h´a uma regi˜ao no centro da rede que tem um valor, aproximadamente, constante de satura¸c˜ao. Observamos tamb´em, que o aumento do parˆametro B equivale a um aumento na diferen¸ca de temperatura, quando essa diferen¸ca ´e positiva. Verificamos que a porcentagem de ´oleo recuperado se comporta segundo uma fun¸c˜ao anal´ıtica com B e ∆T , do tipo Btanh(∆T ). Os resultados mostram que existe um valor m´aximo de recupera¸c˜ao quando se aumenta a diferen¸ca de temperatura, o que mostra a existˆencia de uma satura¸c˜ao residual. ´E importante comentar que essa satura¸c˜ao residual n˜ao esta ligada as curvas de permeabilidade relativa, j´a que n˜ao usamos tais curvas neste modelo.
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