Korelasyon ve Regresyon Analizi

A utilização do VaR pode ser questionada por alguns autores, então torna-se conveniente que esta metodologia seja complementada através do cálculo dos erros de previsão. Um método bastante difundido é dado pela raiz quadrada do erro médio (REQM), que foi utilizado de modo a aferir o quão distante estão as estimativas da variância dos retornos efetivamente observados. O método consiste em verificar qual o modelo apresentou o menor REQM, calculado através da fórmula abaixo:

onde, r_t2é o retorno quadrático da série, σ_t2é a volatilidade estimada pelo modelo e T é o número de observações da amostra.

O valor obtido para o REQM do LSM foi de 0,00039869, consideravelmente inferior que 0,000431493, obtido para o GARCH(1,1). Este resultado fornece forte evidencia empírica que o LSM se ajusta mais adequadamente à serie do Ibovespa.

5 Conclusões

A presente dissertação descreveu, implementou e comparou o LSM ao GARCH(1,1). Na seção 3.2.2 foi constatado que a função de previsão para a variância no modelo de escala local é a mesma do modelo IGARCH(1,1), ou seja, uma EWMA, nos quadrados das ob- servações passadas, onde o fator de amortecimento ω é estimado por máxima verossimilhança. Neste sentido, o modelo pode ser visto como uma alternativa ao modelo IGARCH(1,1), como propôs Shephard (1994).

Foi observado que o LSM capta os principais fatos estilizados das séries financeiras, com a vantagem de que neste modelo, a introdução de variáveis explicativas é trivial, o que não ocorre nos modelos ARCH/GARCH.

Outra vantagem é que há apenas 1 parâmetro a ser estimado, o fator de amortecimento ω, enquanto no GARCH(1, 1) existem 3. Além disso, o erro de previsão calculado pelo REQM para o LSM foi menor que para o GARCH(1,1).

Para os testes fora da amostra de violações do VaR construídos a partir dos modelos, tanto o LSM quanto o GARCH(1,1) apresentaram resultados satisfatórios.

Em suma, foi desenvolvida uma abordagem estrutural, pouco difundida na literatura, e como os resultados esperados são semelhantes, o que credencia o LSM como uma alternativa parcimoniosa aos modelos tradicionais, em virtude das vantagens já mencionadas.

6 Extensão

Modelo de Escala Local Generalizado

O modelo de escala local padrão, pode parecer inadequado para modelar séries financei- ras, pois apresenta o inconveniente da distribuição dos retornos, condicional à precisão (densi- dade de medida) ser Gaussiana, enquanto na prática, observa-se que a distribuição incondicional dos retornos financeiros possui excesso de curtose.

Shephard (1994) demonstra que tais distribuições não são exatamente as mesmas, e que trabalhar com uma densidade Gaussiana condicional à precisão, equivale a modelar indireta-

mente o excesso de curtose da distribuição incondicional (embora não se tenha obtido uma forma analítica para ela, no presente caso).

Ainda sim, o excesso de curtose induzido na distribuição preditiva parece insuficiente para modelar séries financeiras, cuja distribuição preditiva possui caudas muito pesadas. Se isto ocorre, a densidade de medida Normal é potencialmente inadequada.

Em virtude de tal possibilidade, Shephard implementou uma generalização do modelo de escala local, que trabalha com uma densidade de medida (Exponencial Power, ou Generalized Error Distribution), mais flexível, englobando distribuições com baixa curtose (platicurtose) e com excesso de curtose (leptocurtose), incluindo a Normal como um caso particular.

O modelo foi chamado de modelo de escala local generalizado, e não foi abordado nesta dissertação, de modo que seu estudo valeria de extensão ao tema apresentado.

7 Referências

Alexander C. - Modelos de Mercados, Saraiva, 2005. Artzner P., Thinking Coherently, Risk, 1997.

Bollerslev T.- Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Eco- nometrics, 1986.

Campos E. - Modelo de Escala Local: Uma alternativa de especificação multiplicativa para a estimação e previsão de volatilidade de séries financeiras, Dissertação de Mestrado PUC-RJ, 1998.

Engle R. F. - ARCH selected readings - Advanced texts in econometrics, 1982.

Harvey A. C., Forecasting, Structural Time series models and Kalman Filter, Cambridge Univ. Press, 1989.

Jorion, Philippe. Value-at-Risk – The New Benchmark for Managing Financial Risk, Mc- Graw Hill, 2006.

Morettin P. - Econometria Financeira, Blucher, 2011.

Nelson D. B. - Filtering and forecasting with misspecified ARCH models, Journal of Eco- nometrics, 1992.

Shephard N.G - State space alternative to integrated GARCH processes, Journal of Eco- nometrics, 1994.

Shephard N.G - Stochastic Volatility: Likelihood Inference and comparasion with ARCH models,The Review of Economics Studies, 1998.

Anexo A

Estatísticas básicas

Teste de normalidade dos retornos

Pelo teste Jarque-Bera, definido na seção 1.6, rejeita-se a hipótese nula de normalidade dos retornos, conforme o gráfico abaixo:

0 40 80 120 160 200 240 280 320 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 Series: IBOV Sample 1/01/2009 31/12/2014 Observations 1565 Mean 0.000296 Median 0.000000 Maximum 0.071700 Minimum -0.080800 Std. Dev. 0.014914 Skewness 0.115588 Kurtosis 5.110764 Jarque-Bera 294.0090 Probability 0.000000

Gráfico 9: Histograma dos retornos Ibovespa.

Teste de autocorrelação dos retornos

Para que a modelagem pelo modelo GARCH seja adequada, é desejável que a série não apresente autocorrelação dos retornos e apresentem autocorrelação dos retornos ao quadrados. Para verificar estas condições foram extraídos pelo Eviews, os correlogramas dessas duas séries.

Tabela 12

Teste de autocorrelação dos retornos ao quadrado

Tabela 13

O resultado para os retornos ao quadrado apresenta forte autocorrelação, como era de se esperar, sendo assim adequada a modelagem por um modelo da família GARCH, ainda que o teste de normalidade para os resíduos padronizados indique que estes não são Normais:

0 50 100 150 200 250 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Series: Standardized Residuals Sample 1/01/2009 31/12/2014 Observations 1565 Mean 0.005676 Median 0.000000 Maximum 3.913821 Minimum -4.407372 Std. Dev. 1.000084 Skewness -0.068038 Kurtosis 3.964039 Jarque-Bera 61.81014 Probability 0.000000

Gráfico dos retornos ao quadrado .000 .001 .002 .003 .004 .005 .006 .007

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

2009 2010 2011 2012 2013 2014

Gráfico 11

Este gráfico também evidencia a presença de clusters de volatilidade, ratificando a con- veniência da utilização de um modelo de heterocedasticidade condicional para modelagem da volatilidade.

Teste de raiz unitária para os retornos

Foi realizado teste de raiz unitária para verificar a estacionariedade da série dos retornos.

Tabela 14

O teste ADF rejeita a hipótese nula de que a série possui raiz unitária. Este mesmo teste não rejeitou a hipótese nula de raiz unitária para a série da pontuação do Ibovespa no nível.

Anexo B

Códigos para o modelo de escala local no “R”:

Otimização de ω

ω_otimo<-function(ativo)

{ a<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); b<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); h<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

bern<-c(1/30,1/30,691/2730, 3617/510,174611/330,236364091/2730); vetor_bern<-vector(mode = "numeric", length = length(bern));

somat<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vetor_vero<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); fr<-function(ω) { a[0]<-0; b[0]<-0; a[1]<-1/2; b[1]<-((0.005)^2)/2; for (n in 2:length(ativo)) { a[n]<-ω*a[n-1]+0.5; for (i in 1:length(bern)) { vetor_bern[i]<-((bern[i])/(2*i))*((1-ω)/(ω*a[n-1]))^(2*i); } somat[n]<-sum(vetor_bern); h[n]<–(log(ω)-(1/2)*((1-ω)/(ω*a[n-1]))-somat[n]); b[n]<-(exp(-h[n]))*(b[n-1])+(ativo[n]^2)/2;} for (m in 2:length(ativo)) { vetor_vero[m]<-a[m]*log((exp(-h[m])*b[m-1])/b[m]) -(1/2)*log(exp(-h[m])*b[m-1]) +log(gamma(a[m])/gamma(ω*a[m-1])); } -sum(vetor_vero) } optimise(fr,c(0,1))} ω_otimo(IBOV);

Cálculo de θ

Calc_θ <-function(ativo) {

a<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); b<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); h<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

bern<-c(1/30,1/30,691/2730, 3617/510,174611/330,236364091/2730); vetor_bern<-vector(mode = "numeric", length = length(bern));

θ <-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vari<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); precisao<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vol<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); somat<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); ω<-0.9351365; # valor otimizado pelo código do Anexo B; a[0]<-0; b[0]<-0; a[1]<-1/2; b[1]<-((0.005)^2)/2; for (n in 2:length(ativo)) { a[n]<-ω*a[n-1]+0.5; for (i in 1:length(bern)) { vetor_bern[i]<-((bern[i])/(2*i))*((1-ω)/(ω*a[n-1]))^(2*i);} somat[n]<-sum(vetor_bern); h[n]<–(log(ω)-(1/2)*((1-ω)/(ω*a[n-1]))-somat[n]); b[n]<-(exp(-h[n]))*(b[n-1])+(ativo[n]^2)/2; θ [n]<-(a[n]/b[n]); vari[n]<-(b[n]/a[n]); precisao[n]<-1/vari([n]); vol[n]<-sqrt(vari[n]); } # plot(precisao,type="l",col="red",main="Gráfico",xlab="Dia",ylab="Precisão") return(θ ); # return(vari); # return((a-1/2)*2);}

Calc_θ (IBOV);

Otimização de ω e γ

ω_γ_otimos<-function(ativo,var_explic) {

b<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); h<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

bern<-c(1/30,1/30,691/2730, 3617/510,174611/330,236364091/2730); vetor_bern<-vector(mode = "numeric", length = length(bern));

somat<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vetor_vero<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); fr<-function(y) { ω<-y[1]; γ<-y[2]; a[0]<-0; b[0]<-0; a[1]<-1/2; b[1]<-((0.005)^2)/2; for (n in 2:length(ativo)) { a[n]<-ω*a[n-1]+0.5; for (i in 1:length(bern)) { vetor_bern[i]<-((bern[i])/(2*i))*((1-ω)/(ω*a[n-1]))^(2*i); } somat[n]<-sum(vetor_bern); h[n]<–(log(ω)-(1/2)*((1-ω)/(ω*a[n-1]))-somat[n]); b[n]<-(exp(-h[n]))*(b[n-1])+(exp(γ*var_explic[n]))*(ativo[n])^2/2; } for (m in 2:length(ativo)) { vetor_vero[m]<-a[m]*log((exp(-h[m])*b[m-1])/b[m])-(1/2)*log(exp(-h[m])*b[m-1]) +log(gamma(a[m])/gamma(ω*a[m-1])); } -sum(vetor_vero) } optim(c(.9,-10),fr); } ω_γ_otimos(IBOV,D_Jones); Cálculo de θ+ Calc_θ+_{<-function(ativo,var_explic) {}

a<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); b<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); h<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

vetor_bern<-vector(mode = "numeric", length = length(bern)); somat<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vetor_vero<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); vol<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

θ+<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo));

precisao_explic<-vector(mode = "numeric", length = length(ativo)); ω<-0.9277839;

γ<–4.9771622; # valores otimizados no Anexo B; a[0]<-0; b[0]<-0; a[1]<-1/2; b[1]<-((0.005)^2)/2; for (n in 2:length(ativo)) { a[n]<-ω*a[n-1]+0.5; for (i in 1:length(bern)) { vetor_bern[i]<-((bern[i])/(2*i))*((1-ω)/(ω*a[n-1]))^(2*i); } somat[n]<-sum(vetor_bern); h[n]<–(log(ω)-(1/2)*((1-ω)/(ω*a[n-1]))-somat[n]); b[n]<-(exp(-h[n]))*(b[n-1])+(exp(γ*var_explic[n]))*(ativo[n])^2/2; vari_explic[n]<-(b[n]/a[n]); θ+[n]<-1/vari_explic[n]; vol[n]<-sqrt(vari_explic[n]);}

# plot(precisao_explic,type="l",col="red",main="Gráfico",xlab="Dia",ylab="Precisão - com va- riável explicativa")

# return(vol);}