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Os estudantes não sabem de onde os axiomas vêem, e por que são escolhidos de modo particular e aonde a sequencia interminável de teoremas que se produz. Mesmo quando um estudante acompanha o que esta sendo verificado em cada passo da prova, ele usualmente não compreende o raciocínio, o pensamento básico por traz da prova. (KLINE, 1977, p. 65; tradução nossa)

Na transição para o pensamento matemático avançado, o foco de atenção muda em consideração aos novos mundos teóricos claramente construídos axiomaticamente. (TALL, 1997, p. 18; tradução nossa)

Mencionamos ao longo deste trabalho uma diversidade de pesquisas (GARCIA, 2006; HERSHKOWITZ, 2002; TALL e VINNER, 1981; TALL, 1985; TALL e WEST, 1986) voltadas à identificação dos problemas e entraves sentidos pelos estudantes na “transição do ensino escolar para o ensino de Matemática no ambiente universitário”. (EDWARDS, DUBINSKY e MCDONALD, 2005). Não encontramos com a mesma facilidade, todavia, estudos que analisam a transição interna do Cálculo a uma Variável Real - CUV para o Cálculo a Várias Variáveis – CVV, tanto no cenário nacional como internacional.

Alguns trabalhos (ALVES e BORGES NETO, 2008; 2009b, 2009c; 2010a; 2010b) no ensino deste conteúdo apontam algumas questões e elementos que precisam ser considerados nesta transição interna, a saber:

(i) um sistema de representação simbólica mais complexo do que o outro; (ii) as argumentações envolvidas nas demonstração dos teoremas são mais complexas, inclusive a natureza das definições formais envolvidas; (iii) a natureza geométrica dos objetos envolvidos; (iv) a mudança da significação conceitual interpretada em um novo

locus matemático e (v) o surgimento de regras operatórias particulares do CUV e do CVV; (vi) regras operatórias válidas num contexto e inapropriadas em outro; (vii) teoremas do CUV sem interpretações semelhantes no CVV; (viii) definições formais que envolvem uma mudança de significado de acordo com a teoria formal; (ix) generalização de noções e definições formais; (x) surgimento de conceitos no CVV que não possuem significados correspondentes no CUV.

No que diz respeito ao primeiro elemento, exibimos na figura 12, restritivamente ao caso de funções do tipo y= f x( ) e z=f(x,y), elementos presentes na referida mudança. É de se esperar o surgimento elementos de transição (ver Anexo V, p. 389)e

outros que atuam como entraves e rupturas à aprendizagem (elementos de ruptura), uma vez que em toda mudança há conflitos. Neste sentido, com relação à transição escola universidade, Mariani (2006, p. 208) recorda-se de que

A transição da Educação Básica para o Ensino Superior pode propiciar o desenvolvimento de inúmeras pesquisas na área de Educação Matemática, uma vez que, este período, caracterizado por conflitos e propício a mudanças, interfere no reconhecimento e na mobilização dos conhecimentos que já foram acessados, bem como o que deverão ser adquiridos no curso de Graduação.

No exterior, vários investigadores desenvolvem intensa sinergia com vistas a identificar elementos marcantes na transição comentada por Mariani (2006). Alguns deles (EDWARDS, DUBINSKY e MCDONALD, 2005, p. 18) sustentam não haver um ponto ou estágio hipotético no qual o pensamento matemático elementar é substituído pelo pensamento matemático avançado.

Esses autores concebem um fluxo matemático em um continuum e esclarecem que uma das importantes características da definição de um pensamento matemático avançado é a “necessidade constante da combinação e necessidade de raciocínio dedutivo e rigoroso sobre conceitos não acessíveis ao indivíduo por meio dos cinco sentidos.” (EDWARDS; DUBINSKY e MCDONALD, 2005, p. 18)

Figura 12. Quadro de transição interna do CUV para o CVV.

Quando lançamos uma visão aprofundada para os livros didáticos do ensino de Cálculo a Várias Variáveis – CVV, comparando-se aos do Cálculo a uma Variável Real, com facilidade, identificamos o aumento de complexidade e de comprimento das demonstrações dos teoremas. Uma questão interessante é observar que tipo de

raciocínio estes livros promovem, entretanto, a partir das considerações de Baruffi, podemos suspeitar da qualidade didático-metodológica de tais manuscritos. Com efeito, em sua tese, a autora aponta que

Um primeiro exame de diversos livros selecionados nos mostra diferenças muito grandes na abordagem realizada. Ainda que, nos diferentes textos, o assunto, basicamente, seja sempre o mesmo, em cada caso, o autor definiu objetivos principais, realizou escolhas metodológicas para viabilizar a consecução dos objetivos. Por exemplo, privilegiou determinada sequencia na abordagem considerada, estabeleceu preponderância da lógica ou da retórica no desenvolvimento do texto, imprimiu um caráter mais algébrico ou geométrico, propôs questões mais ou menos criativa, além daquelas “burocráticas”, que objetivam a técnica. (BARUFFI, 1999, p. 50)

Na sequência, em sua tese, Baruffi (1999) sublinha a existência de diferença entre os textos de CUV que pretendem negociar significados, para a elaboração do conhecimento, mediante a apresentação puramente lógica e a revelação seqüencial de um edifício pronto chamado Cálculo Diferencial e Integral. Daqueles que procuram negociar os significados por meio de problemas interessantes e motivadores, buscando, inicialmente, muito mais promover as ideias intuitivas do que estabelecer as relações formais e lógicas.

Em sua tese, foram analisados 18 livros adotados no ensino desta matéria no

locus acadêmico. Dentre algumas de suas considerações finais formuladas com substrato nesta analise documental, sublinhamos: alguns dos livros apresentam propostas que se aproximam mais de um curso de Análise Real; outros que, embora não partam de situações-problema, conseguem mostrar diferentes aplicações do Cálculo; livros que não focalizam as ideias geradoras do Cálculo; quase metade das obras utiliza recursos provenientes da Lógica Clássica, caracterizando a dedução e evitando ao máximo a intuição que poderia tornar mais razoáveis os raciocínios efetuados; e preocupação predominante com a transmissão do conhecimento em detrimento da construção/negociação.

Os dados apontados por Baruffi no que diz respeito ao ensino do CUV são preocupantes. Além disso, enquanto observamos uma evolução das práticas educativas que garantem a compreensão estudantes em outras matérias estudadas na academia, como no caso da Geometria, no curso de Cálculo, aparentemente, a crença segundo a qual “a estrutura lógico-matemática é garantia suficiente para a aprendizagem” ainda é constante, como destaca Baruffi (1999, p. 149).

Deste modo, que expectativas podemos criar a respeito das obras didáticas utilizadas no ensino do Cálculo a Várias Variáveis – CVV? Haveria alguma mudança radical no discurso, nos objetivos metodológicos e nas práticas de sala de aula estabelecidas no ensino do CVV, quando comparado ao ensino do CUV?

Respaldando-nos em nossa prática diária, conjecturamos que não ocorrem mudanças significativas no que se refere aos reducionismos metodológicos. Além disso, temos alguns fatores agravantes. O nosso primeiro exemplo é discutido em Harel e Kaput (2002). Eles esclarecem que “uma função de valores reais ( , )f x y é usualmente pensada como um processo de aplicação de pontos d plano ( , )x y em pontos da reta real”. Os estudantes que apresentam a ideia dinâmica possibilitada pelo modelo de ( , )f x y , têm mais chances de êxito.

Por outro lado, “outra sutil interpretação pode tomar ( , )f x y como um processo que associa pontos da reta x, com funções f yx( ), onde este último assume valores de

( , )

f x y ”. (HAREL e KAPUT, 2002, p. 86)

Mais adiante, os autores analisam o contexto de ensino de limites do tipo

( , ) ( , )x y a b ( , )

lim _→ f x y , e do limite interado lim_x→a[lim_{y b→} f x y( , )]]. Notamos que, enquanto “computacionalmente o limite interado seja mais simples de calcular do que o limite duplo, conceitualmente o limite interado envolve ideias mais sofisticadas, que causa dificuldades para estudantes em circunstâncias particulares.” (HAREL e KAPUT, 2002, p. 86)

Os autores concebem o seguinte diagrama (figura 13) que descreve o limite interado como uma espécie de composição de operadores descritos como seguem: (i) M : x→f ( )_x y com domínio no conjunto dos reais e imagem num conjunto de

funções;

(ii) limy b→ : f ( )x y → f x( ) cujo domínio e imagem está num conjunto de funções; (iii) lim_x→a: f ( )x →c com o domínio num espaço de funções e imagem num conjunto dos reais.

Segundo os autores, “as respostas dos estudantes indicam dificuldades no tratamento concernente ao operador M, como caracterizado anteriormente, um objeto que requer uma noção de função como objeto. Enquanto o operador M deve ser compreendido como um operador de valores, os outros dois operadores lim_{y b→} e lim_{x a→} pode ser vistos de dois modos, que determinam diferentes níveis de compreensão do conceito de limite interado”(HAREL e KAPUT, 2002, p. 87).

Falar de limite, semelhantemente ao que vimos no ensino do CUV, exige que mencionemos o caso da seguinte igualdade lim_{( , ) ( , )x y→a b} f x y( , )= f a b( , ). Temos aqui a noção de continuidade de funções. Geralmente, apresentada com referência às três condições:

(i) ∃f a b( , )

(ii) ∃lim( , ) ( , )x y→a b f x y( , )

(iii) lim_{( , ) ( , )x y→a b} f x y( , )= f a b( , )

Note-se que, de modo semelhante à crítica desenvolvida em Revuz (1972) na seções anteriores, tais condições não sugerem de modo imediato, para o aprendiz, um significado geométrico. Muito menos um modo de relacionar o modelo intuitivo ou ‘modelo metafórico’ da noção de continuidade do CUV com o CVV.

De fato, já mencionamos as metáforas empregadas no CUV com a intenção de fornecer um sentido intuitivo à referida noção, todavia, como interpretá-la com um viés semelhante no caso de funções do tipo z= f x y( , )?

Por exemplo, quando consideramos os gráficos abaixo de duas funções descontínuas, identificamos uma região na origem na qual o gráfico não comparece. Por outro lado, ao passo que, no primeiro caso, pela vista de cima, identificamos um ‘buraco’, no caso (II), notamos uma ‘cratera’ acentuada na figura 14.

Figura 14. Em (I) temos o gráfico com aparência de um buraco na origem e em (II) uma ‘cratera’.

E quando nos referimos à formulação por épsilon e delta, revemos

( , ) ( , )x y a b ( , ) ( , ) . . dado >0, existe >0

lim _→ f x y = f a b ≡ ε δ , de modo que se

(

) (

2

)

2

0< x a− + y b− <δ → f x y( , )− f a b( , ) <ε. Observamos na literatura especializada o tratamento dispensado para a interpretação geométrica da formulação por épsilon e delta. Notamos que a figura 15, exibida pelo autor, ou a sua argumentação, não sugere uma argumentação metafórica semelhante à empregada no CUV.

Figura 15. Interpretação geométrica discutida por Swokowski (1979, p. 721).

Além disso, podemos identificar com facilidade vários exemplos nos quais não conseguimos efetivamente estabelecer uma relação direta entre e ε δ , conforme

habitualmente o aluno encontra nos livros didáticos ou ,

2 3 etc ε ε δ = δ = , como nos casos de 3 4 6 10 ( , ) x y f x y x y = + ou 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) f x y sen x y x y = + ⋅ + . Assim, além de o próprio modelo se mostrar ineficiente em alguns casos, o aluno se depara ainda com a

exigência de aprendizagens de determinados tipos de raciocínios que podem propiciar dificuldades ao iniciante.

Para discutir um exemplo referente ao tipo de raciocínio empregado no CVV, recordamos as colocações de Guerrier (2005, p. 52), que destaca o pensamento de George Polya quando indicava a importância da noção de raciocínio plausível.

Para Polya, “quando se faz uma conjectura sobre A e dispomos de um teorema da forma A B , o fato de poder estabelecer a verdade sobre B permite se aumentar o grau de verossimilhança, e por seguinte de confiança, na conjectura A. Neste caso Polya afirma que A é mais crível.” (GUERRIER, 2005, p. 52)

Temos, então, um exemplo de raciocínio em Matemática utilizado nas demonstrações do CVV; entretanto, a noção de raciocínio plausível é explorada pelos autores de livros? Como utilizá-lo e como identificá-lo?

Guerrier (2005, p. 52) nos fornece um exemplo clássico de uso deste raciocínio, quando diz que

Nós utilizamos, por exemplo, este tipo de raciocínio quando buscamos saber se uma função de duas variáveis é diferenciável num ponto. De fato, é mais fácil estudar a continuidade no ponto de uma função de duas variáveis do que sua diferenciabilidade neste ponto. Ou a diferenciabilidade implica a continuidade; em seguida, se a função não é contínua neste ponto considerado, podemos concluir também que a função não será diferenciável neste ponto, e economizamos um cálculo bastante fastidioso. Por outro lado, se a função é contínua no ponto considerado, prosseguimos o estudo nos interessando por suas derivadas parciais. No caso em que a função não admite no ponto as derivadas parciais, ela não será diferenciavel neste ponto. Do contrário, se as derivadas parciais existem, prosseguimos o estudo. A função passou com sucesso por dois testes, e aumentamos nossa confiança para uma resposta positiva sobre a questão de sua diferenciabilida no ponto considerado. Para prosseguir ao estudo sem recorrer a definição, podemos utilizar neste estádio o fato de que a continuidade das derivadas parciais implica a diferenciabilidade; em seguida, podemos fazer o estudo da continuidade neste ponto das derivadas parciais e concluir positivamente no caso onde elas são contínuas. Por outro lado, no caso em que elas não são contínuas, não se pode concluir, e é necessário agora retornar a definição para concluir o estudo. (tradução nossa)

Na figura 16, descrevemos, passo a passo, os níveis de argumentações e raciocínio empregados na investigação do caráter diferenciável de uma função. Notamos que a argumentação mais interessante é aquela fundada em condições necessárias, mas não suficientes.

Nestas condições, o aluno tem a oportunidade de desenvolver um raciocínio nãolinear, em busca de contraexemplos e casos patológicos no CVV que, na maioria dos casos, envolvem objetos complexos.

Quando prosseguimos com esta preocupação, podemos prolongar o tempo investido pelo aluno no que diz respeito ao caráter da diferenciabilidade, em vez de empregar, mecanicamente, a condição do limite (condição formal) descrito por

0 0 ( , ) (0,0) ( . ) [ ] 0 ( , ) x y E x x y y Lim x y ∆ ∆ → + ∆ + ∆ =

∆ ∆ , onde o termo do numerado E x( 0+ ∆x y. 0+ ∆y) representa o “erro” que se comete ao aproximar-mos a função ( , )f x y por um plano tangente ao ponto de intersecção ( , )x y_{0 0} .

Figura 16. Fluxograma esquemático caracterizado por Guerrier (2005, p. 52).

Esquematicamente, elaboramos um fluxograma que sintetiza a investigação necessária desenvolvida pelo aluno para descobrir se a função z= f x y( , ) é

diferenciável ou não. Para desenvolver um raciocínio comparativo com o Cálculo em uma Variável Real, quando buscamos saber se uma função do tipo y= f x( ) é diferenciável, observamos primeiro se ela é contínua.

Se não for continua, digamos num ponto x a= , em virtude de um teorema, não poderá ser diferenciável. Por outro lado, se y= f x( ) for contínua neste ponto, nossa investigação continua, entretanto, diferentemente da trajetória apontada por Guerrier, temos nesse caso que imediatamente verificar a definição formal

0 ( ) ( ) '( ) _h f x h f x f x Lim h → + −

= como encontramos em Stewart (2004, p. 163). Vejamos

isto na figura 17.

Figura 17. Condições de validade ou não da propriedade no CVV.

Note-se que assumimos, para efeito de investigação, a fato de ser a maior importância para a aprendizagem a possibilidade da não ocorrência da propriedade; ou melhor exprimindo, quando um aluno sabe que uma função é contínua, esta pode ser ou não diferenciável, assim, o que acreditamos envolver maior relevância para à aprendizagem é a compreensão do estudante relativa aos aspectos matemáticos necessários para o preenchimento da condição formal, e não os aspectos suficientes.

Como mencionamos o modelo de diferenciabilidade, vamos desenvolver um raciocínio comparativo/analógico incomum nos cursos de CVV. Inicialmente, vamos tomemos a função _{f x y( , ) 10= −x}2_−y2_{. Tal função pode ser vista apenas como uma} curva, quando fazemos _{y= f x( , 0) 10= −x}2_{. Na figura 18, exibimos a reta tangente no} ponto x = , portanto, 2 _{y= f x( ) 10 2= −} 2 _{=6. Obtivemos o seu coeficiente angular que}

2 2

0 0 0

(2 ) (2) 10 (2 ) 6 6 4 6

'(2) lim x lim x lim x

f x f x x x f x x x ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − − + ∆ − − ∆ − ∆ − = = = = ∆ ∆ ∆ 2 0 4 lim _x x x 4 x ∆ → − ∆ − ∆ = − ∆ .

No caso da função _{f x y( , ) 10= −x}2_−y2_{, devemos considerar o ponto}

2 2

(2,0) 10 2 0 6 (2,0, 6)

f = − − = ∴ . De modo semelhante, precisamos identificar o

coeficiente angular de uma reta tangente à curva parametrizada por _{f t( , 0) 10 t}2 ₀2

= − − .

Empregamos a seguinte parametrização _{α( ) ( , 0,10t t t}2₎

= − e podemos observá-la sobre

a superfície (parabolóide) na figura 18. .

Para a obtenção do coeficiente angular neste ponto, temos um recurso a mais, em derivar a curva α'( ) (1,0, 2 )t = − t . Notemos que no ponto

2

( ) ( ,0,10t t t ) (2,0,6) t 2

α = − = ↔ = ; assim, precisamos do vetor velocidade com o parâmetro t= ∴2 α'(2) (1, 0, 4)= − , o que equivale a equação paramétrica da reta

2 0 6 4 x t y z t = + = = +

. Por outro lado, temos 2 6 4 8 6 4 14

4 z

x− = − ↔ x− = − ↔ = −z z x− .

Vejamos que poderíamos apenas ter tomado a função _{f x y( , ) 10= −x}2_−y2 _e

avaliado sua derivada parcial no ponto (2, 0) lim x ₀ (2 , 0) (2, 0) 4

f f x f

x ∆ → x

∂ + ∆ −

= = −

∂ ∆ .

Conclusão: apesar de empregarmos procedimentos mais complexos, obtivemos, de modo análogo, o coeficiente angular da reta tangente à superfície.

Por fim, vamos agora considerar de modo arbitrário uma direção no plano, digamos, o vetor u =(1,1). Vamos em seguida avaliar o seguinte limite que caracteriza a

derivada direcional no ponto (2, 0). Assim, escrevemos:

0 0 (2 1, 0 1) (2, 0) (2 , ) (2,0) (2, 0) lim lim 2 2 t t f f t t f f t t f u → t → t ∂ + ⋅ + ⋅ − + − = = = ∂ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 0 0 0 (2 , ) 6 10 (2 ) 6 10 4 4 6

lim lim lim

2 2 2 t t t f t t t t t t t t t t → → → + − − + − − − − − − − = = = = ⋅ ⋅ ⋅ 2 0 0 4 2 4 2 lim lim 4 2 2 t t t t t t → → − − − − = = = −

⋅ . Notamos a coincidência dos valores numéricos

obtidos. De fato, no primeiro caso, encontramos dy(2) 4

(2,0) 4 f

x ∂

= −

∂ e, por fim, ao utilizar a derivada direcional na direção do vetor u =(1,1),

obtivemos f (2,0) 4 u ∂ = − ∂ . Consideramos agora 2 0 6 x t y t z = + = + =

Notemos que a interpretação geométrica neste caso é bem mais complexa.

Figura 18. Relações entre os tipos de derivada construídos pelo Maple.

Tal posição assumida pelo professor requer um discurso baseado na crença e não na certeza matemática. De fato, quando sabemos que uma função

2

( , )

z

=

f x y

∉C

, não há nada mais o que duvidar quanto à propriedade

2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) f f x y x y x y y x ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂ , fato matemático conhecido pelo teorema de Claireaut- Scharwrz. Os alunos, em geral, sentem dificuldades em raciocinar termos do enfraquecimento das hipóteses ou o resultado inverso, ou seja, se ocorre

2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) f f x y x y x y y x ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ , então a função 2 ( , ) z= f x y ∈C .

Observemos que, em Lages (2010, p. 146), é enunciado como o “teorema de Schwarz”. Já no livro eletrônico disponível na pagina

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/HighOrderPartialDerivs.aspx, vemos o

seguinte enunciado: Supondo uma função definida num disco D, que contém o ponto ( , )a b . Se f_xy e f_yx são contínuas nele, então f a b_xy( , )= f_yx( , )a b . É notável o emprego

de outra notação. Assim, evidenciamos na própria literatura a variedade de enunciados equivalentes e a variação de nome do próprio teorema, inclusive a simbologia empregada. Na figura 19, exibimos as possibilidades conceituais, quando enfraquecemos as hipóteses.

Figura 19. Condições de validade e não validade do teorema de Claireaut-Schwarz.

Experimentalmente falando, trabalhar com tais condições possibilita mediar a

crença sobre estes objetos, na medida em que se esta produzindo inferências, e não a

certeza dos enunciados matemáticos, uma vez, que “quando enfraquecemos as condições suficientes nos enunciados de um teorema, proporcionamos a atividade declarativa dos sujeitos.” (ARTIGUE, 2002, p. 18)

Por outro lado, apresentar e discutir os resultados com toda a sua generalidade e condições suficientes abrevia a investigação e possibilita o emprego de formulações de modo pouco refletido. Podemos citar, para exemplificar, a condição de

diferenciabilidade para uma função z= f x y( , ) é caracterizada por

0 0 ( , ) ( 0 , 0 ) ( . ) [ ] 0 ( , ) x y E x x y y L i m x y ∆ ∆ → + ∆ + ∆ = ∆ ∆ , onde 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) f ( , ) f ( , ) E x x y y f x x y y f x y x y x x y y x y ∂ ∂ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ − − ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ∂ ∂

representa o erro que se comete ao calcular a aproximação da função por um plano

Quando o aluno verifica que tal limite vale zero, declara sem hesitação, baseado na definição, que a função perde seu caráter diferencial, entretanto, nos casos em que o limite não existe ou quando este limite vale

0 0 ( , ) (0,0) ( . ) [ ] (k=cte) ( , ) x y E x x y y Lim k x y ∆ ∆ → + ∆ + ∆ =

∆ ∆ , diferente de zero, o aprendiz pode manifestr uma incapacidade de interpretação do que pode ocorrer naquele ponto.

Em situações como esta, o auxílio ao raciocínio, disponibilizado pelo professor ou pelo livro, assume um papel essencial. Por exemplo, observamos em algumas obras, uma preocupação com o entendimento do leitor.

Destacamos, por exemplo, a obra de Hairer e Wanner (2008). Encontramos no trecho referente à noção formal de função definida a várias variáveis sua generalização descrita por :_{f A ⊂} m_→ n_{, como observamos na figura 20, entretanto, para efeito}

didático, o autor apresenta dois casos particulares que auxiliam a visualização do objeto definido anteriormente.

Figura 20. Trecho do livro de Hairer e Wanner (2008, p. 287).

Evidenciamos o estilo do autor se manter o mesmo ao longo da apresentação das

derivadas parciais, como observamos no trecho que segue (figura 21). Nele, Hairer e Wanner (2008, p. 300) caracterizam as derivadas parciais em sua maior generalidade, todavia, a ideia do conceito é transmitida por via geométrica, restrita às funções que possuem seus gráficos no espaço 3_{. Aliás, todos os exemplos concretamente} trabalhados são de funções que admitem sua interpretação geométrica.

Na sequência, o autor explica de modo intuitivo a noção de diferenciabilidade de funções, ao adotar mais uma vez a função z= f x y( , ) para a caracterização da aproximação local por um plano. Reparemos no final do trecho, na figura 21, que o autor caracteriza o plano como uma boa aproximação da função nas vizinhanças do ponto (x x10, 20).

Como exemplo do conceito de diferenciabilidade, encontramos o caso particular da função _{f x y}( , )_=e−x2−y2_{. O autor analisa a aproximação local pelo plano tangente no}

ponto (0,8;1, 0), mas deparamos a dificuldade em localizar a região precisa da “boa aproximação”, como sublinha o autor (figura 21).

Figura 22. Aproximação da função pelo plano (Hairer e Wanner, 2008, p. 300).

Na sequência, Hairer e Wanner (2008, p. 301) continuam a desenvolver a teoria, discutindo a definição de diferenciabilidade e derivada direcional. Identificamos, entretanto, o fato de que todos os contraexemplos são discutidos no espaço 3_{, como} por exemplo, a função descontínua que apresenta derivadas direcionais em todos os pontos, que é descrita por

2 2 2 4 2 se >0 ( , ) 0 se x=y=0 x y x y f x y = x +y + .

O autor destaca o fato de não ser contínua, mas possuir a derivada direcional na origem em todas as direções. De fato, pondo o vetor v=(cos( ),θ sen( ))θ , temos

2 2 4 2 2 4 ( cos( )) ( ( )) cos( ) ( ) ((0,0) ) ( ) ( cos( )) ( ( )) cos( ) ( ) t tsen t sen f t v f t v t tsen t sen θ θ θ θ θ θ θ θ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = = + ⋅ + . Assim, a função 2 2 4 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) t sen g t f t v t sen θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅ + é diferenciável para qualquer t. Hairer e Wanner discutem na figura 23, com a interpretação geométrica do comportamento da função. Por outro lado, exibimos o gráfico ao lado do seu comportamento.

Tomando a parametrização 2 2 2 4 4 2 ( ) ( , ) ( ( )) 1 t a t a t t a t f t t at a α = ⋅ ∴ α = ⋅ = + + ,

observamos que nas vizinhanças da origem (0, 0) , a imagem ( ( ))f α t assume todos os

valores entre 1 2 − e 1

Figura 23. Interpretação geométrica da derivada direcional de uma função descontínua.

Observa-se o intensivo emprego de simbologias que requerem um tratamento operacional peculiar. Advertimos o fato de que a manipulação, em muitos casos das representações envolvidas, não determina a compreensão e um domínio de significado.

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