Foi apenas em 1893 que Stolz introduziu a noção de difenrenciabilidade em várias variáveis e, somente em 1911, o desenvolvimento da análise funcional permitiu a Fréchet introduzir a diferencial em termos modernos de interpretação como mapas tangentes lineares. (ARTIGUE, 2002, p. 168; tradução nossa)
É sabido que alguns estudantes são introduzidos na noção de diferenciação como uma regra que se aplica sem muita atenção a fim de revelar as razões para justificações e procedimentos. (ORTON, 1983a, p. 242; tradução nossa)
Dall´anese (2006, p. 13) lembra, após analisar inúmeros trabalhos discutidos em (JIMENEZ, 2003), relacionados com o ensino do Cálculo, que seu ensino não apresenta muitas modificações e as dificuldades dos alunos permanecem.
Em parte, como evidencia Dall´anese, os motivos decorrem do fato de que os conceitos do Cálculo são difíceis e anti-intuitivos. Note-se que, em sua tese, o autor trabalha com um objeto matemático chamado de taxa de variação o qual apresenta um viés bastante intuitivo, quando comparado à noção de limite e que tratamos na seção passada.
Stedall (2008, p. 106), por sua vez, apresenta um diagrama “que reproduz a riqueza e a complexidade das ideias que impulsionaram o Cálculo. O que serve para mostrar que o progresso matemático em qualquer simples problema é raramente tratado de modo linear.”.
O caráter de linearidade, marcante do raciocínio matemático lógico-formal, preserva características que o diferenciam do raciocínio intuitivo. Note-se que Stedall (2008) indica a predominância das ideias heurístico/intuitivas das noções do Cálculo que não evoluíram com origem neste modelo linear, tradicional, do raciocínio matemático.
Seu ensino é, por vezes, estabelecido com vistas a desrespeitar a evolução particular do conceito de diferenciação. Na citação da segunda epígrafe, Orton realça um viés deste ensino, quando reduz a aprendizagem do Cálculo ao domínio de ‘técnicas’ e procedimentos necessários na diferenciação.
Outro fator de preocupação destacado por Orton diz respeito ao ensino baseado no rigor excessivo, ao acentuar que “nenhuma prova algébrica se faz necessária e isto pode ser uma adequada introdução inicial para a diferenciação.” (ORTON, 1983a, p. 242).
Figura 4. Diagrama explicitando os progressos e fases de evolução das ideias do Cálculo descrito por Stedall (2008, p. 106).
Acima (figura 4) perspectivamos a distância entre os momentos iniciais de imprecisão, pouco rigor e o tratamento intuitivo das noções em sua gênese. Sublinhamos o fato de que, parte das dificuldades de rigorização (CARAÇA, 1970; GRABINER, 1981; HILBERT, 1902; HOEFER, 1874; WILDER, 1959) de alguns dos conceitos do Cálculo, particularmente a noção de derivada, decorre da “complexidade das noções intuitivas referentes a tais objetos conceituais.” (BOYER, 1959)
Deste modo, diferenciamos uma intuição que possibilita a compreensão de objetos captados pelos órgãos sensórios, e outra faculdade intuitiva, que possibilita ao matemático captar a essência de objetos, conceitualmente falando, mais complexos. Vejamos um exemplo de concepção partilhada por alguns matemáticos. Começamos por Felix Klein (1849-1825) que, num de seus artigos, se referia da seguinte forma
A intuição ingênua, por outro lado, foi especialmente ativa durante o período de gênese do Cálculo Integral. Assim, vemos Newton assumir sem hesitar sobre a existência, para todo caso, da velocidade de um ponto móvel, sem questionar a si mesmo sobre se quer a possibilidade
de uma função descontínua e sem derivada. (KLEIN, 1893, p. 15, tradução nossa)
Mais adiante, explica a diferença entre o que ele nomeou de ‘intuição ingênua’ (naive intuition) e outra expressão tratada por ele como ‘intuição refinada’ (refined intuition), acrescentando que,
Em minha opinião, a raiz deste assunto pertence ao fato de que a intuição ingênua não é exata, enquanto que a intuição refinada não é propriamente uma intuição, porém, surge a partir do desenvolvimento de axiomas, considerados perfeitamente exatos. (KLEIN, 1898, p. 15, tradução nossa).
Klein (1898)10 fornece exemplos ilustrativos e argumenta que, quando pensamos num ponto, não pintamos em nossa mente um ponto matemático abstrato, porém, substituímos algo concreto por este. Quando imaginamos uma linha, não descrevemos para nós próprios, comprimento sem espessura. Quando, porém, consideramos uma faixa com determinada extensão, esta possui sempre uma tangente, isto é, podemos sempre imaginar uma linha reta que possui uma pequena porção em comum com uma curva (figura 5). Para Klein, as definições matemáticas nesse caso são aproximativas e indiscutivelmente necessárias para a atividade matemática.
Figura 5. Desenho sugerido por Klein (1898), relativamente à noção intuitiva de derivada
Temos aqui um exemplo interessante, onde evidenciamos a flagrante contradição entre nossas crenças intuitivas, que podem ser tomadas, segundo Klein, por intuições ingênuas, e nossas crenças formuladas com base num corpus teórico, como no caso do Cálculo. Episódio semelhante é recordado em Hersh (1997, p. 50), quando menciona que “Edmund Landau, um dos mais poderosos pesquisadores em teoria dos
10 A argumentação desenvolvida por Félix Klein (1849-1925) apresenta íntima dependência com a diversidade de representações mentais que o indivíduo possui e consegue mobilizar por intermédio da percepção. A existência destas representações mentais no processo perceptivo é assumida por Morais (2006, p. 20).
números, descobriu fatos importantes sobre funções analíticas descritos pelo teorema das duas constantes.”. Ele provou, mas não acreditava no teorema. Hersh acrescenta que “ele trabalhou ainda por anos até que sua intuição aceitasse o fato.” (HERSH, 1997)
Este fato evidencia que o processo intuitivo pode ocorrer antes, durante e após determinado estabelecimento de um fato matemático ou o estabelecimento de uma verdade matemática. Neste caso, referimo-nos à demonstração de um teorema procedente de Landau. Neste episódio, temos, marcadamente, o uso da refined intuition, na acepção de Klein. Sua importância é atestada também por Bunge (1996, p. 127), quando esclarece que “a relação entre certas construções (símbolos, conceitos, proposições) e as correspondências sensoriais não é lógica e sim intuitiva, como destacou Einstein”.
Deste modo, concordamos em parte com Dall´anese (2000, 2006) ao discutir o caráter intuitivo da noção de taxa de variação, entretanto, preferimos a explicação dando conta de um modo peculiar de intuição capaz de captar e proporcionar o entendimento dos conceitos matemáticos.
De fato, necessitamos de uma habilidade intuitiva para diferenciar aspectos que se relacionam de modo intrínseco a este ou a outro conceito. Neste sentido, Pinto (1998, p. 117) nos fornece informações interessantes, quando detectou o fato de que alguns dos sujeitos participantes de sua investigação evocavam “imagens mentais relacionadas à diferenciabilidade que não distinguiam uma função diferenciável de uma função contínua”.
Mais adiante, a autora acrescenta que “os estudantes não foram capazes de fornecer exemplos de funções contínuas, mas não diferenciáveis”. (PINTO, 1998, p. 117). Deste modo, neste caso, depreendemos que, desde as respectivas definições formais do fenômeno local, que caracteriza a noção de continuidade, e do objeto matemático conhecido por derivada, os alunos manifestam dificuldades de entendimento, em grande parte com base elaboração progressiva de imagens mentais dos referidos conceitos matemáticos.
No caso específico da derivada, considerando de modo mais pormenorizado seu viés intuitivo, concluímos que, em parte, isto decorre da outra noção, nomeadamente a noção de limite. Neste sentido, D´Avoglio (2002, p. 59) evidencia que “os alunos têm dificuldade para entender o conceito de derivada de uma função no ponto, definida de
maneira formal, a partir do conceito de limite.”. Giraldo (2004, p. 30) desenvolve uma argumentação que reforça o mesmo ponto de vista. Ele declara que
A conceituação formal de limite, por meio de épsilons e delta, demanda um nível de abstração incompatível com os cursos iniciais de Cálculo Diferencial e Integral. A definição forma de derivada, por sua vez, depende do conceito de limite f x'( ) limh 0 f x h( ) f x( )
h →
+ −
= .
Desta forma, uma estratégia pedagógica comumente utilizada para a introdução do conceito de derivada envolve a expressão algébrica acima (muitas vezes ilustrada por uma figura representando retas secantes aproximando-se de uma reta tangente), sem qualquer tratamento formal anterior para o conceito de limite.
Tall (1997, p. 3) aponta a contribuição, nem sempre profícua, dos livros didáticos, quando se recorda de que “alguns textos não fornecem a definição formal da reta tangente e, preferivelmente, exploram a ideia intuitiva da reta tangente que toca a curva.”. Mais adiante, ele explica que, “no ensino, trabalhamos a noção de que quando um gráfico possui uma tangente, mesmo com alguma ampliação do gráfico, o trecho que compreende a reta tangente e o gráfico é indistinguível.” (TALL, 1997, p. 3-4). Entretanto, “em minha experiência, acredito que os estudantes necessitam de uma orientação melhor deste ponto de vista.” (Idem, 1997, p. 4).
David Tall menciona o componente de responsabilidade do livro didático, que nem sempre justifica o termo “didático”. Por exemplo, a mudança notacional verificada do CUV para o CVV é considerável, como percebemos na figura 6, na sequência abaixo.
Referendando-nos em nossa experiência, defendemos a ideia de que alguns aspectos do CVV poderiam ser explorados no CUV, por exemplo, explorar as três dimensões. Por que o CUV é desenvolvido pelos livros apenas no 2?
Por que não se consideram funções do tipo z= f y( ) ou z= f x( )e se pede a
taxa de variação das variáveis “z” e “y” ou a taxa de variação dz dx?
Figura 6. Quadro comparativo da noção de derivada no CUV e no CVV.
Por outro lado, os livros didáticos expressam e refletem os paradigmas educacionais e modelos vigentes de uma época. Particularmente na Matemática, ocorre o mesmo, bastando-se observar as reflexões desenvolvidas por Michelle Artigue, ao recordar alguns episódios da História da Matemática, relacionados ao Cálculo Diferencial e Integral, e as reformas impulsionadas na Europa e França, promovidas pelo CIEM – International Commission for Mathematical Instruction.
Ao relatar as reformas educacionais ocorridas, por exemplo, na Inglaterra, em 1989, Michelle Artigue salienta que
Os conceitos são explicados por uma via dinâmica (como “x” tende para “a” ou “x→a”) e o curso é principalmente voltado a métodos de aplicação da diferenciação e integração; somente alguns poucos vêem as definições envolvendo épsilon e delta no último estágio. [...] Na universidade, os estudantes de matemática estudam os fundamentos lógicos da Análise, usando as definições de ε δ− (ou equivalências topológicas), enquanto outros estudantes estudam métodos de cálculo ou teorias analíticas para o nível apropriado para o seu assunto principal. Análise formal é conhecida por provocar dificuldade para a maioria dos estudantes de matemática e em algumas universidades existe uma tentativa de reduzir as formalidades do assunto e concentrar mais em suas aplicações. (ARTIGUE, 2002, p. 174; tradução nossa).
No mesmo trabalho, Artigue (2002) descreve alguns conceitos a priori que podem ser associados à noção de uma derivada no ponto x a= para uma função f como:
- o limite do quociente f x h( ) f x( )
h
- o primeiro coeficiente da expansão limitada de ordem 1 da função em x a= ; - o coeficiente caracterizando um mapa linear, tangente em x a= ;
- o coeficiente angular da tangente no ponto x a= e
- o número ou a função obtida pela aplicação de regras usuais de diferenciação, conhecendo-se as derivadas elementares.
Na atividade matemática, inerente ao habitat do matemático profissional, Artigue (2002, p. 175) destaca a ideia de que “podemos imaginar que estes pontos de vista podem coexistir entre os matemáticos, e alguns deles mais preferido em virtude do contexto matemático ou em virtude da preferência individual.”. Em todo caso, Artigue questiona, ante a multiplicidade de pontos de vista em relação ao mesmo objeto conceitual, o que acontece com os estudantes? Que obstáculos se identificam?
Artigue desenvolve um estudo, não com a intenção de responder a tais questionamentos específicos, entretanto, com o objetivo de investigar as concepções dos estudantes relacionadas às disciplinas Matemática e Física. Parte dos resultados de Artigue aponta uma importante diferença entre o nível declarativo (como os estudantes descrevem os conceitos) e o nível procedural (como eles trabalham com os conceitos). Neste sentido, ela esclarece:
No nível declarativo, a aproximação linear pela tangente dominou, conforme a definição no curso. E no nível procedural, a diferencial tendeu a perder o seu papel funcional e o status de aproximação desapareceu, que foi substituído por algoritmos algébricos usando derivadas parciais e matrizes Jacobiana. (ARTIGUE, 2002, p. 180; tradução nossa.).
Para concluir esta secção, ante as colocações e conclusões de Artigue, de modo semelhante aos posicionamentos de Klein (1893), Poincaré (1904) e Tarski (1994), defendemos um ensino sem a prevalência de um rigor excessivo ou um falso rigor. Um ensino introdutório para a noção de diferenciação, por exemplo, “pode ser informal e baseado largamente em explorações numéricas e gráficas assistidas por uma calculadora eletrônica.” (ORTON, 1983b, p. 244)
Discutiremos de modo aprofundado o papel da tecnologia no ensino do Cálculo; para finalizar, entretanto, lembramos que as simbologias empregadas na atividade matemática são condicionadas pelas formas idiossincrásicas de abstração do matemático que as emprega.
De fato, a representação de derivada ´ ou f´(x)f atual se aproxima da notação designada por Joseph L. Lagrange, em sua obra Théorie de fonction analytiques de
1797. Segundo Cajori (1901, p. 207), “o próprio Lagrange dizia que por ‘simplicidade’ e ‘uniformidade’, denotamos a primeira função derivada da f por f´x .”. Destacaremos duas significações para os termos por nós sublinhados.
No primeiro caso, desde que consideramos também o contexto de ensino de Matemática, cabe o seguinte questionamento: simplicidade para quem, professor ou aluno? E, no segundo caso, sabemos que a uniformização e formalização de várias noções e definições no Cálculo necessitaram de séculos até atingir sua forma atual, não seria previsível o sentimento de incompreensão dos alunos?
Como, porém, estamos falando de notações matemáticas e notações relacionadas com a ideia de derivada, talvez o matemático mais famoso pela criação de “boas”
notações tenha sido segundo Cajori (1901, p. 181). Leibniz, num de seus manuscritos, comentados por Couturat (1901, p. 86), esclarece que “os algarismos árabes possuem sobre os algarismos romanos a vantagem de melhor expressar a “gênese” dos números, e em seguida sua definição, de sorte que sejam mais cômodos, não somente pela forma de escrevê-los, mas também pelo cálculo mental.”. Ele mostrou a importância atribuída aos signos, e as condições de sua utilidade.
A invenção do Cálculo Infinitesimal procede da pesquisa de símbolos os mais apropriados (COUTURAT, 1901, p. 87). Ele confirma a perspectiva de Leibniz sobre a importância capital e a proficuidade vantajosa de um símbolo bem escolhido. Veremos agora de que maneira a notação relacionada a uma definição pode interferir diretamente na aprendizagem e no ensino do Cálculo.
Deste modo, apesar de termos a disposição um número variado de simbologias
para a noção de derivada, como: df ( )x0
dx , ( )0
dy x
dx f x'( )0 , df x( )0 , D y xx[ ( )]0 , etc, nem sempre conhecemos os significados ou os entraves e efeitos psicológicos que esta ou aquela notação pode causar no estudante. Identificamos tal preocupação em Poincaré. Este, nos cursos introdutórios, preferia a noção de taxa de variação,
denotando a derivada por dy
dx ou
( )
dy x dx .
Poincaré (1899, p. 106) comenta um artigo de M. H. Laurent, sobre a notação diferencial, sistema simbólico do Cálculo. Ele adverte Laurent em virtude da frase: “(...) eu penso que é conveniente de mostrar o quanto a notação diferencial é mais cômoda do que a de derivada. É em relação aos competentes que me refiro e não aos alunos, e eu acredito que ninguém contestará a grande influência da doutrina diferencial.”.
No parágrafo seguinte, Poincaré manifesta a surpresa com estas palavras, pois, para ele, algumas das ideias apontadas estavam há muito tempo abandonadas. Contrariamente, ele contesta fortemente a vantagens da notação diferencial e aconselha que tal notação deve ser apresentada aos alunos, no momento em que estes já estejam familiarizados com a notação das derivadas. (POINCARÉ,1899, p. 106)
Na seção que vem, discutiremos alguns aspectos relacionados ao ensino/aprendizagem da noção de integral.