Koşullu Değişen Varyans Modelleri

Son 30 yıldır risk yönetiminde kullanılan bir teknik olan volatilite konusunda birçok teknik geliştirilmiştir. Koşullu değişen varyans modellerinin başlangıç noktası olarak sayılan ARCH modeli 1982 yılında Engle tarafından geliştirilmiştir. İlk modelden günümüze kadar piyasa şartlarına göre birçok türevi geliştirilmiş olan ARCH modeli koşullu varyansı geçmiş hata terimlerinin karesinin bir fonksiyonu olarak ele almaktadır. Böylece finans anlamında risk, geçmiş getirilerin ve dağılım özellikleri, asimetri gibi getiriye has birtakım özelliklerin bir fonksiyonu olarak modellenmektedir. İçinde GARCH bulunan modeller zehirli gazların atmosferde yayılma hızı tahmininden sinirsel aktiviteyi simule etmeye kadar çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. Ancak finans hâlen GARCH kullanımında önde gelen alandır ve bu konudaki araştırmaların başını çekmektedir (Kale, 2006: 1). Küreselleşen dünyada yaşanan krizlerin etkilerinin de küresel hissedilmesi yatırımcıların finansal piyasalar hakkında daha çok bilgi sahibi olması gerekliliğini ortaya çıkarmıştır. Yatırımcılar ve piyasadaki tüm aktörler, piyasalarda aşırı oynaklığın gerçekten var olup olmadığını bilmek; varsa bunun derecesini ve yapısını saptamak ve finansal piyasalarda volatiliteden dolayı oluşabilecek risklerden korunma tekniklerini geliştirmek sureti ile daha güvenilir öngörüler elde etmek istemektedirler (Adlığ, 2009: 2).

Finansal piyasalarda son yıllarda yaşanan dalgalanmalar bu piyasalarda yatırımda bulunmak isteyen yatırımcıları belli bir risk ile karşı karşıya bırakmaktadır. Finansal piyasalardaki bu dalgalanmalar neticesinde piyasaların dinamik işleyişini

tahmin etmekte birçok sayısal teknik geliştirilmiştir. Engle tarafından 1982 yılında geliştirilen ve ARCH ailesi olarak literatürde yeri alan bu ilk adımdan sonra mevcut modellerin asimetrik etkiyi yansıtamaması nedeniyle Asimetrik GARCH modelleri olarak bilinen yeni bir seri model daha geliştirilmiştir. Bu çerçevede geliştirilen ve bu çalışmada kullanılan volatilite modelleri aşağıda sırasıyla ele alınmıştır.

2.3.3.1. Arch Modeli

Stokastik hata terimine ilişkin varsayımlardan bir tanesi de hata terimlerinin birbirinden bağımsız olduğu, yani hata terimleri arasında otokorelasyonun olmadığı varsayımıdır. Bir diğer varsayım ise, hata terimlerinin varyansının sabit olduğu ve zaman içerisinde değişim göstermediği varsayımıdır. Bu şekilde zaman içerisinde değişmeyen serinin sabit varyanslı olduğu durumlar “homoskedastic” olarak ifade edilmektedir. Varsayımın yerine getirilmemesi durumunda ise serinin değişen varyanslı olduğu durum ise “heteroskedastic” olarak ifade edilmektedir. Söz konusu homoskedastic modellerdeki varyansın sabit olarak kabul edilmesi finansal serilerin birçoğunda sorun oluşturmaktadır. Finansal zaman serilerinde genellikle büyük fiyat değişikliklerini büyük fiyat değişiklikleri, küçük fiyat değişikliklerini ise küçük fiyat değişiklikleri izlemektedir (Adlığ, 2009: 39; Akgiray, 1989: 55 – 80). Diğer bir ifadeyle finansal zaman serilerinin gösterdiği bu hareket, hata teriminin değişen varyansa sahip olduğunun ve volatilite kümelenmesinin varlığının bir kanıtı olarak gösterilmektedir (Akel, 2011: 22). İşte bu zaman serilerinde, değişen varyans etkisini yakalayabilmek için Engle (1982) otoregresif koşullu değişen varyans (ARCH) modelini önermiştir. Engle (1982)’a ARCH kelimesi ‘Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity’ yani “Otoregresif Koşullu Değişen Varyans” olarak ifade edilmektedir. ‘Otoregresif’ kelimesi volatilitenin daha önceki periyotlardaki volatiliteler cinsinden ifade edildiğini temsil etmektedir. “Koşullu Değişen Varyans” ise varyansın değiştiğini ifade etmektedir (Aktaran: Aksu, 2006: 9). ARCH modelinde koşullu varyans, kalıntıların geçmiş değerlerinin karelerinin regresyon ile çözümlenmesi ile öngörülmektedir. Diğer bir ifade ile bağımlı değişkenin varyansı kendi geçmiş değerlerine bağımlı olarak modellenmektedir (Çifter, 2010: 23). ARCH modeli zaman serilerinde gözlemlenen oynaklığın modellenmesinde kullanılan ve

oynaklıkla ilişkili bir bağımsız değişken tanımlayarak ve bu tanımlanan değişken aracılığıyla oynaklığı tahmin eden bir modeldir.

ɛt = ztσt (2.14)

zt ~ i.i.d D(0,1) (2.15)

σt² = σ² (ɛt-1, ɛt-2, …, t, xt, b) = σ2 (σt-1z t-1, σt-2z t-2, …, t, xt, b) (2.16)

Burada ɛt, t zamanındaki tahmin hatası miktarını gösterir. xt, gecikmeli egzojen değişkenlerden (lagged exogenous variables) oluşan bir vektör, b ise parametre vektörüdür. D(.) dağılımdır.

t-1 zamanındaki bilgi kümesine göre ɛt’nin koşullu varyansı σt²’dır. Literatürde bu varyansın parametrik hale dönüşümü için birçok yöntem ortaya atılmıştır. Orijinal haliyle ARCH aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

σt²=𝑎₀+𝑎₁𝜀_𝑡−12 _{+………+𝑎}

𝑞𝜀𝑡−𝑞2 (2.17)

Σ operatörü kullanırsak eşitlik aşağıdaki şekle dönüşür:

σt²=𝑎₀+ 𝛴_𝑖=1𝑞 𝑎_𝑖𝜀_𝑡−𝑖2 _(2.18) Otoregresyonu daha rahat göstermek için 𝜀t = ztσt eşitliğini kullanabiliriz. σt²=𝑎₀+ 𝛴_𝑖=1𝑞 𝑎_𝑖σ_𝑡−𝑖2 _z

𝑡−𝑖

2 _(2.19)

ARCH modeli volatilite kümelenmesini şu yapı ile tanımlar: Eğer 𝜀t-1’in mutlak değeri büyükse, σt² ve böylece 𝜀t’nin mutlak değerinin de büyük olması beklenir. ARCH modelinden çıkarılan koşullu varyans her ne kadar zamana göre değişkense de, 𝜀t’nin koşulsuz varyansı eğer 𝑎0 > 0 ve + 𝛴𝑖=1𝑞 𝑎𝑖 < 1 ise sabittir. Koşullu varyans σt² bütün t ler için pozitif olmalıdır. Gerekli koşullar 𝑎0> 0 ve 𝑎𝑖 ≥0 durumunda sağlanır.

Yapılan çalışmaların gösterdiğine göre, koşullu varyansın dinamiklerini yakalayabilmesi için yüksek bir ARCH derecesi seçilmelidir. Bu da büyük miktarlarda parametre çıkarımına gerek duyulması anlamına gelmektedir. Bollerslev’in (1986)

genelleştirilmiş ARCH modeli sonsuz bir ARCH düzeneği üzerine kuruludur ve tahmin edilecek parametre sayısını doğrusal olmayan kısıtlamalar getirerek makul düzeylere indirmektedir (Aktaran: Kale, 2006: 36).

2.3.3.2. Genelleştirilmiş Arch (Garch) Modeli

GARCH modelleri 1986 yılında Tim Bollerslev tarafından ARCH modellerinin genelleştirilmesi ile ortaya çıkmıştır. Literatürde, Genelleştirilmiş ARCH Modelleri olarak da bilinir. GARCH modeli aslında, yt sürecinin koşullu hata varyansının ARMA süreci olarak modellenmesidir. GARCH modelinin daha çok kullanılmasının ve ARCH modeline tercih edilmesinin sebebi, bünyesinde daha az parametre içermesidir. Böylece, modelin, parametrelerin negatif olmama kısıtını ihmal etme olasılığı daha azdır. GARCH modeline göre; koşullu varyans, geçmiş dönem hata karelerinin gecikmeli değerlerine ve bağımlı değişkenin geçmiş dönem koşullu varyansının geçmiş dönem değerlerine bağlıdır (Polat, 2012: 45).

GARCH koşullu varyansın, hata terimleri karelerinin gecikmeli değerlerinin yanı sıra koşullu varyansın da geçmiş dönem değerleri ile doğrusal açıklanabildiği dinamik zaman serisi modelidir.

GARCH(p,q) modeli;

𝜎𝑡2=𝑎0+𝑎1𝜀𝑡−12 +…+𝑎𝑞𝜀𝑡−𝑞2 + 𝛽1σ𝑡−12 +. . . + 𝛽𝑝σ𝑡−𝑝2 (2.20) Σ operatörü kullanırsak eşitlik aşağıdaki şekle dönüşür:

σt²=𝑎0+𝛴𝑖=1𝑞 𝑎𝑖𝜀𝑡−𝑖2 + 𝛴𝑗=1𝑝 𝑎𝛽𝑗σ𝑡−𝑗2 (2.21)

olarak ifade edilir.

Temel ve en sık kullanılan GARCH (1,1) modeli aşağıdaki gibi kısalır: σ_𝑡2_=ω+𝑎

1𝜀𝑡−12 +β𝑡−12 (2.22)

Varyansın pozitif olması beklendiğinden, regresyon parametreleri, ω, α, β’nın da her zaman pozitif olması gereklidir, (α ve β = 0 da olabilir). Buna karşın varyansın durağanlık koşulunu yerine getirmesi için α ve β’nın toplamı 1’den küçük olmalıdır.

Regresyon parametrelerinin toplamı (α + β), geçmiş dönem değişkenlerinin değişimlerinin şimdiki değişkenlik seviyesine (volatilite) etkisini ifade etmektedir. Bu değer çoğunlukla 1’e yakındır ve şokların finansal varlıkların getirilerindeki değişkenliğe daha çok etki ettiğine işaret etmektedir (Aktaran: Kale, 2006: 36).

2.3.3.3. Tgarch (Threshold Garch) Modeli

GARCH modeli hata varyansındaki asimetriyi açıklamakta yetersiz kalmaktadır. Modeldeki kaldıraç etkisini belirlemek için Zakoian 1994 yılında TGARCH (Threshold GARCH) modelini tanıtmıştır. TGARCH modeli GARCH modeline kaldıraç değişkeni ilave edilerek elde edilmektedir. TGARCH, GARCH modelinden farklı olarak hata varyansındaki asimetriyi açıklar (Arduç, 2006: 25).

TGARCH modeli pozitif ve negatif şoklar için farklı GARCH modelleri varsaymaktadır. TGARCH(1,1) modeli aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

𝜎_𝑡2_=𝑎

0+α𝜀𝑡−12 +𝛾𝑞𝜀𝑡−12 𝑑𝑡−1+ βσ𝑡−12 (2.23) Bu modelde α parametresi ARCH etkisinin, β parametresi GARCH etkisinin ve γ terimi ise kaldıraç etkisinin ve aynı zamanda asimetrikliğin göstergesidir. Azalan yöndeki oynaklık artış yönündeki oynaklıktan daha büyükse o zaman modelde kaldıraç etkisinden (leverage effect) bahsedilmektedir. Diğer bir deyişle, γ parametresinin pozitif olması durumunda yani γ > 0 ise modelde kaldıraç etkisinden söz edilmektedir. TGARCH modeli, şartlı varyans yerine şartlı standart sapmanın modellendiği durumda GJR – GARCH modeline karşılık gelmektedir. Her iki modelde de threshold parametresi bilinen bir değerdir (Erer, 2011: 89).

2.3.3.4. Egarch Modeli

ARCH ve GARCH modellerinde varyansın etkisinin simetrik olduğu varsayılmıştır. Ayrıca bu modellerde oynaklığın sadece büyüklüğü ile ilgilenilmiş, oynaklığın işareti ile ilgilenilmemiştir. Oysa azalan yöndeki dalgalanmaların artan yöndeki dalgalanmalardan daha yüksek oynaklıklara neden olduğu sık sık gözlenmektedir. Bu durum, varyans etkilerinin asimetrik olarak pozitif ve negatif hataların gerçekleşmesine neden olabilmektedir. Bu nedenle belirtilen özelliklerin

varlığında zaman serilerinin daha uygun çözümlenmesine imkân veren EGARCH modeli Nelson (1991) tarafından geliştirilmiştir. Bu model oynaklıklardaki asimetriyi dikkate almaktadır. EGARCH modelinin GARCH modeline göre avantajları, tüm parametre kümelerinde koşullu varyanstaki pozitifliği sağlaması ve oynaklıktaki asimetrik etkinin de elde edilmesine imkân tanımasıdır. EGARCH modeli sadece asimetriyi göstermez, aynı zamanda koşullu varyansın her zaman pozitif olmasını da sağlar (Polat, 2012: 50). Volatilite öngörüsü hesaplanırken gözlemlerin hesaplamadaki ağırlığı zaman serisinde geriye gittikçe üssel olarak azalmaktadır. Dolayısıyla güncel fiyat hareketlerinin oynaklık tahmini hesabındaki ağırlığı artarken, geçmişte meydana gelen anormal fiyat hareketlerinin etkisi zamanla azalmaktadır.

EGARCH modeli aşağıdaki gibi yazılmaktadır:

log (ℎ)_𝑡= 𝑤 + 𝛴_𝑗=1𝑝 𝛽_𝑗log( ℎ_𝑡−𝑗) + 𝛴_𝑖=1𝑞 𝛼_𝑖│𝑢𝑡−𝑖│

√ℎ𝑡−𝑖 + 𝛴𝑖=1

𝑞 _𝛾𝑖 𝑢𝑡−𝑖

√ℎ𝑡−𝑖 (2.24)