Construiremos indutivamente forcings (Pα)α≤ω1 juntamente com Pα-nomes
( ˙Kα)α≤ω1 tais que Pα “ ˙Kα ´e compacto de peso enumer´avel”. Tome P0 um
forcing trivial e K0 = [0, 1]2. Definidos Pα e ˙Kα, definimos
Pα+1 = Pα∗ ˙Qα,
onde ˙Qα ´e um Pα-nome tal que
Pα ˙Qα = R( ˙Kα),
e definimos ˙Kα+1 um Pα+1-nome tal que Pα+1 ˙Kα+1 = ( ˙Kα)G˙α. Se α≤ ω1
´e um ordinal limite e (Pβ)β<α e ( ˙Kβ)β<α est˜ao definidos, definimos Pα a
itera¸c˜ao com suporte finito de (Pβ)β<α e ˙Kα tal que
Pα ˙Kα = lim
← ( ˙Kβ)β<α.
Seja P = Pω1. Em M[Gα] considere Kα = ( ˙Kα)Gα.
Pela defini¸c˜ao temos Kα ⊆ [0, 1]α, para α ≥ ω, e Kα ⊆ [0, 1]α+2, se
α < ω. Para termos uma nota¸c˜ao uniforme, se α < ω e x∈ Kγ, para γ > α,
denotamos x|α+2 por x|α.
Como P ´e uma itera¸c˜ao com suportes finitos de forcings c.c.c. P tamb´em ´e c.c.c. e portanto, preserva cardinais.
Em Kα definimos (qn|α)n∈ω ⊆ Kα indutivamente, em Mα. Em M, fixa-
mos {qn(0) : n∈ ω} uma enumera¸c˜ao dos pares de racionais em [0, 1]2. Defi-
nido{qn(α) : n∈ ω} em Mα, em Mα+1definimos qn|(α+1) = (qn(α), fG(qn|α)),
se qn|α ∈ ΩG{α}, e qn|(α + 1) = (qn|α, 0), caso contr´ario. Para α limite defini-
mos qn|α =Sβ<αqn(β). Seja ˙qn(α) um Pα-nome para qn|α. Seja qn = qn(ω1)
em Mω1.
Lema 5.7. Em M[G], o conjunto {qn: n∈ ω} ´e denso em Kω1.
Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese {qn|0 : n ∈ ω} ´e denso em K0. Se {qn|β :
n∈ ω} ´e denso em Kβ, para todo β < α e α um ordinal limite, ent˜ao, em Mα,
{qn|α : n ∈ ω} ´e denso em Kα. De fato, se existe V ∈ Bα n˜ao-vazio tal que V
´e disjunto de {qn|α : n ∈ ω}, como V ´e uni˜ao finita de abertos elementares,
existe β < α tal que πβ[V ] ´e aberto n˜ao-vazio em Kβ, contradizendo que
Suponha que {qn|α : n ∈ ω} ´e denso em Kα. Seja V aberto n˜ao-vazio
de Kα+1. Como Gr(fG{α}) ´e denso em Kα+1 ent˜ao V intercepta Gr(fG{α}) =
π−1(Ω
G{α}), que ´e aberto em Kα+1. Logo, tomando essa intersec¸c˜ao no lugar
de V , assumimos que V ⊆ Gr(fG{α}). Como, pelo Lema 5.4, fG{α} ´e cont´ınua
em ΩG{α}, temos que πK−1α+1,Kα ´e um homeomorfismo, quando restrito a ΩG{α},
de onde segue que πKα+1,Kα[V ] ´e aberto em Kα e, portanto, ir´a interceptar
{qn|α : n ∈ ω}, concluindo que V intercepta {qn|(α + 1) : n ∈ ω}.
Lema 5.8. Em M[G], o espa¸co Kω1 ´e conexo.
Demonstra¸c˜ao: Procedemos por indu¸c˜ao. Para α = 0 temos Kα conexo,
em M0, pois K0 = [0, 1]2. Se Kα ´e conexo em Mα, pelo Lema 5.4 temos que
Kα+1 ´e conexo em Mα+1. Seja α≤ ω1 um ordinal limite e suponha que, em
Mβ, Kβ ´e conexo, para todo β < α. Suponha que Kα n˜ao seja conexo. Pela
compacidade de Kαexistem U, V ∈ Bα tais que Kα∩U ∩V = ∅, Kα ⊆ U ∪V ,
Kα ∩ U 6= ∅ e Kα ∩ V 6= ∅. Como elementos de Bα s˜ao determinados por
finitas coordenadas de α, existe β < α tal que πβ[U] e πβ[V ] s˜ao abertos tais
que U = π−1β [πβ[U]] e V = πβ−1[πβ[V ]], o que daria que Kβ, e, portanto, Kβ,
n˜ao ´e conexo.
Lema 5.9. Sejam ˙µ um P -nome para uma medida em Kω1 e seja ˙z um
P -nome para um ponto de Kω1. Ent˜ao os seguintes conjuntos s˜ao fechados
ilimitados em ω1.
a) C˙µ ={α < ω1 : P ˙µ|Bα ∈ Mα e | ˙µ||Bα =| ˙µ|Bα|};
b) C˙z ={α < ω1 : P ˙z|α ∈ Mα}
Demonstra¸c˜ao: An´aloga `a do Lema 4.9
Se G ´e um R(K)-gen´erico sobre M, em M[G] definimos f′
G : KG−→ [0, 1] por f′ G(x, t) = t, para (x, t) ∈ KG ⊆ K × [0, 1]. Em M tomamos ˙fG′ um R(K)-nome para f′ G. Observamos que (∗∗) f′ G|KG∩ΩG×[0,1] = fG◦ π,
uma vez que πK−1
G,K(x) ={fG(x)}, para x ∈ ΩG.
Seja G um P -gen´erico sobre M e seja α < ω1. Em M[G] definimos
˜ f′
G{α} a extens˜ao cont´ınua de fG′{α} em K M[G]
α , que existe porque fG′{α} ´e
uniformemente cont´ınua em Kα. Seja ¯fG′{α} um P -nome para ˜f
′ G{α}.
Lema 5.10. Sejam ε > 0 racional, α < ω1 e p ∈ P tais que εp(α) ≤ ε
e ˙µ ∈ Mp, para ˙µ um Pα-nome. Sejam ( ˙µn)n∈ω e ( ˙xn)n∈ω seq¨uˆencias de
P -nomes tais que p for¸ca: 1. ˙µn ∈ M(Kω1); 2. ˙xn∈ Kω1; 3. µn|Bα ∈ Mα; 4. ˙xn|α ∈ Mα; 5. | ˙µn|Bα| = | ˙µn||Bα; 6. ˙µn|Bα({ ˙xn|α}) n −→ 0; 7. | ˙µn|Bα| converge fracamente ∗ para ˙µ;
8. { ˙µn|Bα : n∈ ˇω} n˜ao ´e ˇ5ˇε-fracamente relativamente compacto;
9. existe uma seq¨uˆencia(An)n∈ω ⊆ Bα dois a dois disjuntos tal que|| ˙µn||−
| ˙µn|(An) < 18ε|| ˙µn||, para todo n.
Ent˜ao existem δ1, δ2 > 0 tais que p ∀k ∈ ˇω∃n1, n2 > k
|R Kf¯ ′ G{α} ◦ πα+1d ˙µn1| > ˇδ1,| R Kf¯ ′ G{α} ◦ πα+1d ˙µn2| < ˇδ2 e | ˙fG{α}( ˙xn1|α)− ˙ fG{α}( ˙xn2|α)| < 2 k.
Demonstra¸c˜ao: Seja G um P -gen´erico sobre um modelo inicial M tal que p ∈ G. Em M[G], sejam µn = ( ˙µn)G e xn = ( ˙xn)G. Em M[Gα] tome
µ = ˙µG{α}.
Sabendo, pela hip´otese, que µn|Bα ∈ M[Gα] e xn|α ∈ M[Gα], para todo
n, trabalhemos em M[Gα]. Pelo Lema 5.6, existem δ1′ > δ′2 > 0 tais que
para todos p′ ≤ p(α) ∈ R(K α) e k ∈ ω, existem n1, n2 > k e q ≤ p′ tais que |R fqd µn1|Bα| > δ ′ 1, |R fqd µn2|Bα| < δ ′ 2, |µni|Bα|(KαrΩq) < δ′1−δ′ 2 3 , para
i = 1, 2. Pelo Lema 5.1 podemos assumir que diam(∆q)≤ min{| R fqd µn1|Bα| − δ ′ 1 ||µn1|Bα|| ,δ ′ 2− |R fqd µn2|Bα| ||µn2|Bα|| }. Portanto, para todo r≤ q, temos
| Z Ωq frd µn1|Bα| > | Z fqd µn1| − diam(∆q)· |µn1|Bα|(Ωq)≥ δ ′ 1
e | Z Ωq frd µn2| < | Z fqd µn2|Bα| + diam(∆q)· |µn2|Bα|(Ωq)≤ δ ′ 2.
Observamos que, como µn|Bα ∈ M[Gα], em M[G] temos
Z ΩM[G]∩K ˜ frd µn|Bα = Z ΩM∩K frd µn|Bα,
para todo Ω∈ Bα e portanto, em M[G],
(1) | Z Ωr∩Kα ˜ frd µn1|Bα| > δ ′ 1, (2) | Z Ωr∩Kα ˜ frd µn2|Bα| < δ ′ 2 e (3) |µni|Bα|(KαrΩr) < δ′ 1− δ2′ 3 ,
para i ∈ {1, 2}. Notemos que, aqui, ˜fr representa a extens˜ao cont´ınua de
fr em Kα em K M[G]
α , e n˜ao em K
M[Gα+1]
α , conforme a defini¸c˜ao anterior. Da
mesma forma, interpretamos fG{α} como uma fun¸c˜ao cont´ınua de ΩG{α} ∩
KM[G]α+1 em [0, 1].
As desigualdades (1) e (2) valem tamb´em para fG{α} no lugar de ˜fr, pois,
pela defini¸c˜ao de fG{α}, para todos x ∈ ΩG{α} e ε
′ > 0 existe r ≤ p(α) tal que
para todo s≤ r temos |fG(x)− fs(x)| < ε′.
De (3) e da hip´otese 5 conclu´ımos que|µni|(K r Ωr× [0, 1]
ω1rα
) < δ1′−δ2′
3 ,
para i∈ {1, 2}, e de (1) e (2) para fG e de (∗∗) conclu´ımos que
| Z K∩Ωr×[0,1]ω1rα fG′{α}◦ πα+1d µn1| > δ ′ 1 e | Z K∩Ωr×[0,1]ω1rα f′ G{α}◦ πα+1d µn2| < δ ′ 2. Logo | Z K f′ G{α}◦ πα+1d µn1| > δ ′ 1− δ′ 1− δ2′ 3
e | Z K fG′{α}◦ πα+1d µn2| < δ ′ 2+ δ′ 1− δ2′ 3 . Assim, tomando δ1 = δ1′ − δ′ 1−δ′2 3 e δ2 = δ ′ 2+ δ′ 1−δ2′ 3 temos que δ1 > δ2 > 0
satisfazem a tese do lema. A segunda parte do lema segue dos itens 5 e 6 do Lema 5.6.
Lema 5.11. Sejam a, b∈ Mαsubconjuntos disjuntos deω tais que{qn|α : n ∈ a}∩
{qn|α : n ∈ b} 6= ∅. Ent˜ao {qn : n∈ a} ∩ {qn: n ∈ b} 6= ∅, em Mω1.
Demonstra¸c˜ao: Observamos que, se {qn|β : n ∈ a} ∩ {qn|β : n ∈ b} = ∅,
para β um ordinal limite, existe γ < β em que a separa¸c˜ao acontece, no mo-
delo Mβ. Portanto, para mostrar o lema, ´e suficiente mostrar que{qn|(α + 1) : n ∈ a}∩
{qn|(α + 1) : n ∈ b} 6= ∅, e prosseguimos por indu¸c˜ao.
Sejam α < ω1 e a, b ⊆ ω como na hip´otese do lema. Trabalharemos em
Mα. Mostraremos ent˜ao que
R(Kα) { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇa} ∩ { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇb} 6= ∅, em ˙Kα+1.
Seja p∈ R(Kα). Mostraremos que existe q ≤ p tal que q { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇa}∩
{ ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇb} 6= ∅.
Usando que Kα ´e metriz´avel e passando a uma subseq¨uˆencia, assumimos
que existe z ∈ Kα tal que qn|α converge a z.
Consideramos dois casos. Se existe q ≤ p tal que z ∈ Ωq, usando
regularidade das medidas em Mq podemos assumir que z ∈ Ωq. Como
fG{α} ´e cont´ınua em ΩG{α}, e R(Kα) ˙Kα+1 = Gr( ˙fG{α}), temos que q
{ ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇa} ∩ { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇb} 6= ∅.
No segundo caso, para todo q ≤ p temos z /∈ Ωq . Sejam q ≤ p e k ∈ ω.
Tome V vizinhan¸ca aberta de z disjunta de Ωq. Como µ({qn|α}) n∈ω
−→ 0, para todo µ∈ Mq, podemos achar n1, n2 > k e abertos disjuntos U1, U2 ⊆ V tais
que
1. n1 ∈ a, n2 ∈ b;
2. qn1|α ∈ U1, qn2|α ∈ U2;
Tome Ωr = Ωq ∪ U1 ∪ U2, fr = fq, εr = εq, Mr = Mq e ∆r tal que
r ∈ R(Kα) e diam(∆r) ≤ 1k. Pelas condi¸c˜oes acima temos que r ∈ R(Kα),
r ≤ q e, para todo i ∈ {1, 2}, r ˇqni|α ∈ ΩG{α} e ˙fG{α}(ˇqni|α) < 1 k mostrando que p (ˇz, 0)∈ { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇa} ∩ { ˙qn|(α + 1) : n ∈ ˇb}. Lema 5.12. Se U, V s˜ao abertos disjuntos em Kω1 tais queU∩V 6= ∅, ent˜ao
U ∩ V n˜ao ´e unit´ario.
Demonstra¸c˜ao: Sejam ˙U e ˙V P -nomes para abertos disjuntos de Kω1 tais
que
P ˙U∩ ˙V 6= ∅. Para α < ω1, sejam ˙Uα e ˙Vα P -nomes tais que
P πα[ ˙U ] = ˙Uα, πα[ ˙V ] = ˙Vα.
Como Kω1 ´e separ´avel, se V ´e aberto de Kω1 existe V
′ uni˜ao enumer´avel
de abertos b´asicos tal que V = V′. Assim, podemos assumir que, em M[G],
( ˙U )G e ( ˙V )G s˜ao uni˜oes enumer´aveis de abertos b´asicos. Tomemos γ < ω1 e
p∈ P tais que
p ∀α ≥ γ( ˙U = π−1
α [ ˙Uα] e ˙V = πα−1[ ˙Vα]).
Seja q ≤ p. Seja ˙z um P -nome para um ponto de K tal que q ˙z ∈ ˙U ∩ ˙V .
Tome α > γ, supp(q) tal que q ˙z|α ∈ Mα, o que ´e poss´ıvel pelo Lema 5.9.
Pelo Lema 5.7, e como Kα ´e metriz´avel, existem P -nomes ˙a e ˙b para
subconjuntos disjuntos de ω tais que q ˙a, ˙b ∈ Mα e
q { ˙qn : n∈ ˙a} ⊆ ˙U, { ˙qn : n∈ ˙b} ⊆ ˙V , ˙qn|α n∈ ˙a
−→ ˙z|α, ˙qn|α n∈˙b
Seja r ≤ q definido por r(β) = q(β), se β 6= α, fr(α) a fun¸c˜ao identica-
mente nula, Ωr(α) =∅, Mr(α) ={δ˙z|α}, ∆r(α) =∅ e εr(α)= 1.
Em M[Gα], iremos denotar ( ˙z|α)Gα por z|α.
Em R(Kα), no modelo Mα, n˜ao existe s ≤ r(α) tal que z|α ∈ Ωs, pois
ter´ıamos δz|α(Ωs) = 1. Assim, analogamente `a demonstra¸c˜ao do Lema 5.11,
conclu´ımos que, em Mα,
r(α) ( ˙z|α, 0)∈ {ˇqn|(α + 1) : n ∈ ˇa} ∩ {ˇqn|(α + 1) : n ∈ ˇb},
onde a = ˙aGα e b = ˙bGα.
Retomando o ´ultimo par´agrafo da demonstra¸c˜ao do Lema 5.11, pode- mos modific´a-lo tomando fr tal que fr(qi|α) = 1, para i ∈ {n1, n2} e
fr|Kr(U1∪U2) = fq|Kr(U1∪U2), ao inv´es de fr = fq. Construindo assim r(α)∈
R(Kα) em M[Gα] teremos r(α) ˇqni|α ∈ ΩG{α} e|fG{α}(ˇqni|α) − 1| < 1 k e, portanto, r(α) ( ˙z|α, 1)∈ {ˇqn|(α + 1) : n ∈ ˇa} ∩ {ˇqn|(α + 1) : n ∈ ˇb}.
Conclu´ımos, ent˜ao, que r π−1
α+1[( ˙z|α, 0)]⊆ ˙U ∩ ˙V , πα+1−1 [( ˙z|α, 1)]⊆ ˙U ∩ ˙V
e, portanto,
r | ˙U ∩ ˙V | ≥ 2.
Lema 5.13. Todo operador em C(Kω1) ´e multiplicador fraco.
Demonstra¸c˜ao: Sejam p∈ P e G um P -gen´erico sobre um modelo inicial M. Trabalhemos em M[G]. Seja K = Kω1. Identificaremos M(K) com o
conjunto {µ ∈ M([0, 1]ω1) :|µ|([0, 1]ω1 rK) = 0}. Consideramos B = B
ω1.
Suponha que exista T : C(K) −→ C(K) que n˜ao ´e multiplicador fraco. Pelos Lemas 4.3 e 5.7 existem xn ∈ {qm : m ∈ ω} distintos tais que, para
toda fun¸c˜ao boreliana f : K −→ R limitada, {T∗(δ
xn) − fδxn : n ∈ ω}
f (xn) = T∗(δxn)({xn}), para todo n ∈ ω, e f(x) = 0 nos demais pontos de
K. Passando a uma subseq¨uˆencia assumimos que f (xn) converge a L ∈ R.
Pelo Corol´ario 4.6 existem seq¨uˆencias de medidas (µn)n∈ω e (λn)n∈ω tais
que (µn)n∈ω s˜ao duas a duas disjuntas, (λn)n∈ω converge fracamente para
λ ∈ M(K) e
T∗(δxn)− fδxn = µn+ λn.
Sejam ˙µn P -nomes para µn e ˙xn P -nomes para xn.
Considere C =T
n∈ωC˙µn, onde C˙µn ´e definido como no Lema 5.9. Pelos
Lemas 1.28 e 5.9 C ´e fechado e ilimitado em ω1. Tome α ∈ C tal que, para
todo n∈ ω, ||µn|Bα|| = ||µn||. Para mostrar que existe tal α, considere, para
cada par de naturais (n, m) um a(µn,m) ∈ B tal que |µn(a(µn,m))| > ||µn|| −
1 m.
Seja β(µn,m)tal que a(µn,m) ∈ Bβ(µn,m). Tomando β o supremo de todos β(µn,m)
achamos α > β, supp(p) pertencente a C.
Tamb´em podemos assumir que{µn|Bα : n∈ ω} n˜ao ´e fracamente relativa-
mente compacto em M(Kα), tomando α suficiente para conter uma seq¨uˆencia
Wn emB tal que |µn(Wn)| > ̺, para algum ̺ > 0. Da mesma forma, usando
a Proposi¸c˜ao 4.4 e que (µn)n∈ω s˜ao duas a duas disjuntas, assumimos que exis-
tem (An)n∈ω ⊆ Bα dois a dois disjuntos e tais que||µn||−|µn|(An) < 90̺||µn||.
Assumimos ainda que
T∗(δxn)|Bα({xn|α}) = T ∗(δ xn)({xn}), f δxn|Bα({xn|α}) = fδxn({xn}) e λn|Bα({xn|α}) = λn({xn}).
Para isso, usando regularidade das medidas, tomamos an,m, bn,m, cn,m ∈ B
contendo xn tais que
|T∗(δxn)(an,m)− T ∗(δ xn)({xn})| < 1 m, |fδxn(bn,m)− fδxn({xn})| < 1 m, |λn(cn,m)− λn({xn})| < 1 m
e tomamos α suficientemente grande para que Bα contenha todos an,m’s,
Observem que µn|Bα({xn|α}) n −→ 0, pois µn|Bα({xn|α}) = µn({xn}) = T ∗(δ xn)({xn}) − fδxn({xn}) + λn({xn}) = T∗(δxn)({xn}) − Z {xn} f δxn+ λn({xn}) = T∗(δxn)({xn}) − f(xn) + λn({xn}) = λn({xn}),
que converge a 0, pois, pelo Teorema de Dieudonn´e-Grothendieck, para toda seq¨uˆencia (vn)n∈ω de vizinhan¸cas duas a duas disjuntas de xn, λn(Vn) con-
verge a 0.
Trabalhando em Mα, como Kα tem peso enumer´avel, C(Kα) ´e separ´avel.
Logo, BC(Kα)∗, a bola unit´aria de C(Kα)
∗, com a topologia fraca∗´e metriz´avel
(Proposi¸c˜ao 3.24 de [Fa]). Como, pelo Teorema de Alaoglu, BC(Kα)∗ ´e com-
pacto na topologia fraca∗, podemos assumir, passando a uma subseq¨uˆencia,
que|µn|Bα| converge fracamente
∗, em M(K
α). Seja µ o limite fraco∗de|µn|Bα|.
Passando a uma subseq¨uˆencia assumimos que (xn|α)n∈ω ´e uma seq¨uˆencia
convergente.
Seja ε = ̺5. Tome q ∈ P definido por q(α) = (0, ∅, {µ}, ε, ∅) e q(β) = p(β) para β 6= α.
Tome r ≤ q de modo a satisfazer as hip´oteses do Lema 5.10. Defina fα = ˜fG′{α}◦ πα+1
e seja ˙fα um P -nome para fα. Como fα(xn) = fG{α}(xn|α), para todo n,
usando o Lema 5.10 obtemos δ1 > δ2 > 0 tais que
r ∀k∃n1, n2 > k| Z ˙ fαd ˙µn1| > δ1 > δ2 >| Z ˙ fαd ˙µn2|, ˙xn1, ˙xn2 ∈ ΩG{α}, | ˙fα( ˙xn1)− ˙fα( ˙xn2)| < 2 k.
Encontramos, ent˜ao, subconjuntos infinitos disjuntos aα, bα ∈ Mα[Gα] de
ω tais que |R fαd µn| > δ1, para n∈ aα, e |R fαd µn| < δ2, para n∈ bα, e
lim
n∈aα
fα(xn) = lim n∈bα
fα(xn).
Como λn converge fracamente a λ, R fαdλn n
−→ R fαdλ. Refinando aα e
bα podemos assumir que, para todo n∈ aα∪ bα,
| Z fαdλn− Z fαdλ| < δ1− δ2 8 .
Refinando novamente aαe bα, podemos assumir que, para todo n∈ aα∪bα,
|f(xn)− L| <
δ1 − δ2
8 ,
lembrando que L ´e o limite de f (xn). Como (xn|α+1)n∈aα e (xn|α+1)n∈bα
convergem a (z, L), onde z ´e o limite de (xn|α)n∈ω, temos que
{xn|α+1 : n∈ aα} ∩ {xn|α+1 : n∈ bα} 6= ∅
em Kα+1. Como aα, bα ∈ Mα[Gα] = Mα+1 e {xn : n ∈ ω} ⊆ {qm : m ∈ ω},
pelo Lema 5.11 temos
{xn : n∈ aα} ∩ {xn: n ∈ bα} 6= ∅,
em K.
Mas, usando que T (fα)(xn) = R fαd T∗({δxn}) e fδxn(fα) = f (xn), to-
mando U ={x ∈ R : |x − L − Z fαdλ| > δ1− δ1− δ2 4 } e V ={x ∈ R : |x − L − Z fαdλ| < δ2+ δ1− δ2 4 }
temos que U e V s˜ao abertos disjuntos de R e T (fα)(xn) = Z fαd µn+ f (xn) + Z fαdλn∈ U para n ∈ aα e T (fα)(xn) = Z fαd µn+ f (xn) + Z fαdλn∈ V
para n ∈ bα, o que daria, pela continuidade de T (fα), que {xn : n∈ aα} e
{xn : n∈ bα} s˜ao disjuntos, chegando numa contradi¸c˜ao.
Teorema 5.14. ´E consistente com ZF C que existe um espa¸co de Banach C(K) de densidade ω1 < 2ω indecompon´ıvel tal que todo operador em C(K)
Demonstra¸c˜ao: Suponha ¬CH no modelo inicial M. Como P ´e c.c.c., P preserva cardinais e, como (2ω)M ≤ (2ω)M[G], ¬CH ´e preservado em M[G].
Por ser um subespa¸co de [0, 1]ω1, K
ω1 tem peso ω1 em M[G] e, portanto,
a densidade de C(Kω1) ´e ω1 < 2
ω. Dos Lemas 5.13, 5.12 e 1.10 e do Te-
orema 1.11 segue que todo operador em C(Kω1) ´e da forma gI + S, para
g ∈ C(Kω1) e S fracamente compacto. Pela conexidade de Kω1 (Lema 5.8) e
Apˆendice A
Representa¸c˜ao de Stone
Nos Cap´ıtulos 3 e 4 constru´ımos espa¸cos compactos 0-dimensionais como espa¸cos de Stone de ´algebras de Boole. Neste apˆendice iremos descrever a dualidade de Stone, que associa biunivocamente ´algebras de Boole com espa¸cos booleanos, isto ´e, os espa¸cos compactos totalmente desconexos.
A.1
Algebras de Boole´
Defini¸c˜ao A.1. Uma ´algebra de Boole ´e uma estruturaA = (A, ∧, ∨, −, 0, 1), onde ∧ e ∨ s˜ao opera¸c˜oes bin´arias em A, − ´e uma opera¸c˜ao un´aria e 0 e 1 s˜ao dois elementos distintos de A, que satisfaz, para todo x, y, z ∈ A:
B1 x∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z; (associatividade) B1′ x∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z; B2 x∨ y = y ∨ x; (comutatividade) B2′ x∧ y = y ∧ x; B3 x∨ (x ∧ y) = x; (absor¸c˜ao) B3′ x∧ (x ∨ y) = x; B4 x∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z); (distributividade) B4′ x∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z); B5 x∨ (−x) = 1; (complementa¸c˜ao) 87
B5′ x∧ (−x) = 0.
Dada uma ´algebra de Boole A = (A, ∧, ∨, −, 0, 1), chamamos o conjunto A de dom´ınio de A. Por abuso de nota¸c˜ao, eventualmente denotaremos a ´algebraA pelo seu dom´ınio A.
Defini¸c˜ao A.2. Dadas duas ´algebras de Boole A e B, de dom´ınios A e B, respectivamente, um homomorfismo entre A e B ´e uma fun¸c˜ao h : A −→ B satisfazendo
h(0) = 0, h(1) = 1 e, para todo x, y ∈ A,
h(x∧ y) = h(x) ∧ h(y), h(x ∨ y) = h(x) ∨ h(y), h(−x) = −h(x). Um isomorfismo ´e um homomorfismo bijetor. Denotamos porA ∼=B quando A ´e isomorfo a B.
Defini¸c˜ao A.3. Numa ´algebra de Boole A, definimos a rela¸c˜ao≤ por x ≤ y se e somente se x = x∨ y, para todo x, y ∈ A.
´
Algebras de Conjuntos
Defini¸c˜ao A.4. Uma ´algebra de conjuntos sobre X, que tamb´em chamare- mos de corpo de conjuntos sobre X ´e uma fam´ılia A ⊆ P(X) que cont´em X e ´e fechado por intersec¸c˜oes finitas e complementos, isto ´e:
(a) X ∈ A;
(b) Se Y, Z ∈ A ent˜ao Y ∩ Z ∈ A; (c) Se Y ∈ A ent˜ao X r Y ∈ A.
Dessas trˆes propriedades, deduzimos as seguintes: (d) ∅ ∈ A;
(e) Se Y, Z ∈ A ent˜ao Y ∪ Z ∈ A.
O pr´oximo lema demonstra-se atrav´es de uma simples verifica¸c˜ao dos axiomas de ´algebras de Boole.
Lema A.5. Uma ´algebra de conjuntos sobre X ´e uma ´algebra de Boole, onde 0 = ∅, 1 = X e as opera¸c˜oes ∧, ∨ e − s˜ao, respectivamente, intersec¸c˜ao, uni˜ao e complemento em rela¸c˜ao a X.
A ordem em uma ´algebra de conjuntos, conforme a Defini¸c˜ao A.3, coincide com a ordem da inclus˜ao. Veremos, pela dualidade de Stone, que toda ´algebra de Boole ´e isomorfa a uma ´algebra de conjuntos.