de densidade menor que cont´ınuo com
poucos operadores
Usando uma itera¸c˜ao de forcing da forma R(A) como na se¸c˜ao anterior, nesta se¸c˜ao iremos construir consistentemente um espa¸co C(K) com poucos operadores e densidade menor que cont´ınuo.
Seja G um R(A)-gen´erico sobre o modelo inicial M. Em M[G] seja g = S{p−1 : ∃p1 ∈ A∃µ1, ..., µn ∈ M(S(A))∃ε > 0((p−1, p1; µ1, ..., µn; ε) ∈ G)}.
Defina AG a ´algebra gerada por A∪ {g} e seja ˙AG um R(A)-nome para AG.
Considere P a itera¸c˜ao com suportes finitos (Pα)α<ω1 definidos por Pα
˙
Qα = R(Aα), onde A0 ´e a ´algebra dos subconjuntos finitos e os cofinitos de
ω, Aα =
S
β<αAβ, se α ´e um ordinal limite, e Aα+1 ´e a ´algebra gerada por
Aα∪ {gα}, onde e G{α} ´e um R(Aα)-gen´erico sobre M[Gα] e gα ´e definido
por [
{p−1 :∃p1 ∈ A∃µ1, ..., µn ∈ M(S(Aα))∃ε > 0((p−1, p1; µ1, ..., µn; ε)∈ G{α})}.
O modelo M[Gα] tamb´em ser´a denotado por Mα.
Lema 4.8. Para qualquer ´algebra enumer´avel A em P(ω) o forcing R(A) ´e c.c.c. e, portanto, o forcing P ´e c.c.c.
Demonstra¸c˜ao: Como A×A× Q ´e enumer´avel, numa fam´ılia n˜ao-enumer´avel de condi¸c˜oes de R(A) existem p′e p′′distintos tais que p′ = (p
−1, p1; µ1, ..., µn; ε)
e p′′ = (p
−1, p1; ν1, ..., νm; ε). Tomando q = (p−1, p1; µ1, ..., µn, ν1, ...νm; ε) te-
mos que q ∈ R(A) e q ≤ p′, p′′.
Por ser uma itera¸c˜ao com suportes finitos de forcings c.c.c., P tamb´em ´e c.c.c.
Em M[G] definimos Aω1 =
S
α<ω1Aα.
Lema 4.9. Sejam ˙µ um P -nome para uma medida em Aω1 e seja ˙z um P -
nome para um ponto de S(Aω1). Ent˜ao os seguintes conjuntos s˜ao fechados
ilimitados em ω1.
a) C˙µ ={α < ω1 : P ˙µ|A˙α ∈ Mα e | ˙µ|| ˙Aα =| ˙µ| ˙Aα|};
b) C˙z ={α < ω1 : P ˙z∩ ˙Aα ∈ Mα}
Demonstra¸c˜ao: Tome α0 ∈ ω1. Construiremos, por indu¸c˜ao, uma seq¨uˆencia
crescente (αn)n∈ω em ω1 tal que P for¸ca as seguintes senten¸cas:
e
(∗∗) ∀a ∈ ˙Aαn(| ˙µ|(a) = | ˙µ|Aαn+1|(a)).
Trabalhando em M[G], para G um P -gen´erico sobre um modelo inicial M, dado n, encontramos αn+1 > αn tal que ˙µG ∈ Mαn, pois Aαn ∈ M[Gα] ´e
enumer´avel e ˙µG|Aαn pode ser identificado como uma seq¨uˆencia enumer´avel de
seq¨uˆencias enumer´aveis de naturais. Da mesma forma, podemos tomar αn+1
suficientemente grande para conter todos os elementos de Aω1 que decidem
o valor de | ˙µG|(a), para a ∈ Aα, uma vez que | ˙µG|(a) ´e o supremo de somas
finitas de medidas de borelianos disjuntos, e cada boreliano em S(Aω1) pode
ser aproximado por abertos-fechados.
Portanto, para cada p ∈ P achamos q ≤ p que for¸ca (∗) e (∗∗), para algum αn+1. Isto ´e, o conjunto D formado pelas condi¸c˜oes p ∈ P tais que,
para algum β < ω1,
p β = min{β < ω1 : ˙µ|Aαn ∈ Mβ ∧ ∀a ∈ ˙Aαn(| ˙µ|(a) = | ˙µ|β|(a))},
´e denso em P . Para cada p ∈ D definimos βp como o menor β tal que p
for¸ca (∗) e (∗∗) para β no lugar de αn+1. Observe que, se βp 6= βq ent˜ao p e
q s˜ao incompat´ıveis. Como P ´e c.c.c. temos que {βp : p∈ D} ´e enumer´avel.
Como D ´e denso em P , tomando αn+1 = sup{βp : p∈ D} teremos (∗) e (∗∗)
satisfeitos.
Tomando α = sup{αn: n∈ ω}, temos que α ∈ C˙µ, provando que C˙µ n˜ao
´e limitado. Para mostrar que C˙µ´e fechado o argumento ´e an´alogo. Com isso
conclu´ımos item a). O item b) ´e an´alogo.
Lema 4.10. Sejam α < ω1, ε > 0 racional e p ∈ P tais que p(α) =
( ˙pα
−1, ˙pα1; ˙µ, ˙ν1, ..., ˙νm; ˇε). Sejam ( ˙µn)n∈ω e ( ˙xn)n∈ω seq¨uˆencias de P -nomes
tais que p for¸ca:
1. ˙µn ∈ M(S( ˙Aω1)); 2. ˙xn∈ S( ˙Aω1); 3. µn|A˙α ∈ Mα; 4. ˙xn∩ ˙Aα ∈ Mα; 5. | ˙µn| ˙A α| = | ˙µn|| ˙Aα;
6. ˙µn|A˙α({ ˙xn∩ ˙Aα}) n
−→ 0;
7. | ˙µn| ˙Aα| converge fracamente∗ para ˙µ;
8. { ˙µn|A˙α : n ∈ ˇω} n˜ao ´e ˇ5ˇε-fracamente relativamente compacto;
9. existe (an)n∈ω ⊆ ˙Aα dois a dois disjuntos tal que || ˙µn|| − | ˙µn|(a∗n) < ε
18|| ˙µn||.
Ent˜ao existem δ1, δ2 > 0 tais que p ∀k ∈ ˇω∃n1, n2 > k| ˙µn1( ˙gα)| >
ˇ
δ1, | ˙µn2( ˙gα)| < δ2 e ˙gα ∈ ˙xn1 ∩ ˙xn2 ou − ˙gα ∈ ˙xn1 ∩ ˙xn2.
Demonstra¸c˜ao: Seja G um P -gen´erico sobre um modelo inicial M tal que p ∈ G. Trabalhemos em M[Gα]. Sejam µn = ( ˙µn)Gα e xn = ( ˙xn)Gα. Pelas
hip´oteses deste lema podemos aplicar o Lema 4.7, obtendo δ′
1 > δ2′ > 0
tais que para todo q ≤ p e todo k ∈ ω, existem n1, n2 > k e r ≤ q tais
que |µn1|Aα(r ∗ −1)| > δ1′, |µn2|Aα(r ∗ −1)| < δ′2 e |µni|Aα|((−(r−1∪ r1)) ∗) < δ1′−δ2′ 3 ,
para i = 1, 2. Da genericidade de Gα conclu´ımos que, para cada k, existem
n1, n2 > k e r ≤ p como acima tais que r−1 ⊆ gα e gα∩ r1 =∅. Da hip´otese
5 do lema temos |µni|((−(r−1∪ r1))
∗) < δ′1−δ2′
3 , para i = 1, 2. Portanto, para
todo k ∈ ω, existem n1, n2 > k tais que
|µn1(gα)| > δ ′ 1 − δ′ 1− δ2′ 3 e |µn2(gα)| < δ ′ 2+ δ′ 1 − δ2′ 3 . Tomamos δ1 = δ1′ − δ′ 1−δ′2 3 e δ2 = δ ′ 2 + δ′ 1−δ′2 3 , e obtemos que δ1 > δ2 > 0
satisfazem a tese do lema. A segunda parte do lema segue do item 5 do
Lema 4.7, uma vez que q−1 ≤ g e q1 ≤ −g.
Lema 4.11. Seja α < ω1. Sejama, b∈ Mα subconjuntos disjuntos deω tais
que {n∗∩ A
α : n∈ a} ∩ {n∗∩ Aα : n∈ b} 6= ∅, em Mα, tomando os fechos
em S(Aα). Ent˜ao {n∗∩ Aω1 : n ∈ a} ∩ {n∗∩ Aω1 : n∈ b} 6= ∅, em M[G],
Demonstra¸c˜ao: Observamos que, se{n∗∩ A
β : n ∈ a}∩{n∗∩ Aβ : n∈ b} =
∅, em Mβ, para β um ordinal limite, existem ¯a, ¯b ∈ Aβ disjuntos tais que
a ⊆ ¯a e b ⊆ ¯b. Logo existe γ < β em que a separa¸c˜ao acontece. Por- tanto, para mostrar o lema, ´e suficiente mostrar que {n∗∩ A
α+1 : n∈ a} ∩
{xn∩ Aα+1 : n ∈ b} 6= ∅, e prosseguimos por indu¸c˜ao. Para isso, mostrare-
mos que, se A ´e uma sub´algebra enumer´avel de P(ω) contendo os unit´arios de ω, e a, b⊆ ω s˜ao como na hip´otese do lema, ent˜ao
R(A) {n∗∩ ˙A
G: n∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙AG : n∈ ˇb} 6= ∅, em S( ˙AG).
Seja p = (p−1, p1; µ1, ..., µm; ε)∈ R(A). Mostraremos que existe q ≤ p tal
que q {n∗∩ ˙A
G : n∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙AG : n∈ ˇb} 6= ∅.
Das defini¸c˜oes de convergˆencia e do espa¸co de Stone de A ´e f´acil verificar que, para todo M ⊆ ω e todo v ∈ S(A),
n∗∩ An∈M−→ v ⇔ v = {c ∈ A : |M r c| < ∞}
Como A ´e enumer´avel, S(A) ´e metriz´avel. Logo, pela hip´otese, existem u ∈ S(A) e subconjuntos infinitos a′ ⊆ a e b′ ⊆ b tais que n∗ ∩ A −→ u en∈a′
n∗∩ A−→ u. Isto ´e, u = {c ∈ A : an∈b′ ′rc ´e finito} = {c ∈ A : b′rc ´e finito}.
Consideramos trˆes casos. Se existe q ≤ p tal que q−1 ∈ u, temos que
a′rq
−1 e b′rq−1 s˜ao finitos. Logo
q |ˇa′r ˙g| < ∞ e, para todo a1 ∈ u e a2 ∈ A,
q |ˇa′r(ˇa1˙g∪ ˇa2)| ≤ |(ˇa′raˇ1)∪ (ˇa′ r ˙g)| < ∞,
de onde temos que
q n∗∩ ˙AG n∈ˇa′
−→< ˇu ∪ { ˙g} >,
onde < u∪ {g} > ´e o ultrafiltro em AG gerado por u e g. Repetindo o
argumento temos q n∗∩ ˙AG n∈ˇb′ −→< ˇu ∪ { ˙g} >, concluindo que q {n∗∩ ˙A G: n ∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙AG : n∈ ˇb} 6= ∅.
No segundo caso, existe q ≤ p tal que q1 ∈ u. Analogamente ao caso
anterior mostramos que
q n∗∩ ˙AG n∈ˇa′∪ ˇb′
−→ < ˇu ∪ { ˙g} > .
Suponhamos que n˜ao acontecem os casos anteriores. Seja q ≤ p. Como u /∈ (q−1∪q1)∗, temos que a′r(q−1∪q1) e b′r(q−1∪q1) s˜ao infinitos. Usando
isso e que µi({n∗}) n∈ω
−→ 0, para todo i ∈ {1, ..., m}, para cada k ∈ ω fixamos n0,k, n1,k> k tais que 1. n0,k∈ a′, n1,k∈ b′; 2. n0,k, n1,k∈ (q/ −1∪ q1)∗; 3. µi({n0,k, n1,k}∗) < ε−µi((q−1∪q1) ∗) 2k+1 , para todo i∈ {1, ..., m}.
Tome r = (q−1∪ {ni,k: (i, k)∈ {0, 1} × ω}, q1; µ1, ..., µm; ε). As condi¸c˜oes
2 e 3 acima garantem que r ∈ R(A). Tomando a′′ = {n
0,k : k ∈ ω} e
b′′ ={n
1,k: k ∈ ω}, repetimos os argumentos anteriores para mostrar que
r n∗∩ ˙AG n∈ˇa′′∪ˇb′′ −→ < ˇu ∪ { ˙g} >, isto ´e, r {n∗∩ ˙A G: n∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙AG : n∈ ˇb} 6= ∅. Lema 4.12. Se U, V s˜ao abertos em S(Aω1) tais que U∩V 6= ∅, ent˜ao U ∩V
n˜ao ´e unit´ario.
Demonstra¸c˜ao: Sejam ˙U e ˙V P -nomes para abertos disjuntos de S(Aω1)
tais que
P ˙U∩ ˙V 6= ∅. Para α < ω1, sejam ˙Uα e ˙Vα P -nomes tais que
P πα[ ˙U ] = ˙Uα, πα[ ˙V ] = ˙Vα.
Em M[G], como Aω1 ⊆ P(ω), Aω1 ´e c.c.c. Logo, se V ´e aberto de S(Aω1),
modelo inicial podemos assumir que ( ˙U )G e ( ˙V )G s˜ao P -nomes para uni˜oes
enumer´aveis de abertos b´asicos. Tomemos γ < ω1 e p∈ P tais que
p ∀α ≥ γ( ˙U = π−1
α [ ˙Uα] e ˙V = πα−1[ ˙Vα]).
Seja q ≤ p. Seja ˙z um P -nome para um ponto de S(Aω1) tal que
q ˙z ∈ ˙U ∩ ˙V .
Pelo Lema 4.9, existe α > γ, supp(q) tal que P ˙z∩ ˙Aα ∈ Mα. Tome ˙y
um P -nome tal que P ˙y = ˙z ∩ ˙Aα. Como P “{n∗ ∩ ˙Aω1 : n ∈ ω} ´e
denso em S( ˙Aω1)”, existem P -nomes ˙a e ˙b para subconjuntos disjuntos de ω
pertencentes a Mα tais que
q ∀n ∈ ˙a(n∗ ∈ ˙U), ∀n ∈ ˙b(n∗ ∈ ˙V ), n∗∩ ˙A α n∈ ˙a −→ ˙y, n∗ ∩ ˙A α n∈˙b → ˙y. Seja r≤ q definido por r(β) = q(β), se β 6= α, e r(α) = (0, 0; δ˙y; 1).
Trabalhemos em Mα. Sejam a = ˙aGα, b = ˙bGα e y = ˙yGα, para um P -
gen´erico G. Em R(Aα), n˜ao existe s ≤ r(α) tal que s−1 ∈ z ou s1 ∈ z, pois
ter´ıamos |δy|((s−1∪ s1)∗) = 1, contradizendo a condi¸c˜ao do forcing. Assim,
analogamente `a demonstra¸c˜ao do Lema 4.11, conclu´ımos que existem a′ ⊆ a
e b′ ⊆ b infinitos tais que
r(α) n∗∩ ˙Aα+1 n∈ ˙a′∪˙b′
−→ < ˇy ∪ { ˙gα} >
e, repetindo o argumento em 4.11 mas obtendo a′′, b′′⊆ q
1, mostramos que r(α) n∗∩ ˙Aα+1 n∈ ˙a ′′∪˙b′′ −→ < ˇy ∪ {− ˙gα} >, de onde temos r(α) < ˇy∪ { ˙gα} >∈ {n∗∩ ˙Aα+1 : n ∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙Aα+1 : n∈ ˇb} e r(α) < ˇy∪ {− ˙gα} >∈ {n∗∩ ˙Aα+1 : n∈ ˇa} ∩ {n∗∩ ˙Aα+1 : n∈ ˇb},
concluindo que, no modelo inicial M,
r π−1α+1[< ˇy∪ { ˙gα} >] ⊆ ˙U ∩ ˙V , π−1α+1[< ˇy∪ {− ˙gα} >] ⊆ ˙U ∩ ˙V ,
ou seja,
r | ˙U ∩ ˙V | ≥ 2.
Lema 4.13. Todo operador em C(S(Aω1)) ´e multiplicador fraco.
Demonstra¸c˜ao: Trabalhemos em M[G]. Denotaremos S(Aω1) por K. Po-
demos identificar cada medida como uma fun¸c˜ao de Aω1 em R.
Suponha que exista T : C(K) −→ C(K) que n˜ao ´e multiplicador fraco. Seja D ={m∗∩ A
ω1 : m ∈ ω}. Temos que D ´e denso em K. Pelo Lema 4.3
existem xn ∈ D distintos tais que, para toda f : K −→ R limitada, T∗(δxn)−
f δxn formam um conjunto n˜ao relativamente fracamente compacto. Tome
f : K −→ R definida por f(xn) = T∗(δxn)({xn}), para todo n ∈ ω, e
f (x) = 0 nos demais pontos de K. Pelo Corol´ario 4.6, passando a uma subseq¨uˆencia, podemos assumir que existem medidas (µn)n∈ω duas a duas
disjuntas e uma seq¨uˆencia de medidas (λn)n∈ω fracamente convergente para
λ tais que T∗(δ
xn)− fδxn = µn+ λn.
Considere C =T
n∈ωC˙µn, onde ˙µn s˜ao P -nomes para µn e C˙µn ´e definido
como em 4.9. Pelos Lemas 4.9 e 1.25 C ´e fechado ilimitado em ω1. Tome
α ∈ C.
Tamb´em podemos assumir que {µn|Aα : n ∈ ω} n˜ao ´e fracamente relati-
vamente compacto, tomando α suficiente para conter uma seq¨uˆencia a′ n em
Aω1 tal que |µn(a
′
n)| > ̺, para algum ̺ > 0. Do mesmo modo, usando a
Proposi¸c˜ao 4.4, assumimos que existe uma seq¨uˆencia (an)n∈ω de elementos
dois a dois disjuntos de Aαtal que||µn||−|µn|(a∗n) < ̺
90. Al´em disso, veremos
que podemos escolher α de modo que
T∗(δxn)|Aα({xn∩ Aα}) = T ∗(δ xn)({xn}), f δxn|Aα({xn∩ Aα}) = fδxn({xn}) e λn|Aα({xn∩ Aα}) = λn({xn})
Para isso, usando regularidade das medidas, tomamos an,m, bn,m, cn,m ∈ xn
tais que |T∗(δxn)(a ∗ n,m)− T∗(δxn)({xn})| < 1 m, |fδxn(b ∗ n,m)− fδxn({xn})| < 1 m, |λn(c∗n,m)− λn({xn})| < 1 m
e tomamos α suficientemente grande para conter todos an,m’s, bn,m’s e cn,m’s.
Vejamos que µn|Aα({xn∩ Aα}) n −→ 0. De fato, µn|Aα({xn∩ Aα}) = µn({xn}) = T ∗(δ xn){xn} − fδxn({xn}) + λn({xn}).
Pelo Teorema de Dieudonn´e-Grothendieck, aplicado a vizinhan¸cas de xn de
medidas pequenas em rela¸c˜ao a λn, temos que λn({xn}) n −→ 0. Por outro lado temos T∗(δxn){xn} − fδxn({xn}) = T ∗(δ xn){xn} − Z {xn} f δxn = T∗(δxn){xn} − f(xn) = T ∗(δ xn){xn} − T ∗(δ xn){xn} = 0.
Trabalhando em Mα, como Aα´e enumer´avel, S(Aα) tem peso enumer´avel
e, portanto, C(S(Aα)) ´e separ´avel. Logo, BX∗, a bola unit´aria de X∗, com
a topologia fraca∗ ´e metriz´avel (Proposi¸c˜ao 3.24 de [Fa]). Como, pelo Te-
orema de Alaoglu, BX∗ ´e compacto na topologia fraca∗ (Teorema 3.21 de
[Fa]), podemos assumir, passando a uma subseq¨uˆencia, que |µn|Aα| converge
fracamente∗, em M(S(A
α)). Seja µ o limite fraco∗ de |µn|Aα|.
Sejam ˙µn P -nomes para µn e ˙xn P -nomes para xn.
Passando a uma subseq¨uˆencia assumimos que (xn∩Aα)n∈ω´e uma seq¨uˆencia
convergente.
Seja ε = ̺5 Tome q ∈ P definido por q(α) = (∅, ∅, µ, ε) e q(β) = p(β) para β 6= α.
Tome r ≤ q de modo a satisfazer as hip´oteses do Lema 4.10. Usando o Lema 4.10 obtemos δ1 > δ2 > 0 tais que
r ∀k∃n1, n2 > k| ˙µn1(gα)| > δ1 > δ2 >| ˙µn2(gα)|, gα ∈ ˙xn1 ∩ ˙xn2
ou
r ∀k∃n1, n2 > k| ˙µn1(g)| > δ1 > δ2 >| ˙µn2(gα)|, −gα ∈ ˙xn1 ∩ ˙xn2.
Encontramos, ent˜ao, subconjuntos infinitos disjuntos aα, bα ∈ Mα[Gα] de
ω tais que |µn(gα)| > δ1, para n ∈ aα, e |µn(gα)| < δ2, para n ∈ bα, e,
ou gα ∈ xn, para todo n ∈ aα ∪ bα, ou −gα ∈ xn, para todo n ∈ aα∪ bα.
Refinando aα e bα, podemos assumir que existe L ∈ R tal que, para todo
n∈ aα∪ bα,
|f(xn)− λ| <
δ1− δ2
Como convergˆencia fraca implica convergˆencia fraca∗, tamb´em assumimos que |λn(g∗α)− λ(g ∗ α)| < δ1− δ2 8 ,
para todo n ∈ aα∪ bα. Como (xn∩ Aα+1)n∈aα e (xn∩ Aα+1)n∈bα convergem
a < z ∪ {gα} >, onde z ´e o limite de (xn∩ Aα)n∈ω, temos
{xn∩ Aα+1 : n∈ aα} ∩ {xn∩ Aα+1 : n∈ bα} 6= ∅
em S(Aα+1). Como aα, bα ∈ Mα[Gα] = Mα+1, pelo Lema 4.11 temos
{xn : n∈ aα} ∩ {xn: n ∈ bα} 6= ∅,
em K. Mas, usando que T (χg∗
α)(xn) = T ∗({δ xn})(g ∗ α) e f δxn(χg∗α) = f (xn) temos T (χg∗ α)(xn) = µn(gα)+f (xn)+λn(g ∗ α)∈ {x ∈ R : |x−L−λ(g∗α)| > δ1− δ1 − δ2 4 }, para n ∈ aα e T (χg∗ α)(xn) = µn(gα)+f (xn)+λn(g ∗ α)∈ {x ∈ R : |x−L−λ(g∗α)| < δ2+ δ1− δ2 4 }, para n∈ bα, de onde temos, pela continuidade de T (χg∗
α), que {xn : n∈ aα}
e {xn: n ∈ bα} s˜ao disjuntos, chegando numa contradi¸c˜ao.
Teorema 4.14. ´E consistente com ZF C que existe um espa¸co de Banach C(K) de densidade ω1 < 2ω tal que todo operador em C(K) ´e da forma
gI + S, onde g ∈ C(K) e S ´e fracamente compacto.
Demonstra¸c˜ao: Suponha ¬CH no modelo inicial M. Como P ´e c.c.c. (Lema 4.8), P preserva cardinais e, como (2ω)M ≤ (2ω)M[G], ¬CH ´e pre-
servado em M[G]. Por ser uma uni˜ao de uma fam´ılia de cardinalidade ω1
de ´algebras enumer´aveis, Aω1 tem cardinalidade ω1 em M[G] e, portanto, a
densidade de C(K) ´e igual ao peso de K, que ´e ω1 < 2ω. Dos Lema 4.13,
4.12 e 1.10 e do Teorema 1.11 segue que todo operador em C(K) ´e da forma
Cap´ıtulo 5
Um espa¸co C(K)
indecompon´ıvel de densidade
ω
1
< 2
ω
Adaptando a constru¸c˜ao do Cap´ıtulo 4 para o caso conexo, obtemos um espa¸co C(K) indecompon´ıvel de densidade menor que cont´ınuo. Como no Cap´ıtulo 4, o resultado aqui obtido ´e independente de ZFC +¬CH, uma vez que o axioma de Martin implica que todo C(K) de densidade menor que cont´ınuo n˜ao ´e de Grothendieck e, portanto, cont´em c0 complementado.
Com isso respondemos parcialmente sobre as poss´ıveis densidades de espa¸cos de Banach C(K) indecompon´ıveis, embora muito pouco ainda sa- bemos sobre isso. Vimos que C(K) separ´avel de dimens˜ao infinita n˜ao pode ser indecompon´ıvel, pois teria c0 complementado. Os espa¸cos C(K) inde-
compon´ıveis constru´ıdos em [Ko2] e [Pl] tˆem densidade 2ω. Por resultados
de [Fr] sabemos que ´e consistente, mesmo assumindo ¬CH, que todo espa¸co C(K) de densidade menor que cont´ınuo ´e decompon´ıvel (vide introdu¸c˜ao do Cap´ıtulo 4.) Mostramos, neste cap´ıtulo, que ´e consistente a existˆencia de C(K) indecompon´ıvel de densidade ω1 < 2ω.
Em [Ko3] foi mostrado que existe consistentemente C(K) de densidade maior que cont´ınuo com poucos operadores. Por´em ainda n˜ao sabemos se existe C(K) indecompon´ıvel de densidade maior que cont´ınuo. Esse pro- blema permanece em aberto mesmo para espa¸cos de Banach em geral. Outro problema em aberto ´e se existe um limitante superior para a densidade de espa¸cos de Banach indecompon´ıveis (da forma C(K) ou geral).
5.1
Constru¸c˜ao do forcing
Sejam α < ω1 e K ⊆ [0, 1]α compacto sem pontos isolados. Seja Bα a base
de abertos de [0, 1]α formada pelas uni˜oes finitas de abertos elementares da
forma Πβ<αIβ, onde Iβ´e um intervalo aberto, em [0, 1], de extremos racionais
e {β < α : Iβ 6= [0, 1]} ´e finito. Notamos que Bα ´e uma base de abertos de
[0, 1]αfechada por uni˜oes e intersec¸c˜oes finitas. Conforme vimos na Se¸c˜ao 1.1,
uma medida em [0, 1]α pode ser representada por uma fun¸c˜ao de
Bα em R.
Uma medida em K pode ser representada por uma medida µ em [0, 1]α tal
que|µ|([0, 1]αrK) = 0.
Se α < β, interpretamos Bα como subconjunto de Bβ, identificando V ∈
Bα com V × [0, 1]βrα ∈ Bβ. Assim, se µ ´e uma medida em [0, 1]β e ν ´e uma
medida [0, 1]α, dizer que µ|
Bα = ν significa que µ(π
−1
α [E]) = ν(E), para todo
E ⊆ [0, 1]α boreliano.
Definimos um forcing R(K) formado pelas condi¸c˜oes p = (fp, Ωp, Mp, εp, ∆p)
tais que
A.1. fp : K −→ [0, 1] cont´ınua;
A.2. Ωp ∈ Bαr{[0, 1]α};
A.3. supp(fp)⊆ K ∩ Ωp;
A.4. Mp ´e um conjunto finito de medidas positivas em K;
A.5. εp ∈ Q ∩ (0, ∞);
A.6. µ(Ωp) < εp, para todo µ∈ Mp;
A.7. ∆p ∈ Bα+1;
A.8. πα[∆p] = Ωp;
A.9. Gr(fp|Ωp∩K)⊆ ∆p.
A ordem ≤ em R(K) ´e dada por q ≤ p se, e somente se, B.1. Ωq ⊇ Ωp;
B.2. Mq ⊇ Mp;
B.4. ∆q∩ (Ωp× [0, 1]) ⊆ ∆p.
Dado p∈ R(K) definimos
diam(∆p) = sup{|y1− y2| : ∃x ∈ Ωp({(x, y1), (x, y2)} ⊆ ∆p)},
quando ∆p 6= ∅. Caso contr´ario convencionamos que diam(∆p) = 0. ´E f´acil
verificar que, para toda condi¸c˜ao p ∈ R(K) e todos q, r ≤ p, temos (∗) ∀x ∈ Ωp ∩ K |fq(x)− fr(x)| ≤ diam(∆p).
Lema 5.1. Dados p ∈ R(K) e ε > 0 existe q ≤ p tal que fq = fp, Ωq = Ωp,
Mq = Mp, εq = εp e diam(∆q)≤ ε.
Demonstra¸c˜ao: Usando o Teorema de Tietze, encontramos f : [0, 1]α
−→ [0, 1] que estende continuamente fp. Seja L o gr´afico de f . Usando a continui-
dade de f , para cada x ∈ L considere Vx ∈ Bα um aberto elementar contendo
x tal que |f(y) − f(x)| < ε
8, para todo y ∈ Vx. Tome Ix um intervalo aberto
em [0, 1] de extremos racionais tal que (f (x)− ε 8, f (x) + ε 8)∩ [0, 1] ⊆ Ix ⊆ (f(x) − ε 4, f (x) + ε 4)∩ [0, 1]. Considere Wx = Vx× Ix ∈ Bα+1. Por constru¸c˜ao, (y, f (y))∈ Wx, para todo
y ∈ Vx. Logo,{Wx: x∈ [0, 1]α} ´e um recobrimento de L. Como L ´e fechado
em [0, 1]α+1, por ser gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua, e, portanto, ´e compacto,
podemos tomar F ⊆ [0, 1]α finito tal que L ⊆ ∪{W
x : x ∈ F }. Defina
∆q = ∆p∩ (∪{Wx : x ∈ F }). Como L ⊆ ∪{Wx : x ∈ F }, a condi¸c˜ao A.9 do
forcing ´e satisfeita. Pela constru¸c˜ao de ∆q temos ∆q ∈ Bα+1, satisfazendo
A.7. De A.9 e do fato que ∆q ⊆ ∆p seguem A.8 e B.4. Falta mostrarmos
que diam(∆q)≤ ε.
Sejam (x, y1), (x, y2) ∈ ∆q. Sejam x1, x2 ∈ F tais que (x, y1) ∈ Wx1
e (x, y2) ∈ Wx2. Como y1 ∈ Ix1 temos que |y1 − f(x1)| <
ε 4, pois Ix1 ⊆ (f (x1)−4ε, f (x1) + 4ε). Como x∈ Vx1, temos|f(x) − f(x1)| < ε 8. Logo |y1− f(x)| ≤ |y1− f(x1)| + |f(x1)− f(x)| ≤ ε 4+ ε 8 < ε 2.
Lema 5.2. Seja p ∈ R(K), para K ⊆ [0, 1]α compacto. Sejam Ω
∈ Bα tal
que Ω ⊇ Ωp, f : K −→ [0, 1] cont´ınua com suporte inclu´ıdo em Ω ∩ K tal
queGr(f|Ωp∩K)⊆ ∆p, M um conjunto finito de medidas positivas em [0, 1]
α
contendo Mp e ε ∈ Q ∩ (0, εp] tal que µ(Ω) < ε, para todo µ ∈ M. Ent˜ao
existeq ≤ p tal que fq = f , Ωq = Ω, Mq = M e εq = ε.
Demonstra¸c˜ao: Pelas hip´oteses do lema, tudo que precisamos ´e definir ∆q
de modo a satisfazer A.7, A.8, A.9 e B.4 da condi¸c˜ao do forcing.
Observamos que, se V ∈ Bα, ent˜ao [0, 1]αrV ∈ Bα. De fato, considere
V = Πβ<αIβ onde Iβ0 ´e um intervalo aberto em [0, 1] de extremos racionais,
para um β0 < α, e Iβ = [0, 1], para todo β 6= β0. Temos que [0, 1]αrV =
Πβ<αJβ, onde Jβ = [0, 1], para β 6= β0 e Jβ0 = [0, 1] r Iβ0, que ´e a uni˜ao de
dois intervalos abertos (possivelmente um deles, ou ambos, vazio) em [0, 1] tamb´em de extremos racionais. Portanto [0, 1]αrV
∈ Bα. Para o caso geral,
basta verificar que todo elemento de Bα ´e uma uni˜ao finita de intersec¸c˜oes
finitas de abertos dessa forma. Como W r V = W ∩ ([0, 1]α rV ), para
V, W ∈ Bα, teremos tamb´em W r V ∈ Bα.
Portanto, Ωq rΩp ∈ Bα. Para concluir o lema basta tomarmos ∆q =
(ΩqrΩp)× [0, 1] ∪ ∆p.
Lema 5.3. Sejam α < ω1 e K ⊆ [0, 1]α compacto. Ent˜ao
∀ ε > 0 ∀ p ∈ R(K) ∃ q ≤ p ∀ p1, p2 ≤ q ∀ x ∈ Ωq∩ K |fp1(x)− fp2(x)| < ε.
Demonstra¸c˜ao: Sejam ε > 0 e p ∈ R(K). Pelo Lema 5.1 temos que Dε = {q ∈ P : diam(∆p) < ε} ´e denso em R(K). Logo existe q ≤ p tal
que diam(∆q) < ε. Por (∗), para todos p1, p2 ≤ p e x ∈ Ωp ∩ K temos
|fp1(x)− fp2(x)| < ε.
Seja M um modelo transitivo enumer´avel para ZFC, com R(K) ∈ M, e seja G um R(K)-gen´erico sobre M. Observamos que, como RM 6= RM[G],
poderemos ter que K n˜ao seja compacto em M[G]. Os abertos da base Bα
tamb´em podem mudar, mas usaremos a mesma nota¸c˜ao para eles, pois os identificamos com as extremidades racionais correspondentes. Por exemplo, se K ⊆ [0, 1]2, se definirmos um aberto V = (1
2, 1]× [0, 1] ∈ Bα, usaremos a
mesma nota¸c˜ao V tanto em M quanto em M[G], pois conjuntos finitos de racionais s˜ao absolutos. Mas, como adicionamos reais, teremos VM 6= VM[G].
Seja p ∈ R(K). Como fp ´e cont´ınua em um compacto K, no modelo
M, fp ´e uniformemente cont´ınua em M e, portanto, o ´e em M[G], pois
ser uniformemente cont´ınua ´e uma f´ormula absoluta em rela¸c˜ao a modelos transitivos 1. Portanto, em M[G], podemos estender f
p continuamente para
uma fun¸c˜ao ˜fn : K −→ [0, 1], definindo ˜fp(x) = limn∈ωfp(xn), para xn ∈ K
tal que xn n
−→ x . Seja ˙fp um R(K)-nome para ˜fp.
Lembramos a defini¸c˜ao de limite em um sistema dirigido: Se F ´e um filtro em uma ordem parcial P , (xp)p∈F ´e uma seq¨uˆencia de reais indexada em F ,
e x ∈ R, dizemos que limp∈F xn = x se para todo ε > 0 existe p ∈ F tal
que |xq− x| < ε, para todo q ≤ p. Como acontece com seq¨uˆencias indexadas
em ω, ´e f´acil verificar que um sistema dirigido (xp)p∈F converge para algum
x ∈ R se, e somente se, para todo ε > 0 existe p ∈ F tal que |xq− xr| < ε,
para todos q, r ≤ p.
Em M[G], defina ΩG=Sp∈GΩp e fG : ΩG∩ K −→ [0, 1] dada por
fG(x) = lim p∈G
˜ fp(x).
A boa defini¸c˜ao de fG segue do Lema 5.3 e da genericidade de G. Seja KG
o fecho do gr´afico de fG. Iremos denotar por ˙fG e ˙KG os R(K)-nomes para
fG e KG, respectivamente.
Lema 5.4. Seja K ⊆ [0, 1]α um compacto sem pontos isolados, no modelo
inicial M, e seja G um R(K)-gen´erico sobre M. Ent˜ao, em M[G] temos: (a) ΩG∩ K ´e denso em K;
(b) fG ´e cont´ınua;
(c) Se K ´e conexo em M, KG ´e conexo em M[G].
Demonstra¸c˜ao: Em M, mostraremos que, dados x ∈ K, V uma vizi- nhan¸ca aberta de x pertencente aBαe p∈ P , existe q ≤ p tal que V ∩Ωq 6= ∅.
Isso ser´a suficiente para concluir (a), usando, em M[G], a genericidade de G e que K ´e denso em K.
1
Podemos escrever a f´ormula da continuidade uniforme como ∀n ∈ ω r {0} ∃m ∈ ω r{0} ∀x, y ∈ K (|x − y| < 1n → |f(x) − f(y)| <
1
m), que ´e logicamente equivalente a
¬∃n(n ∈ ωr{0}∧¬∃m(m ∈ ωr{0}∧¬∃x(x ∈ K ∧∃y(y ∈ K ∧(|x−y| < 1
m∧|f(x)−f(y)| ≥ 1
n))))). Como f e K pertencem ao modelo inicial e ω ´e absoluto, essa f´ormula ´e ∆0 e,
Se x ∈ Ωp, tome q como p exceto que Ωq ⊇ Ωp preservando a condi¸c˜ao
µ(Ωq) < εp, para todo µ∈ Mp (´e poss´ıvel pela regularidade de µ), e usamos
o Lema 5.2 para definir ∆q. Se x /∈ Ωp, tome W ∈ Bα uma vizinhan¸ca aberta
de x contida em V e disjunta de Ωp. Como V ∩ K ´e aberto n˜ao-vazio em
um compacto sem pontos isolados, V ∩ K ´e n˜ao-enumer´avel. Logo, existe y ∈ V tal que µ({y}) = 0, para todo µ ∈ Mp. Seja γ = min{εp− µ(Ωp) :
µ∈ Mp}. Tome U ∈ Bα vizinhan¸ca de y contida em W tal que µ(U) < γ,
para todo µ ∈ Mp. Tome U′ ∈ Bα tal que x ∈ U′ ⊆ U′ ⊆ U. Defina
q = (fp, Ωp∪ U′, Mp, εp, ∆q), obtendo ∆q pelo Lema 5.2.
Provaremos item (b). Em M[G], sejam x∈ ΩG∩ K e ε > 0. Tome p ∈ G
tal que x ∈ Ωp e | ˜fp1(y)− ˜fp2(y)| <
ε
3, para todos y ∈ Ωp ∩ K e p1, p2 ≤ p
(usamos o Lema 5.3). Usando a continuidade de ˜fp, tome V ⊆ Ωp uma
vizinhan¸ca aberta de x tal que | ˜fp(y)− ˜fp(x)| < ε3, para todo y ∈ V ∩ K.
Teremos, para todo q≤ p, | ˜fq(y)− ˜fq(x)| ≤ | ˜fq(y)− ˜fp(y)| + | ˜fp(y)− ˜fp(x)| +
| ˜fp(x)− ˜fq(x)| < ε, concluindo que |fG(y)− fG(x)| ≤ ε (pois podemos tomar
q≤ p, tal que |fG(y)−fq(y)| e |fG(x)−fq(x)| s˜ao suficientemente pequenos),
provando a continuidade de fG em x.
Para provarmos item (c) primeiro veremos que, se K ´e conexo em M ent˜ao K ´e conexo em M[G]. De fato, se K n˜ao ´e conexo, pela compacidade de K existem U e V abertos de [0, 1]α tais que K∩ U ∩ V = ∅, K ⊆ U ∪ V ,
K ∩ U 6= ∅ e K ∩ V 6= ∅. Logo K ∩ U ∩ V = ∅, K ⊆ U ∪ V , K ∩ U 6= ∅ e K ∩ V 6= ∅. Pela compacidade de K podemos assumir que U, V ∈ Bα.
Portanto, como elementos deBαs˜ao determinados por coordenadas racionais,
K∩UM∩VM =∅, K ⊆ UM∪VM, K∩UM 6= ∅ e K ∩VM 6= ∅, contradizendo
a conexidade de K em M.
Mostrada a conexidade de K mostraremos que para todos x∈ K rΩG, V
vizinhan¸ca aberta b´asica de x, r∈ [0, 1] ∩ Q e n ∈ ω, existe y ∈ V ∩ K ∩ ΩG
tal que|fG(y)− r| < n1. Isso implicar´a que πK−1G,K(x) ={x} × [0, 1]. Podemos
assumir que x ∈ K, tomando x′ ∈ V ∩ K r Ω
G, no lugar de x. Notemos
que podemos assumir que V ∩ K r ΩG 6= ∅, pois, se V ∩ K ⊆ ΩG, podemos
assumir que VM ⊆ Ω
p, para algum p∈ G, de onde ter´ıamos x ∈ ΩG.
Trabalhando em M, dados x∈ K, V ∈ Bα vizinhan¸ca de x, r∈ [0, 1]∩Q e
p∈ R(K), mostraremos que existe q ≤ p tal que diam(∆q)≤ n1 e, ou x∈ Ωq,
ou existe y ∈ V ∩ Ωq tal que|fq(y)− r| < 1n. Se x∈ Ωp, usando regularidade
das medidas encontramos um aberto W tal que Ωp ⊆ W e µ(W ) < εp, para
todo µ∈ Mp. Tome Ωq ∈ Bα tal que Ωp ⊆ Ωq ⊆ Ωq ⊆ W , Mq = Mp, εq= εp
diam(∆q) < 1n. Se x /∈ Ωp, tomamos W ⊆ V vizinhan¸ca aberta de x disjunta
de Ωp. Seja y ∈ W tal que µ({y}) = 0, para todo µ ∈ Mp. Seja U uma
vizinhan¸ca aberta de y contida em W tal que µ(U) < εp− µ(Ωp), para todo
µ ∈ Mp. Defina Ωq = Ωp ∪ U e, usando o Lema de Urysohnn, construa
fq : K −→ [0, 1] com suporte contido em Ωq tal que fq|Ωp = fp e fq(y) = r.
Defina εq = εp e Mq = Mp e usamos Lemas 5.1 e 5.2 para obtermos ∆q tal
que diam(∆q)≤ 1n.
Com isso conclu´ımos que, em M[G], se x ∈ K r ΩG, ent˜ao πK−1G,K(x) =
{x}×[0, 1]. Pelos itens (a) e (b), para x ∈ ΩGtemos πK−1G,K(x) ={(x, fG(x))}.
Logo πK−1G,K(x) ´e conexo, para todo x∈ K. Suponha que KGn˜ao seja conexo.
Sejam F1 e F2 fechados disjuntos n˜ao-vazios em KG tais que F1∪ F2 = KG.
Pela conexidade de K, π[F1]∩ π[F2] 6= ∅, em K. Tome x ∈ π[F1]∩ π[F2].
Temos que π−1(x) ´e um compacto conexo em K
G, mas π−1(x)∩F1 e π−1(x)∩
F2 s˜ao fechados n˜ao-vazios disjuntos em π−1(x) cuja uni˜ao ´e todo π−1(x),
contradizendo a conexidade de π−1(x).
Do item a) do Lema 5.4 conlu´ımos que πα[KG] = K.
Lema 5.5. Para qualquer K ⊆ [0, 1]α compacto, para α < ω
1, o forcing
R(K) ´e c.c.c.
Demonstra¸c˜ao: Seja (pξ : ξ < ω1) uma fam´ılia n˜ao-enumer´avel de condi¸c˜oes
de R(K). Podemos assumir que Ωpξ, εpξ e ∆pξ s˜ao constantes, em rela¸c˜ao a
ξ, e ser˜ao denotados, respectivamente, por Ω, ε e ∆. Dados ξ, η < ω1 defina
p = (fpξ, Ω, Mpξ ∪ Mpη, ε, ∆). ´E f´acil verificar que p∈ R(K) e p ≤ pξ, pη.
Lema 5.6. Sejam ε > 0, p ∈ R(K) tal que εp ≤ ε, µ ∈ Mp e K ⊆
[0, 1]α, para α < ω
1. Sejam (µn)n∈ω uma seq¨uˆencia em M([0, 1]α) e (xn)n∈ω
uma seq¨uˆencia de pontos de K tais que µn({xn}) n
−→ 0, (|µn|)n∈ω converge
fracamente∗ para µ, {µn : n ∈ ω} n˜ao ´e 5ε-fracamente relativamente com-
pacto, e existem abertos An ∈ Bα dois a dois disjuntos tais que ||µn|| −
|µn|(An) < 18ε ||µn||.
Ent˜ao existem δ1 > δ2 > 0 tais que, para todo k ∈ ω existem q ≤ p e
n1, n2 > k tais que
1. |R
Kfqdµn1| > δ1;
2. |R
3. |µn1|(K r Ωq) < δ1−δ2 3 ; 4. |µn2|(K r Ωq) < δ1−δ2 3 ; 5. xn1, xn2 ∈ Ωq, |fq(xn1)− fq(xn2| < 1 k; 6. diam(∆q)≤ 1k.
Demonstra¸c˜ao: Pela Defini¸c˜ao 4.1, passando a uma subseq¨uˆencia pode- mos assumir que existe uma seq¨uˆencia de abertos disjuntos (Wn)n∈ω tal que
|µn(Wn)| > 5ε, para todo n ∈ ω.
Como (µn)n∈ω n˜ao ´e fracamente convergente (pelo Lema 4.2), ||µn|| n˜ao
converge a 0. Passando a uma subseq¨uˆencia assumimos que ||µn|| converge
a r > 0.
Tomamos δ1 = 5ε3r e δ2 = 3ε2r. Para simplificar a nota¸c˜ao, assumiremos
que r = 1, substituindo µn por µrn, para cada n, e µ por µr. Passando a uma
subseq¨uˆencia e usando a hip´otese, assumimos que |µn|(An) > 1− 18ε, para
todo n.
Fixe um δ > 0 tal que δ < εp−ν(Ωp)
6 , para todo ν ∈ Mp. Existe tal δ pela
defini¸c˜ao de R(K). Usando Lema de Rosenthal e a hip´otese de que µn({xn})
converge a 0, passando a uma subseq¨uˆencia, assumimos que |µn({xm})| < δ,
para todos n, m∈ ω.
Fixemos k ∈ ω. Como |µn| converge fracamente∗ para µ, e µ(Ωp) < ε
tomamos k0 ≥ k tal que, para todo n ≥ k0,
|µn|(Ωp) < ε
e, portanto,
| Z
fpdµn| < ε.
Tomando Un= WnrΩp temos, para todo n > k0,
|µn(Un)| > 5ε − ε = 4ε.
Mas
|µn|(K r An) <
ε 18,
de onde segue que |µn(Un∩ An)| > 3ε. Defina Bn = Un∩ An.
Como An’s s˜ao dois a dois disjuntos, podemos tomar k1 ≥ k0 tal que, para
que ν(Ωp)≤ εp− 4δ, para todo ν ∈ Mp, teremos ν(Ωp∪ An∪ Aj) < εp− 2δ,
para todos n, j > k1 e ν ∈ Mp.
Iremos cuidar do item 5. Passando a uma subseq¨uˆencia, assumimos que xnconverge a um x∈ K. Se x ∈ Ωppodemos assumir que x∈ Ωp, estendendo
p para p′ tal que Ω
p ⊆ Ωp′ (isso pode ser feito usando regularidade das
medidas). Nesse caso, passando a uma subseq¨uˆencia, assumimos que xn ∈ Ωp,
para todo n, e defina Cn = ∅. Se x /∈ Ωp, assumimos que, para todo n,
xn ∈ Ω/ p e |ν({xn})| < δ, para todo ν ∈ Mp. Tome Cn ∈ Bα disjunto de Ωp
tal que xn ∈ Cn, ν(Cn) < δ, para todo ν ∈ Mp, e |µn|(Cm) < δ, para todos
n, m ∈ ω. ´E poss´ıvel escolher tais Cn’s, pois assumimos que µn({xm}) < δ,
para todos n, m.
Usando a continuidade de fp achamos n1, n2 > k1 dois inteiros distintos
tais que |fp(xn1)− fp(xn2)| <
1
k. Defina
Ωq= Ωp∪ An1 ∪ An2 ∪ Cn1 ∪ Cn2.
Como|µn(Bn)| > 3ε, pela regularidade de µn achamos um fechado Fn⊆
Bn tal que |µn(Fn)| > 3ε.
Tome f : K −→ [0, 1] cont´ınua tal que f|Fn1 = 1 e f|KrBn1 = fp|KrBn1 e
g : K −→ [0, 1] cont´ınua tal que g|Kr(Cn1∪Cn2) = 1 e g(xn1) = g(xn2) = 0, no
caso Cn 6= ∅, e g = 1 caso contr´ario. Defina fq = f · g, Mq = Mp, εq = εp e
construa ∆q como no lema 5.2. Pelo Lema 5.1 assumimos que diam(∆q) < 1k.
´
E f´acil ver que q ∈ R(K) e fq|Ωp = fp|Ωp, pois Bn∩Ωp =∅ Logo q ≤ p. Temos
| Z fqdµn1| ≥ |µn1(Fn1)| − |µn1|(Ωp)− |µn1|(Cn1 ∪ Cn2) > 3ε− ε − 2δ ≥ 5ε 3 e | Z fqdµn2| ≤ |µn2(Bn1)| + | Z fpdµn2| + |µn2|(Cn1 ∪ Cn2) < ε 18 + ε + 2δ < 3ε 2 . Como An1 ∪ An2 ⊆ Ωq, temos |µn|(K r Ωq) < ε 18 = δ1− δ2 3 ,
para n ∈ {n1, n2}. Conclu´ımos, portanto, os itens 1 a 4. O item 5 segue da
escolha de k1 e k2, no caso x ∈ Ωp, pois teremos fq(xn) = fp(xn). No caso
x /∈ Ωp, isto ´e, Cn6= ∅, o item 5 segue de que fq(xn1) = fq(xn2) = 0. O item
6 ´e segue da constru¸c˜ao de ∆q.