Kalay ve Kalay Esaslı Elektrotlar

Os padr˜oes temporais de campo magn´etico observados na atmosfera solar indicam que essa estrutura magn´etica forma-se abaixo da superf´ıcie pela intera¸c˜ao do campo com os fluxos de mat´eria em grande escala. No sol, bem como na maioria dos objetos Astrof´ısicos, o g´as se encontra total ou parcialmente ionizado em um estado conhecido como plasma. O movimento do g´as cria correntes el´etricas capazes de induzir campos magn´eticos. Por sua vez, a rea¸c˜ao dinˆamica do campo magn´etico sobre o g´as, devida `a for¸ca de Lorentz, modifica o movimento. A evolu¸c˜ao macrosc´opica deste fluxo magnetizado ´e descrita pelas equa¸c˜oes da magnetohidrodinˆamica, as quais combinam as equa¸c˜oes de Maxwell com as

equa¸c˜oes de Navier-Stokes (hidrodinˆamicas) do fluido.

Em unidades cgs, as equa¸c˜oes de Maxwell apresentam a seguinte forma:

∇ × B = 1 c ∂E ∂t + 4π c J (3.1) ∇ · B = 0 (3.2) ∇ × E = −1 c ∂B ∂t (3.3) ∇ · E = 4πρe , (3.4)

onde B e E s˜ao os campos magn´etico e el´etrico, respectivamente, J ´e a densidade de corrente c ´e a velocidade da luz e ρe ´e a densidade de carga. As equa¸c˜oes acima s˜ao

complementadas pela lei de Ohm generalizada de um fluido total ou parcialmente ionizado:

J= σ  E+1 cU× B  , (3.5)

onde U ´e o campo de velocidades e a quantidade escalar σ ´e a condutividade el´etrica. ´E poss´ıvel combinar as eqs. (3.5) e (3.3) para eliminar J da eq. (3.1) e obter:

1 c ∂E ∂t + 1 η(cE) = ∇ × B − 1 η(U × B) , (3.6)

aqui, introduzimos a difusividade magn´etica Ohmica η=_4πσc2 . Se na eq. (3.6), a velocidade do fluido ´e pequena comparada com a velocidade da luz (U << c), a derivada temporal do campo el´etrico, tamb´em conhecida como corrente de deslocamento, pode ser desprezada e, ent˜ao, tomando-se o rotacional da eq. (3.6) e usando a eq. (3.3), obtem-se uma ´unica equa¸c˜ao para descrever a evolu¸c˜ao do campo magn´etico num meio com velocidade U, a equa¸c˜ao de indu¸c˜ao:

∂B

∂t = ∇ × (U × B − η∇ × B) , (3.7)

Uma an´alise dimensional da eq. (3.7) ajuda a entender o seu significado f´ısico. Consi- derando ˆt e ℓ como unidades de tempo e comprimento caracter´ısticas do sistema, temos:

 B ˆt  ≃ U B_ℓ  + ηB ℓ2  , (3.8)

Nessa equa¸c˜ao ℓ/U e ℓ2_{/η d˜ao os tempos de adve¸c˜ao e de difus˜ao, respectivamente, e a sua}

raz˜ao resulta em:

Rm = U ℓ

Se¸c˜ao 3.1. Equa¸c˜oes da MHD 49

o qual ´e conhecido como o n´umero de Reynolds magn´etico. No caso em que Rm<<1, o segundo termo do lado direito da equa¸c˜ao de indu¸c˜ao (3.7) domina sobre o primeiro e, assim, a evolu¸c˜ao do campo magn´etico ´e governada por uma equa¸c˜ao de difus˜ao,

∂B ∂t = η∇

2_{B , (3.10)}

onde se assumiu que η = cte. Por outro lado, se Rm>>1, a evolu¸c˜ao do campo magn´etico ´e governada pelo primeiro termo da eq. (3.7), ∇ × (U × B), que ´e usualmente conhecido como o termo indutivo. O papel real deste termo torna-se mais claro se o reescrevemos como segue:

∇ × (U × B) = −U · ∇B + B · ∇U − B∇ · U , (3.11) onde foi considerado o fato de que ∇ · B=0. O primeiro termo do lado direito da equa¸c˜ao acima tem um efeito advectivo, o segundo ´e um termo que estica ou alonga o campo magn´etico podendo amplific´a-lo exponencialmente a uma taxa que depende do gradiente local do campo de velocidades. Finalmente, o terceiro termo tem efeito compressivo. Assim o termo indutivo da eq. 3.7 pode desempenhar trˆes pap´eis diferentes na evolu¸c˜ao de B: transporte, amplifica¸c˜ao e compress˜ao.

No caso em que os efeitos indutivos do campo de velocidades sejam capazes de amplificar um campo magn´etico semente e sustent´a-lo contra a dissipa¸c˜ao Ohmica (veja o segundo termo de eq. (3.7)), o processo ´e conhecido como efeito d´ınamo (Cowling, 1976). No Sol, o problema do d´ınamo consiste em encontrar a configura¸c˜ao apropriada do campo de velocidades e da difusividade magn´etica que sejam capazes de garantir o comportamento peri´odico do campo magn´etico, tal como foi descrito no Cap´ıtulo anterior.

No entanto, para resolver o problema do D´ınamo solar de uma forma totalmente con- sistente, n˜ao ´e suficiente resolver-se a eq. (3.7), mas ela deve ser complementada com as equa¸c˜oes de continuidade, momento e energia do fluido, as quais podem ser escritas como segue:

∂ρ ∂t = − ∇ · (ρU) (3.12) ∂ρU ∂t = − ∇ · (ρUU) − ∇p + ∇ · τ − 2ρΩ × U (3.13) + 1 c(J × B) + ρg ∂e ∂t = − ∇ · (eU) − p∇ · U + Qvis+ ∇ · (κ∇T ) (3.14) + 1 c|∇ × B| 2

onde ρ, e, p, T e g s˜ao a densidade de massa, densidade de energia, press˜ao do g´as, temperatura e acelera¸c˜ao da gravidade, respectivamente. Ω ´e a freq¨uˆencia de rota¸c˜ao do sistema e o termo 2ρΩ × U corresponde `a densidade da for¸ca de Coriolis. κ ´e o coeficiente de condu¸c˜ao t´ermica e τ ´e o tensor de estresse viscoso cujas componentes s˜ao dadas por:

τij= νρ  ∇Uij + ∇Uji− 2 3∇ · Uδij  , (3.15)

onde ν ´e o coeficiente de viscosidade cinem´atica. O aquecimento associado a esta for¸ca viscosa ´e dado por:

Qvis =

X

ij

τij∇Uij . (3.16)

As vari´aveis termodinˆamicas acima devem estar relacionadas atrav´es de uma equa¸c˜ao de estado. Se assumimos que o fluido corresponde a um g´as ideal, ent˜ao:

p = ρe(γ − 1) , (3.17)

onde γ=cp/cv=5/3 ´e a raz˜ao entre o calor espec´ıfico sob press˜ao constante e o calor es-

pec´ıfico em volume constante para um g´as monoatˆomico ideal.

As eqs. (3.12) a (3.14) correspondem `as equa¸c˜oes de Navier-Stokes complementadas com a for¸ca magn´etica (for¸ca de Lorentz), 1/c(J × B), e a densidade de energia magn´etica 1/c|∇ × B|2_{, as quais descrevem os efeitos do campo magn´etico na dinˆamica do sistema.}

O conjunto de equa¸c˜oes (3.12) - (3.14) e (3.7) ´e conhecido como equa¸c˜oes da MHD. Se desprezarmos os termos magn´eticos e de Coriolis na equa¸c˜ao de movimento (3.13) e tomarmos o rotacional da mesma, obtemos a equa¸c˜ao da vorticidade (ω=∇ × U), que ´e formalmente similar `a equa¸c˜ao de indu¸c˜ao (3.7). Uma an´alise dimensional da equa¸c˜ao da

Se¸c˜ao 3.1. Equa¸c˜oes da MHD 51

vorticidade do fluido, similar `aquela efetuada para a eq. (3.7) d´a a raz˜ao entre o tempo de advec¸c˜ao e o tempo viscoso, usualmente conhecida como o n´umero de Reynolds do fluido:

Re = U l

ν , (3.18)

Se Re<<1, a for¸ca viscosa domina sobre o termo advectivo. Neste caso, o fluido ´e chamado de laminar. Por outro lado, se Re>>1, o fluido ser´a turbulento com turbilh˜oes em grande escala transferindo energia a turbilh˜oes cada vez menores at´e chegar `a escala viscosa (ou seja, aquela onde ν torna-se importante).

As magnitudes relativas entre o coeficiente de condu¸c˜ao t´ermica e a viscosidade, e entre a difusividade magn´etica e a viscosidade s˜ao dadas pelos n´umeros de Prandtl cin´etico e magn´etico, respectivamente: Pr = ν χ (3.19) Pm = ν η , (3.20) onde χ=κρ/cp.

Veremos mais adiante que esses n´umeros adimensionais (Rm, Re, P r e P m) s˜ao parˆametros chave para definir a evolu¸c˜ao dos campos magn´eticos. Al´em deles, h´a ou- tros n´umeros adimensionais que descrevem outras propriedades do fluido e cuja defini¸c˜ao ser´a ´util mais adiante neste trabalho (especialmente no Cap´ıtulo 8). Por exemplo, em um sistema que ´e convectivamente inst´avel, como a camada de convec¸c˜ao do interior solar, a a¸c˜ao da instabilidade convectiva num caso hidrodinˆamico puro ´e determinada pelo N´umero de Rayleigh: Ra = g T l4 νχ  dT dz − g cp  . (3.21) ´

E poss´ıvel demonstrar-se que para a convec¸c˜ao operar, o n´umero de Rayleigh do sistema deve exceder o valor cr´ıtico ∼ 103 _{(Chandrasekhar, 1961). A influˆencia da rota¸c˜ao na}

convec¸c˜ao ´e caracterizada pelo n´umero de Taylor:

Ta = 4Ω

2_ℓ4

ν2 . (3.22)

E finalmente, a disputa entre as press˜oes do g´as e magn´etica ´e controlada pelo parˆametro βplasma, definido como:

βplasma=

8πp

Se βplasma>>1 o sistema ´e dominado pela press˜ao t´ermica do g´as, e o campo magn´etico

n˜ao tem nenhuma influˆencia importante na dinˆamica do sistema, enquanto que para βplasma<<1, ´e a press˜ao magn´etica quem domina a dinˆamica do sistema.