A reunião de diversos qubits também apresenta resultados estritamente distintos daqueles obtidos com registradores clássicos. Para dois bits clássicos há quatro estados possíveis representados por 00, 01, 10 e 11. Para dois qubits os estados da base com- putacional também são representados por quatro estados: |00i, |01i, |10i e |11i. Con- tudo, os estados da base são neste caso o produto vetorial dador por: |00i = |0i ⊗ |0i, |01i = |0i ⊗ |1i, |10i = |1i ⊗ |0i e |11i = |1i ⊗ |1i, de acordo com a definição algébrica dada para um qubit anteriormente (ver seção A.4 para detalhes sobre propriedades da álgebra linear).
Conhecidamente os qubits podem estar em uma superposição dos estados da base, sendo o vetor de estado que descreve dois qubits escrito como:
|ϕi = α00|00i + α01|01i + α10|10i + α11|11i . (3.6)
De modo semelhante ao caso anterior de um qubit, uma medição sobre o estado |ϕi da equação (3.6) resulta em x(= 00, 01, 10, 11), com probabilidade |αx|2 de se encontrar
xe para os qubits estarem no estado |xi após a medida (ver Postulado (iii) da mecânica quântica na seção B.3). A condição de que a soma das probabilidades de se encontrar todos os resultados possíveis seja 1 é expressa pela condição de normalização:
X
x∈{0,1}2
|αx|2= 1, (3.7)
onde {0, 1}2 significa o conjunto de sequências de comprimento dois, com cada letra
sendo 0 ou 1.
Como o estado |ϕi é formado por dois qubits, é possível realizar a medição so- bre apenas um dos qubits. Para a medição do primeiro estado, a probabilidade de se encontrar o valor 0 é de |α00|2+|α01|2, sendo o estado final após a medida dado por:
|ϕ′i = α00|00i + α01|01i p|α00|2+|α01|2
, (3.8)
computação quântica e informação quântica. Esses estados foram propostos inicial- mente por A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen na referência (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935) e ficaram por isso conhecidos como pares EPR ou estados emaranha-
dos. Os resultados foram aprimorados consideravelmente por John Bell e esses pares passaram a serem conhecido também por estados de Bell.
Os estados de Bell são aqueles possíveis para dois qubits da forma
|β00i = |00i + |11i√ 2 ; (3.9) |β01i = |01i + |10i√ 2 ; (3.10) |β10i = |00i − |11i√ 2 ; (3.11) |β11i = |01i − |10i√ 2 . (3.12)
ou, sintetizando a notação mnemônica anterior pela equação:
βxy E = |0, yi + (−1) x|1, ¯yi √ 2 . (3.13)
Esses estados têm a propriedade de, ao se medir o primeiro qubit e se obter um resultado específico, uma medição posterior do segundo qubit sempre terá o mesmo re- sultado que a primeira medida. Assim, para o caso do par β00 a medição do primeiro
qubit têm probabilidade 1/2 de se obter 0, levando o estado a |ξi = |00i nesse caso, e probabilidade 1/2 de se obter 1, e ainda levando o estado a |ξi = |11i se isso ocorrer. Isso implica que em uma segunda medição sempre se obterá o mesmo resultado en- contrado na primeira. Os estados estão dessa forma correlacionados ou emaranhados, justificando a denominação de estados emaranhados frequentemente utilizada. Essa cor- relação entre os resultados se mantém para outras medidas, e principalmente, se mantém válida mesmo quando quaisquer outras operações sobre qualquer um dos qubits ocorra. O trabalho de John Bell tem como importante resultado a conclusão que as correlações verificadas em pares EPR são maiores que quaisquer outras que poderiam existir em sis- temas clássicos. Esse resultado foi um dos primeiros indícios que a mecânica quântica permitiria o processamento da informação além do que é possível de forma clássica e
3.1 Fundamentos da computação quântica 55
é a chave para algumas das propriedades mais surpreendentes da computação quântica. Os pares de Bell são ainda o protótipo para muitos outras estados quânticos úteis no processamento de informação.
A equação (3.6) mostra que para dois qubits há 22 amplitudes complexas que des-
crevem o estado do sistema. Essa é uma propriedade geral, sendo que para n qubits há 2n amplitudes complexas para descrever o estado do sistema. Isso mostra que a in-
formação contida nas amplitudes dos estados dos qubits cresce exponencialmente com o número desses. Considerando um sistema constituído por 500 qubits, haverá então 2500 amplitudes complexas que descrevem o sistema. Esse número é maior que o nú-
mero estimado de átomos no universo. Contudo, a natureza é capaz de manipular essa enorme quantidade de dados mesmo em um sistema contendo algumas centenas de áto- mos. Não há qualquer computador clássico concebível atualmente capaz de armazenar esse volume de informação. Uma metáfora plausível pode ser entendida como se a Na- tureza mantivesse escondidas 2500folhas de rascunho nas quais faz os cálculos à medida
que o sistema evolui.
Contudo, a informação contida nas amplitudes dos estados quânticos não é acessível diretamente. Isso porque, como visto anteriormente, ao realizar medições para recuperar os valor dos qubits, o resultado obtido será probabilístico e associado a apenas uma das amplitudes do sistema. A informação contida nas amplitudes dos estados quânticos é por isso conhecida como informação oculta.
A existência da informação oculta e a forte correlação entre os pares de Bell, dentre outras propriedades, dão um indício do potencial de sistemas quânticos no processa- mento de informação. A natureza probabilística da informação oculta pode, contudo, ser utilizada em sistemas de computação por meio de métodos que manipulem esta in- formação de forma indireta. Este métodos fazem com que o sistema evolua de uma forma pré-estabelecida, alterando as probabilidades relacionadas às medidas e permi- tindo que uma medida final retorne o resultado do processamento da informação ocul- tada nos estados quânticos. Esses métodos são conhecidos como algoritmos quânticos, e os mecanismos que os implementam como circuitos quânticos. O desenvolvimento de algoritmos quânticos capazes de manipular sistemas quânticos a fim de gerar resultados úteis representa um dos principais desafios da computação quântica. As seções seguin-
tes mostram a teoria básica sobre os circuitos quânticos e como esta pode ser utilizada na obtenção de relevantes algoritmos quânticos.