II. ÇOK PARTİLİ DÖNEM DERS KİTAPLARINDA “ERMENİ” MESELESİ

Nesta seção é mostrado como, utilizando as portas quânticos apresentadas anteri- ormente, é possível obter circuitos que implementam algoritmos quânticos capazes de fazer uso prático da informação ocultada nos estados quânticos.

Uma utilização prática da informação oculta é evidenciada por meio do algoritmo de Deutsch, um algoritmo quântico que utiliza a propriedade geral de circuitos quân- ticos conhecida como paralelismo quântico. Essa propriedade se refere à capacidade que circuitos quânticos têm em avaliar funções matemáticas para muitos argumentos de valores diferentes. A utilização do paralelismo quântico é mostrada na construção do algoritmo de Deutsch como se segue.

Dada uma função desconhecida f (x) : {0, 1}n

→ {0, 1}, a forma clássica de se de- terminar a regra exata de operação dessa função é substituir todas as entradas possíveis x = 0, 1, . . . , 2n _{− 1, o que requer ou um grande número de avaliações para f (x) ou a} utilização de N = 2n_{portas clássicas elementares implementando f .}

O tratamento desse problema utilizando-se circuitos quânticos pode ser feito com apenas um passo por meio do algoritmo de Deutsch. A obtenção do algoritmo pode ser apresentada de forma resumida da seguinte forma: primeiro é mostrada a solução para o problema da função f (x) : {0, 1}1

→ {0, 1}1 e posteriormente a generalização para a função f (x) : {0, 1}n_{→ {0, 1}}1_.

Inicialmente considera-se a porta CNOT apresentada anteriormente e a ação execu- tada por esta sobre os qubits de entrada. Para o qubit de controle |CiIN = |0i+|1i√₂ e o qubit

alvo |DiIN = |0i, tem-se como resultado a produção do par de Bell|00i+|11i√₂ .

Das propriedades discutidas para os pares de Bell na seção 3.1.1 percebe-se que os dados de saída contém ambas as possibilidades de entrada. A expressão para a porta CNOT apresentada na equação (3.28) pode ser modificada e feita a definição de uma transformação Uf tal que:

Uf : |xi |yi → |xi |y ⊕ f (x)i , (3.30)

com x e y sendo os valores possíveis para bits clássicos. A figura 11 apresenta um diagrama do circuito proposto, enquanto a tabela 2 consiste na tabela-verdade para o circuito.

Assumindo então as mesmas entradas para a porta CNOT e considerando a tabela 2, é fácil calcular a saída da porta CNOT sendo controlada pela função f :

3.1 Fundamentos da computação quântica 63

f

jCi

jDi

jCi

jDi

x

x

y

y_{© f(x)}

U

Fig. 11: Circuito para implementação do algoritmo de Deutsch Tab. 2: Tabela-verdade da porta CNOT controlada por f

x y x y_{⊕ f (x)} 0 0 0 0 ⊕ f (0) = f (0) 0 1 0 1 ⊕ f (0) 1 0 1 0 ⊕ f (1) = f (1) 1 1 1 1 ⊕ f (1) Uf|00i + |10i√ 2 =

|0i | f (0)i + |1i | f (1)i √

2 . (3.31)

A equanção (3.31) contém ambos os valores possíveis de f , ou seja, f (0) e f (1), após uma única iteração do circuito. Devido às propriedades quânticas, a entrada |CiIN

possui |0i e |1i, i.e., todos os valores possíveis de x.

A porta de Hadamard apresentada anteriormente tem a propriedade de gerar todas as superposições possíveis para x, com tamanho de n bits, se esta for alimentada com o estado inicial

 0 . . . 0

2n

E. Esse resultado permite generalizar aquele encontrado na equa- ção (3.31) para o caso de n bits, utilizando para isso o resultado da porta de Hadamard de dimensão n como controle para a porta CNOT controlada por f . Dessa forma a equação (3.30) pode ser reescrita da forma:

Uf : |xin|yi → |xin|y ⊕ f (x)i . (3.32)

Uf 1 √ 2n X x∈{0,1}n |xi |0i = √1 2n X x∈{0,1}n |xi |0 ⊕ f (x)i = _√1 2n X x∈{0,1}n |xi | f (x)i = _√1 2n 2n −1 X x=0 |xi | f (x)i . (3.33)

Isso implica que o circuito tem a capacidade de determinar todas as correspondên- cias de x e f (x) avaliando a função apenas uma única vez. Um computador probabilís- tico clássico, aparato atualmente utilizado para executar esse tipo de tarefa, pode avaliar f(0) com probabilidade 1/2 ou f (1) com probabilidade 1/2, sempre mutuamente ex- cludente. O algoritmo quântico de Deutsch é então mais rápido que qualquer aparato clássico.

A essência do projeto de algoritmos quânticos está na escolha inteligente da fun- ção e da transformação final que determinam as propriedades globais das funções. O algoritmo de Deutsch sugere que computadores quânticos podem resolver alguns pro- blemas computacionais com eficiência maior que computadores clássicos. Infelizmente o algoritmo de Deutsh é de pouco interesse prático, mas o resultado alcançado por este motivou o interesse pelo desenvolvimento de algoritmos quânticos, resultando em di- versos algoritmos de uso prático. Não faz parte do escopo deste trabalho realizar uma revisão detalhada dos algoritmos quânticos conhecidos, sendo a referência (NIELSEN; CHUANG, 2000) um bom compêndio dos principais algoritmos quânticos disponíveis e

os problemas que estes tratam. Há, contudo, três classes de problemas que são conheci- damente mais eficientes em computadores quânticos:

1. Algoritmos baseados na versão quântica da Transformada de Fourier: Estimativa de Fase, Busca de ordem, Fatoração de Shor, solução do logaritmo discreto e solução do problema do subgrupo oculto;

2. Algoritmos de busca: Grover; 3. Algoritmos de simulação quântica.

3.2 Impacto da computação quântica 65

ciados a obtenção de formas estritamente mais eficientes que as alternativas clássicas de reversão de algumas das principais funções de mão-única conhecidas, como a fatoração de inteiros e a solução do logaritmo discreto.

Os algoritmos de busca, tendo como o principal representante o algoritmo de busca de Grover, utilizam a propriedade de paralelismo quântico na obtenção de métodos de busca de informação em bases de dados não organizadas de forma mais eficiente que os algoritmos clássicos conhecidos.

Os algoritmos de simulação quântica estão associados a utilização de circuitos quânticos na simulação de sistemas físicos quânticos, tarefa bastante dispendiosa para os computadores clássicos. Estes algoritmos são bastante eficientes nessa tarefa, sendo um indício da contribuição que a computação quântica pode dar a tarefa de modelagem molecular, dentre outras, tão importante em diversas indústrias fundamentais como as de semicondutores e fármacos por exemplo.

Considerando que os métodos criptográficos atuais, tal como discutido no capí- tulo 2, utilizam como fundamento de segurança a incapacidade da computação clássica em tratar algumas classes de problemas matemáticos de forma eficiente, alguns dos al- goritmos quânticos anteriores representam então uma ameaça real a segurança desses métodos criptográficos. Na próxima seção será discutido o impacto que a eficiência dos algoritmos quânticos pode ter sobre as técnicas de criptologia clássicas, sendo mos- trado como o algoritmo de Shor, principal resultado da computação quântica, pode ser utilizado para resolver o problema da fatoração de inteiros de forma bastante eficiente.

3.2 Impacto da computação quântica sobre a criptolo-