İntertisiyel Sendrom

Para …nalizar esse capítulo vale apresentar, através de um exemplo, a grande ‡ex- ibilidade que a teoria de cópulas nos fornece para a modelagem de distribuições conjuntas. A Figura 3.4 apresenta diversas distribuições bivariadas construídas com distribuições mar- ginais normais-padrão e com diferentes especi…cações de funções cópulas, calibradas de modo a representar uma distribuição conjunta com coe…ciente de correlação linear igual a 0.5.

Pode-se claramente observar que o conhecimento das distribuições marginais nor- mais e do coe…ciente de correlação linear não é su…ciente para descrever uma distribuição conjunta9_{. Por exemplo, no caso da distribuição gerada a partir de uma cópula Clayton,}

observa-se uma disposição das observações mais “a…ada” no quadrante negativo, indicando uma maior dependência para eventos conjuntamente negativos do que positivos. Por outro lado, a distribuição gerada a partir de uma cópula Gumbel, apresenta essa mesma dis- posição “a…ada”, no quadrante positivo direito, evidenciando uma maior associação para eventos conjuntamente positivos. A distribuição gerada por uma cópula t-student apre-

8_{Ou pseudo estimador de verossimilhança.}

9_{Exceção é dada pelas distribuições elípticas (Normal, t-student) onde o coe…ciente de correlação linear}

é su…ciente para descrever a distribuição conjunta. Embora no caso não Normal, coe…ciente de correlação linear zero não implica independência. Maiores detalhes são apresentados no Capítulo 4.

0 -2.5 0.0 2.5 Copula Normal,ρ= 0.5 0.0185 0.037 0.0555 0.074 0.0925 0.111 0.1295 0.148 0.1665 0.0185 0.037 0.05550.0740.0925 0.1110.12950.148 0.1665 0.0185 0.037 0.0555 0.074 0.0925 0.111 0.1295 0.148 0.1665 0.0185 0.037 0.0555 0.074 0.0925 0.111 0.1295 0.148 0.1665 0 -2.5 0.0 2.5 Copula t-student,ρ= 0.5,ν= 3 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.1320.154 0.1760.198 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0 -2.5 0.0 2.5 Copula Clayton,θ= 1 0.019 0.038 0.057 0.076 0.095 0.114 0.133 0.152 0.171 0.019 0.038 0.057 0.0760.095 0.114 0.1330.152 0.171 0.019 0.038 0.057 0.076 0.095 0.114 0.133 0.152 0.171 0.019 0.038 0.057 0.076 0.095 0.114 0.133 0.152 0.171 0 -2.5 0.0 2.5 Copula Gumbel,δ= 1.5 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0.0195 0.039 0.05850.078 0.0975 0.1170.1365 0.1560.1755 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0 -2.5 0.0 2.5 Copula Joe-Clayton,κ= 1.42,γ= 0.47 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0.0195 0.039 0.0585 0.0780.09750.117 0.1365 0.156 0.1755 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0.0195 0.039 0.0585 0.078 0.0975 0.117 0.1365 0.156 0.1755 0 -2.5 0.0 2.5 Copula Plackett,ψ= 5 0.0215 0.043 0.0645 0.086 0.1075 0.129 0.1505 0.172 0.1935 0.0215 0.043 0.06450.0860.10750.1290.15050.1720.1935 0.0215 0.043 0.0645 0.086 0.1075 0.129 0.1505 0.172 0.1935 0.0215 0.043 0.0645 0.086 0.1075 0.129 0.1505 0.172 0.1935

Figura 3.4: Diagrama de dispersão de distribuições geradas a partir de diversas cópulas e distribuições marginais padrão N (0; 1)

Tabela 3.1: Medidas de dependência para distribuições conjuntas obtidas a partir das funções copulas e de distribuições marginais N (0,1)

Dependência Dependência

Correlação da Cauda Quantílica (5%)

cópula Parâmetros Linear Superior Inferior Superior Inferior

Gaussiana ( ) 0.5 0.50 0.00 0.00 0.24 0.24 t-student ( ; ) 0.5 3 0.50* 0.31 0.31 0.37* 0.37* Clayton ( ) 1 0.50* 0.00 0.50 0.10 0.51 Gumbel ( ) 1.5 0.50* 0.41 0.00 0.44 0.17 Joe Clayton ( ; ) 1.42 0.47 0.50* 0.37 0.23 0.38 0.32 Plackett ( ) 5 0.50 0.00 0.00 0.18 0.18

Obs: Valores com * foram baseados nas simulações feitas em Patton (2002) e (2009).

senta contornos "a…ados"nos quadrantes positivos e negativos, indicando uma simetria de dependência para eventos conjuntamente negativos e positivos.

Embora as distribuições conjuntas apresentem um coe…ciente de correlação linear igual a 0.5, pode-se notar pela Tabela 3.1 que a estrutura de dependência em cada função cópula, carrega medidas de dependência10 _{com valores distintos uns dos outros. Como}

exemplo, pode-se notar que a cópula Normal não apresenta dependência da cauda inferior e posterior e as dependências quantílicas são iguais em ambas as caudas. Já a cópula Gumbel, apresenta dependência na cauda superior e dependência quantílica assimétrica.

Capítulo 4

Medidas de Dependência

Esta seção introduz de…nições e propriedades acerca das medidas de associação utilizadas no presente trabalho. Antes, porém, são exibidas algumas propriedades básicas que uma medida deve atender para medir adequadamente a associação entre quaisquer duas variáveis aleatórias.

Em Nelsen (2006), é possível encontrar duas métricas de associação que de…nem duas classes de medidas: a métrica da concordância ( ) e a métrica da dependência ( ). O autor lista uma série de propriedades que uma medida deve atender para pertencer a cada uma das métricas. O conceito de concordância é a mais básica de…nição de associação entre duas variáveis aleatórias. Sejam (x1; y1) e (x2; y2), dois pares de observações das variáveis

aleatórias contínuas X e Y . Os pares são Concordantes, se (x1 x2) (y1 y2) > 0

Discordantes, se (x1 x2) (y1 y2) < 0

análoga, a discordância implica que x1 x2 e y1 y2 possuem sinais opostos.

Uma diferença entre as medidas de dependência e as medidas de concordância é dada no intervalo na qual elas estão de…nidas, onde ( ) 2 [ 1; +1] e ( ) 2 [0; +1]. Nota-se que essa propriedade permite que as medidas de concordância indiquem qual a “direção” da associação entre as variáveis. Já as medidas de dependência apenas mostram se as variáveis são funcionalmente dependentes ou não.

Outra característica marcante que distingue as medidas de concordância das medi- das de dependência é a falta de reciprocidade entre a (in)dependência das variáveis aleatórias e a medida ser nula. Uma medida de concordância é igual a 1 ou +1 se as duas variáveis forem perfeitamente dependentes e igual a zero se elas forem independentes. Entretanto, o inverso não será necessariamente verdadeiro, i.e. ( ) = 1, 1, ou 0 não implica var- iáveis perfeitamente dependentes ou independentes. Em outras palavras, independência e dependência perfeita são condições su…cientes, porém não necessárias, para que a medida de concordância seja igual a 1, 1 ou 0. Por outro lado, nas medidas de dependência a recíproca é legítima, i.e. a medida será nula se e somente se as variáveis forem independentes.

Em Embrechts et al. (2002), são listadas algumas propriedades, consideradas pelos autores, necessárias à uma medida para que esta possa medir de forma adequada a associação entre variáveis aleatórias. Seja ( ) uma medida de dependência1 _{que designa}

um número real para qualquer par de variáveis aleatórias então, de acordo com os autores, as propriedades desejáveis dessa medida são:

i. (Y1; Y2) = (Y2; Y1) (simetria)

1_{Os autores usam o termo dependência como sinônimo de associação, não considerando a distinção entre}

os conceitos e as propriedades de dependência e concordância apresentados em Nelsen (2006). Assim, a lista pode ser interpretada como uma lista de propriedades de uma medida global de dependência.

ii. 1 (Y1; Y2) +1 (normalização)

iii. (Y1; Y2) = +1, Y1, Y2 são co-monotônicas

(Y1; Y2) = 1, Y1, Y2 são contra-monotônicas2

iv. Para T : R! R uma transformação estritamente monotônica no domínio de Y :

(Y1; Y2) = 8 > > < > > : (T (Y1) ; Y2) , para T crescente (T (Y1) ; Y2) , para T decrescente

Fica evidenciado que o índice de correlação linear satisfaz apenas as propriedades i e ii. As medidas obtidas a partir das correlações de posto satisfazem as propriedades i a iv, se as variáveis forem contínuas. Os autores frisam que as propriedades acima são apenas uma seleção e a lista pode ser alterada e/ou estendida. Como exemplo de extensão, eles adicionam a propriedade referente à independência: (Y1; Y2) = 0 $ Y1; Y2 são indepen-

dentes. Entretanto, pode-se mostrar que essa adição contradiz a propriedade iv, de não alteração da medida sobre transformações monotônicas. Como foi apresentado no capítulo 3, a metodologia de cópulas permite decompor a distribuição em uma estrutura composta pelas distribuições marginais e uma estrutura exclusiva para as relações de dependência en- tre as variáveis pertencentes à distribuição multivariada. Sendo assim e como indicado logo abaixo, muitas das medidas de associação podem ser determinadas diretamente a partir da função cópula C.

Dentre as medidas de concordância, destacam-se a correlação de Spearman e o tau de Kendall. Ambas são medidas de correlação entre os postos (ranking) das variáveis, ao

2_{Duas variáveis serão co-monotônicas (i.e. terão dependência positiva perfeita), se elas possuem a copula}

invés de seus valores efetivos e, por isso, são também conhecidas como correlações de posto (rank correlation). Conseqüentemente, tais medidas não são alteradas por transformações crescentes entre as variáveis. Como pode ser visto abaixo, a correlação de Pearson, mais conhecida como coe…ciente de correlação linear, é uma medida de concordância aplicável apenas a variáveis que possuam distribuições elípticas3_{. Dentre as medidas de dependência,}

destacam-se a dependência quantílica e a dependência de caudas.

4.1

Correlação de Pearson (coe…ciente de correlação linear)

O coe…ciente de correlação linear é freqüentemente usado como medida de de- pendência entre duas variáveis. Seja Y1 e Y2, duas variáveis aleatórias com variâncias

…nitas e não nulas, a correlação entre elas é de…nida por = _p Cov (Y1; Y2)

var (Y1)pvar (Y2)

(4.1) onde, Cov (Y1; Y2) = E (Y1Y2) E (Y1) E (Y2). O estimador amostral da correlação de Pear-

son é obtido a partir das contrapartidas amostrais da covariância e variância das variáveis aleatórias.

A medida de Pearson, embora possa ser escrita a partir das funções cópulas, ela terá o seu valor como função do tipo de distribuição marginal, pois

cov(Y1; Y2) = Z Z D (F (y1; y2) F1(y1) F2(y2)) dy1dy2 = Z 1 0 Z 1 0 (C (u1; u2) u1u2) dF1 1(u1) dF2 1(u2)

onde D é o domínio em que Y1 e Y2 são de…nidas.

3_{Distribuições elípticas possuem função de densidade como uma função de uma forma quadrática de suas}

distribuições marginais, i.e. f (x0

x) e, como conseqüência, o contorno de suas densidades são elipsóides. A distribuição gaussiana e a t-student são exemplos de distribuições elípticas.

Embora o coe…ciente de correlação linear seja a medida mais popular utilizada para medir a associação entre duas variáveis, ele apresenta várias de…ciências. Além disso, as variáveis precisam atender a uma série de requisitos para que o coe…ciente de correlação linear seja de fato uma medida de concordância. O estudo de Embrechts et al. (2002) relata com maiores detalhes sobre a de…ciência do coe…ciente. Dentre suas limitações, os autores citam:

A variância de ambas as variáveis deve ser …nita para que o coe…ciente seja de…nido. Conseqüentemente, o estimador não é apropriado para medir dependência em dis- tribuições com cauda pesadas4_.

Correlação nula não implica independência, a não ser que o par (X; Y ) se distribua como uma normal bivariada. Nesse caso o coe…ciente de correlação linear é represen- tativo da estrutura de dependência da distribuição.

Correlação não é invariante sob todas as transformações crescentes das variáveis, mas somente sob as lineares, i.e. (aX + b; cY + d) = sign (a c) (X; Y ). Um exemplo de transformação estritamente crescente não válida é a transformação logarítmica, i.e. log (X) e log (Y ) terão, geralmente, correlação diferente de X, Y .

Dependência perfeita positiva ou negativa entre as variáveis não implica, necessari- amente, que o valor numérico do coe…ciente é igual a 1 ou 1. O exemplo clássico encontrado nos livros textos de estatísticas é X; X2 _{= 0, mesmo que X e X}2_sejam

perfeitamente dependentes.

4_{Por exemplo, a covariância e a correlação entre duas variáveis de uma distribuição t-student, bivariada}