MATERYAL VE METOD
3. KONTROL GRUBU
3.2. Hastalarda tespit edilen tanılar
Essa seção apresenta maiores detalhes sobre as especi…cações adotadas para as cópulas condicionais utilizadas no trabalho. Para modelar a transformação variante no tempo, assumiu-se que a forma funcional da função cópula permaneceu constante ao longo do tempo, enquanto que o seu parâmetro de dependência variou segundo alguma equação de evolução. É possível encontrar em Patton (2002) diversos exemplos de cópulas cujo parâmetro de dependência é uma função paramétrica de transformações de observações defasadas mais um termo auto-regressivo1. Segundo o autor, essa metodologia segue o
espírito das funções de densidade condicionais autoregressivas, proposta por Hansen (1994). De acordo com a classi…cação proposta por Manner e Reznikova (2009), essa metodologia se engloba na classe de modelos de cópulas orientados a observações.
A maior di…culdade ao especi…car como os parâmetros evoluem no tempo é, se- gundo Patton (2002), identi…car a variável motriz. Na cópula SJC2, a equação de evolução
utilizada, para a dependência da cauda, foi
t= ! + t 1+ 1 n n X i=1 ju1;t j; u2;t jj ! (5.3) onde (x) = (1 + e x) 1 é uma transformação logística usada para que o parâmetro de
dependência permaneça no intervalo (0; 1). Pela especi…cação acima, pode-se perceber que o parâmetro de dependência segue, antes da transformação3, um processo ARMA(1,n), onde o
1Outros especi…cações similares são os modelos de Creal et al. (2008) e Dias e Embrechts (2001). 2A copula SJC é apresentada com maiores detalhes no capítulo 6.
3Após a transformação, o processo deixa de seguir uma estrutura ARMA, pois esta transformação não é
0 1 1 U 1 U 2 • 2−1/2⋅|u 1,t−u2,t| u 1,t u 2,t
Figura 5.1: Distância mínima do ponto (u1;t; u2;t) em relação à diagonal principal (de-
pendência positiva perfeita).
termo auto-regressivo t 1captura uma parte da persistência do parâmetro de dependência
e os parâmetros restantes capturam certa variação na dependência.
A variável motriz escolhida pelo autor nessa especi…cação é, portanto, a média da diferença absoluta entre u1;t e u2;t sobre as últimas n observações. A motivação da escolha
foi baseada no conceito de comonotonicidade (dependência positiva perfeita). Se duas var- iáveis Y1 e Y2 possuem dependência positiva perfeita, então suas respectivas transformações
quantílicas U1 e U2irão sempre pertencer à diagonal principal do quadrado unitário (Figura
5.1). Pode-se demonstrar que a distância mínima entre um ponto qualquer (u1;t; u2;t) no
quadrado unitário e a sua diagonal principal é dada por 2 1=2ju
1;t u2;tj e, portanto, a
variável motriz utilizada é uma proporção dessa distância mínima. Logo, a média sobre as últimas n observações é um indicador de quão distante da comonotonicidade estão os dados, onde o valor médio da distância é inversamente proporcional à ordenação de concordância das cópulas. Sob dependência perfeita positiva, o valor esperado dessa distância será zero,
sob independência o valor será 1=3 e sob dependência perfeita negativa será 1=24.
Outras variações dessa variável motriz foram tentadas em Patton (2002), como e.g. ponderar as observações pela proximidade dos extremos ou usar uma variável indicadora para caso da observação pertencer a cada um dos quatros quadrantes. Porém nenhuma dessas variações apresentou melhoras signi…cantes.
Para a cópula gaussiana, o autor utilizou um critério similar ao proposto pela cópula SJC, para …ns de comparação. A equação de evolução utilizada na cópula gaussiana para a correlação linear, foi
t= e ! + t 1+ 1 n n X i=1 1(u 1;t i) 1(u2;t i) ! (5.4) onde e (x) = (1 e x) (1 + e x) 1 é uma transformação logística modi…cada, conhecida
como transformação de Fisher, usada para estabilizar a variância do coe…ciente de correlação linear e permitir que tpermaneça, em todo os períodos, no intervalo ( 1; +1). Pelo mesmo princípio que a cópula SJC, o parâmetro de dependência segue, antes da transformação, um processo ARMA(1,n), com um termo auto-regressivo t 1 para captar uma parte da persistência e os parâmetros restantes capturando certa variação na dependência.
Nota-se, pela especi…cação, que o autor escolheu como variável motriz a média
de 1(u
1;t i) 1(u2;t i) sobre as últimas n observações, escolha que foi feita para que
a especi…cação da cópula gaussiana fosse comparável com a da cópula SJC. Se os dados forem positivamente dependentes, então 1(u
1;t i) e 1(u2;t i) terão o mesmo sinal e,
portanto, espera-se que o parâmetro seja positivo.
O parâmetro n, que representa o tamanho da janela, pode ser interpretado, se-
gundo Creal et al. (2008), como um parâmetro suavizador. Dentre diversos modelos encon- trados na literatura sobre cópulas dinâmicas que adotam especi…cações similares a Patton (2002), é possível encontrar diferentes tamanhos de janelas que vão de n = 1, e.g. Dias e Embrechts (2004), até n = 20, como o caso de Benediktsdottir e Scotti (2009). O tamanho adotado em Patton (2002) foi n = 10 e é o tamanho utilizado no presente trabalho.
Parte II
Capítulo 6
Testando a hipótese de contágio
…nanceiro
6.1
Dados
Para realizar uma análise mais abrangente do contágio …nanceiro, foram seleciona- dos índices que representem quatro distintos mercados no mundo. Para a América Latina foi escolhido o IBOVESPA (IBOV) e para América do Norte o índice Standard & Poor´s 500 (SP500). O Financial Times Stock Exchange (FTSE) de Londres foi selecionado para o mercado europeu e o índice NIKKEI 225 (NIKK) para o mercado asiático.
Para o intervalo de tempo de 04/01/2000 a 30/12/2009, a base de dados1 com
observações dos índices contava com 2.472 observações para o IBOVESPA, 2.515 para o S&P500, 2.526 para o FTSE e 2.454 observações para o NIKKEI. Antes de obter os retornos
1A base de dados foi obtida através do YAHOO!RFINANCE. Os códigos das séries são BVSP para o
2000 2002 2004 2006 2008 2010 20000 40000 60000 IBOV 2000 2002 2004 2006 2008 2010 750 1000 1250 1500 SP500 2000 2002 2004 2006 2008 2010 4000 5000 6000 FTSE 2000 2002 2004 2006 2008 2010 10000 15000 20000 NIKK
Figura 6.1: Índices de mercados selecionados
logarítmicos de cada índice, foi feito um ajuste nas observações de cada um destes a …m de eliminar diferenças de tamanho nas amostras (causados por feriados nacionais). Para tanto, utilizou-se o procedimento de recompor os valores em falta por meio de um modelo de nível local2. Após o ajuste, a base de dados passou a contar com 2.607 observações para
todos os índices. A evolução no tempo de cada índice está ilustrada na Figura 6.1.
Ainda, por causa dos diferentes fusos horários, foi realizado um segundo ajuste na base de dados. Em relação à Hora de Greenwich (GMT), Nova Iorque está GMT – 5h00, São Paulo está GMT – 3h00 e Tóquio está GMT + 9h00. Tomando-se como ex- emplo Brasil e Japão, que possuem uma diferença de 12 horas, os negócios efetuados na Bolsa de Tóquio estão virtualmente um dia à frente dos negócios realizados no Brasil.
2Os valores faltantes foram substituídos pelas estimativas suavizadas dos estados do componente nível
Para corrigir tal efeito, os retornos foram sincronizados segundo o seguinte corte temporal:
rtIBOV, rSP 500
t , rtF T SE, rt+1N IKK 3. A base de dados …nal conteve uma amostra de retornos
entre os períodos de 05/01/2000 – 29/12/2009 com total de 2.605 observações.