İntegral Denklemin Diferensiyel Denkleme Dönüştürülmesi

İntegral denklemin diferensiyel denkleme dönüştürülmesi için Leibnitz Formülünün uygulanması yeterlidir. Bu formül integral işareti altındaki türev alma ile ilgilidir. Leibnitz Formülü A,B türevlenebilen fonksiyonlar olmak

20 Örnek 2.3: ^u

( )

^{x = x +}λ xu

( )

tdt

x

∫

0

(2.37)

integral denklemini diferensiyel denkleme dönüştürelim.

Her iki yanın x e göre türevi alınırsa

( )

dx x

du =

dx d x+λ

dx

d xu

( )

tdt

x

∫

0

=1+λ dx

d xu

( )

tdt

x

∫

0

olur. Leibnitz formülünden

dx

d xu

( )

t dt

x

∫

0

= u

( )

tdt

x

∫

0

+

( )

x

dx x d

xu -0

olup böylece

( )

^x

u′ =1+λ

( ) ( )





 





∫

+

x

x xu dt t u

0

bulunur. Tekrar türev alınırsa

( )

dx x u

d ′ =0+ λ dx

d u

( )

tdt

x

∫

0

+λ dx

d

[

xu

( )

x

]

ve buradan

^{u′′ x}

( )

⁼ λ ^u

( )

^{x +}λ

[

^u

( )

^x +^xu′

( )

^x

]

veya

^{u ′′}

( )

^{x -λxu x′}

( )

^-2λ^u

( )

^x =0

elde edilir. Bu da (2.34) integral denklemine karşılık gelen diferensiyel denklemdir.

21 2.9.İntegral Denklem Sistemleri

Uygulamalarda i=1,2,...,n olmak üzere

^ui

( )

^x =^fi

( )

^x +λ K

( ) ( )

x t u_k t dt

n

k b

a ik ,

1

∑ ∫

=

, i=1,…,n (2.38)

formundaki integral sistemi ile çok sık karşılaşılır.

Tanım 2.10:İntegral denklemin ^K

( )

^x,t çekirdeği yalnızca x in ve yalnızca t nin fonksiyonu olan büyüklüklerin çarpımından oluşan terimlerin toplamından ibaretse yani

( )

^{x t}

K , = ^a

( ) ( )

^xbk ^t n

k

∑

k

=1

biçiminde ise ^K

( )

^x,t çekirdeğine dejenere çekirdek denir.

Yalnız bir integral denklemin çözümü için kullanılan metotlar integral denklem sistemleri için de geçerlidir. Eğer

∫ ( )

b

a

ik x t dt

K , ²

integrali mevcut ve λparametresi

λ <

( )

1

1

2

1 ,

−

≤ =

≤ 











∑ ∫∫

ⁿ

k b

a b

a n ik

i K x t dxdt

Max

olacak şekilde yeterince küçük seçilebiliyorsa ardışık yaklaştırma yakınsak olur. Eğer ^Kik

( )

^x,^t çekirdeği dejenere tipten ise (2.38) sistemi bir lineer cebirsel denklem sistemine indirgenebilir. Bu durumda dejenere çekirdekli integral denklemler için uygulanan yöntemler burada da kullanılabilir.

22

Böylece bir integral denklem sistemi tek bir integral denkleme dönüştürülebilir.

x ve t değişkenleri, başlangıç aralığı

[ ]

^a,b olan ve

(

^b−^a

)

uzunluğunun n katı olan

[

^a,nb−

(

ⁿ−¹

)

^a

]

şeklinde ki aralıklar sisteminde bulunsun. Burada

^nb−

(

ⁿ−1

)

^a−^a=ⁿ

(

^b−^a

)

olduğu açıktır. Bu aralığa göre,

a+

(

ⁱ⁻¹

) (

^b−a

)

^{≤ x<a+i}

(

^b−a

)

a+

(

^k−1

) (

^b−a

)

^{≤ <t a+ k}

(

^b−a

)

olmak üzere ^ui

( )

^x , ^fi

( )

^x ve ^Kik

( )

^x,^t fonksiyonları ^φ

( )

^{x =}u_i

[

x−

(

i−1

)(

b−a

) ]

^F

( )

^{x = f}i

[

^x−

(

ⁱ−1

)(

^b−^a

) ] ( )

x t

K , =K_ik

[

x−

(

i−1

)(

b−a

)

,t−

(

k−1

)(

b−a

) ]

şeklinde tek türlü ifade edilebilir. Bu durumda (2.38) sistemi

φ

( )

x =F

( )

x + ⁽

∫

⁾

( ) ( )

−

−n a nb

a

dt t t x K

1

, φ λ

şeklindeki integral denklemi yardımıyla tek bir denklem olarak gösterilebilir.

23

3.ARAŞTIRMA BULGULARI

3.1.Fredholm İntegral Denklemleri

2.tip bir lineer Fredholm İntegral Denklemi

u x f x K x t u t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.1)

formundadır. Burada u

( )

x bilinmeyen K

( )

x,t ve f

( )

x ise bilinen fonksiyonlardır. Tersine bir durum belirtilmedikçe K

( )

x,t fonksiyonunun

b x

a≤ ≤ ;a≤t ≤bkaresel bölgede tanımlı ve sürekli olduğu kabul edilecektir.

( )

x t

K , nin sürekli olmadığı bazı hallerde de

K

( )

x t dxdt

b

a b

a

∫ ∫

^{, 2}

integralinin sonlu bir değeri olabilir. f

( )

x ≡0 ise (3.1) denklemi u x K x t u t dt

b

a

) ( ) , ( )

( ^=λ

∫

(3.2)

şekline gelir ve bu denkleme homojen tipten integral denklemi denir.

3.2.Sabit Çekirdekli İntegral Denklemler

(3.1) denkleminin çekirdeğini K

( )

x,t = c alırsak denklem u x f x cu t dt

b

a

) ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.3)

olur..Bu denklemde λc=µ dersek

u x f x u

( )

tdt

b

a

∫

+

= ( ) µ

)

( (3.4)

24

bulunur. (3.4) ifadesindeki belirli integralin sınırları sabit olduğu için integral değeri mevcuttur. Bu değeri A ile gösterip (3.4) fonksiyonunda yerine yazarsak ifade

u(x)= f(x)+µA (3.5) şeklini alır.(3.4) fonksiyonu çözüm olduğundan ^u

( )

^x integral denklemini sağlar. Bunu tekrar (3.4) fonksiyonunda yerine yazarsak

f(x)+µA = ⁺

∫ ( ( )

⁺

)

b

a

dt uA t f x

f( ) µ ,

olur.Buradan











 −

∫

^b

a

dt

A 1 µ = f

( )

tdt

b

a

∫

ve buradan da

A=

( )

f

( )

tdt a

b

b

a

−

∫

−µ 1

1

bulunur. Burada 1⁻µ

(

^b−a

)

≠ 0olmalıdır.Diğer taraftan ^f

( )

^x bilindiği için A değeri hesaplanabilir.Bulunan A yı (3.5) denkleminde yerine yazarsak çözüm olan ^u

( )

^x fonksiyonu

^u

( )

^{x = f}

( )

^{x +}

( ) ( )





 





−

−

∫

^b

a

dt t a f µ b µ 1

1

şeklinde bulunur.µ =λc yerine yazılır ve düzenlenirse

^u

( )

^{x = f}

( )

^{x +}

( )

f

( )

tdt a

b c

c ^b

a

−

∫

−λ λ

1 (3.6) elde edilir. Eşitliğin sağ tarafı bilinen değerler olduğu için (3.6) ifadesi sabit çekirdekli Fredholm denklemlerinin çözümüdür. Volterra integral

25

denklemlerinde integralin sınırlarından birisi değişken olduğu için A bir sabit değer değildir ve üstteki gibi bir çözüm bulamayız.

Örnek 3.1: ^u

( )

^{x =sinx+2}

∫

¹

( )

0

dt t

u integral denklemini çözelim.

A=

∫

¹

( )

0

dt t

u , ^u

( )

^{x =}sinx+2A olur. Buradan

sinx+2A=sinx+

∫

¹

(

⁺

)

0

2 sin

2 t Adt

=sinx −2cos1+2+4A

elde edilir. Bu ifade düzenlenirse A=cos1−1 bulunur.Bu durumda çözüm de ^u

( )

^{x =sinx+2}

(

^cos1−1

)

olur.

3.3.Çekirdeğin Değişkenlerine Ayrılabilir Olması (Dejenere Çekirdekler)

Fredholm İntegral denkleminde çekirdeğin

^K

( )

^{x,t =r}

( ) ( )

^{x st} (3.7) şeklinde dejenere çekirdek olduğunu kabul edelim. Bu durumda integral denklem

u x f x r

( )

xs t u

( )

t dt

b

a

) ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.8)

= f x r

( ) ( ) ( )

x stu t dt

b

a

∫

+λ ) (

şeklinde yazılabilir.

A= s

( ) ( )

tu t dt

b

a

∫

26 denirse (3.8) denklemi

^u(^x)= ^f(^x)+λ^Ar

( )

^x (3.9) şeklini alır. Bu da integral denklemin çözümüdür. O halde denklemi sağlar.(3.8) denkleminde yerine yazılırsa

^f(^x)+λ^Ar

( )

^x = f x r

( )

x

[

f

( )

t Ar

( )

t

]

s

( )

t dt

elde edilir. Böylece

1−

∫

^br

( ) ( )

^{t st dt} ≠0

bulunur. Bu ifadedeki integraller hesaplanarak (3.9) da yerine yazılırsa

u(x)= f(x)+

elde edilir. Bu da (3.8) denkleminin çözümüdür.

Örnek 3.2:^u

( )

^{x =sinx+}λ

∫

² x t u

( )

tdt

dejenere çekirdekli integral denklemini çözelim.

( )

x

r =sinx ve ^s

( )

^{t =cost} olmak üzere verilen integral denklemi

27

^u

( )

^{x =}sinx+λ sinx

∫

²

( )

0

cos

π

dt t tu

şeklinde yazabiliriz.

A=

∫

²

( )

0

cos

π

dt t tu

olduğundan çözüm

u

( )

x =sinx+λAsinx (3.12) olur. Bunu (3.11) de yerine yazarsak

sinx+λAsinx=sinx+λ sinx

∫

²

(

⁺

)

0

sin sin

cos

π

λA t dt t

t

bulunur. Bu ifade düzenlenirse

A=

∫

²

0

sin cos

π

tdt

t +λA

∫

²

0

sin

π

tdt

elde edilir. İntegraller hesaplandığında

∫

²

0

sin cos

π

tdt

t =

2 1 ve

∫

²

0

sin

π

tdt=1

olur. Böylece A= 2

1+λA⁼ λ 2 2

1

− bulunur. Bunu (3.12) denkleminde yerine yazarsak integral denklemin çözümü

u

( )

x =sinx+sinx

λ λ

2 2− şeklinde ortaya çıkar.

3.4.Dejenere Çekirdeğin Genel Hali1

Dejenere çekirdeğin genel hali

28

şeklindedir. Bu çekirdeği

u x f x K x tu t dt

Fredholm integral denkleminde yerine yazarsak denklem

u x f x r

( ) ( )

x s tu t dt

dersek (3.14) denklemi

^u(^x)= ^f(^x)+λ

[

^A₁^r₁

( )

^x + ^A₂^r₂

( )

^x +...+^An^rn

( )

^x

]

(3.15)

olur. Bu ifade de yine ^ri

( )

^x ler integral dışına alınır, sadeleştirmeler yapılır ve

( )

^x

r_i fonksiyonlarının katsayıları birbirine eşitlenirse

A₁= s

( ) ( )

t

[

f t Ar

( )

t A_nr_n

( )

t

]

dt

29

A_n= s

( ) ( )

t

[

f t Ar

( )

t A_nr_n

( )

t

]

dt

b

a

n +λ + +λ

∫

^{1 1 ...}

bulunur. Bu ifadedeki integraller ayrılıp

B₁=

∫ ( ) ( )

b

a

dt t f t

s₁ , ,B_n=

∫ ( ) ( )

b

a

n t f t dt s

c₁₁=

∫

^b

( ) ( )

a

dt t r t

s_{1 1} , ,c_1n=

∫

^b

( ) ( )

a

n t dt r t s₁

……… ………

c_n1=

∫ ( ) ( )

b

a

n t r t dt

s ₁ , c_nn=

∫ ( ) ( )

b

a n n t r t dt s

şeklinde düzenlenirse (3.16) bağıntısı

A₁=B₁+ λ A₁c₁₁+λA₂c₁₂+...+λA_nc_1n A₂=B₂ + λ A₁c₂₁ +λA₂c₂₂+...+λAnc₂n

……….

A_n=B_n + λ A₁c_n1 +λA₂c_n2+...+λA_nc_nn olur ve böylece

(

1−λc11

)

A1 −λc12A2 −λc13A3 −...−λc1_nA_n =B1

−λc21A1 +

(

1−λc22

)

A2 −λc23A3 −...−λc2_nA_n =B2

……… (3.17) −λcn₁A₁−λcn₂A₂ −λcn₃A₃ −...+

(

1−λcnn

)

An =Bn

şeklinde bir lineer sisteme ulaşılır. Bu sistemin katsayılar matrisini D

( )

λ ile gösterirsek sistemin çözümünün olması için D

( )

λ ≠ 0 olmalıdır. Yani

30 denklemin bir çözümü vardır. Cramer yöntemi gereğince A_i çözümleri

( )

integral denkleminin çözümünü bulalım.

K

( )

x,t =sin

(

x+t

)

=sinx cost+sint cosx

olmak üzere buradan

31

^u

( )

^{x =1}+ λ

(

^A1^sinx+ ^A2^cosx

)

(3.20) elde edilir.(3.20) yi (3.19) da yazar ve düzenlersek

1+ λ

(

^A1^sinx+ ^A2^cosx

)

=1+^λ2

∫

^π

(

⁺

)

0

sin x t

[

¹+λ

(

^A1^sint+^A2^cost

) ]

dt olur. Buradan

x A x

A₁sin + ₂cos =sinx

∫

^π

2

0

cos tdt+λA₁ sinx

∫

^π

2

0

sin

cost tdt+λA₂ sinx

∫

^π

2

0

cos tdt2

+cosx ²

∫

^π

0

sin tdt+λA₁cosx²

∫

^π

0

sin tdt2 +λA₂ cosx²

∫

^π

0

sin

cost tdt (3.21)

yazılabilir. Diğer taraftan

∫

^π

2

0

cos tdt=0; ²

∫

^π

0

sin

cost tdt=0; ²

∫

^π

0

cos tdt2 =π ; ²

∫

^π

0

sin tdt=0;

∫

^π

2

0

sin tdt2 =π

olup bu değerler (3.21) de yerine yazılır ve düzenlenirse A₁sinx+A₂cosx=λπA₂sinx+λπA₁cosx bulunur. Böylece

A₁ =λπA₂ A₂ =λπA₁ veya

A₁ −λπA₂ =0 A₂ −λπA₁ =0

olur. Uygun bir aralıktaki her λ için bu sistem sağlanıyorsa A₁ = A₂ =0 olmak zorundadır.A₁ ve A₂ (3.20) de yazılırsa ^u

( )

^{x =1} çözümü elde edilir.

32 3.5.Çözücü Çekirdek(Resolvent)

Bir önceki kesimde bulduğumuz ^D

( )

^λ determinantında i.sütun kaldırılarak yerlerine B₁,B₂,...B_n sabitlerini koymuş ve elde edilen determinantı Di

( )

^λ ile göstermiştik. Di

( )

^λ determinantının i. sütun elemanlarına göre açılım yapılır ve bu elemanlara ait eşçarpanlar ∆ ile gösterilirse

D_i

( )

λ =

∑

=

=

∆

n

j i

ji

Bi 1 1

yazılabilir. Bu durumda (3.18) ile verilen A_i sabitleri,

( ) ( )

λ λ D A_i = Dⁱ =

( )

λ D

1

∑

=

=

∆

n

j i

ji

Bi 1 1

(3.22)

şeklinde olur.B_i sabitlerini

B_i=

∫ ( ) ( )

b

a

i t f t dt s

şeklinde tanımlamıştık. B_i ler (3.22) de yerine yazılırsa

A_i=

( )

λ D

1

∑

=

=

∆

n

j i

ji 1 1

( ) ( )

∫

^b

a

i t f t dt s

bulunur. A_i ler

u(x)= f(x)+λ r

( )

x

n

i

∑

i

=1

( ) ( )

∫

b

a

i t u t dt s

denkleminde yerine yazılırsa

u(x)= f(x)+λ r

( )

x

n

i

∑

i

=1

Ai

33

bulunur. Diğer taraftan

D

(

x, t;λ

)

=

( ) ( )

ifadesine çözücü çekirdek denir.

Bu ifade (3.25) te yerine yazılırsa integral denklemin çözümü

+ edelim. Bu durumda (3.26) dan

+

34 +

= ( ) )

(x f x

u λ

∫

^b

( ) ( )

a

dt t f t x R₂ , ;λ

yazılabilir. İki bağıntı taraf tarafa çıkarılırsa

λ

( ( ) ( ) ) ( )





 





∫

^b −

a

dt t f t x R t

x

R₁ , ;λ ₂ , ;λ =0

olur. λ ≠0 ve ^f

( )

^x ≠⁰ olduğundan bu integralin 0 olması ancak R₁

(

x,t;λ

)

-R₂

(

x,t;λ

)

=0

olması ile mümkündür. Yani

R1

(

x^,t^;λ

)

=R2

(

x^,t^;λ

)

dir. O halde ^R

(

^{x, t;λ}

)

çözücü çekirdği tektir.

3.6.İtere Çekirdek

Bir integral denklemde ^K

( )

^x,t çekirdeğinin ^K2

( )

^x,t ;^K3

( )

^x,t

;…;^Kn

( )

^x,^t ile gösterilen ve sırasıyla 2. mertebeden; 3.mertebeden;…;n.

mertebeden itere çekirdek olarak adlandırılan başka şekilleri de verilebilir.

Örneğin 2.mertebeden bir itere çekirdek y değişken olmak üzere

^K2

( )

^x,t = K

(

x y

) ( )

K y tdy

b

a

∫

^{, ,} (3.27)

şeklindedir.3. mertebeden bir itere çekirdek ise benzer olarak

^K3

( )

^x,t = K

(

x y

) ( )

K y tdy

b

a

∫

^{, 2 ,}

= K

(

y,y1

)

K

(

y1,y2

) (

K y2,t

)

dy2 dy1 b

a

b

a

∫ ∫

^



 





=

∫ ∫

^b

( ) ( ) ( )

a b

a

dy dy t y K y y K y y

K , _{1 1}, _{2 2}, _{2 1}

35

şeklinde yazılabilir. İşlemlere devam edilirse n. mertebeden bir itere çekirdek ^Kn

( )

^x,^{t =}

(

1

) (

1 2

) (

1

)

1 2 1

m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere bir itere çekirdeği K_m+n

( )

^{x,t =}

(

^,

) (

^,

)

şeklinde de gösterebiliriz. Bu bağıntılarda görüldüğü gibi itere çekirdekteki integral sayısı değişkenlerin sayısına eşittir.

Örnek3.4:a=−1ve b=1 olmak üzere ^K

( )

^{x,t =x}− fonksiyonu için itere ^t

36

37

olup K

( )

x,t çekirdek fonksiyonu simetrik olmadığı için x< ve t t< x durumlarını ayrı ayrı inceleyelim.

x< hali: t x< iken üç farklı durum söz konusudur. Yani t

olarak elde edilir.

x

38

3.7.Ardışık Yaklaşıklıklar Metodu

u x f x K x t u t dt

integral denkleminin ilk yaklaşımı olarak λ=0durumunu alalım.

λ =0 için u

( )

x =f

( )

x =φ₀

( )

x dır. Diğer taraftan

dt

denilirse (3.29) ifadesi

u₁(x)= f(x)+λφ₁

( )

x ve f

( )

x =φ₀

( )

x olduğu için

39

u₁(x)=φ₀

( )

x +λφ₁

( )

x (3.31) yazılabilir. u₁

( )

x i çözüm olarak (3.28) de tekrar kullanırsak

u x f x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ₁

2 ^{= +λ}

∫

(3.32) elde edilir. (3.31) ifadesi (3.32) de yerine yazılırsa

u x

( )

x K x t

( ( )

t

( )

t

)

dt

b

a

1 0

0

2( )=φ +λ

∫

( , )φ +λφ

⁼

( )

⁺

∫ ( )

⁺

∫

^b

( ) ( )

a b

a

dt t t x K dt

t t x K

x ₀ ² ₁

0 λ ( , )φ λ , φ

φ (3.33)

olur. Diğer taraftan

φ₂

( )

x = K x t t dt

b

a

) ( ) , ( φ₁

∫

(3.34)

diyelim.(3.34) ve (3.31) eşitlikliklerini (3.33) eşitliğinde yerine yazılırsa u₂

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x

elde edilir. İşlemlere benzer şekilde devam edilirse

u_n

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x +…+λⁿφ_n

( )

x (3.35) serisi bulunur. Burada

φ_n

( )

x = K x t _n

( )

t dt

b

a

) 1

,

( ₋

∫

^φ

⁽

^n=1,2,...

⁾

(3.36)

dır.Böylece (3.28) den

u

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x +…+λⁿφ_n

( )

x +… (3.37) serisi elde edilir. O halde

u

( )

x =

∞

→

nlim u_n

( )

x

40

tir. λ nın mutlak değeri yeterince küçük olursa (3.37) serisi düzgün yakınsak olur. Bu serinin limiti de integral denklemin çözümü olur.Şimdi (3.37) serisinin hangi koşullar altında yakınsak olduğunu inceleyelim.

( )

x

f fonksiyonu

[ ]

^a,b aralığında sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur. Yani

f

( )

x < A

olacak şekilde bir A reel sayısı vardır.^K

( )

^x,t fonksiyonu da a≤ ,x t≤b aralığında sürekli bir fonksiyondur. Aynı şekilde

K

( )

x,t <M

olacak şekilde bir M sayısı vardır. Diğer taraftan (3.36) bağıntısını göz önüne alırsak

φ0

( )

x < A ve φ1

( )

x <MA

(

b−a

)

olduğu görülür. Ayrıca

φ₂

( )

x = ( , ) ( )₁

b

a

K x tφ t dt

∫

olduğundan

φ2

( )

x <M²A

(

b−a

)

²

yazılabilir. İşlemlere devam edilirse

φ_n

( )

x =

∫

^b

( )

⁻

( )

a

n t dt

t x

K , φ ₁ <MAMⁿ⁻¹

(

b−a

) (

ⁿ⁻¹ b−a

)

=MⁿA

(

b−a

)

ⁿ

yazılabilir. Böylece

A+ λ ^AM

(

^b−^a

)

+λ^{2 AM2}

(

^b−^a

)

²+…+λ^{n AMn}

(

^b−^a

)

ⁿ+… (3.38) serisi elde eilir. Bu seri (3.37) serisinin majorantıdır. Bu seride λ ^{M b}

(

^−a

)

41

ifadesi her terimde ortaktır. Bunu q ile gösterip ifadeyi A parantezine alırsak A

(

^{1+q+q2 +...+qn +...}

)

şeklinde bir geometrik seri elde ederiz. Bu serinin yakınsak olması için q <1 olmalıdır. Yani

eşitsizliği sağlanmalıdır. Eğer λ sayıları (3.39) eşitsizliği sağlanacak şekilde seçilirse (3.38) serisi yakınsak olur.Böylece karşılaştırma kriterinden dolayı (3.37) serisi yakınsak olur.Sonuç olarak (3.37) serisinin toplamı da integral denklemin çözümünü verir.(3.39) şartı yakınsaklık için yeterli, fakat gerekli değildir.

42

r için parantez içinde ki geometrik seri yakınsak olup buradan

( )

^x

u =

9 1 4x

+

çözümü elde edilir.

3.8.Ardışık Yaklaşıklıklar Yöntemindeki Çözümün Tekliği

Teorem 3.2: u x f x K x t u t dt integral denklemi verilsin ve

a) λ sabit ve λ <

koşullarının sağlandığını varsayalım. Bu takdirde (3.41) integral denkleminin tek bir ^u

( )

^x çözümü vardır.

İspat: (3.41) denkleminin ^u1

( )

^x ve^u2

( )

^x gibi farklı iki çözümünün olduğunu kabul edelim. Yani

u x f x K x tu t dt olsun. Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa

43

^u1

( )

^x -^u2

( )

^x = K x t

(

u

( )

t u

( )

t

)

dt

b

a

2

) 1

,

( −

∫

λ

bulunur. ^u1

( )

^x -^u2

( )

^x =^v

( )

^x diyelim. O halde ^v

( )

^{x =} K x t v

( )

t dt

b

a

∫

^{( , )}

λ

dır.^u1

( )

^x ≠ ^u2

( )

^x olduğundan ^v

( )

^{x ≠ 0 dır. v}

( )

^x in mutlak değerinin karesi alınıp Schwartz Eşitsizliği uygulanırsa

v

( )

x ²< ²

(

^,

)

²

( )

²

b b

a a

K x t dt v t dt

λ

∫ ∫

olur. Buradan x e göre integral alınırsa

∫

^{b v}

( )

^{x dx}<

a 2

( ) ( )

²

2 2 2

b

a

M b a v t dt

λ −

∫

yazılabilir. Buradan

^_^{1− λ2M2}

(

^b−a

)

^2_

∫

^{b v}

( )

^{x dx<}

a 2

0 (3.44)

elde edilir. a) şartından dolayı λ ^{M b}

(

^−a

)

^<1dir,yani

^1−λ2M2

(

^{b a−}

)

^{2 > 0}

dır.(3.44)ün sağlanması için

∫

^{b v}

( )

^{x dx}<

a 2

0

olmalıdır. Fakat pozitif bir fonksiyonun integrali negatif olamıyacağı için bu bir çelişkidir, dolayısıyla v

( )

x ≡⁰ olmalıdır.Yani her x için

^u1

( )

^x =^u2

( )

^x

bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

44

integral denklemine ardışık yaklaşıklıklar yöntemini uygulayalım.

^u0

( )

^x =^f

( )

^x

alınıp (3.45) denkleminde yazılırsa

u x f x K x t f t dt

elde edilir. Tekrar bunu (3.45) denkleminde kullanırsak

^{u x f x K x t f}

( )

^{t K}

(

^{t t}

) ( )

^{f t dt dt}

olur. Diğer taraftan

K2

(

x, t1

)

=

∫ ( ) ( )

olduğundan (3.46) ifadesi

u x f x K x t f t dt

şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde ^u3

( )

^x hesaplanırsa

( )

^x

45

bulunur. Böylece t₁ yerine t yazıp işlemlere devam edilirse

dt

elde edilir. Ayrıca

^u

( )

^{x =}

∞

→

nlim ^un

( )

^x

olduğunu biliyoruz. Buradan

( )

^x

Tanım 3.2:(3.50) serisine Neumann ya da Liouville serisi denir.

( )

x A

f < ve K

( )

x,t <M olacak şekilde Ave M

pozitif reel sayıları varsa (3.50) serisinin yakınsak olduğunu biliyoruz. Şimdi hangi koşullar altında (3.50) serisinin yakınsak olduğunu araştıralım.

∫

^b

( ) ( )

eşitsizliğinden hareketle 2.mertebeden itere çekirdek için ^K_{( )}2

( )

^x,t <M²b−a ,

eşitsizliği yazılabilir. Böyle devam edilirse

46

∫

^b _{( )}

( ) ( )

a n

n K x,t f t dt

λ ≤ λⁿ M A b aⁿ − ⁿ

bulunur. Böylece

K_{( )}

( ) ( )

x t f t dt

b

a n n

n

∫

∑

^∞

=

,

1

λ ≤

( )













∑

^∞ −

=

n

n

a b M N

1

λ (3.51)

yazılabilir.q=λ^M

(

^b−a

)

denirse

q= λM

(

b−a

)

<¹

olması halinde (3.51) in sağında ki geometrik seri yakınsak olur. Bu koşulu daha önce

λ <

(

^{b a}

)

M −

1 (3.52)

olarak belirtmiştik. Bu durumda (3.50) Neumann serisi de yakınsak olur.

(3.52) ile verilen yakınsaklık aralığı daha da genişletilebilir.

⁼

∫ ∫

^b

( )

a b

a

dxdt t x K

B ² , (3.53)

olmak üzere integral hesabın ortalama değer teoremine göre

⁼

∫ ∫

^b

( )

a b

a

dxdt t x K

B ² , ≤^M

(

^b−^a

)

yazılabileceğinden

λ <

B

1 (3.54)

için (3.50) serisi yine yakınsak olur. Çünkü K

( )

x,t <M değeri karesel bölgenin bir noktasında büyük bir değer alarak M yi büyütebilir ve

λ <

(

^{b a}

)

M −

1

47

ifadesinde λ yı küçültebilir. Fakat (3.53) integrali hacmi verdiğinden genellikle

^B<^M

(

^b−^a

)

olur. O halde

λ <

B 1

den λ için daha büyük bir değer elde edilir.

Örnek 3.8: ^u

( )

^{x =} x⁺

∫

¹x tu

( )

tdt

0

2 λ 2

integral denkleminin yakınsaklık aralığını genişletelim.

λ <

(

^{b a}

)

M −

1 ⇒ λ <

1 . 1

1 ⇒ λ <1 olup

⁼

_{∫ ∫}

¹

( )

0 1

0 2 2

dxdt t x

B = ²

1 1

0 1

0 2

4 



 





∫ ∫

^{x t dxdt =}

1 15 elde edilir. λ <

B

1 ⇒ λ < 15

olur ve böylece yakınsaklık aralığı daha da genişlemiş olur.

3.10.Çözücü Çekirdeğin Ardışık Çekirdekler Yardımıyla Oluşturulması

u x f x K x t u t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

integral denklemini ardışık yaklaşıklıklar yöntemi ile çözerken ^{u x f x}

( )

^x

n n n

∑

^∞

=

+

=

1

) ( )

( λ φ (3.55) serisini elde etmiştik. Burada

48

olmak üzere φn

( )

^x fonksiyonları itere çekirdekler yardımıyla belirtilebilir.

( )

( )

x t =

K _n , K

(

x,t1

)

K_(n 1₎

(

t1,t

)

dt1 b

a

∫

−

olmak üzere (3.55)serisini

( )

¹ olarak alabiliriz. Burada

( )

¹ ifadesine ^K

( )

^x,t çekirdek fonksiyonunun Neumann Serisi denir. Bu seri

⁼

∫ ∫

^b

( )

49 λ <

B

1 (3.58)

için yakınsaktır. R

(

x, t;λ

)

resolvantını (3.56) da yerine yazarsak u x f x R

(

x t

)

f t dt

b

a

) (

; , )

( )

( ^{= +λ}

∫

^λ

ifadesi çözüm olarak bulunur. Resolvant (3.58) şartı için yakınsak olmakla beraber

λ >

B 1

için de integral denklemin çözümü var olabilir.

Örnek 3.9: ^u

( )

^{x = +}

∫

¹u

( )

tdt

0

1 λ

integral denkleminde ^K

( )

^x,t ≡1 ve dolayısıyla B²=

∫ ∫

¹

0 1

0

2dxdt K =

∫ ∫

¹

0 1

0

dxdt=1

ve λ <

B

1 den λ <1 için (3.56) serisi yakınsaktır. Diğer yandan bu denklem

λ >1 için de çözülebilir.

≠1

λ ise ^u

( )

^{x =}

λ

− 1

1 fonksiyonu verilen integral denklemin çözümüdür.

Bazı Fredholm denklemleri için Neumann Serisi λ nın her değeri için çözücü çekirdeğe yakınsar.

3.11.Ortogonal Çekirdekler

Tanım 3.4:^K

( )

^{x,t veL ,}

( )

^{x t} gibi iki çekirdek alalım.a≤ ,x t≤b olmak üzere x ve t nin belli değerleri için

50

∫

^bK

(

^x,^z

) ( )

^{L z},^{t dz}=0

a

,

∫

^bL

(

^x,^z

) ( )

^{K z},^{t dz}=0

a

şartları sağlanıyorsa

[ ] [ ]

a,b × a,b karesel bölgesinde ^K

( )

^{x,t veL ,}

( )

^{x t}

çekirdeklerine ortogonal (dik) tir denir.

Sonuç: ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} iki çekirdek olmak üzere bu çekirdeklerden biri iki değişkene göre tek, diğeri iki değişkene göre çift ise simetrik aralık üzerinde ortogonaldirler. Yani

^L

(

−^x,t

)

=-^{L ,}

( )

^{x t}

^L

(

^x,−t

)

^{=-L ,}

( )

^{x t}

^K

(

^−x,t

)

^=K

( )

^x,t

^K

(

^x,−t

)

^=K

( )

^x,t

şartları sağlanıyorsa ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} çekirdekleri ortogonaldir. Yani

∫ (

,

) ( )

, =0

−

dz t z L z x K

b

b

,

∫ (

,

) ( )

, =0

−

dz t z K z x L

b

b

dır.

Örnek 3.10: ^K

( )

^x,t = xt ve^{L ,}

( )

^{x t =x4t4}çekirdekleri

[

^−1,1

] [

^{× −1,1}

]

^karesel

bölgesinde ortogonaldir. Gerçekten

( ) ( )

=

∫

−

dz t z L z x

K , ,

1

1

∫

=

−

dz t xzz

1

1 4

4 0

( ) ( )

=

∫

−

dz t z K z x

L , ,

1

1

∫

=

−

dz zt z x

1

1 4

4 0

olduklarından verilen karesel bölgede ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} ortogonaldir.

51

Kendi kendine dik olan çekirdekler de vardır. Bu durumda n≥2 olmak üzere K_{( )n}

( )

x,t ≡0 olur ve çözücü çekirdek ^K

( )

^x,t ye eşittir. O halde Neumann Serisi yalnız bir terimden ibarettir ve λ nın her değeri için yakınsaktır.

Örnek 3.11: ^K

( )

^{x,t =sin}

(

^x−2t

)

^;0≤ x ≤2π , 0≤ t≤2π olsun.

( ) ( )

=

∫

^{K x,z K z,t dz}

2

0 π

( ) ( )

∫

^{π − −}

2

0

2 sin 2

sin x z z t dz

= 2

1 ²

∫

^π

[ (

^{− +}

)

⁻

(

^{− −}

) ]

0

2 cos 2

3

cos x z t x t z dz

= 2

1

( ) ( )

π 2

0

2 sin 2 3 3 sin

1 



 



  − + + − −



 



− x z t x t z

=0

Yani R

(

x, t;λ

)

≡^sin

(

^x−2t

)

dir ve Neumann serisi λ nın her değeri için yakınsaktır.

Teorem 3.3:Eğer ^M

( )

^{x,t ve N}

( )

^x,t çekirdekleri ortogonal ise ^K

( )

^{x,t =M} +^N çekirdeğine karşılık gelen R

(

x, t;λ

)

çözücü çekirdeği;^M

( )

^{x,t çözücü}

çekirdeğine karşılık gelen R₁

(

x,t;λ

)

çözücü çekirdeği ile ^N

( )

^{x,t çözücü}

çekirdeğine karşılık gelen R2

(

x^,t^;λ

)

çözücü çekirdeğinin toplamına eşittir.

Örnek 3.12: ^K

( )

^{x,t =xt+x4t4,} a=−¹,b=1 çekirdeği için çözücü çekirdeği bulalım.

( )

^{x t}

M , = xt ve^N

( )

^{x,t =x4t4} çekirdeklerinin

[

−^1,1

] [

× −^1,1

]

karesinde ortogonal olduklarını daha önce göstermiştik. ^K

( )

^x,t çekirdeğinin çözücü

52

olup parantezin içi λ 3

= 2

r olan bir geometrik seridir.r<1 için seri yakınsaktır

ve yakınsadığı değer

λ

53

bulunur.O halde

R_N

(

x, t;λ

)

=

olduğundan bu seri de yakınsaktır.Serinin toplamı S_n= λ

x dır.Teoremde 3.3 ten dolayı

(

x, t;λ

)

bulunur. Şimdi çözümün yakınsaklık aralığını inceleyelim.

B²= K

( )

x tdxdt

olduğunu biliyoruz. Buradan

M

( )

x tdxdt

elde edilir. Böylece

B²=

54 bulunur. λ <

B

1 için çözüm yakınsak olacağından

λ <

40

9 için çözüm yakınsaktır.

3.12.Fredholm Metodu

Bu kesimde homojen olmayan Fredholm integral denklemleri için bir çözüm metodu inceleyeceğiz.

Riemann anlamında ki integral kavramından da bilindiği gibi bir toplamın limiti

∞

→ n

lim

∑ ( )

=

∆

n

i

i

i x

x f

1

=

∫

^b

( )

a

dx x

f ,

n a x_i b−

=

∆

şeklindedir. Şimdi

u x f x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.59)

integral denklemini inceliyelim. ^f

( )

^{x ve K}

( )

^x,t fonksiyonları sıfırdan farklı olsunlar.

(

^a,b

)

aralığını t değişkenine göre

a

t₁ = ,t₂ =a+∆t,t₃=a+ 2∆t,…,t_n =a+

(

n−1

)

∆t=b,∆t= n

a b−

şeklinde n parçaya bölelim.K

( )

x,t u

( )

t çarpımının bir yaklaşık değeri

( )

x t

K , u

( )

t ≅ K

(

x, t₁

)

u

( )

t₁ +K

(

x, t₂

)

u

( )

t₂ +…+K

(

x,t_n

)

u

( )

t_n

şeklinde yazılabilir. ∆t=dt yazılabileceğinden sol yanı dt ile çarpıp integrale geçelim. Bu durumda sağ yanın ∆t ile çarpımının bir yaklaşık değerini buluruz. Buna göre

dt t u t x K

b

a

) ( ) ,

∫

( ⁼

^[

^K

⁽

^x,t1

^{) ( )}

^{u t1 +K}

⁽

^x,t2

^{) ( )}

^{u t2 +...+K}

⁽

^x,tn

^{) ( )}

^utn

^]

^∆t

55 olur. Bunu (3.59) de yazarsak

t x f x

u( )= ( )+λ∆

[

K

(

x,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

x,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

x,tn

) ( )

utn

]

(3.60) bulunur. Aynı işlemleri x için de yaparsak

a

x₁ = ,x₂ =a+∆x,x₃=a+ 2∆x,…,x_n =a+

(

n−1

)

∆x=b, ∆x= n

a b−

ve ∆t=∆x= n

a b−

=∆ olmak üzere (3.60) dan

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x₁ f x₁

u

[

K

(

x₁,t₁

) ( )

ut₁ +K

(

x₁,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

x₁,tn

) ( )

u tn

]

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x₂ f x₂

u

[

K

(

x₂,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

x₂,t₂

) ( )

ut₂ +...+K

(

x₂,tn

) ( )

u tn

]

………

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x_n f x_n

u

[

K

(

xn,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

xn,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

xn,tn

) ( )

u tn

]

elde edilir.i=1,2,...,n; j=1,2,...,n olmak üzere

( )

x_i u_i

u = ;u

( )

t_i =u_i; f

( )

x_i = f_i;K

(

xi,tj

)

=K_ij dönüşümlerini yaparsak üstteki sistem

u1=f₁+λ∆

[

K₁₁u₁ +K₁₂u₂ +...+K₁nun

]

u2=f₂ +λ∆

[

K₂₁u₁+K₂₂u₂ +...+K₂nun

]

………

un=fn +λ∆

[

Kn₁u₁+Kn₂u₂ +...+Knnun

]

olarak yazılabilir. Bu sistem yeniden düzenlenirse

(

1−λ∆K11

)

u1-λ∆K₁₂u₂-λ∆K₁₃u₃-…-λ∆K_1nu_n=f₁

1 21u

∆K

−λ +

(

1−λ∆K22

)

u2-λ∆K₂₃u₃-…-λ∆K_2nu_n= f₂

1 31u

∆K

−λ -λ∆K₃₂u₂+

(

1−λ∆K₃₃

)

u₃-…-λ∆K_3nu_n= f₃ (3.61)

………

1 1u K_n

∆

−λ -λ∆K_n2u₂-λ∆K_n3u₃-…+

(

1−λ∆K_nn

)

u_n=f_n

56

sistemi elde edilir. Bu sistemin Cramer yöntemi ile çözülebilmesi için katsayılar determinantının sıfırdan farklı olması gerekir.Katsayılar determinantını ∆

( )

λ ile gösterelim.Yani sonsuz sütunlu bir determinant olarak düşünülebilir. Bu tür determinantlara Fredholm determinantları denir. Diğer taraftan

sütunlu bir determinant olarak Fredholm determinantı olur. Böylece

57

yazılabilir. Bu değer (3.26) de yerine yazılırsa

u(x)= f(x)+ λ

( )

inceleyelim.(3.63) gereğince ∆

( )

λ açılımında

∑

işaretleri yerine integraller yazılırsa

olur. n -yinci terimdeki n katlı integral A_n ile gösterilirse (3.65) ifadesi kısaca

D

( )

λ =

( )

58

bağıntısı ile integral denklem çözülür.

3.13.Özdeğerler ve Özfonksiyonlar

u

( )

x ≡0 fonksiyonu

59

formundaki 2 tipten homojen Fredholm integral denkleminin daima bir aşikar çözümüdür.

Ancak λ parametresinin bazı değerleri için özdeş olarak sıfır olmayan bazı çözümleri olabilir. λ parametresinin bu değerlerine (3.69) denkleminin veya K

( )

x,t çekirdeğinin karakteristik sayıları denir. Bu karakteristik sayılara karşılık gelen sıfırdan farklı çözümlere de özfonksiyon denir.

( )

x t

K , çekirdeği

[ ] [

^a,b × ^a,b

]

karesinde sürekli veya bu karede kuadratik olarak toplanabilir ise her λ karakteristik sayısına sonlu sayıda lineer bağımsız özfonksiyon karşılık gelir. Bu fonksiyonların sayısına karakteristik denklemin indeksi denir.

u

( )

x = r

( ) ( ) ( )

xs t ut dt

integral denkleminin p

(

p≤n

)

karakteristikleri

D

( )

λ =

cebirsel denkeminin kökleridir. D

( )

λ determinantı

(

1−λc₁₁

)

A₁−λc₁₂A₂ −λc₁₃A₃ −...−λc_1nA_n =0

60

lineer, homojen cebirsel denklem sisteminin katsayılar determinantıdır. Eğer (3.71) denkleminin p

(

1≤ p≤n

)

adet kökü varsa (3.70 ) denkleminin p tane karakteristik sayısı vardır. Her λ_m

(

^m=1,2,...p

)

karakteristik sayısı (3.72) sisteminin sıfırdan farklı

λ₁ → A₁^{( )1} ,A₂^{( )1},,...,A_n^{( )1} ………

λ_p →A₁^{( )p} ,A₂^{( )p} ,,...,A_n^{( )p}

çözümlerine karşılık gelir.(3.70) integral denkleminin bu çözümlere karşılık gelen sıfırdan farklı çözümleri yani özfonksiyonları

( )

^{x A( )a}

( )

^x

u _k

n

k

∑

k

=

=

1 1

1 , ^u

( )

^{x A( )a}k

( )

^x

n

k

∑

k

=

=

1 2

2 ,…,^u

( )

^{x A( )a}k

( )

^x

n

k p k

p

∑

=

=

1

şeklinde olur. Dejenere çekirdekli integral denkleminin en fazla n tane karakteristik sayısı ve bunlara karşılık gelen n tane özfonksiyonu vardır.

Her bir λ ya karşılık gelen ^u

( )

^x karakteristik fonksiyonunun bir c sabit katı da karakteristik fonksiyondur.

Örnek 3.13:^u

( )

^{x =λ}

∫

^π

(

x t⁺ x t

)

u

( )

t dt

0

3

2 cos2 cos3 cos

cos (3.73)

homojen integral denkleminin karakteristik sayılarını ve özfonksiyonlarını bulalım.

^u

( )

^{x =λ} x

∫

^π

(

t

) ( )

u tdt

0

2 cos2

cos +^λ x

∫

^π

(

t

)

u

( )

t dt

0

cos3

3 cos

olmak üzere

A₁=

∫

^π

(

t

) ( )

u tdt

0

2

cos veA₂=

∫

^π

(

t

)

u

( )

tdt

0

cos3

61 dönüşümlerini yaparsak

^u

( )

^{x =} 1

cos xA2

λ +A₂λcos3x bulunur. Bunu (3.73) te yerine yazarsak

1

cos xA2

λ +A₂λcos3x=^λ

_∫

^π

( ) (

^{λ +λ}

)

0

2 2

1

2 cos2 cos cos3

cos x t A t A t dt+

(

^t

)(

^{A t A t}

)

^dt

x

∫

^{π λ +λ}

λ

0

2 2

1

3 cos cos3

cos 3 cos

olur. Diğer taraftan

1 =

A ^λ

∫

^π

0

2 1 cos2tcos tdt

A +^λ

∫

^π

0

2 cos2tcos3tdt

A =λA₁

π +4 λA₂.0,

2 =

A ^λ

∫

^π

0

2 3

1 cos tcos tdt

A +^λ

∫

^π

0 3

2 cos tcos3tdt

A =λA₁ 0+λA₂ π 8 bulunur. Böylece





 



 − 1 4

1

A λπ =0, 



 



 − 1 8

2

A λπ =0 (3.74)

elde edilir. Bu denklem sistemine karşılık gelen^D

( )

^λ determinantını hesaplayıp sıfıra eşitlersek

1 8 0

4 0 1

λπ λπ

−

−

=0

olup ve buradan da karakteristik değerler

λ₁ =π^{4 ve}

λ₂ =π⁸

olarak bulunur. Bu λ değerlerini (3.74) de yerine yazarsak bunlara karşılık gelen özfonksiyon A₂ =0 olduğu için sadece

^u

( )

^x =^A1λcos^2x

62 şeklinde elde edilir.

u x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( ^=λ

∫

homojen Fredholm denklemi herhangi bir özdeğere ve özfonksiyona sahip olmayabilir. Sadece ^u

( )

^{x ≡0} çözümüne yani aşikar çözüme sahip olabilir.

Aşikar çözüm olması A_i nin hesabındaki integrallerin hepsinin sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.

Örnek3.14:

( )

⁼

_∫

¹

(

⁻

) ^{( )}

0

dt t u x t t x x

u λ denkleminin karakteristik sayısı ve öz

fonksiyonu yoktur. Gerçekten

⁼

∫ ( )

1

0

1 tu t dt

A , ⁼

∫ ( )

1

0

2 tut dt

A (3.75)

^u

( )

^{x =A}1^{λ x}-A₂λx (3.76) olup (3.76) ; (3.75) te yerine yazılır ve işlemler yapılırsa

0 3

5

1 2  ₁ + ₂ =



 



 − λ A λ A

0 5

1 2

2 ¹  ² =



 



 + +

−λ A λ A

(3.77)

sistemi elde edilir. Bu sistemin determinantı

D

( )

λ =

1 150 5

1 2 2

3 5

1 2 ₂

λ λ

λ λ λ

+

= +

−

−

bulunur.Bu da sıfıra eşit olamayacağı için A₁ = A₂ =0 elde ederiz.Yani bu integral denklemin λ nın her değeri için ^u

( )

^{x ≡0} dan başka çözümü yoktur.

63

Tanım 3.5: Bir integral denkleminin^K

( )

^x,t çekirdeği ^K

( )

^{x,t =K ,}

( )

^{t x} ) eşitliğini sağlıyorsa ^K

( )

^x,t çekirdeğine simetrik çekirdek denir. Çekirdeği simetrik olan integral denklemlere de simetrik denklem denir.

3.14.Volterra İntegral Denklemleri

Tanım 3.6:^u

( )

^x bilinmeyen,^K

( )

^x,t çekirdek fonksiyonu olmak üzere u x f x K x tu t dt

x

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.78)

şeklindeki integral denkleme 2.tip homojen olmayan lineer Volterra integral denklemi denir. Eğer (3.78) de

^f

( )

^x ≡⁰ ise u x K x t u t dt

x

a

) ( ) , ( )

( ^=λ

∫

(3.79)

denklemine 2.tip lineer homojen Volterra integral denklemi denir.(3.79) tipindeki denklemler genellikle diferensiyel denkleme dönüştürülerek çözülürler.

3.15.Volterra İntegral Denkleminde Resolvant

Bu kesimde 0≤x≤a,0≤t ≤xiçin ^K

( )

^{x,t ve 0≤ x≤a için f}

( )

^x

fonksiyonu sürekli olmak üzere

0

( ) ( ) ( , ) ( )

x

u x = f x +λ

∫

K x t u t dt (3.80)

2.tip Volterra integral denkleminin

^u

( )

^{x =u}0

( )

^x + λ ^u1

( )

^x +λ²u₂

( )

x +...+λⁿu_n

( )

x +... (3.81)

64

formunda bir kuvvet serisi şeklinde çözümünü araştıracağız. Bu seriyi (3.80) denkleminde yerine yazarsak

( )

^x

u₀ + λ ^u1

( )

^x +λ²u₂

( )

x +...+λⁿu_n

( )

x +...

=^{f x K x t}

[

^u

( )

^{x u}

( )

^{x u}

( )

^{x u}n

( )

^x

]

^dt

n x

a

...

...

) , ( )

( +^λ

∫

₀ +^λ ₁ +^λ2 ₂ + +^λ + (3.82)

elde edilir.(3.82) nin sağ yanını düzenleyip λ nın kuvvetlerine göre her iki yanı eşitlersek

^u0

( )

^x = ^f

( )

^x ,

^u1

( )

^{x =} K

( ) ( )

x t u tdt

x

∫

0

, 0 ,

^u2

( )

^{x =} K

( ) ( )

x t u tdt

x

∫

0

, 1 ,

……….

u_n

( )

x = K

( )

x t u

( )

tdt

x

∫

n⁻

0

, 1

elde edilir. u₀

( )

x ifadesini u₁

( )

x te yerine yazar ve bu işlemleri ardı ardına yaparsak

u₀

( )

x = ^f

( )

^{x ,}

u₁

( )

x = K

( ) ( )

x t f tdt

x

∫

0

, ,

u₂

( )

x = K

( )

x t K

(

t t

) ( )

f t dt dt

x t

∫ ∫

^



 





0

1 0

1

, 1

,

f

( )

t dt K

( ) (

x t K t t

)

dt

x

t x

1 1

0

1 , ,

1

∫

∫

=

65 _{( )}

( ) ( )

1 1

0

1

2 x,t f t dt K

x

∫

=

………

( )

⁼

∫

_{( )}

( ) ( )

x n

n x K x t f t dt

u

0

, n=1,2,...

elde edilir. Bulunan K_{( )n}

( )

x,t fonksiyonlarına itere çekirdekler veya ardışık çekirdekler denir. Ayrıca bu çekirdekler

K₁

( )

x,t =^K

( )

^x,t

K_{( )}

( )

x t K

(

x z

)

K_{( )n}

( )

z t dz

x

t

n⁺₁ , ⁼

∫

, , ^n=1,2,... (3.83) biçiminde de yazılabilir. Bu durumda (3.81) serisi (3.83) bağıntısının yardımıyla

u

( )

x = ^f

( )

^{x +} K_{( )}

( ) ( )

x t f t dt

i x

i

∑ ∫

^∞ i

=1 0

λ ,

biçiminde yazılabilir. Burada

∑

^∞ _{( )}

( )

=

+ 0

1 ,

i

i

iK x t

λ serisi K

( )

x,t sürekli olduğundan mutlak ve düzgün yakınsak olup buna resolvant denir ve^R

(

^x,t;λ

)

ile gösterilir.

Yani

R

(

x,t;λ

)

=

∑

^∞ _{( )}

( )

=

+ 0

1 ,

i

i

iK x t

λ (3.84)

olup itere çekirdekler ve çözücü çekirdek integralin alt sınır değerinden bağımsızdır. R

(

x,t;λ

)

çözücü çekirdeği hesaplandığı takdirde Volterra integral denkleminin çözümü

66

olarak bulunur. Buda Fredholm denklemleri için bulunan bağıntı ile benzerdir.

Örnek3.15:Çekirdek fonksiyonu ^K

( )

^{x,t =ex−t}olan Volterra denkleminin çözücü çekirdeğini bulalım.

^K1

( )

^{x,t =K}

( )

^{x,t =ex−t,}

1 1 denkleminin çözümünü bulalım.

( )

^{x t}

+ olmak üzere önce çözücü çekirdeği bulalım.

67

elde edilir.(3.84) eşitliğinden λ =1 olduğu da göz önüne alınarak

^R

(

^x,t;λ

)

⁼

elde edilir.(3.85) eşitliğinden

^u

( )

^{x =}

_∫∑



(

+

)

bulunur. Gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılırsa çözüm ^u

( )

^{x =}

(

^1+x2

)(

^1+ex

)

olarak elde edilir. Şimdi

u x f x K x t u t dt

tipinde ki Volterra tipi integral denklemi inceleyelim. Bu tip denklemlere konvolüsyon tipinden integral denklem denir.(3.86) nın her iki yanının Laplace dönüşümü alınırsa

( )

68

^Φ

( )

^{s =F}

( )

^{s +k}

( )

^{s Φ}

( )

^s (3.87) elde edilir. Buradan

Φ

( )

^s =

( ) ( )

^s

k s F

−

1 k

( )

s ≠¹ (3.88) olur. Diğer taraftan (3.86) nın çözümünü

u

( )

x = ^f

( )

^{x +}

∫

^xR

(

^x−t

) ( )

^{f t dt}

0

(3.89)

biçiminde yazabiliriz.(3.89) un her iki yanının Laplace Dönüşümünü alırsak ^Φ

( )

^{s =F}

( )

^{s +r}

( )

^{s F}

( )

^{s ⇒}

( ) ( ) ( )

( )

^s

F s F s s

r Φ −

= (3.90)

bulunur.(3.88) de bulduğumuz ^Φ

( )

^s değerini (3.90) da yazarsak ^r

( )

^{s =}

( )

( )

^s

k s k

−

1 (3.91) bulunur. ^r

( )

^s in ters Laplace dönüşümü, yani ^{R ,}

( )

^{x t} fonksiyonu (3.86) integral denkleminin çözücü çekirdeğidir.

Örnek 3.17:Çekirdeği ^K

(

^x−^t

)

=sin

(

^x−^t

)

olan Volterra integral denkleminin çözücü çekirdeğini bulalım.(λ=1)

( )

1 1

2 +

= s s k

(3.91) eşitliğini kullanırsak

( )

L

( )

x s

s s s

r = =

− +

= + ₂

2

2 1

1 1 1

1 1

elde edilir.O halde çözücü çekirdek ^R

(

^x,t;1

)

^=x−t

olarak bulunur.

69 3.16.Euler İntegralleri

Bu kesimde önce Gamma ve Beta fonksiyonları yardımıyla Euler integral denklemini göreceğiz.

Tanım 3.7:^z,Re

( )

^{z >0} olan herhangi bir kompleks sayı olmak üzere Γ

( )

^z =

∫

^{∞ − −}

0

1dt t

e ^{t z} (3.92)

şeklinde tanımlanan fonksiyona Gamma fonksiyonu denir. Gamma fonksiyonuna 2.tip Euler integrali de denir.

z=1 için ^Γ

( )

^{1 =}

∫

^{∞ −}

0

dt

e ^t =1 (3.93)

elde edilir.(3.92) ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa ^Γ

( )

^{z =}1

(

1

)

+ zΓ z

yani ^Γ

(

^z+1

)

^{= zΓ}

( )

^z (3.94) olur.(3.93) ve (3.94) eşitliklerinden z pozitif tamsayı olarak alınırsa yani z = n için

Γ n

(

+¹

)

=n! (3.95) elde edilir. Analiz bilgilerinden

∫

^{∞ −}

0

2dx e ^x =

2 π .

olduğunu biliyoruz. Burada ²

1

t

x= dönüşümü yaparsak integral

1 1 2 0

e tt dt π

∞ −

− =

∫

elde edilir.(3.93) denklemini göz önüne alırsak üstteki ifadeden

70

olduğunu görürüz. Gamma fonksiyonunun (3.95) ile belirtilen özelliğini kullanarak

elde edilir. İşlemlere bu şekilde devam edilirse

( )

_π

Negatif ancak tamsayı olmayan reel sayılarda Gamma fonksiyonunun değerleri m∈N olmak üzere −m<x<−m+1 için

Ayrıca Gamma fonksiyonunun

( ) ( )

özelliği vardır. Diğer taraftan

( ) ( )

ⁿ

( )

^nx

bağıntısı mevcut olup buna Gauss-Legendre çarpım formülü denir.

Bu bağıntıda n=2 alınırsa

71

( )

^



 



 + Γ

Γ 2

x 1

x =

( )

^{2 22 2x}

( )

^2x

1 2 1

− Γ π

= ^{2 22 2x}

( )

^2x

1 2 1

− Γ π

=^{2 x 2}

( )

^2x

1 2 1⁻ π Γ olduğu görülür.

0

Rez> olmak üzere

( )

^z

Γ =

∫

^{∞ − −}

0

1dt t e ^{t z}

integraline e^−t =x dönüşümünü uygulayalım. Bu durumda dx

dt

e^−t =− ,t =0 için x=1 ve t → ∞ için x=0 olur.

1

1 1

ln

−

− 



 



=

z z

t x olduğundan ^Γ

( )

^z fonksiyonu

( ) ∫

−



 



=  Γ

1

0

1 1

ln dx

z x

z

(3.97)

olarak yazılabilir.

Tanım 3.8: Rem>0 ve Ren>0 olmak üzere

( )

⁼

∫

^{1 −}

(

⁻

)

⁻

0 1 1

1

,n x x dx

m

B ^{m n} (3.98)

şeklinde tanımlanan fonksiyona Beta fonksiyonu denir. Beta fonksiyonuna 1.tip Euler integrali denir.

Beta ve Gamma fonksiyonları arasında ^B

(

^m,n

)

⁼

( ) ( )

(

^{m n}

)

n m

+ Γ

Γ

Γ (3.99)

72 şeklinde bir bağıntının olduğu gösterilebilir.

3.17.Birinci Tip Volterra İntegral Denkleminin Gamma-Beta

3.17.Birinci Tip Volterra İntegral Denkleminin Gamma-Beta