Ardışık Yaklaşıklıklar Metodu

u x f x K x t u t dt

integral denkleminin ilk yaklaşımı olarak λ=0durumunu alalım.

λ =0 için u

( )

x =f

( )

x =φ₀

( )

x dır. Diğer taraftan

dt

denilirse (3.29) ifadesi

u₁(x)= f(x)+λφ₁

( )

x ve f

( )

x =φ₀

( )

x olduğu için

39

u₁(x)=φ₀

( )

x +λφ₁

( )

x (3.31) yazılabilir. u₁

( )

x i çözüm olarak (3.28) de tekrar kullanırsak

u x f x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ₁

2 ^{= +λ}

∫

(3.32) elde edilir. (3.31) ifadesi (3.32) de yerine yazılırsa

u x

( )

x K x t

( ( )

t

( )

t

)

dt

b

a

1 0

0

2( )=φ +λ

∫

( , )φ +λφ

⁼

( )

⁺

∫ ( )

⁺

∫

^b

( ) ( )

a b

a

dt t t x K dt

t t x K

x ₀ ² ₁

0 λ ( , )φ λ , φ

φ (3.33)

olur. Diğer taraftan

φ₂

( )

x = K x t t dt

b

a

) ( ) , ( φ₁

∫

(3.34)

diyelim.(3.34) ve (3.31) eşitlikliklerini (3.33) eşitliğinde yerine yazılırsa u₂

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x

elde edilir. İşlemlere benzer şekilde devam edilirse

u_n

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x +…+λⁿφ_n

( )

x (3.35) serisi bulunur. Burada

φ_n

( )

x = K x t _n

( )

t dt

b

a

) 1

,

( ₋

∫

^φ

⁽

^n=1,2,...

⁾

(3.36)

dır.Böylece (3.28) den

u

( )

x =u₀

( )

x + λφ₁

( )

x +λ²φ₂

( )

x +…+λⁿφ_n

( )

x +… (3.37) serisi elde edilir. O halde

u

( )

x =

∞

→

nlim u_n

( )

x

40

tir. λ nın mutlak değeri yeterince küçük olursa (3.37) serisi düzgün yakınsak olur. Bu serinin limiti de integral denklemin çözümü olur.Şimdi (3.37) serisinin hangi koşullar altında yakınsak olduğunu inceleyelim.

( )

x

f fonksiyonu

[ ]

^a,b aralığında sürekli olduğundan sınırlı bir fonksiyondur. Yani

f

( )

x < A

olacak şekilde bir A reel sayısı vardır.^K

( )

^x,t fonksiyonu da a≤ ,x t≤b aralığında sürekli bir fonksiyondur. Aynı şekilde

K

( )

x,t <M

olacak şekilde bir M sayısı vardır. Diğer taraftan (3.36) bağıntısını göz önüne alırsak

φ0

( )

x < A ve φ1

( )

x <MA

(

b−a

)

olduğu görülür. Ayrıca

φ₂

( )

x = ( , ) ( )₁

b

a

K x tφ t dt

∫

olduğundan

φ2

( )

x <M²A

(

b−a

)

²

yazılabilir. İşlemlere devam edilirse

φ_n

( )

x =

∫

^b

( )

⁻

( )

a

n t dt

t x

K , φ ₁ <MAMⁿ⁻¹

(

b−a

) (

ⁿ⁻¹ b−a

)

=MⁿA

(

b−a

)

ⁿ

yazılabilir. Böylece

A+ λ ^AM

(

^b−^a

)

+λ^{2 AM2}

(

^b−^a

)

²+…+λ^{n AMn}

(

^b−^a

)

ⁿ+… (3.38) serisi elde eilir. Bu seri (3.37) serisinin majorantıdır. Bu seride λ ^{M b}

(

^−a

)

41

ifadesi her terimde ortaktır. Bunu q ile gösterip ifadeyi A parantezine alırsak A

(

^{1+q+q2 +...+qn +...}

)

şeklinde bir geometrik seri elde ederiz. Bu serinin yakınsak olması için q <1 olmalıdır. Yani

eşitsizliği sağlanmalıdır. Eğer λ sayıları (3.39) eşitsizliği sağlanacak şekilde seçilirse (3.38) serisi yakınsak olur.Böylece karşılaştırma kriterinden dolayı (3.37) serisi yakınsak olur.Sonuç olarak (3.37) serisinin toplamı da integral denklemin çözümünü verir.(3.39) şartı yakınsaklık için yeterli, fakat gerekli değildir.

42

r için parantez içinde ki geometrik seri yakınsak olup buradan

( )

^x

u =

9 1 4x

+

çözümü elde edilir.

3.8.Ardışık Yaklaşıklıklar Yöntemindeki Çözümün Tekliği

Teorem 3.2: u x f x K x t u t dt integral denklemi verilsin ve

a) λ sabit ve λ <

koşullarının sağlandığını varsayalım. Bu takdirde (3.41) integral denkleminin tek bir ^u

( )

^x çözümü vardır.

İspat: (3.41) denkleminin ^u1

( )

^x ve^u2

( )

^x gibi farklı iki çözümünün olduğunu kabul edelim. Yani

u x f x K x tu t dt olsun. Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa

43

^u1

( )

^x -^u2

( )

^x = K x t

(

u

( )

t u

( )

t

)

dt

b

a

2

) 1

,

( −

∫

λ

bulunur. ^u1

( )

^x -^u2

( )

^x =^v

( )

^x diyelim. O halde ^v

( )

^{x =} K x t v

( )

t dt

b

a

∫

^{( , )}

λ

dır.^u1

( )

^x ≠ ^u2

( )

^x olduğundan ^v

( )

^{x ≠ 0 dır. v}

( )

^x in mutlak değerinin karesi alınıp Schwartz Eşitsizliği uygulanırsa

v

( )

x ²< ²

(

^,

)

²

( )

²

b b

a a

K x t dt v t dt

λ

∫ ∫

olur. Buradan x e göre integral alınırsa

∫

^{b v}

( )

^{x dx}<

a 2

( ) ( )

²

2 2 2

b

a

M b a v t dt

λ −

∫

yazılabilir. Buradan

^_^{1− λ2M2}

(

^b−a

)

^2_

∫

^{b v}

( )

^{x dx<}

a 2

0 (3.44)

elde edilir. a) şartından dolayı λ ^{M b}

(

^−a

)

^<1dir,yani

^1−λ2M2

(

^{b a−}

)

^{2 > 0}

dır.(3.44)ün sağlanması için

∫

^{b v}

( )

^{x dx}<

a 2

0

olmalıdır. Fakat pozitif bir fonksiyonun integrali negatif olamıyacağı için bu bir çelişkidir, dolayısıyla v

( )

x ≡⁰ olmalıdır.Yani her x için

^u1

( )

^x =^u2

( )

^x

bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

44

integral denklemine ardışık yaklaşıklıklar yöntemini uygulayalım.

^u0

( )

^x =^f

( )

^x

alınıp (3.45) denkleminde yazılırsa

u x f x K x t f t dt

elde edilir. Tekrar bunu (3.45) denkleminde kullanırsak

^{u x f x K x t f}

( )

^{t K}

(

^{t t}

) ( )

^{f t dt dt}

olur. Diğer taraftan

K2

(

x, t1

)

=

∫ ( ) ( )

olduğundan (3.46) ifadesi

u x f x K x t f t dt

şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde ^u3

( )

^x hesaplanırsa

( )

^x

45

bulunur. Böylece t₁ yerine t yazıp işlemlere devam edilirse

dt

elde edilir. Ayrıca

^u

( )

^{x =}

∞

→

nlim ^un

( )

^x

olduğunu biliyoruz. Buradan

( )

^x

Tanım 3.2:(3.50) serisine Neumann ya da Liouville serisi denir.

( )

x A

f < ve K

( )

x,t <M olacak şekilde Ave M

pozitif reel sayıları varsa (3.50) serisinin yakınsak olduğunu biliyoruz. Şimdi hangi koşullar altında (3.50) serisinin yakınsak olduğunu araştıralım.

∫

^b

( ) ( )

eşitsizliğinden hareketle 2.mertebeden itere çekirdek için ^K_{( )}2

( )

^x,t <M²b−a ,

eşitsizliği yazılabilir. Böyle devam edilirse

46

∫

^b _{( )}

( ) ( )

a n

n K x,t f t dt

λ ≤ λⁿ M A b aⁿ − ⁿ

bulunur. Böylece

K_{( )}

( ) ( )

x t f t dt

b

a n n

n

∫

∑

^∞

=

,

1

λ ≤

( )













∑

^∞ −

=

n

n

a b M N

1

λ (3.51)

yazılabilir.q=λ^M

(

^b−a

)

denirse

q= λM

(

b−a

)

<¹

olması halinde (3.51) in sağında ki geometrik seri yakınsak olur. Bu koşulu daha önce

λ <

(

^{b a}

)

M −

1 (3.52)

olarak belirtmiştik. Bu durumda (3.50) Neumann serisi de yakınsak olur.

(3.52) ile verilen yakınsaklık aralığı daha da genişletilebilir.

⁼

∫ ∫

^b

( )

a b

a

dxdt t x K

B ² , (3.53)

olmak üzere integral hesabın ortalama değer teoremine göre

⁼

∫ ∫

^b

( )

a b

a

dxdt t x K

B ² , ≤^M

(

^b−^a

)

yazılabileceğinden

λ <

B

1 (3.54)

için (3.50) serisi yine yakınsak olur. Çünkü K

( )

x,t <M değeri karesel bölgenin bir noktasında büyük bir değer alarak M yi büyütebilir ve

λ <

(

^{b a}

)

M −

1

47

ifadesinde λ yı küçültebilir. Fakat (3.53) integrali hacmi verdiğinden genellikle

^B<^M

(

^b−^a

)

olur. O halde

λ <

B 1

den λ için daha büyük bir değer elde edilir.

Örnek 3.8: ^u

( )

^{x =} x⁺

∫

¹x tu

( )

tdt

0

2 λ 2

integral denkleminin yakınsaklık aralığını genişletelim.

λ <

(

^{b a}

)

M −

1 ⇒ λ <

1 . 1

1 ⇒ λ <1 olup

⁼

_{∫ ∫}

¹

( )

0 1

0 2 2

dxdt t x

B = ²

1 1

0 1

0 2

4 



 





∫ ∫

^{x t dxdt =}

1 15 elde edilir. λ <

B

1 ⇒ λ < 15

olur ve böylece yakınsaklık aralığı daha da genişlemiş olur.

3.10.Çözücü Çekirdeğin Ardışık Çekirdekler Yardımıyla Oluşturulması

u x f x K x t u t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

integral denklemini ardışık yaklaşıklıklar yöntemi ile çözerken ^{u x f x}

( )

^x

n n n

∑

^∞

=

+

=

1

) ( )

( λ φ (3.55) serisini elde etmiştik. Burada

48

olmak üzere φn

( )

^x fonksiyonları itere çekirdekler yardımıyla belirtilebilir.

( )

( )

x t =

K _n , K

(

x,t1

)

K_(n 1₎

(

t1,t

)

dt1 b

a

∫

−

olmak üzere (3.55)serisini

( )

¹ olarak alabiliriz. Burada

( )

¹ ifadesine ^K

( )

^x,t çekirdek fonksiyonunun Neumann Serisi denir. Bu seri

⁼

∫ ∫

^b

( )

49 λ <

B

1 (3.58)

için yakınsaktır. R

(

x, t;λ

)

resolvantını (3.56) da yerine yazarsak u x f x R

(

x t

)

f t dt

b

a

) (

; , )

( )

( ^{= +λ}

∫

^λ

ifadesi çözüm olarak bulunur. Resolvant (3.58) şartı için yakınsak olmakla beraber

λ >

B 1

için de integral denklemin çözümü var olabilir.

Örnek 3.9: ^u

( )

^{x = +}

∫

¹u

( )

tdt

0

1 λ

integral denkleminde ^K

( )

^x,t ≡1 ve dolayısıyla B²=

∫ ∫

¹

0 1

0

2dxdt K =

∫ ∫

¹

0 1

0

dxdt=1

ve λ <

B

1 den λ <1 için (3.56) serisi yakınsaktır. Diğer yandan bu denklem

λ >1 için de çözülebilir.

≠1

λ ise ^u

( )

^{x =}

λ

− 1

1 fonksiyonu verilen integral denklemin çözümüdür.

Bazı Fredholm denklemleri için Neumann Serisi λ nın her değeri için çözücü çekirdeğe yakınsar.

3.11.Ortogonal Çekirdekler

Tanım 3.4:^K

( )

^{x,t veL ,}

( )

^{x t} gibi iki çekirdek alalım.a≤ ,x t≤b olmak üzere x ve t nin belli değerleri için

50

∫

^bK

(

^x,^z

) ( )

^{L z},^{t dz}=0

a

,

∫

^bL

(

^x,^z

) ( )

^{K z},^{t dz}=0

a

şartları sağlanıyorsa

[ ] [ ]

a,b × a,b karesel bölgesinde ^K

( )

^{x,t veL ,}

( )

^{x t}

çekirdeklerine ortogonal (dik) tir denir.

Sonuç: ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} iki çekirdek olmak üzere bu çekirdeklerden biri iki değişkene göre tek, diğeri iki değişkene göre çift ise simetrik aralık üzerinde ortogonaldirler. Yani

^L

(

−^x,t

)

=-^{L ,}

( )

^{x t}

^L

(

^x,−t

)

^{=-L ,}

( )

^{x t}

^K

(

^−x,t

)

^=K

( )

^x,t

^K

(

^x,−t

)

^=K

( )

^x,t

şartları sağlanıyorsa ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} çekirdekleri ortogonaldir. Yani

∫ (

,

) ( )

, =0

−

dz t z L z x K

b

b

,

∫ (

,

) ( )

, =0

−

dz t z K z x L

b

b

dır.

Örnek 3.10: ^K

( )

^x,t = xt ve^{L ,}

( )

^{x t =x4t4}çekirdekleri

[

^−1,1

] [

^{× −1,1}

]

^karesel

bölgesinde ortogonaldir. Gerçekten

( ) ( )

=

∫

−

dz t z L z x

K , ,

1

1

∫

=

−

dz t xzz

1

1 4

4 0

( ) ( )

=

∫

−

dz t z K z x

L , ,

1

1

∫

=

−

dz zt z x

1

1 4

4 0

olduklarından verilen karesel bölgede ^K

( )

^{x,t ve L ,}

( )

^{x t} ortogonaldir.

51

Kendi kendine dik olan çekirdekler de vardır. Bu durumda n≥2 olmak üzere K_{( )n}

( )

x,t ≡0 olur ve çözücü çekirdek ^K

( )

^x,t ye eşittir. O halde Neumann Serisi yalnız bir terimden ibarettir ve λ nın her değeri için yakınsaktır.

Örnek 3.11: ^K

( )

^{x,t =sin}

(

^x−2t

)

^;0≤ x ≤2π , 0≤ t≤2π olsun.

( ) ( )

=

∫

^{K x,z K z,t dz}

2

0 π

( ) ( )

∫

^{π − −}

2

0

2 sin 2

sin x z z t dz

= 2

1 ²

∫

^π

[ (

^{− +}

)

⁻

(

^{− −}

) ]

0

2 cos 2

3

cos x z t x t z dz

= 2

1

( ) ( )

π 2

0

2 sin 2 3 3 sin

1 



 



  − + + − −



 



− x z t x t z

=0

Yani R

(

x, t;λ

)

≡^sin

(

^x−2t

)

dir ve Neumann serisi λ nın her değeri için yakınsaktır.

Teorem 3.3:Eğer ^M

( )

^{x,t ve N}

( )

^x,t çekirdekleri ortogonal ise ^K

( )

^{x,t =M} +^N çekirdeğine karşılık gelen R

(

x, t;λ

)

çözücü çekirdeği;^M

( )

^{x,t çözücü}

çekirdeğine karşılık gelen R₁

(

x,t;λ

)

çözücü çekirdeği ile ^N

( )

^{x,t çözücü}

çekirdeğine karşılık gelen R2

(

x^,t^;λ

)

çözücü çekirdeğinin toplamına eşittir.

Örnek 3.12: ^K

( )

^{x,t =xt+x4t4,} a=−¹,b=1 çekirdeği için çözücü çekirdeği bulalım.

( )

^{x t}

M , = xt ve^N

( )

^{x,t =x4t4} çekirdeklerinin

[

−^1,1

] [

× −^1,1

]

karesinde ortogonal olduklarını daha önce göstermiştik. ^K

( )

^x,t çekirdeğinin çözücü

52

olup parantezin içi λ 3

= 2

r olan bir geometrik seridir.r<1 için seri yakınsaktır

ve yakınsadığı değer

λ

53

bulunur.O halde

R_N

(

x, t;λ

)

=

olduğundan bu seri de yakınsaktır.Serinin toplamı S_n= λ

x dır.Teoremde 3.3 ten dolayı

(

x, t;λ

)

bulunur. Şimdi çözümün yakınsaklık aralığını inceleyelim.

B²= K

( )

x tdxdt

olduğunu biliyoruz. Buradan

M

( )

x tdxdt

elde edilir. Böylece

B²=

54 bulunur. λ <

B

1 için çözüm yakınsak olacağından

λ <

40

9 için çözüm yakınsaktır.

3.12.Fredholm Metodu

Bu kesimde homojen olmayan Fredholm integral denklemleri için bir çözüm metodu inceleyeceğiz.

Riemann anlamında ki integral kavramından da bilindiği gibi bir toplamın limiti

∞

→ n

lim

∑ ( )

=

∆

n

i

i

i x

x f

1

=

∫

^b

( )

a

dx x

f ,

n a x_i b−

=

∆

şeklindedir. Şimdi

u x f x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.59)

integral denklemini inceliyelim. ^f

( )

^{x ve K}

( )

^x,t fonksiyonları sıfırdan farklı olsunlar.

(

^a,b

)

aralığını t değişkenine göre

a

t₁ = ,t₂ =a+∆t,t₃=a+ 2∆t,…,t_n =a+

(

n−1

)

∆t=b,∆t= n

a b−

şeklinde n parçaya bölelim.K

( )

x,t u

( )

t çarpımının bir yaklaşık değeri

( )

x t

K , u

( )

t ≅ K

(

x, t₁

)

u

( )

t₁ +K

(

x, t₂

)

u

( )

t₂ +…+K

(

x,t_n

)

u

( )

t_n

şeklinde yazılabilir. ∆t=dt yazılabileceğinden sol yanı dt ile çarpıp integrale geçelim. Bu durumda sağ yanın ∆t ile çarpımının bir yaklaşık değerini buluruz. Buna göre

dt t u t x K

b

a

) ( ) ,

∫

( ⁼

^[

^K

⁽

^x,t1

^{) ( )}

^{u t1 +K}

⁽

^x,t2

^{) ( )}

^{u t2 +...+K}

⁽

^x,tn

^{) ( )}

^utn

^]

^∆t

55 olur. Bunu (3.59) de yazarsak

t x f x

u( )= ( )+λ∆

[

K

(

x,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

x,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

x,tn

) ( )

utn

]

(3.60) bulunur. Aynı işlemleri x için de yaparsak

a

x₁ = ,x₂ =a+∆x,x₃=a+ 2∆x,…,x_n =a+

(

n−1

)

∆x=b, ∆x= n

a b−

ve ∆t=∆x= n

a b−

=∆ olmak üzere (3.60) dan

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x₁ f x₁

u

[

K

(

x₁,t₁

) ( )

ut₁ +K

(

x₁,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

x₁,tn

) ( )

u tn

]

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x₂ f x₂

u

[

K

(

x₂,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

x₂,t₂

) ( )

ut₂ +...+K

(

x₂,tn

) ( )

u tn

]

………

∆ +

≅ ( ) λ

)

(x_n f x_n

u

[

K

(

xn,t₁

) ( )

u t₁ +K

(

xn,t₂

) ( )

u t₂ +...+K

(

xn,tn

) ( )

u tn

]

elde edilir.i=1,2,...,n; j=1,2,...,n olmak üzere

( )

x_i u_i

u = ;u

( )

t_i =u_i; f

( )

x_i = f_i;K

(

xi,tj

)

=K_ij dönüşümlerini yaparsak üstteki sistem

u1=f₁+λ∆

[

K₁₁u₁ +K₁₂u₂ +...+K₁nun

]

u2=f₂ +λ∆

[

K₂₁u₁+K₂₂u₂ +...+K₂nun

]

………

un=fn +λ∆

[

Kn₁u₁+Kn₂u₂ +...+Knnun

]

olarak yazılabilir. Bu sistem yeniden düzenlenirse

(

1−λ∆K11

)

u1-λ∆K₁₂u₂-λ∆K₁₃u₃-…-λ∆K_1nu_n=f₁

1 21u

∆K

−λ +

(

1−λ∆K22

)

u2-λ∆K₂₃u₃-…-λ∆K_2nu_n= f₂

1 31u

∆K

−λ -λ∆K₃₂u₂+

(

1−λ∆K₃₃

)

u₃-…-λ∆K_3nu_n= f₃ (3.61)

………

1 1u K_n

∆

−λ -λ∆K_n2u₂-λ∆K_n3u₃-…+

(

1−λ∆K_nn

)

u_n=f_n

56

sistemi elde edilir. Bu sistemin Cramer yöntemi ile çözülebilmesi için katsayılar determinantının sıfırdan farklı olması gerekir.Katsayılar determinantını ∆

( )

λ ile gösterelim.Yani sonsuz sütunlu bir determinant olarak düşünülebilir. Bu tür determinantlara Fredholm determinantları denir. Diğer taraftan

sütunlu bir determinant olarak Fredholm determinantı olur. Böylece

57

yazılabilir. Bu değer (3.26) de yerine yazılırsa

u(x)= f(x)+ λ

( )

inceleyelim.(3.63) gereğince ∆

( )

λ açılımında

∑

işaretleri yerine integraller yazılırsa

olur. n -yinci terimdeki n katlı integral A_n ile gösterilirse (3.65) ifadesi kısaca

D

( )

λ =

( )

58

bağıntısı ile integral denklem çözülür.

3.13.Özdeğerler ve Özfonksiyonlar

u

( )

x ≡0 fonksiyonu

59

formundaki 2 tipten homojen Fredholm integral denkleminin daima bir aşikar çözümüdür.

Ancak λ parametresinin bazı değerleri için özdeş olarak sıfır olmayan bazı çözümleri olabilir. λ parametresinin bu değerlerine (3.69) denkleminin veya K

( )

x,t çekirdeğinin karakteristik sayıları denir. Bu karakteristik sayılara karşılık gelen sıfırdan farklı çözümlere de özfonksiyon denir.

( )

x t

K , çekirdeği

[ ] [

^a,b × ^a,b

]

karesinde sürekli veya bu karede kuadratik olarak toplanabilir ise her λ karakteristik sayısına sonlu sayıda lineer bağımsız özfonksiyon karşılık gelir. Bu fonksiyonların sayısına karakteristik denklemin indeksi denir.

u

( )

x = r

( ) ( ) ( )

xs t ut dt

integral denkleminin p

(

p≤n

)

karakteristikleri

D

( )

λ =

cebirsel denkeminin kökleridir. D

( )

λ determinantı

(

1−λc₁₁

)

A₁−λc₁₂A₂ −λc₁₃A₃ −...−λc_1nA_n =0

60

lineer, homojen cebirsel denklem sisteminin katsayılar determinantıdır. Eğer (3.71) denkleminin p

(

1≤ p≤n

)

adet kökü varsa (3.70 ) denkleminin p tane karakteristik sayısı vardır. Her λ_m

(

^m=1,2,...p

)

karakteristik sayısı (3.72) sisteminin sıfırdan farklı

λ₁ → A₁^{( )1} ,A₂^{( )1},,...,A_n^{( )1} ………

λ_p →A₁^{( )p} ,A₂^{( )p} ,,...,A_n^{( )p}

çözümlerine karşılık gelir.(3.70) integral denkleminin bu çözümlere karşılık gelen sıfırdan farklı çözümleri yani özfonksiyonları

( )

^{x A( )a}

( )

^x

u _k

n

k

∑

k

=

=

1 1

1 , ^u

( )

^{x A( )a}k

( )

^x

n

k

∑

k

=

=

1 2

2 ,…,^u

( )

^{x A( )a}k

( )

^x

n

k p k

p

∑

=

=

1

şeklinde olur. Dejenere çekirdekli integral denkleminin en fazla n tane karakteristik sayısı ve bunlara karşılık gelen n tane özfonksiyonu vardır.

Her bir λ ya karşılık gelen ^u

( )

^x karakteristik fonksiyonunun bir c sabit katı da karakteristik fonksiyondur.

Örnek 3.13:^u

( )

^{x =λ}

∫

^π

(

x t⁺ x t

)

u

( )

t dt

0

3

2 cos2 cos3 cos

cos (3.73)

homojen integral denkleminin karakteristik sayılarını ve özfonksiyonlarını bulalım.

^u

( )

^{x =λ} x

∫

^π

(

t

) ( )

u tdt

0

2 cos2

cos +^λ x

∫

^π

(

t

)

u

( )

t dt

0

cos3

3 cos

olmak üzere

A₁=

∫

^π

(

t

) ( )

u tdt

0

2

cos veA₂=

∫

^π

(

t

)

u

( )

tdt

0

cos3

61 dönüşümlerini yaparsak

^u

( )

^{x =} 1

cos xA2

λ +A₂λcos3x bulunur. Bunu (3.73) te yerine yazarsak

1

cos xA2

λ +A₂λcos3x=^λ

_∫

^π

( ) (

^{λ +λ}

)

0

2 2

1

2 cos2 cos cos3

cos x t A t A t dt+

(

^t

)(

^{A t A t}

)

^dt

x

∫

^{π λ +λ}

λ

0

2 2

1

3 cos cos3

cos 3 cos

olur. Diğer taraftan

1 =

A ^λ

∫

^π

0

2 1 cos2tcos tdt

A +^λ

∫

^π

0

2 cos2tcos3tdt

A =λA₁

π +4 λA₂.0,

2 =

A ^λ

∫

^π

0

2 3

1 cos tcos tdt

A +^λ

∫

^π

0 3

2 cos tcos3tdt

A =λA₁ 0+λA₂ π 8 bulunur. Böylece





 



 − 1 4

1

A λπ =0, 



 



 − 1 8

2

A λπ =0 (3.74)

elde edilir. Bu denklem sistemine karşılık gelen^D

( )

^λ determinantını hesaplayıp sıfıra eşitlersek

1 8 0

4 0 1

λπ λπ

−

−

=0

olup ve buradan da karakteristik değerler

λ₁ =π^{4 ve}

λ₂ =π⁸

olarak bulunur. Bu λ değerlerini (3.74) de yerine yazarsak bunlara karşılık gelen özfonksiyon A₂ =0 olduğu için sadece

^u

( )

^x =^A1λcos^2x

62 şeklinde elde edilir.

u x K x tu t dt

b

a

) ( ) , ( )

( ^=λ

∫

homojen Fredholm denklemi herhangi bir özdeğere ve özfonksiyona sahip olmayabilir. Sadece ^u

( )

^{x ≡0} çözümüne yani aşikar çözüme sahip olabilir.

Aşikar çözüm olması A_i nin hesabındaki integrallerin hepsinin sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.

Örnek3.14:

( )

⁼

_∫

¹

(

⁻

) ^{( )}

0

dt t u x t t x x

u λ denkleminin karakteristik sayısı ve öz

fonksiyonu yoktur. Gerçekten

⁼

∫ ( )

1

0

1 tu t dt

A , ⁼

∫ ( )

1

0

2 tut dt

A (3.75)

^u

( )

^{x =A}1^{λ x}-A₂λx (3.76) olup (3.76) ; (3.75) te yerine yazılır ve işlemler yapılırsa

0 3

5

1 2  ₁ + ₂ =



 



 − λ A λ A

0 5

1 2

2 ¹  ² =



 



 + +

−λ A λ A

(3.77)

sistemi elde edilir. Bu sistemin determinantı

D

( )

λ =

1 150 5

1 2 2

3 5

1 2 ₂

λ λ

λ λ λ

+

= +

−

−

bulunur.Bu da sıfıra eşit olamayacağı için A₁ = A₂ =0 elde ederiz.Yani bu integral denklemin λ nın her değeri için ^u

( )

^{x ≡0} dan başka çözümü yoktur.

63

Tanım 3.5: Bir integral denkleminin^K

( )

^x,t çekirdeği ^K

( )

^{x,t =K ,}

( )

^{t x} ) eşitliğini sağlıyorsa ^K

( )

^x,t çekirdeğine simetrik çekirdek denir. Çekirdeği simetrik olan integral denklemlere de simetrik denklem denir.

3.14.Volterra İntegral Denklemleri

Tanım 3.6:^u

( )

^x bilinmeyen,^K

( )

^x,t çekirdek fonksiyonu olmak üzere u x f x K x tu t dt

x

a

) ( ) , ( )

( )

( ^{= +λ}

∫

(3.78)

şeklindeki integral denkleme 2.tip homojen olmayan lineer Volterra integral denklemi denir. Eğer (3.78) de

^f

( )

^x ≡⁰ ise u x K x t u t dt

x

a

) ( ) , ( )

( ^=λ

∫

(3.79)

denklemine 2.tip lineer homojen Volterra integral denklemi denir.(3.79) tipindeki denklemler genellikle diferensiyel denkleme dönüştürülerek çözülürler.

3.15.Volterra İntegral Denkleminde Resolvant

Bu kesimde 0≤x≤a,0≤t ≤xiçin ^K

( )

^{x,t ve 0≤ x≤a için f}

( )

^x

fonksiyonu sürekli olmak üzere

0

( ) ( ) ( , ) ( )

x

u x = f x +λ

∫

K x t u t dt (3.80)

2.tip Volterra integral denkleminin

^u

( )

^{x =u}0

( )

^x + λ ^u1

( )

^x +λ²u₂

( )

x +...+λⁿu_n

( )

x +... (3.81)

64

formunda bir kuvvet serisi şeklinde çözümünü araştıracağız. Bu seriyi (3.80) denkleminde yerine yazarsak

( )

^x

u₀ + λ ^u1

( )

^x +λ²u₂

( )

x +...+λⁿu_n

( )

x +...

=^{f x K x t}

[

^u

( )

^{x u}

( )

^{x u}

( )

^{x u}n

( )

^x

]

^dt

n x

a

...

...

) , ( )

( +^λ

∫

₀ +^λ ₁ +^λ2 ₂ + +^λ + (3.82)

elde edilir.(3.82) nin sağ yanını düzenleyip λ nın kuvvetlerine göre her iki yanı eşitlersek

^u0

( )

^x = ^f

( )

^x ,

^u1

( )

^{x =} K

( ) ( )

x t u tdt

x

∫

0

, 0 ,

^u2

( )

^{x =} K

( ) ( )

x t u tdt

x

∫

0

, 1 ,

……….

u_n

( )

x = K

( )

x t u

( )

tdt

x

∫

n⁻

0

, 1

elde edilir. u₀

( )

x ifadesini u₁

( )

x te yerine yazar ve bu işlemleri ardı ardına yaparsak

u₀

( )

x = ^f

( )

^{x ,}

u₁

( )

x = K

( ) ( )

x t f tdt

x

∫

0

, ,

u₂

( )

x = K

( )

x t K

(

t t

) ( )

f t dt dt

x t

∫ ∫

^



 





0

1 0

1

, 1

,

f

( )

t dt K

( ) (

x t K t t

)

dt

x

t x

1 1

0

1 , ,

1

∫

∫

=

65 _{( )}

( ) ( )

1 1

0

1

2 x,t f t dt K

x

∫

=

………

( )

⁼

∫

_{( )}

( ) ( )

x n

n x K x t f t dt

u

0

, n=1,2,...

elde edilir. Bulunan K_{( )n}

( )

x,t fonksiyonlarına itere çekirdekler veya ardışık çekirdekler denir. Ayrıca bu çekirdekler

K₁

( )

x,t =^K

( )

^x,t

K_{( )}

( )

x t K

(

x z

)

K_{( )n}

( )

z t dz

x

t

n⁺₁ , ⁼

∫

, , ^n=1,2,... (3.83) biçiminde de yazılabilir. Bu durumda (3.81) serisi (3.83) bağıntısının yardımıyla

u

( )

x = ^f

( )

^{x +} K_{( )}

( ) ( )

x t f t dt

i x

i

∑ ∫

^∞ i

=1 0

λ ,

biçiminde yazılabilir. Burada

∑

^∞ _{( )}

( )

=

+ 0

1 ,

i

i

iK x t

λ serisi K

( )

x,t sürekli olduğundan mutlak ve düzgün yakınsak olup buna resolvant denir ve^R

(

^x,t;λ

)

ile gösterilir.

Yani

R

(

x,t;λ

)

=

∑

^∞ _{( )}

( )

=

+ 0

1 ,

i

i

iK x t

λ (3.84)

olup itere çekirdekler ve çözücü çekirdek integralin alt sınır değerinden bağımsızdır. R

(

x,t;λ

)

çözücü çekirdeği hesaplandığı takdirde Volterra integral denkleminin çözümü

66

olarak bulunur. Buda Fredholm denklemleri için bulunan bağıntı ile benzerdir.

Örnek3.15:Çekirdek fonksiyonu ^K

( )

^{x,t =ex−t}olan Volterra denkleminin çözücü çekirdeğini bulalım.

^K1

( )

^{x,t =K}

( )

^{x,t =ex−t,}

1 1 denkleminin çözümünü bulalım.

( )

^{x t}

+ olmak üzere önce çözücü çekirdeği bulalım.

67

elde edilir.(3.84) eşitliğinden λ =1 olduğu da göz önüne alınarak

^R

(

^x,t;λ

)

⁼

elde edilir.(3.85) eşitliğinden

^u

( )

^{x =}

_∫∑



(

+

)

bulunur. Gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılırsa çözüm ^u

( )

^{x =}

(

^1+x2

)(

^1+ex

)

olarak elde edilir. Şimdi

u x f x K x t u t dt

tipinde ki Volterra tipi integral denklemi inceleyelim. Bu tip denklemlere konvolüsyon tipinden integral denklem denir.(3.86) nın her iki yanının Laplace dönüşümü alınırsa

( )

68

^Φ

( )

^{s =F}

( )

^{s +k}

( )

^{s Φ}

( )

^s (3.87) elde edilir. Buradan

Φ

( )

^s =

( ) ( )

^s

k s F

−

1 k

( )

s ≠¹ (3.88) olur. Diğer taraftan (3.86) nın çözümünü

u

( )

x = ^f

( )

^{x +}

∫

^xR

(

^x−t

) ( )

^{f t dt}

0

(3.89)

biçiminde yazabiliriz.(3.89) un her iki yanının Laplace Dönüşümünü alırsak ^Φ

( )

^{s =F}

( )

^{s +r}

( )

^{s F}

( )

^{s ⇒}

( ) ( ) ( )

( )

^s

F s F s s

r Φ −

= (3.90)

bulunur.(3.88) de bulduğumuz ^Φ

( )

^s değerini (3.90) da yazarsak ^r

( )

^{s =}

( )

( )

^s

k s k

−

1 (3.91) bulunur. ^r

( )

^s in ters Laplace dönüşümü, yani ^{R ,}

( )

^{x t} fonksiyonu (3.86) integral denkleminin çözücü çekirdeğidir.

Örnek 3.17:Çekirdeği ^K

(

^x−^t

)

=sin

(

^x−^t

)

olan Volterra integral denkleminin çözücü çekirdeğini bulalım.(λ=1)

( )

1 1

2 +

= s s k

(3.91) eşitliğini kullanırsak

( )

L

( )

x s

s s s

r = =

− +

= + ₂

2

2 1

1 1 1

1 1

elde edilir.O halde çözücü çekirdek ^R

(

^x,t;1

)

^=x−t

olarak bulunur.

69 3.16.Euler İntegralleri

Bu kesimde önce Gamma ve Beta fonksiyonları yardımıyla Euler integral denklemini göreceğiz.

Tanım 3.7:^z,Re

( )

^{z >0} olan herhangi bir kompleks sayı olmak üzere Γ

( )

^z =

∫

^{∞ − −}

0

1dt t

e ^{t z} (3.92)

şeklinde tanımlanan fonksiyona Gamma fonksiyonu denir. Gamma fonksiyonuna 2.tip Euler integrali de denir.

z=1 için ^Γ

( )

^{1 =}

∫

^{∞ −}

0

dt

e ^t =1 (3.93)

elde edilir.(3.92) ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa ^Γ

( )

^{z =}1

(

1

)

+ zΓ z

yani ^Γ

(

^z+1

)

^{= zΓ}

( )

^z (3.94) olur.(3.93) ve (3.94) eşitliklerinden z pozitif tamsayı olarak alınırsa yani z = n için

Γ n

(

+¹

)

=n! (3.95) elde edilir. Analiz bilgilerinden

∫

^{∞ −}

0

2dx e ^x =

2 π .

olduğunu biliyoruz. Burada ²

1

t

x= dönüşümü yaparsak integral

1 1 2 0

e tt dt π

∞ −

− =

∫

elde edilir.(3.93) denklemini göz önüne alırsak üstteki ifadeden

70

olduğunu görürüz. Gamma fonksiyonunun (3.95) ile belirtilen özelliğini kullanarak

elde edilir. İşlemlere bu şekilde devam edilirse

( )

_π

Negatif ancak tamsayı olmayan reel sayılarda Gamma fonksiyonunun değerleri m∈N olmak üzere −m<x<−m+1 için

Ayrıca Gamma fonksiyonunun

( ) ( )

özelliği vardır. Diğer taraftan

( ) ( )

ⁿ

( )

^nx

bağıntısı mevcut olup buna Gauss-Legendre çarpım formülü denir.

Bu bağıntıda n=2 alınırsa

71

( )

^



 



 + Γ

Γ 2

x 1

x =

( )

^{2 22 2x}

( )

^2x

1 2 1

− Γ π

= ^{2 22 2x}

( )

^2x

1 2 1

− Γ π

=^{2 x 2}

( )

^2x

1 2 1⁻ π Γ olduğu görülür.

0

Rez> olmak üzere

( )

^z

Γ =

∫

^{∞ − −}

0

1dt t e ^{t z}

integraline e^−t =x dönüşümünü uygulayalım. Bu durumda dx

dt

e^−t =− ,t =0 için x=1 ve t → ∞ için x=0 olur.

1

1 1

ln

−

− 



 



=

z z

t x olduğundan ^Γ

( )

^z fonksiyonu

( ) ∫

−



 



=  Γ

1

0

1 1

ln dx

z x

z

(3.97)

olarak yazılabilir.

Tanım 3.8: Rem>0 ve Ren>0 olmak üzere

( )

⁼

∫

^{1 −}

(

⁻

)

⁻

0 1 1

1

,n x x dx

m

B ^{m n} (3.98)

şeklinde tanımlanan fonksiyona Beta fonksiyonu denir. Beta fonksiyonuna 1.tip Euler integrali denir.

Beta ve Gamma fonksiyonları arasında ^B

(

^m,n

)

⁼

( ) ( )

(

^{m n}

)

n m

+ Γ

Γ

Γ (3.99)

72 şeklinde bir bağıntının olduğu gösterilebilir.

3.17.Birinci Tip Volterra İntegral Denkleminin Gamma-Beta Fonksiyonları Yardımıyla Çözümü

Bu kesimde önce m≥0 bir reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere

∫

^x

(

^x−t

) ( )

^{nut dt =xm}

0

(3.100)

biçimindeki 1.tip Volterra integral denklemini inceleyeceğiz. Bu denklem diferensiyel denkleme dönüştürülerek çözülebilir. Gamma-Beta fonksiyonları yardımıyla başka bir çözüm yolu daha vardır.

(3.100) denkleminin her iki yanını r doğal sayı olmak üzere

(

^z−^x

)

^r ile çarpıp x e göre 0 ile z arasında integre edersek

∫ ( ) ∫ ( ) ( )

^{ =}

∫ (

⁻

)



 



 −

−

z m r

z x

n

r x t u t dt dx x z x dx

x z

0

0 0

(3.101)

denklemi elde edilir. Burada tekrar x=vz dönüşümünü yaparsak eşitliğin sağ tarafı

∫

^{z xm}

(

^z−^x

)

^rdx=

0

( ) ( )

∫

^{z vz m z−vz rzdv}

0

=

∫ (

⁻

)

z

r r m

mz z v zdv

v

0

1

=^zm+r+

∫

^zvm

(

^−v

)

^rdv

0

1 1

=^zm+r+1B

(

^m+1,r+1

)

=

( ) ( )

(

²

)

1

1 1

+ + Γ

+ Γ +

+ Γ

+

r m

r

z^{m r} m ;

(

m+r+¹>m≥⁰

)

(3.102)

73 olur. Eşitliğin sol tarafı

(

^{z x}

) (

^{x t}

) ( )

^{u t dt dx} yaparsak içteki integral

∫ (

−

) (

−

)

= biçiminde yazılabilir.(3.102),(3.103),(3.104) bağıntıları düzenlenirse

( ) ( )

yazılabilir.(3.105) ifadesi yeniden düzenlenirse

74

bulunur.(3.95) eşitliği gereğince

Γ

(

^h+¹

)

=^h!

elde edilir. Bu ise (3.100) integral denkleminin çözümüdür.

Örnek 3.18:

∫ (

⁻

) ( )

⁼

integral denkleminin çözümünü araştıralım.

(3.100) integral denkleminde n=3 ve m=7 alınırsa verilen denklem ortaya

2 integral denkleminin çözümünü bulalım.

Sağ yan fark şeklinde olduğu için sağ yandaki her terim için ayrı ayrı bulunan çözümler ^u1

( )

^x ve^u2

( )

^x ise denklemin çözümü

^u

( )

^{x =u}1

( )

^x -^u2

( )

^x

75

olarak bulunur. Benzer şekilde 3

dır. Böylece verilen integral denklemin çözümü

( )

^x

şeklinde elde edilir.

3.18.Resolvantın Diferensiyel Denklem Yardımıyla Bulunması

Çekirdeği

(

^x− nin kuvvetlerinden oluşan ^t

)

biçiminde bir fonksiyon olan Volterra integral denkleminin resolvantını bulmaya çalışalım.

76

(3.108) denklemindeki ^a0

( )

^x ,^a1

( )

^x ,…,^an 1−

( )

^x fonksiyonları

(

^0,a

)

aralığında tanımlı ve sürekli fonksiyonlardır.Şimdi

_n

g ile gösterilirse (3.108) ile verilen çekirdek fonksiyona ait resolvant ^R

(

^{x, t;λ}

)

⁼

( )

şeklinde verilirse buna ait resolvant (3.111) deki gibi R

(

x, t;λ

)

=

( )

diferensiyel denklemini sağlayan çözümdür.

Görüldüğü gibi K

( )

x,t çekirdeğine ait resolvantın bulunuşunda diferensiyel denklem ve bunun çözümünden yararlanılmıştır.

Örnek 3.20:λ=1 için çekirdek fonksiyonu K

( )

x,t =x−t olan bir Volterra İntegral denklemine ait resolvantı bulalım.

77

Çekirdek fonksiyonu (3.108) ile karşılaştırırsak a₁

( )

x =1 olduğunu diğer katsayıların 0 olduğunu görürüz.(3.109) a bakarsak n=2 olduğu görülür.(3.109) u uygularsak

_{2 0}

( )

₁

( )

0

2

=

−

− a x g

dx x dg dx a

g d

elde edilir.a₀

( )

x =0,a₁

( )

x =1 konursa ₂ 0

2

= dx − g

g d

elde edilir. Denklemin çözümü ^g

( )

^{x,t =g}

(

^x,t:1

)

olduğundan ²

(

₂^{, ;1}

)

−g

(

x^,t^;1

)

=⁰

dx t x g d

olarak yazılabilir. Bu denklemin çözümü ikinci dereceden sabit katsayılı bir lineer denklem olarak

^g

(

^{x, t:1}

)

^=c1

( )

^{t e−x} +^c2

( )

^{t ex} (3.115) şeklindedir. Şimdi (3.110) koşullarına göre ^c1

( )

^t ve^c2

( )

^t fonksiyonlarını bulacağız.

( )

c

( )

t e ^x c

( )

t e^x dx

t x dg

2 1

1

;

, =− ⁻ +

olup iki ifade birlikte alınarak (3.110) başlangıç koşulları uygulanırsa, c1

( )

t e^−t +c2

( )

t e^t =⁰

−c1

( )

t e^−t +c2

( )

t e^t =¹ sistemi elde edilir. Bu sistem çözülürse ^c1

( )

^t

et

2

−1

= ;c

( )

t = e^−t 2 1

2

bulunur. Bunu (3.115) çözümünde yerine yazarsak

78

g

(

x t

)

=− e^te^−x + e^−te^x 2 1 2

1 1

; ,

=

[

^{ex−t −e−(x−t)}

]

2 1

=^sh

(

^x− (3.116) ^t

)

elde edilir.(3.111) gereğince problemimizde ki koşullara uyan resolvant

( ) ( )

2 2 , ;1 1

;

, dx

t x g t d

x

R =

şeklinde olduğundan (3.116) nın ikinci mertebeden türevi resolvantı verecektir. Bu nedenle ^g

(

^{x, t;1}

)

türetilirse

^R

(

^x,t;1

)

^=sh

(

^x−t

)

bulunur.

79

5.TARTIŞMA VE SONUÇ

“İntegral Denklemler“ isimli bu tez integral denklemler teorisinin önemli kavramlarını içermektedir ve tezde, teori örneklerle açıklanmaktadır. Bilindiği gibi belli tipten diferensiyel denklemler integral denkleme ve tersine belli tipten integral denklemler de diferensiyel denkleme dönüştürülebilmektedir.

Bu konu tezde detaylı bir şekilde incelenmiştir. Ayrıca singüler çekirdekli integral denklemleri incelemek için bu tez uygun bir temel oluşturmaktadır.

Tezde genel olarak Volterra ve Fredholm integral denklemlerinin çözüm metodları üzerinde durulmuştur. İntegral denklemleri çözmeden, çözümün varlık ve tekliğini araştırma bu teoride önemli bir araştırma konusudur.Varlık ve teklik koşullarının ortaya konulması için bu tez yine önemli bir temel oluşturmakla birlikte çözümün varlığı ve tekliği konusu tezde ele alınmamıştır.

Ayrıca 19.yüzyıldan beri araştırma alanı olarak ortaya çıkan integral denklemler 20. yüzyılda sistemleştirilmiş ve gruplandırılarak çözüm metodları geliştirilmiştir. İntegral denklemler mühendislik ve fizikte genel olarak mekanik problemlerin incelenmesinde ortaya çıkmış olup uygulamalı bir konudur.

İntegral denklemlerin uygulama alanı çok geniş olmakla birlikte daha çok diferensiyel denklemler teorisinde integral denklemler güçlü bir araç olarak kullanılır. Bu nedenlerden dolayı integral denklemler güncel bir konu olup çözüm metodları ve çözümlerin varlık-tekliği ile ilgili olarak orijinal sonuçlar ortaya konulabilir.

Bu tez integral denklem konusunda araştırma veya doktora öğrenimi yapmak isteyenler için iyi bir kaynak oluşturmaktadır.

80 KAYNAKLAR

1. Y. Aksoy; “Integral Denklemler”, Cilt 1,Yıldız Teknik Üniversitesi Yayınları No:343, İstanbul, 1998.

2. M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makeronko; Integral Denklemler, Çeviri: Cevdet Cerit, İstanbul,1976.

3. I. G. Petrovsky; Lecturers On The Theory Of Integral Equations, Mir Publishers Moscow, translated from Russian by George Yankovsky,1975.

4. D. Porter, S.G. Stirling; Integral Equations, a Practical Treatment, From Spectral Theory To Applications, Cambridge University Pres, New York, 1990.

5. B. L. Moiseiwitsch; Integral Equations, Longman Group Limited, New York,1977.

Belgede İntegral denklemler (sayfa 45-0)