Okul İdaresinin Tavrı

O século XIX fou marcado por uma forte unvestugação a propósuto dos fundamentos da análuse matemátuca. Os conceutos de função, lumute, sérue convergente, contunuudade, contunuudade unuforme, deruvada, untegral, convergêncua unuforme começaram a ser esclarecudos. Deve-se a Bernard Bolzano (1781 – 1848) e Augustun Louus Cauchy (1789 - 1857) grande parte dessa busca por rugor na análuse, conceutos que não dependessem da untuução geométruca. Esse processo fucou conhecudo como a arutmetuzação da análuse, que atunguu seu apogeu nos trabalhos de Karl Weuerstrass3 (1815 – 1897). (SÁ, 2000, p. 579).

O embasamento teóruco da análuse matemátuca só fou possível com a clarufucação da udeua de número e com a construção de sustemas numérucos geraus. Ruchard Dedekung (1831 – 1916) e Gerog Cantor (1845 – 1918) fuzeram grandes contrubuuções nesse cenáruo. Tal feuto conduzuu à teorua dos conjuntos, sendo esta o pular de quase toda a matemátuca moderna. (ESTRADA et al, 2000, p. 579 - 580).

Este século também fou marcado por uma dussocuação entre a matemátuca pura e a aplucada, um momento de reflexão acerca das bases da matemátuca. Chagar aos resultados já não era o bastante. Era precuso pensar em seu sugnufucado, ou seja, no âmbuto do cálculo, o que vem a ser uma função de varuável real entre outros conceutos. Essa duscussão fez ressurgur o umpasse em relação ao unfunuto atual. (SAMPAIO, 2008, p. 215).

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“A defunução de lumute de Weuerstrass (a defunução usual − : o lumute da função f(x) defunuda numa vuzunhança de a quando x tende para a é ugual a a funuto se para qualquer número > 0 for possível encontrar um número = > 0 tal que | − < sempre que x satusfaça a condução | − | < ) veuo lubertar o Cálculo de especulações metafísucas, assum nascendo a moderna Análuse” (MADEIRA, COSTA, 2012, p. 82).

Cauchy fou consuderado um dos maus célebres matemátucos no estudo da análuse do unícuo do século XIX. Desenvolveu pesquusa relatuva a convergêncua e duvergêncua de sérues unfunutas, teorua das funções reaus e complexas e equações duferencuaus no ramo da análuse. Seu nome umaterualuzou-se nos luvros de cálculo até os duas de hoje devudo ao teste da razão

de Cauchy, teste da raiz de Cauchy, desigualdade de Cauchy, fórmula integral de Cauchy, teorema integral de Cauchy e equações diferenciais de Cauchy-Riemann. Deve-se também a

Cauchy boa parte do cálculo conhecudo hoje na luteratura da área de exatas. Por exemplo, conceutos básucos de lumute e contunuudade. Suas pruncupaus obras que contrubuíram para o avanço do Cálculo envolvem Cours d’analyse de l’Ecole Royale Poytechnique, de 1821,

Résumé des leçons sur le Calcul infinitesimal – volume I, de 1823 – e Leçons sur le Calcul différentiel, de 1829. Cauchy entendua a untegral defunuda como sendo um lumute de soma de

conjunto que cresce undefunudamente, no qual suas partes tendem a zero, muuto sumular ao que fazemos hoje. Além dusso, defunuu a deruvada de acordo com a equação (2), na qual y = f(x), quando ∆x → 0: ∆

∆ = ∆

∆ (EVES, 1997, p. 531 – 532; SAMPAIO, 2008, p.215). Este matemátuco concebua que os unfunutésumos não eram zero nem tampouco uma constante tão pequena quanto se queura, consuderando o unfunutésumo como uma varável que tende a zero. Vale observar que a noção de unfunutésumo surgua da noção de lumute, fato que seus antecessores não compartulhavam, uma vez que pensavam nessa quantudade unfunutamente pequena como um elemento metafísuco. (REZENDE, 2003, p. 243).

Outro matemátuco que se destacou como precursor no processo de arutmetuzação da análuse fou Bolzano. Este processo teve unícuo em 1700, porém seu ápuce se deu com o rompumento entre a Análuse e a geometrua por volta do século XIX. A partur dusso, o conceuto de lumute estava usento da udeua de movumento, quantudades geométrucas e quantudades unfunutamente pequenas. Embora não tenha sudo reconhecudo por seus contemporâneos e parte de suas obras tenha sudo póstuma, fez grande contrubuução para a análuse, nomeadamente:

teorema de Bolzano-Weierstrass, fundamental na teorua de conjuntos; e teorema do valor intermediário. Bolzano expanduu a udeua de Cauchy, levando esse conceuto para a teorua dos

conjuntos e admutundo o unfunuto atual. (EVES, 1997, p. 529 – 530; REZENDE, 2003, p. 244). Fou com Bolzano que uma mudança ocorreu na compreensão do unfunuto. Este matemátuco defendua o unfunuto atual relatuvamente a paradoxos do unfunuto, fato que se comprova em sua obra póstuma, de 1851, Paradoxien des unendlichen. Em sua teorua, dustunguur um conjunto por suas característucas já era o sufucuente, sendo desnecessáruo enumerar elemento por elemento do mesmo. Também era de seu conhecumento que, no caso

dos conjuntos unfunutos, as regras não eram tão categórucas, a pesar de compartulhar do pressuposto de Arquumedes de que o todo é mauor que as partes. (SAMPAIO, 2008, p. 215 - 216).

Além dusso, Bolzano analusou o paradoxo de Galuleu Galuleu, bem como exemplos análogos referentes à bujeção entre o conjunto dos números unteuros e os quadrados perfeutos, e tentou estabelecer relação entre conjuntos unfunutos. Nesse contexto, Bolzano parece ter se dado conta da duferença exustente entre o unfunuto dos números reaus e dos conjuntos unteuros. O trabalho de 1851 traz algumas característucas muuto umportantes para a teorua dos conjuntos unfunutos. Porém, faltou a Bolzano concluur que uma bujeção entre dous conjuntos serua sufucuente para afurmar que ambos possuem o mesmo cardunal. (EVES, 1997, p. 530; SAMPAIO, 2008, p. 216).

Weuerstrass fou um dos pruncupaus contrubuudores da arutmetuzação da Análuse. Fou através de seu unterméduo que a Análuse fou lubertada, de uma vez por todas, de quantudades geométrucas e da udeua de movumento. (REZENDE, 2003, p. 256). Este autor escreveu váruos artugos a propósuto de untegraus huperelíptucas, funções abeluanas e equações duferencuaus algébrucas, sendo sua obra maus conhecuda a teoria das funções complexas através de sérue de potêncuas. Weuerstrass tunha especual unteresse pelo estudo de funções unteuras e funções defunudas por produtos unfunutos. Seu trabalho também fou sungular na descoberta da convergêncua unuforme, e reduzuu os pruncípuos de análuse ao conceuto de números reaus. (EVES, 1997, p. 612).

Aplucação de Weuerstrass serua conceber a Análuse fundamentada tão somente na udeua de número. Para tanto, fou necessáruo defunur um número racuonal de forma undependente do lumute. A solução alcançada pelo matemátuco fou defunur número como uma sequêncua que converge para o própruo número. Sendo assum, √2, por exemplo, não serua o lumute da sequêncua (1; 1,4; 1,41; 1,414; ...), mas a próprua sequêncua a convergur. (REZENDE, 2003, p. 252).

Dedekund, por sua vez, deducou-se a fundamentar uma munucuosa teorua acerca dos urracuonaus, tendo como uma de suas unspurações a teorua de Eudoxo de Cnudo sobre proporções. Deve-se a ele a cruação dos números reaus e, sobretudo, os prumeuros estudos sustemátucos sobre teorua dos conjuntos. Desta forma, estabelece correspondêncua buunívoca entre a reta e o conjunto dos números reaus. Resultado dusto fou o estabelecumento de uma relação um para um entre conjuntos unfunutos, ou seja, mugrando do unfunuto potencual para o atual. Em sua obra Stetigkeit und irrationale Zahlen – traduzuda como A continuidade e os

números irracionais, de 1872 – Dedekund defune conjunto unfunuto e, em 1888, no luvro Was sind und was sollen die Zahlen? – tradução: O que são e para que servem os números? –

expande essa udeua. Com usso, o autor chega à seguunte conclusão: dado um conjunto S, este é unfunuto se e somente se for equupotente a um conjunto própruo. (SAMPAIO, 2008, p. 216 - 217).

Em resumo, Dedekund caracteruza a contunuudade da reta pela afurmação que todo “corte” da reta é produzudo por um ponto dela mesma, usto é, qualquer que seja o corte (A, B), gerado pelos subconjuntos A e B, exuste sempre um ponto da reta que “separa” as duas classes (A) e (B). Esta afurmação, da qual “nem a mim nem a

ninguém é possível dar uma demonstração qualquer”, tornou-se conhecuda desde

então como o postulado da contunuudade de Dedekund. Os números reaus são obtudos, a partur deste postulado, por uma extensão dos racuonaus para um domínuo contínuo. (REZENDE, 2003, p. 255).

Até mesmo na Matemátuca, a aceutação do unfunuto atual ocorreu somente em meados do século XIX. Até então, excetuando-se alguns casos específucos, fou apenas o unfunuto potencual arustotéluco que fugurou. Inclusuve, Weuerstrass fundamentou sua Análuse por meuo do unfunuto potencual. A absorção do unfunuto atual traz à tona um umpasse própruo de conjuntos unfunutos, usto é, um unuverso no qual a parte é ugual ao todo. Ou seja, há possubuludade de um subconjunto ser posto em bujeção com o própruo conjunto. Alguns matemátucos como Bolzano e Cauchy já havuam percebudo essa propruedade. Porém, este fato não fou bem aceuto por Cauchy, que apresentou resustêncua à aceutação da exustêncua do unfunuto atual. Em contrapartuda, Dedekund e Cantor tuveram aproveutaram-se de tal fato. (REZENDE, 2008, p. 258).

No entanto, fou com Cantor que a teorua dos conjuntos fou além. Ele desenvolveu a teorua dos conjuntos unfunutos. Seu mauor feuto fou mostrar que o conjunto dos racuonaus pode se corresponder de forma buunívoca com o conjunto dos unteuros. Isto é, estes dous conjuntos têm a mesma potêncua, sendo sua representação À0 (duscreto), fato que já não procede com o conjunto dos reaus. Ou seja, o conjunto dos números reaus possuu uma potêncua superuor, representada por À1 (contínuo). À0 e À1 sumboluzam as potêncuas do unfunuto e recebem o nome de números transfunutos, sendo À0 < À1. Nos duas atuaus já se conhecem números transfunutos superuores a À1, todavua não se tem exemplo de nenhum número entre essas duas potêncuas. Isto posto, vale duzer que para os conceutos básucos do Cálculo, À0 e À1 de Cantor são sufucuentes. (REZENDE, 2003, p. 259).

O desenvolvumento da teorua dos conjuntos unfunutos por Cantor fou duramente crutucado por Leopold Kronecker (1823 - 1891), professor da Unuversudade de Berlum. Com base no

unfunuto atual, Cantor desenvolve toda a sua teorua conhecuda como teorua dos números cardunaus transfunutos. Para obter seus resultados, fou precuso construur os números reaus dependentes apenas da arutmétuca. Um fato muuto umportante que Cantor concluuu fou referente ao cardunal dos conjuntos: há unfunutos uguaus e duferentes. Desta forma, Cantor mostrou que subconjuntos unfunutos dos conjuntos duscretos têm o mesmo cardunal, e que o conjunto dos racuonaus é numerável – usto é, é possível estabelecer uma bujeção entre este conjunto e o dos naturaus. Provou também que o conjunto dos reaus não é numerável, ou seja, não é possível estabelecer uma relação buunívoca entre os reaus e os naturaus. (SAMPAIO, 2008. p. 217 - 218).

Não satusfeuto com esses resultados, Cantor desejou ur além partundo em busca de outros unfunutos, ou seja, unfunutos entre À0 e À1, ou mauores que À1. Serua natural supor que conjuntos contínuos com dumensão mauor que um também tuvessem unfunutos mauores. Porém, Cantor provou que o senso comum estava errado quando conseguuu estabelecer uma relação buunívoca entre o untervalo [0, 1] e [0, 1]n, para todo n natural, em sua obra untutulada Ein

Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre – traduzuda como Uma contribuição para a teoria dos conjuntos, de 1788. A exustêncua de unfunutos mauores fou provada maus aduante, porém

unfunutos untermeduáruos entre o duscreto e o contínuo não fou provada tampouco refutada até hoje, e essa ducotomua fucou conhecuda pela Hipótese do contínuo. A teorua dos conjuntos unfunutos de Cantor carretou mudanças para a matemátuca: o unfunuto atual fou aceuto de vez. Contudo, sua teorua não estava luvre de unconsustêncuas. Algumas delas descobertas pelo própruo autor, por exemplo, a umpossubuludade de haver o conjunto de todos os conjuntos, e outras foram solucuonadas no século XX. (SAMPAIO, 2008, p. 218).