Alt İşverenliğin Tarihsel Gelişimi

Cada vez que estiver face a uma dificuldade, lembre-se de que chegou o momento de desenvolver-se. M. Taniguchi

Quando se afirma que a Matemática, em especial a da 1ª série do Ensino Médio, precisa ser desenvolvida sob uma nova forma, está implícito o desejo de não só sobressair aos momentos difíceis que ela vem atravessando ao longo dos anos, mas também, o anseio de viver uma constante de sucessos matemáticos. Deste modo, desenvolver uma Matemática diferenciada é ter em mente o aperfeiçoamento das atuais formas de ensino-aprendizagem, de modo a torná-las mais produtivas e ao mesmo tempo mais agradáveis, tornando a Matemática prazerosa de aprender.

Sabe-se também que, o ensino-aprendizagem não ocorre somente num contexto escolar. O aluno aprende observando, imitando, tentando, descobrindo, satisfazendo suas curiosidades, o que é tão natural e inato ao ser humano. Também aprende respondendo a intermitentes interferências daqueles que compartilham o seu mundo, e principalmente pensando.

Diante de tais aspectos, percebe-se que o aluno aprende não recebendo simplesmente, mas por seu próprio esforço. Este é o caminho, que conduz à resolução de problemas. Mas, o que se entende por resolução de problemas? E problemas matemáticos, o que vêm a ser?

De acordo com Dante (2000), problema é qualquer situação que necessita do pensar do indivíduo a fim de solucioná-lo. E quanto a um problema matemático, segundo o mesmo autor, este exige a maneira matemática de pensar, como também, conhecimentos matemáticos para solucioná-lo.

Como se vê, problema e problema matemático estão intimamente ligados, pois ambos dependem do pensar. E conforme a convicção de Polya (1985, p. 12): “A principal tarefa do ensino da Matemática, em nível secundário, é a de ensinar os jovens a PENSAR.” (grifo do autor) Também se está de acordo com este autor, considerado o ‘pai’ da resolução de problemas, quando afirma que a resolução de problemas, além de ser a espinha dorsal do ensino secundário, é também a atividade que mais se caracteriza com o pensamento do dia-a-dia. Sendo que, do cotidiano, podem-se e devem-se formular problemas matemáticos, cabendo ao professor tornar esta passagem clara e interessante para o aluno. Quando os problemas matemáticos provêm de situações conhecidas dos alunos, tornam-se interessantes, desafiadores e isto suscita no aluno a curiosidade e o desejo de resolver a situação proposta, tornando-se um aluno dinâmico e pensante.

Desta forma, por que não introduzir a resolução de problemas no conteúdo matemático desenvolvido na 1ª série do Ensino Médio? O leitor pode dizer: mas trabalham-se problemas neste nível. Então se pergunta: Que tipo de problemas?

Problemas há muitos! Dentre eles destacam-se, de acordo com Dante (2000), os que seguem na figura 25.

A fim de entender melhor as características de cada um dos problemas, retomam-se alguns conceitos, quanto a exercícios de reconhecimento e exercícios de algoritmos.

Exercícios de reconhecimento: São aqueles que têm como objetivo identificar ou lembrar conceitos, definições, propriedades, etc.

Ex.: 1) Quais das seguintes funções são quadráticas?

a) f(x) = 2x + x² d) f(x) = 3x(x – 1) b) g(x) = x + 1 e) f(x) = x(x – 1) (x – 2) c) h(x) = 4 – x² f) g(x) = 2x

Figura 25 – Tipos de problemas matemáticos

Problemas

De aplicação Padrão De quebra- cabeça

Processo ou heurístico

Ex.: 2) Considere a função f: A B dada pelo diagrama e determine:

a) D( f ) b) Im( f)

Exercícios de algoritmos: Estes podem ser resolvidos passo a passo. Objetivam treinar habilidades para executar um algoritmo como também reforçar conhecimentos anteriores.

Ex.: 1) Calcule os zeros das seguintes funções f: R R:

a) f(x) = x – 1 b) f(x) = 2x² + 2

Ex.: 2) Encontre o ponto V(x,y), vértice da parábola, que representa o gráfico das seguintes funções:

a) y = x² + x + 2 b) f(x) = x² - 6x + 5

Ex.: 3) Considere a função f: A B dada pelo diagrama e determine:

a) f(-3) b) f(x) = 0 3 . 4 . 5 . 6 . . 1 . 3 . 5 . 7 A B 3 . 4 . 5 . 6 . . 1 . 3 . 5 . 7 A B

Já revistos tais conceitos, volta-se aos tipos de problemas: problemas- padrão, problemas-processo ou heurístico, problemas de aplicação e problemas de quebra-cabeça.

Problemas-padrão: Têm por objetivo lembrar e fixar os conceitos básicos através dos algoritmos. Também reforçam o elo existente entre tais conteúdos e o cotidiano.

A solução do problema está contida no enunciado, este dá subsídios ao aluno para resolvê-lo, basta transformar a linguagem usual em linguagem matemática, identificando os algoritmos ou operações necessárias para a resolução. Podem ser classificados em problemas-padrão simples e os compostos.

Para o primeiro tomamos o seguinte exemplo:

Ex.: 1) Um motorista de táxi cobra uma taxa fixa de R$ 3,20 pela “bandeirada” mais R$ 0,95 por quilômetro rodado. Assim, o preço de uma corrida de x quilômetros é dado, em reais, por f(x) = 0.95x + 3,20. Determine em quantos reais ficará a corrida de táxi, se o mesmo rodar 30 km?

O exemplo seguinte é de um problema-padrão composto.

Ex.: 2) Um projétil lançado da origem O (0,0), segundo um referencial dado, percorre uma trajetória parabólica cuja função representativa é f(x) = ax² + bx . Sabendo que o projétil atinge sua altura máxima no ponto (2,4), escreva a função dessa trajetória.

Problema-processo ou heurístico (‘Problema aberto’): São aqueles, cujas operações envolvidas na solução não estão contidas no enunciado. Usualmente não podem ser transcritos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos automaticamente por algoritmos, pois exige o pensar, planejar uma ação, ou estratégia que poderá levá-lo a uma solução.

Esse tipo de problema desenvolve a criatividade do aluno, aguça sua curiosidade, incentiva o espírito explorador. Direciona o aluno a desenvolver estratégias próprias para a solução de problemas, ou seja, auxilia a desenvolver a capacidade de ação do indivíduo. Visa a orientar o aluno a certa postura em relação ao conhecimento matemático.

Ex.: Júlio e Igor venderam juntos, 78 sacolés3. Júlio vendeu 18 a mais que Igor. Quantos sacolés venderam cada um?

É um tipo de problema que pode ser resolvido de diversas formas pelo aluno. O professor da 1ª série do Ensino Médio deixa emergirem as idéias dos alunos, vai acompanhando-as, contribuindo com estas, dando sugestões no que diz respeito às idéias dos discentes e não as suas. Para isto, exige do professor um bom conhecimento, tanto do problema quanto da capacidade cognitiva e de expressão dos alunos, o que lhe permite ajudá-los na formação correta do raciocínio.

Partindo deste pressuposto, uma solução condizente com o conteúdo trabalhado em sala de aula, aparece, devido à ampla abrangência que o conteúdo desta série possibilita. Isto é verificado em nossa prática docente, onde por mais fraca que seja a turma, sempre tem, pelo menos um aluno que consegue estabelecer a relação e, através deste aluno os demais também associam, pois a este é oportunizado que exponha sua concepção. Exemplifica-se abaixo, uma das possibilidades de resolução do problema proposto.

Igor vendeu

Júlio vendeu + 18

Juntos + 18 Igor Júlio

Logo: Igor + Júlio + 18 = 78, mas Júlio = Igor + 18 desta forma tem-se: Igor + Igor + 18 = 78

2Igor = 78 – 18 2Igor = 60

Igor = 30 Se Igor vendeu 30 sacolés, Júlio vendeu 30 + 18 = 48.

Dentre as várias possibilidades de resolução, a realizada acima pode ser relacionada ao conteúdo trabalhado na 1ª série do Ensino Médio, intervalos, sob um olhar detalhado do professor.

O professor questiona os alunos, estabelecendo um diálogo, que deve contribuir para o desenvolvimento do raciocínio dos mesmos, melhorando significativamente a aprendizagem, logo desmistificando a Matemática. Também pode aproveitar o mesmo problema para propor hipóteses acerca do custo e lucro obtido na venda, analisar a relação entre estes, sendo conduzido assim, o assunto, a uma situação-problema.

Problemas de aplicação: Retratam situações do dia-a-dia necessitando do uso da Matemática para solução. Conhecidos também como situação-problema, o qual conforme as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p.84):

Apresenta um objetivo distinto, porque leva o aluno à construção de um novo conhecimento matemático. De maneira bastante sintética, podemos caracterizar uma situação-problema como uma situação geradora de um problema cujo conceito, necessário à sua resolução, é aquele que queremos que o aluno construa.

Neste sentido, o problema que segue foi construído. Ressalta-se que tais situações-problema quando construídas pelos alunos lhes são mais significativas, por estarem apoiadas em um saber já estruturado por eles.

Ex.: No final das vendas, Igor e Júlio, precisam saber quanto obtiveram de lucro com a venda dos sacolés. Como fazer?

Através do processo dialógico, surgem várias questões, cabendo ao professor ser mediador no mesmo, instigando o aluno ao pensar. Desta forma, o aluno estará desenvolvendo sua capacidade cognitiva, e a associação de situações- problema com funções, torna-se mais fácil, redundando na construção formal da função que caracteriza o problema em foco. Observou-se este desenrolar em nossa prática docente, onde o aluno estabelece a relação existente entre lucro, receita e custo, construindo então a função pertinente.

Problemas de quebra-cabeça: Para estes, dá-se a qualificação de desafiadores. Geralmente a solução depende da sagacidade do aluno em perceber algum truque, ou em ter um sopro de sorte. Desafiam e inquietam um bom número de alunos.

Problemas de quebra-cabeça podem motivar o aluno a gostar de Matemática, dependendo da forma como são apresentados e desvendados.

Ex.: Recorte o E abaixo com três cortes retos, conforme se vê indicado no tracejado. Agora monte um quadrado com as quatro peças.

Figura 26 – Problema de quebra-cabeça

Acredita-se que, todos os tipos de problemas abordados acima têm seu papel significativo no ensino-aprendizagem. Portanto, submeter o aluno somente a problemas padrão é ocultar-lhe a forma de ação ou procedimento que mais pode contribuir para o real entendimento da Matemática. Neste sentido, quando ao se referir ao termo resolução de problemas, tem-se em mente problemas que remetem as capacidades para além do simples cálculo ou memorização. Assim, dentre os objetivos da resolução de problemas, destaca-se o de desenvolver no aluno o pensar produtivamente, convergindo este com um dos principais objetivos da Matemática: o pensar produtivo.

Com a prática de resolução de problemas, o aluno desenvolve um raciocínio lógico, aprende a enfrentar situações novas, quaisquer que sejam, pois desenvolve a iniciativa, o espírito explorador, a criatividade e a independência. Também oportuniza o uso dos conceitos matemáticos no seu cotidiano, favorecendo uma atitude positiva do aluno em relação à Matemática. Torna as aulas mais interessantes e desafiadoras, conseqüentemente o gosto pela Matemática se instala, e a Matofobia perde espaço.

B

C

A

D

Obviamente, todos esses objetivos da resolução de problemas dar-se-ão mediante a motivação, a qual se torna natural no estudo de problemas reais, que agradam e condizem com a realidade do aluno. Nota-se, então, que a resolução de problemas tem um papel significativo no ensino de Matemática e que a mesma pode ser introduzida na 1ª série do Ensino Médio, como se mostrou com os exemplos ao longo deste texto.