A. İDARENİN TAKDİR YETKİSİ KAVRAMI
1. HUKUKTA TAKDİR YETKİSİ
Reconstruir o instrumento seguindo as orientações de Orsini não é tarefa fácil, sobretudo, porque o autor não explicita os procedimentos que devem ser utilizados nas diferentes situações. Ele não explica, por exemplo, como dividir o quadrante em noventa graus, tampouco ensina como traçar retas paralelas, assim como não esclarece a função de cada uma das partes do instrumento, ou
ainda o uso das escalas ali inscritas. Todas essas informações estão ausentes no Trattato, provavelmente por serem conhecimentos já compartilhados pelos leitores, ou por tratar-se de segredo de ofício, ou mesmo por constituir conhecimento que seria divulgado apenas àqueles que procurassem por sua instrução.
Segundo Dias e Saito (2011), tratados que, como este de Orsini, versavam sobre a construção e uso de instrumentos eram destinados a um público que tinha conhecimentos não só da geometria incorporada, mas também conhecimentos práticos de seu ofício. Desse modo, as ações para construção são apresentadas em forma de instrução, solicitando ao leitor que ele apenas realize as operações, sem fornecer-lhe detalhes de como executá-las.
De fato, a primeira parte do Trattato, ao procurar orientar o leitor acerca da construção do instrumento, fornece instruções para além das dimensões de suas partes, prevendo a marcação das escalas altimétrica e angular; a divisão das pernas, dos braços e da parte inferior da haste; a marcação dos oito pontos cardeais; a inscrição dos ângulos das figuras retilíneas equiláteras no verso da haste; e a marcação do diâmetro da bola de artilharia (ORSINI, 1586, p. 14-26). Realizar todas essas tarefas, no entanto, requer muito mais do que saber para que serve o Radio Latino e como ele funciona: em sua construção é necessário considerar cada parte que o compõe.
Embora seja impossível recuperar, de forma fiel, os conhecimentos que efetivamente foram mobilizados na construção do Radio Latino, uma vez que o autor não os menciona explicitamente - por exemplo, para dividir um arco de circunferência, ou traçar retas paralelas -, o instrumento pode ser reconstruído se considerarmos a necessidade de cada uma de suas partes e que, para compor essas partes, é necessário não somente o conhecimento prático, mas também matemático. Em razão disso, selecionamos aqui algumas dessas orientações, discorrendo, a seguir, sobre as instruções fornecidas no Trattato acerca da dimensão do instrumento, da relação entre suas partes e dos procedimentos relativos às marcações das escalas altimétrica e angular.
Conforme destacamos no capítulo anterior, a articulação entre os braços e as pernas do instrumento, assim como a guia que se desloca sobre a haste, permite a formação de triângulos congruentes entre seus lados esquerdo e
direito. É preciso, portanto, que seus braços, bem como, suas pernas tenham comprimentos de mesma medida.
No Capítulo II, Della proportione che devono haver le braccia, & le gambe
tra di loro, & com l’aste del Radio, Orsini descreve os passos necessários para
que se obtenham medidas proporcionais entre os braços e as pernas (Figura 10), e destes com a haste do instrumento, da seguinte maneira:
Encontra-se a proporção entre os dois braços e as duas pernas deste modo: colocando-se os dois braços em linha reta, como se vê na primeira figura CB e BD, em seguida, a partir do ponto B, centro dos braços, marca-se a linha BE, cuja medida é igual
a um dos braços BC ou BD. Depois, marcando-se as linhas EC e ED, correspondentes ao comprimento das duas pernas,
nascerão os dois triângulos CBE e DBE, isósceles e retângulos. (ORSINI, 1586, p. 6 e 7, tradução nossa)19
Figura 10. A construção do instrumento
Fonte: Orsini (1586, p. 13)
19 Si dà La propotione alle due braccia, & alle due gambe in questo modo, che ponendosi le due
braccia in linea retta, come si vede nella prima figura, le due CB. & BD. si dal punto B. centro delle braccia per l’asta la línea BE. iguale all’uno delle due brccia BC. o vero BD. tirando poi le linee EC. & ED. che ci daranno La lunghezza delle due gambe, & ne nascernno li due triangoli CBE. & DBE. Isosceli & retangoli.
Nota-se que, em suas instruções, Orsini não explicita os procedimentos utilizados para obter as proporções entre as medidas dos braços e das pernas do instrumento, nem destes com a haste. Oferece apenas informações gerais, tais como “colocando-se os dois braços em linha reta”; “marca-se a linha BE a partir do ponto B cuja medida é igual a um dos braços BC ou BD” e “marcar as linhas EC e ED correspondentes ao comprimento das duas pernas”. Em outras palavras, Orsini não é explícito quanto aos procedimentos necessários para que tais proporções sejam obtidas.
Na sua primeira anotação, Danti complementa essas orientações observando que o comprimento da haste deve ser igual à medida de uma perna mais um braço (Figura 11). Explica que isso se faz necessário para que todas as divisões encontradas nos braços e nas pernas do instrumento possam se ajustar à sua haste.
Figura 11. Divisão da haste, pernas e braços do instrumento em partes iguais
Danti ressalta, também, a necessidade de que os dois braços (direito e esquerdo) sejam de mesmo comprimento, ou seja, que a medida da distância do centro da articulação B seja precisamente a mesma que de B até C e D. Da mesma forma, observa que as duas pernas CE e DE (esquerda e direita) devem ter exatamente a mesma medida, conforme pode ser observado nas Figuras 12 e 13.
Figura 12. Medidas dos braços, pernas e haste do instrumento segundo Danti
Fonte: Figura nossa
Embora seja impossível saber a que conhecimentos geométricos Orsini e Danti se referiam para construir o instrumento, é possível reconstruir o Radio
Latino mobilizando conhecimentos geométricos que hoje conhecemos. Mas ao
reconstruí-lo devemos considerar as ferramentas que ambos tinham à disposição naquela época. Assim, seguindo as suas orientações, representamos
𝐶𝐵 ̅̅̅̅ ≡ 𝐵𝐷̅̅̅̅ ≡ 𝐵𝐸̅̅̅̅ 𝐶𝐸 ̅̅̅̅ ≡ 𝐷𝐸̅̅̅̅ ≡ 𝐸𝐴̅̅̅̅ 𝐵𝐴 ̅̅̅̅ ≡ 𝐵𝐸̅̅̅̅ + 𝐸𝐴̅̅̅̅
a construção do instrumento com o uso de régua não graduada (reta e segmento de reta) e compasso, ferramentas disponíveis no software Geogebra (Figura 13). Considerando a imagem do instrumento constante no Trattato (Figura 10), assim como, as instruções de Orsini e Danti, notamos que os segmentos 𝐶𝐵̅̅̅̅ e 𝐵𝐷̅̅̅̅ são raios de uma circunferência cujo centro é o ponto B. Dessa maneira, traçamos inicialmente uma circunferência, com centro em B e raio qualquer, marcando os pontos C e D (Figura 13). Em seguida, traçamos a reta a onde deve ser representada a haste do Radio Latino. Essa reta pode ser construída de duas maneiras: Para tanto, podemos proceder pelo menos de duas maneiras: 1) levantando uma perpendicular ao segmento 𝐶𝐷̅̅̅̅ pelo ponto B; ou 2) traçando a mediatriz do segmento 𝐶𝐷̅̅̅̅. Marcamos, então, o ponto E - interseção da reta a com a circunferência de centro B. Traçamos a circunferência de centro E e raio 𝐸𝐷
̅̅̅̅ para obter o ponto A na intersecção com a reta a (observe que 𝐶𝐸̅̅̅̅ = 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 𝐸𝐴
̅̅̅̅). Encontramos, assim, a medida do comprimento da haste 𝐵𝐴̅̅̅̅, tal como nos instruem Orsini e Danti.
Figura 13. Esboço para construção do instrumento
Do ponto de vista matemático, esse procedimento não parece oferecer nenhum problema, visto que as escalas que serão impressas no Radio Latino deverão se conformar ao instrumento como um todo, pois todas as suas partes encontram-se ali em tamanhos proporcionais. Contudo, há uma diferença muito grande em traçar as partes do instrumento no papel e construí-lo efetivamente. Considerando as observações de Danti de que o Radio Latino deve ter “dois palmos e meio para uso geométrico” (DANTI, 1586, p.7), a medida da haste do instrumento deveria ser próxima a 55 cm20.
Assim, para que a haste do instrumento tenha aproximadamente essa medida, devemos iniciar sua construção pela haste, dirigindo-nos em seguida para as outras partes. Isso significa que, diferentemente das orientações do
Trattado, o processo seria inverso daquele apresentado por Orsini e Danti, como
visto na Figura 13. Poderíamos, então, inicialmente traçar a circunferência de centro E e supor um raio com medida igual a 11 cm (meio palmo), que seria correspondente ao segmento 𝐵𝐸̅̅̅̅ (parte menor da haste), como mostra a Figura 14.
Figura 14. Esboço para construção do instrumento a partir de sua haste
Fonte: Figura nossa
20 Tomamos aqui a referência moderna de palmo, ou seja, 1 palmo corresponderia a
Seguindo as orientações do Trattato, a medida do segmento 𝐵𝐷̅̅̅̅ (braço do instrumento), também seria igual a 11 cm e, neste caso, a medida do segmento 𝐷𝐸̅̅̅̅ (perna do instrumento) seria, aproximadamente 15,56 cm, pois tais medidas correspondem, respectivamente, aos catetos e à hipotenusa de um triângulo retângulo. Dessa forma, a medida do comprimento da haste não seria próxima aos 55 cm (2,5 palmos), pois 11 cm mais 15,56 cm é igual a 26,56 cm. A partir dessa constatação, podemos encontrar a medida dos braços:
11 ⟶ 26,56 𝑥 ⟶ 55 𝑥 =55 𝑥 1126,56
𝑥 ≅ 22,8
Logo, para a construção do instrumento teríamos que usar aproximadamente 23 cm para o braço e 55 cm para a haste.
Determinadas as medidas para a construção do instrumento discutiremos, a seguir, as escalas altimétrica e angular presentes no Radio
Latino.
3.3 As escalas
No que diz respeito à marcação das escalas altimétrica e angular, o título do terceiro capítulo, “Como na perna direita marcam-se os noventa graus do quadrante e, na esquerda, a escala altimétrica” (ORSINI, 1586, p.9, tradução nossa)21, sugere que Orsini apresentará os procedimentos para marcar os noventa graus do quadrante na perna esquerda e a escala altimétrica na direita. Entretanto, esses procedimentos não são descritos. Novamente, o autor apenas fornece instruções, pressupondo que o leitor já tenha conhecimentos matemáticos, conforme podemos observar a seguir:
Faça-se sobre uma mesa plana um meio círculo, cujo diâmetro seja igual ao comprimento dos dois braços do Radio e divida-se a quarta direita do semicírculo em 90 graus. Depois se coloca o radio sobre a dita mesa com os braços estendidos em linha reta sobre o diâmetro do semicírculo, fazendo com que o ponto B
esteja justamente no centro colocando-se a régua (regolo) de um lado até o ponto B manda-se a cada um dos graus do quarto de círculo CE e transportam-se na perna direita CE, como na presente segunda figura se vê.
Da quarta [parte] esquerda do círculo EGD22 se tirarão as duas linhas retas DI e IE, paralelas à DB e BE, que formarão um quadrado e, marcada a linha da sombra média BI, marca-se a escala altimétrica da forma usual. (Orsini, 1586, p. 9 e 10, tradução nossa)23
Orsini também não é explícito quanto à divisão da escala altimétrica em 12 partes iguais, antes e depois da diagonal do quadrado, denominada pelo autor “ombra media”. É apenas por meio da ilustração (Figura 15) que podemos constatar essa divisão.
Ele também não informa acerca do procedimento que deve ser utilizado para dividir a escala nessas doze partes, limitando-se a orientar que ela deve ser marcada da forma usual. Da mesma maneira, seria frustrada a expectativa de um leitor que esperasse nesses comentários, por exemplo, instruções sobre a divisão do quadrante em 90 partes iguais.
Assim, da mesma forma que procedemos para a construção do instrumento, procuramos traçar essas escalas com régua (não graduada) e compasso, com base nas informações fornecidas pelo autor e na imagem da Figura 16.
22 Como pode ser observado na imagem da Figura 15, o ponto G não foi indicado por Orsini, no
entanto, ele encontra-se na instersecção entre a bissetriz do quadrante com o arco da circunferência.
23“Facciasi sopra uma tavola plana um mezzo circolo, il cui diametro sia iguale alla lunghezza
delle due braccia del Radio, & dividasi la quarta destra del semicircolo, in 90 gradi. Dipoi si metta il radio sopra la detta távola com le braccia distese in linea retta sopra il diametro del semicircolo, facendo che il punto B. stia giustamente nel centro, & mettendo il regolo da um lato al punto B. se mandi à ciascun grado della quarta del cerchio CE. & se trasportino nella gamba destra CE. come nella presente seconda figura si vede.
Alla quarta sinistra del circolo EGD. si tireráno le due linee rette DI. & IE. parallele alle DB. & BE. che faranno um quadrato, & tirata la línea dell’ombra media BI si segni scala Altimetra ao solito”.
Figura 15. Ilustração das escalas altimétrica e angular
Fonte: Figura modificada (Orsini, 1586, p. 13)
Primeiro, como explica Orsini, devemos traçar "sobre uma mesa plana um meio círculo, cujo diâmetro deve ser igual ao comprimento dos dois braços do Radio dividindo-se [em seguida] a quarta direita do semicírculo em 90 graus" (ORSINI, 1586, p. 9, tradução nossa)24. Traçar sobre uma folha de papel a circunferência e depois encontrar o arco que corresponda ao quarto quadrante não é tarefa difícil. No entanto, dividir esse arco em 90 partes encerra dificuldades e Orsini não fornece nenhuma informação nesse sentido.
24 [...] sopra uma tavola plana um mezzo circolo, il cui diametro sia iguale alla lunghezza delle
Figura 16. Ampliação da escala altimétrica
Fonte: Figura modificada (ORSINI, 1586, p. 13)
Orsini orienta, ainda, que o Radio Latino seja colocado sobre a circunferência a fim de que as escalas sejam marcadas no instrumento nos orienta a colocarmos o Radio Latino sobre a circunferência traçada para que marquemos no instrumento as escalas, transferindo cada um dos 90 graus marcados no quarto da circunferência para a perna direita. Em seguida, explica: "Da quarta [parte] esquerda do círculo EGD se tirarão as duas linhas retas DI e IE, paralelas à DB e BE, que formarão um quadrado e, marcada a linha da sombra média BI, marca-se a escala altimétrica da forma usual." (ORSINI, 1586, p. 9-10)25.
Por exemplo, podemos traçar uma reta perpendicular ao segmento ̅̅̅̅ DB pelo ponto D e outra ao segmento BE̅̅̅̅ pelo ponto E. O encontro dessas perpendiculares se daria no ponto I. Outra possibilidade seria traçar, pelo ponto D, uma reta paralela ao segmento BE̅̅̅̅ e outra pelo ponto E, paralela ao segmento DB
̅̅̅̅. O encontro das paralelas seria no ponto I e assim teríamos o quadrado
25 Alla quarta sinistra del circolo EGD. si tereráno le due linee rette DI. & IE. parallele alle DB. &
BE. che faranno um quadrato, & tirata la línea dell’ombra media BI si segni scala altimetra ao solito.
BDIE. O autor segue orientando que o segmento EI̅ seja dividido em 12 partes iguais, o que pode ser feito dividindo tal segmento com base no teorema de Tales, conforme pode ser observado na Figura 17.
Figura 17. Marcação da escala altimétrica
Fonte: Figura nossa
A divisão em doze partes está relacionada à origem dos instrumentos matemáticos e ao uso que se fazia desses instrumentos em Astronomia, Cartografia e Geografia. A esse respeito, Saito e Dias (2011) observam que:
Para observar os céus, prática adotada também por navegadores e cartógrafos, os astrônomos tradicionalmente utilizavam-se do sistema sexagesimal de numeração. O que faz do número 60 um número muito especial. Se levarmos em consideração que este número tem muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) de modo que pode ser decomposto num produto de fatores, facilitando assim os cálculos, a divisão em doze partes iguais, em que cada parte é subdividida em 5 partes, faz bastante sentido. (SAITO; DIAS, 2011, p.42)
Ainda sobre a marcação da escala altimétrica, convém observar que não é possível dividir o segmento em doze partes iguais usando a mediatriz, uma vez que a mesma nos possibilitaria apenas divisões em 2, 4, 8, 16 e assim sucessivamente. Por isso, lançamos mão do conceito de retas paralelas cortadas por duas transversais, desenvolvido no chamado teorema de Tales.
Mas, além da escala altimétrica, que é uma escala linear, o Radio Latino possui também uma escala angular. A dificuldade encontrada para a marcação desta escala foi a divisão do arco de círculo relativo ao braço direito do instrumento em ângulos com medidas congruentes.
Orsini não explica o procedimento para realizar essa divisão, tampouco Danti. Saito (2014), no entanto, esclarece que, embora alguns instrumentos tivessem a indicação das escalas angulares, não era comum utilizá-las, dado o fato de que as tabelas que traziam as relações trigonométricas ainda circulavam em sua maior parte em forma manuscrita. Além disso, a não utilização de tais escalas devia-se a questões de ordem prática, entre elas o problema quase insuperável da divisão de um arco de círculo em partes iguais.
A esse respeito, cabe observar que não temos notícias dos métodos de divisão de arco de círculo em pequenas partes. Segundo Richenson (1996, p.83-85), Pedro Nunez teria descrito um dos primeiros métodos para a divisão de arcos em seu Tratado De crepusculis Liber Umus, publicado em Lisboa em 1542. Porém, o método mais comum, utilizado com bastante sucesso em finais do século XV e início do século XVII, parece ter sido o das escalas transversais e diagonais. (SAITO, 2014, p. 39-40)
Não sabemos, portanto, como o arco de círculo do Radio Latino foi dividido em partes congruentes, embora, como aqui se explicitou, o procedimento fosse bem conhecido pelos praticantes de matemáticas. De acordo com a ilustração, no Trattato del Radio Latino notamos que o autor recorreu a uma divisão em 90 partes, assinalando-as de 10 em 10, sendo provável, portanto, que a divisão tenha sido feita em 9 partes congruentes e cada uma dessas novamente dividida em 10 partes.
Podemos especular sobre os diferentes procedimentos para dividir um arco em partes congruentes, com régua e compasso. Um deles (Figura18) consiste em traçar o diâmetro XY paralelo à corda CE, marcar o ponto Z, pertencente à mediatriz desse diâmetro, tal que YZ = XZ e, em seguida, dividir a corda CE em 9 partes iguais, traçando, então, com base no teorema de Tales, as retas que passam pelo ponto Z e pelos 9 pontos obtidos na corda CE - essas retas dividirão o arco CE em 9 partes congruentes.
Figura 18. Divisão do quarto de círculo em nove partes congruentes
Fonte: Figura nossa
Nas anotações relativas ao Capítulo III, Danti explica que a marcação dos graus na corda é diferente daquelas do arco:
O quarto de círculo CFE [Figura 19] é dividido em 90 partes iguais, as quais transportadas na perna direita do Radio, que está próxima da corda dessa quarta, resultam diferentes, porque as partes da corda que estão mais próximas do arco possuem sempre as divisões maiores que aquelas partes que estão mais longe, onde os graus que estão no começo e no fim da corda são sempre maiores do que os graus do arco da quarta de círculo(...) (DANTI, 1586, p.10)26
26 La quarta del circolo CFE. é divisa in 90 parti iguale, le quali trasportate nella gambá destra del
Radio, che fa l’ussitio della corda di essa quarta, diventono inuguali, perche le parti della corda, che sono più vicine all’arco, hanno sempre le divisioni maggiori, che non hanno quelle parti, che le sono più lontane, onde gli gradi, che sono nel principio & fine della corda, sono sempre maggiori delli gradi dell’arco della quarta del circolo.
Figura 19: Escala angular
Fonte: Figura modificada (ORSINI, 1586, p. 13)
Sobre a afirmação acima, Danti esclarece que o segmento CN (na corda CE da circunferência de centro B) que corresponde a 10° quando transportada para o arco de circunferência CFE, marcará, sobre este, 12°, que corresponde ao arco CM da circunferência de centro B. (Figura 20). Assim, para justificar a diferença entre as medidas do segmento 𝐶𝑁̅̅̅̅, que na corda corresponde a 10 graus e no arco corresponderá a 12 graus, Danti explica que o triângulo CMN é isósceles. Que no triângulo CSN a medida do ângulo externo 𝐶𝑆̂𝑃27 é maior do que a medida do ângulo interno 𝑀̂ e também da medida do ângulo interno 𝑁̂ do triângulo CMN. Logo, conclui que como os ângulos internos 𝑁̂ e 𝑀̂ são congruentes, consequentemente o lado 𝐶𝑁̅̅̅̅ do triângulo CMN será maior que o lado 𝐶𝑆̅̅̅̅ do triângulo CSN. (Figura 20).
Nota-se que Danti, ao afirmar que o ângulo externo 𝐶𝑆̂𝑃 é maior que o interno oposto, não faz menção a nenhuma propriedade que sustente sua afirmação. No entanto, sabemos que o conhecimento implícito nesse caso é o
27 O ponto P foi acrescentado por nós a fim de auxiliar na localização do ângulo externo 𝑆̂,
teorema do ângulo externo, cujo enunciado explica o porquê da afirmação do autor: “todo ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer um dos ângulos internos a ele não adjacentes”. Esse teorema explica também a afirmação que a medida do ângulo 𝐶𝑆̂𝑃 é maior que a medida do ângulo 𝐶𝑁̂𝑆.
Figura 20. Diferença entre a medida na corda e no arco de circunferência
Fonte: Figura nossa
Até aqui apresentamos alguns dos conhecimentos matemáticos que estão presentes na construção do Radio Latino. Além deles, existem muitos