3. MATERYAL VE YÖNTEM
5.2. FO Uncertain Systems
5.2.3. Hermite-Biehler Analysis
‘Hermite-Biehler Analysis’ penceresinin genel görüntüsü Şekil 5.13’te verilmiştir.
Kesir dereceli belirsiz polinomların Hermite-Biehler teoremi ile kararlılık analizi için geliştirilen bu pencereye polinom girişi
1* ^s 1
2* ^s 2
şeklinde yapılır. Polinomdaki belirsiz katsayılar ise i yerine q ile yazılmalıdır. ‘Enter i Parameters’ butonu ile belirsiz katsayıların alt ve üst limitleri girilerek ‘Plot’ butonu ile istenen çizim elde edilir.Şekil 5.13. ‘Hermite-Biehler Analysis’ penceresinin genel görüntüsü.
5.2.4. ‘Root Region Analysis’
Bölüm 5.1.4’te verilen kök bölgesi analizi, bu pencerede kesir dereceli belirsiz polinomlar için yapılmıştır. Belirsiz polinom ve belirsiz katsayılar girildikten sonra
‘Plot’ butonu ile girilen kesir dereceli polinomun kök bölgesi elde edilecektir.
Ayrıca, kararlı ve kararsız bölgede yer alan kökler pencere üzerinde görülecektir.
Kesir dereceli belirsiz polinomlar için kök bölgesi analizi penceresi Şekil 5.14’te verilmiştir.
Şekil 5.14. ‘Stability Analysis of FOUPs via Root Region’ penceresinin genel görüntüsü.
2.2.5. ‘Value Set Analysis’
Bu pencere kullanılarak kesir dereceli belirsiz polinomların değer kümeleri elde edilebilir. Değişken katsayılarla oluşan farklı polinomların aynı çizim üzerinde incelenebilmesi için ‘Color’ seçeneği ile farklı renkler seçilebilir. Değer kümesi analizi penceresinin genel görüntüsü Şekil 5.15’te verilmiştir.
Şekil 5.15. ‘Value Set Analysis’ penceresinin genel görüntüsü.
2.2.6. ‘Nonlinear Uncertainty’
‘Nonlinear Uncertainty’ penceresinin genel görüntüsü Şekil 5.16’da verilmiştir.
Şekil 5.16. ‘Nonlinear Uncertainty’ penceresinin genel görüntüsü.
Bu pencere kullanılarak doğrusal olmayan belirsizlik yapıları içeren kesir dereceli sistemlerin Bode ve Nyquist sınırları elde edilebilir. Transfer fonksiyonunun pay ve payda polinomları, belirsiz katsayılar q q q 1, 2, 3, olacak şekilde yazılarak sistem girişi yapılır.
FGATool arayüzünün kısa tanıtımından sonra birkaç örnek ile uygulaması gösterilebilir.
Örnek 5.1: Aşağıda verilen transfer fonksiyonunu ele alalım.
3.1 2.2 1.1
( ) 1
2 3 1
G s s s s
(5.1)
Verilen transfer fonksiyonunun ‘Step Response of FOSs’ penceresine girilmiş hali Şekil 5.17'de verilmiştir.
Şekil 5.17. Denklem 5.1'deki transfer fonksiyonunun ‘Step Response of FOSs’
penceresine girilmesi.
'Plot' butonuna tıklayarak elde edilen birim basamak tepkisi Şekil 5.18'de verilmiştir.
Şekil 5.18. Denklem 5.1'deki transfer fonksiyonunun birim basamak tepkisi.
Denklem 5.1'de verilen transfer fonksiyonunun Bode ve Nyquist grafiklerini elde etmek için Şekil 5.19'da gösterilen girişi yapmak yeterlidir.
Şekil 5.19. Denklem 5.1'deki transfer fonksiyonunun ‘Load From Workspace’ ile
Görülüğü gibi pencerede 'Load From Workspace' seçeneği işaretlendiğinde sistem transfer fonksiyonu parametreleri yazılacaktır. Daha sonra, istenen grafikler işaretlenerek 'Plot' butonuna tıklamak yeterlidir. Bu sistem için elde edilen Bode ve Nyquist çizimleri Şekil 5.20'de verilmiştir.
Şekil 5.20. Denklem 5.1'deki transfer fonksiyonunun (a) Bode ve (b) Nyquist çizimleri.
Örnek 5.2: Aşağıda verilen kesir dereceli polinomu ele alalım.
3.1 2.1 1.1
( ) 2 2 1
P s s s s (5.2)
Verilen polinomun ‘Hermite-Biehler Analysis’ penceresine girilmiş hali ve tek ve çift kısımların reel ekseni kesin noktaları Şekil 5.21’de verilmiştir.
Şekil 5.21. (a) Denklem 5.2’de verilen polinomun program penceresine girilmiş hali.
(b) Çift ve tek kısımların kesim noktaları.
Bu şekilde çift ve tek kısımlar için elde edilen çizimler Şekil 5.22’de verilmiştir. Denklem 5.2’de verilen polinomun kök bölgesini elde etmek için ‘Root Region Analysis’ penceresine yapılan giriş ve bulunan kökler Şekil 5.23’te verilmiştir. Bu şekilde, denklem 5.2’de verilen kesir dereceli polinomun kök bölgesi Şekil 5.24’te verilmiştir.
Şekil 5.22. Denklem 5.2’te verilen polinomun çift ve tek kısımlarının çizimleri.
Şekil 5.23. (a) Denklem 5.2’de verilen polinomun program penceresine girilmiş hali.
(b) Kararlı bölgedeki kökler.
Görüldüğü gibi kararlı kök bölgesinde iki adet kök bulunmaktadır. Bu kökler, Şekil 5.23 (b)’de gösterilmiştir. Denklem 5.2’de verilen kesir dereceli polinomun gerçek köklerini bulmak için ‘Roots of FOPs’ penceresine ‘Load From Workspace’
seçeneği ile polinom girilebilir ve kesir dereceleri tamsayı yapacak en küçük m değeri girildikten sonra ‘Find’ butonu ile kökler hesaplanabilir. Şekil 5.25’te, girilen kesir dereceli polinomun kökleri verilmiştir.
Şekil 5.25. Denklem 5.2’deki kesir dereceli polinomun gerçek kökleri.
Denklem 5.2’de verilen kesir dereceli polinomun frekans özellikleri ile analizini yapabilmek için yapılan giriş ve bu polinom için elde edilen çizim sırasıyla Şekil 5.26 ve Şekil 5.27’de verilmiştir.
Şekil 5.26. Denklem 5.2’de verilen kesir dereceli polinomun ‘Frequency Properties’
penceresine girilmesi.
Örnek 5.3: Aşağıdaki kesir dereceli belirsiz transfer fonksiyonunu ele alalım.
3.1 2.2 1.1
1 2
( ) 1 G s 1
s q s q s
(5.3)
Belirsiz parametreler, q1
1,2 ,q2
2,3 olarak verilmiştir.Şekil 5.27. Denklem 5.2’de verilen kesir dereceli polinom için elde edilen çizim.
Bu sistem için birim basamak tepkisi grafiği elde edilmek isteniyor. Sistemin ilgili pencereye girişi Şekil 5.28’de gösterilmiştir.
Şekil 5.28. Denklem 5.3’teki sistemin pencereye girişi.
Bu giriş ile elde edilen birim basamak tepkisi Şekil 5.29’da verilmiştir. Aynı sistemin Bode ve Nyquist çizimlerini elde etmek için, ilgili pencerede ‘Load From Workspace’ seçeneği kullanılabilir. Bu sistem için elde edilen Bode ve Nyquist çizimleri sırasıyla Şekil 5.30 ve Şekil 5.31’de verilmiştir.
Verilen sistemin Bode ve Nyquist zarfllarının elde edilmesi için gereken pencere girişi ise Şekil 5.32’de verilmiştir. Gereken giriş yapıldıktan sonra elde edilen Bode ve Nyquist zarfları sırasıyla Şekil 5.33 ve 5.34’te verilmiştir.
Şekil 5.29. Denklem 5.3’te verilen sistemin birim basamak tepkisi.
Şekil 5.30. Denklem 5.3’te verilen sistemin Bode çizimleri.
Şekil 5.31. Denklem 5.3’te verilen sistemin Nyquist çizimleri.
Şekil 5.32. Denklem 5.31’de verilen belirsiz sistemin Bode ve Nyquist zarflarının elde edilmesi.
Şekil 5.33. Denklem 5.3’te verilen belirsiz transfer fonksiyonunun Bode zarfı.
Şekil 5.34. Denklem 5.3’te verilen belirsiz transfer fonksiyonunun Nyquist zarfı.
Örnek 5.4: Şimdi de aşağıda verilen kesir dereceli polinom ailesini ele alalım.
2.1 1.2
Bu polinom ailesi için de belirsiz parametreler, q1
1,2 ,q2
2,3 olarak verilmiştir. Denklem 5.4’te verilen polinomun kök bölgesini elde etmek için gereken pencere girişi ve analiz sonrası bulunan kökler Şekil 5.35’te ve polinom ailesinin kök bölgesi Şekil 5.36’da verilmiştir.Şekil 5.35. Denklem 5.4’te verilen polinom ailesi için kök bölgesi analizi.
Şekil 5.36. Denklem 5.4’te verilen polinom ailesinin kök bölgesi.
Denklem 5.4’teki polinom ailesinin değer kümesini elde etmek için ise ‘Value Set Analysis’ penceresinde ‘Load From Workspace’ seçeneği kullanılabilir. Bu şekilde elde edilen değer kümesi Şekil 5.37’de verilmiştir. Benzer şekilde bu polinom ailesi için elde edilen tek ve çift kısımların çizimi Şekil 5.38’de verilmiştir.
Örnek 5.5: Denklem 4.94’te verilen doğrusal olmayan belirsizlik yapısı içeren kesir dereceli sistemi ele alalım.
Bu sistemin ‘Nonlinear Uncertainty’ penceresine girilmiş hali Şekil 5.39’da verilmiştir. Elde edilen Bode ve Nyquist sınırları ise sırasıyla Şekil 5.40 ve 5.41'de verilmiştir. Böylece geliştirilen arayüz programının etkinliği gösterilmiş olur.
Şekil 5.37. Denklem 5.4’te verilen polinom ailesinin değer kümesi.
Şekil 5.38. Denklem 5.4’te verilen polinom ailesinin Hermite-Biehler analizi.
Şekil 5.40. Denklem 4.94'te verilen sistemin Bode sınırları.
Şekil 5.41. Denklem 4.94'te verilen sistemin Nyquist sınırları.