Mevcut işaret hakkında, zaman-genlik fonksiyonundan hazır bilgilere ulaşılamadığı zaman işarete matematik dönüşüm yöntemleri uygulanarak işaret hakkında istenen bilgiler elde edilebilir.
Uygulanabilecek bir dizi dönüşüm yöntemi olmasına rağmen en popüler olanı fourier dönüşümüdür. İşaretlerin çoğu, zaman fonksiyonu ile ifade edildiklerinden, pratikte zaman boyutundaki haliyle ifade edilirler. Yani diğer bir deyimle eksenlerden biri zaman, diğeri de işaretin genliği olacaktır. Zaman boyutunda işaretleri çizdiğimizde işaretin zaman içinde genliğini elde ederiz. İşaretin bazı detay bilgisi frekansında gizlendiği için, frekans bandı bileşenlerinden kolayca takip edilebilirler. Frekans bandı işarette hangi frekansların mevcut olduğunu gösterir.
Mühendislik ve matematikte kullanılan her bir dönüşüm yöntemi, avantaj ve dezavantajlarıyla kendi uygulama alanlarına sahiptir.
Dalgacık dönüşümünün daha iyi anlaşılabilmesi için fourier dönüşümüne biraz detaylı bakılmalıdır. Fourier dönüşümü, dalgacık dönüşümünde olduğu gibi, tersi olan bir dönüşümdür. Geriye dönüş mümkündür. Buna karşın, işaretin bir kısmı sadece verilen herhangi bir zaman diliminde elde edilebilir. İşaretin zaman boyutunda frekans bilgisine bakılamaz. Fourier dönüşümüne uğramış bir işarette de zaman bilgisine bakılamaz.
Frekans dönüşümü, işarette her bir frekans bileşeninden ne kadar bulunduğunu gösterir; ancak ne zaman bu frekans bileşenlerinin olacağını söylemez. İşaret hareketsiz durağan ise bu bilgi gerekmez.
Frekans değerleri zamanla değişmeyen işaretlere durağan işaretler denir. Diğer bir deyimle durağan işaretlerin frekans içerikleri zamanla değişmez. Bu durumda frekans bileşenlerinin ne zaman olup olmadığını bilmeye ihtiyacımız da yoktur. Çünkü bütün frekans bileşenleri har zaman vardır.
Dalgacık dönüşümü zaman-frekans gösterimini sağlayan bir dönüşümdür. Bu bilgiyi veren başka dönüşüm yöntemleri de vardır. Kısa zaman fourier dönüşümü, Wigner dağılımları benzer olarak sunulabilir.
Çoğu zaman bizi özellikle herhangi bir anda oluşan frekans bileşenlerinin bir kısmı ilgilendirebilir. Bu durumda hangi zaman diliminde önemli frekans bileşenlerinin oluştuğu
47
bilgisine sahip olmak çok faydalı olabilir. Dalgacık dönüşümü zaman ve frekans bilgisini eş zamanlı verebilir. Yani işaretin zaman-frekans gösterimini verir.
Uzun bir bilgiyi kısaltmak için, zaman boyutundaki işaret yüksek geçiren ve alçak geçiren filtrelerden geçirilir. Yüksek ve alçak frekans bölgeleri filtrelenmiş olur. Bu işlem işaretten her bir zaman diliminde karşılık gelen bazı frekansları silerek tekrarlanır.
Heisenberg tarafından “belirsizlik ilkesi” tanımlanıp formüle edilmiştir. Hareket eden parçanın pozisyonu ve momenti eş zamanlı olarak bilinememe durumu için ileri sürülmüştür. Bu aynı anda frekans, genlik ve zamanı öğrenme problemi ile aynıdır.
Zaman-frekans düzleminde bazı özel noktalarda işaretin zaman ve frekans bilgisi bilinememektedir. Diğer bir ifade ile verilen her hangi bir zaman diliminde hangi frekans bileşenlerinin olduğu bilinmeyebilir. En iyisi verilen zaman diliminde hangi frekans bileşenlerinin bulunduğu araştırılır. Bu çözünürlük problemidir ve araştırmacıların KZFD den DD ne atlamalarının temel sebebidir. KZFD her zaman aynı çözünürlüğü verir. DD değişik çözünürlükler verebilir.
Yüksek frekanslar zaman içinde daha iyi çözülebilirler, alçak frekanslar da frekans içinde daha iyi çözülebilir. Bunun anlamı yüksek frekans bileşenlerinin zaman içine yerleştirilmeleri alçak frekans bileşenlerinden daha anlamlıdır. Aksine alçak frekans bileşenlerinin frekansa yerleştirilmeleri yüksek frekans bileşenlerine nazaran daha anlamlıdır.
Ayrık zamanda işaretin zaman çözünürlüğü, sürekli zamanda olduğu gibidir; fakat frekans bilgisi, her bir aşamada farklı çözünürlüğe sahiptir. Yüksek frekansların olmadığı yerlerde frekans alt bileşenleriyle arasındaki boşluk frekans büyüdükçe büyümektedir.
Zaman ve frekans çözünürlük problemi Heisenberg’in belirsizlik prensibine getirdiği farklı yaklaşım yöntemini kullanılarak, çoklu çözünürlük analizi (ÇÇA) ile işareti analiz etmek mümkündür [58]. ÇÇA farklı çözünürlükte ve farklı frekanslarda işaretin analizidir. Her tayf bileşeni KZFD’ de eşit oranda çözülüp analiz edilemiyordu.
ÇÇA yüksek frekanslarda iyi bir zaman boyutu çözünürlüğü, ona nispeten daha az frekans çözünürlüğü sunar. Tersi için yani alçak frekanslar için daha iyi bir frekans çözünürlüğü ve daha düşük bir zaman çözünürlüğü sunar. Bu yaklaşım yüksek frekans bileşenlerinin kısa süreli ve alçak frekans bileşenlerinin uzun süreli iyi algılanmasının sağlanması anlamına gelir. Pratikte ölçülen işaretler genellikle böyledirler. Uzun süreli alçak frekans ve kısa süreli yüksek frekans bilgisi içermektedirler [65,56].
Sürekli dalgacık dönüşümü, çözünürlük problemini çözebilmesi için kısa süreli fourier dönüşümüne alternatif olarak geliştirilmiştir. Dalgacık analizi KZFD analizine benzer olarak yapılmaktadır. Dalgacık KZFD deki pencere fonksiyonuna benzer bir şekilde zaman boyutunda
48
işaretin farklı parçalarında ayrı hesaplanır. Buna rağmen KZFD ile SDD arasında iki temel fark vardır.
Birincisi pencerelere alınmış işaretin fourier dönüşümü alınmaz. Diğer bir fark ta sinüzoidal işarette tek tepe noktası görülür, negatif frekanslar hesaplanmaz.
Muhtemelen dalgacık dönüşümün en anlamlı karakteristiklerini içeren her bir frekans bileşenleri için dönüşümün hesaplandığı gibi pencerelerin genişlikleri değişir.
Sürekli dalgacık dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanıştır [65- 69].
dt s t t x s s s CWTkw( , ) kw( , ) 1 () *(
τ
)τ
τ
=Ψ =∫
⋅Ψ − (3.1)Yukarıda görüldüğü gibi dönüştürülen işaret τ (dönüşüm) ve s (ölçek) iki değişkenlidir. ψ (t) dönüşüm fonksiyonudur ve ana dalgacık olarak adlandırılır. Ana dalgacık ismi dalgacık analizinin iki önemli sürecinden gelir.
Dalgacık küçük dalga manasındadır. Küçüklük penceresi sınırlı uzunlukta olmasına karşılık gelir. Dalga fonksiyonun salınımlı olmasına karşılık gelir. Ana deyimi, ana fonksiyondan türetilen dönüşüm işlemlerinde kullanılan farklı bölgelerdeki fonksiyonlara işaret eder. Diğer bir deyimle ana dalgacık diğer pencere fonksiyonlarının örneğidir.
Dönüştürme deyimi KZFD de kullanıldığı şekliyle aynıdır. İşaret boyunca ötelenen pencereler gibi pencerenin yeriyle ilgilidir. Bu terim frekans bölgesinde tam olarak zaman bilgisine karşılık gelir. Buna rağmen frekans parametremiz yoktur daha önce KZFD de olmasına rağmen onun yerine ölçek parametresi vardır. Ölçek parametresi 1/frekans olarak tanımlıdır. Frekans deyimi KZFD de ayrılmıştır.
Dalgacık analizinde kullanılan “ölçek” parametresi harita da kullanılan “ölçek” ile aynıdır. Haritalarda olduğu gibi, yüksek ölçekli haritalar genel bakar, detaylar yoktur fakat düşük ölçekli haritalarda detaylarda görünür.
Dalgacık olarak frekans deyimi için alçak frekanslar genel bakışa karşılık gelir detaylar yoktur. Yüksek frekansların olduğu yerde işarette gizlenmiş detaylı bilgilere bakılabilir.
Pratik uygulamalarda düşük ölçekler (yüksek frekanslar) genellikle ara sıra kısa patlamalar şeklinde görülürler. Yüksek ölçekler (alçak frekanslar) genellikle işaretin giriş süresince sonlanırlar. Matematik teki sıkıştırma veya açma işlemi gibidir. Büyük ölçekler işareti açmaya karşılık gelir, küçük ölçekler işareti sıkıştırmaya karşılık gelir. Matematiksel fonksiyon olarak eğer f(t) fonksiyonu verilmişse f(st) s>1 için f(t) nin sıkıştırılmasını s<1 içinde açılmasına karşılık gelir.
49
Dalgacık dönüşümü tanımında ölçeklendirme deyimi paydada kullanılmasına rağmen s>1 ölçek değeri için yukarıdaki cümlelerin tersine açılmasına s<1 için işaretin sıkıştırılmasına karşılık gelir.