Fabry-Perot Rezonatör Kayıpları

Bir Fabry-Perot kavitenin performansını belirleyen önemli parametrelerden biri olan finesse rezonatör kayıpları ile aşağıdaki şekilde ilişkilendirilebilir;

R A T=1 (1.82)

1 R=A T= (1.83)

’nin rezonatör kayıplarını temsil ettiği durumlar için Denklem (1.84) ile ifade edilebilir; F= R 1 R = R A T= 1 _(1.84)

39

Görüldüğü gibi F’nin payındaki kök(R) terimi yüksek yansıtıcılığın veya küçük rezonatör kayıplarının olduğu durumlarda 1’e yaklaşmaktadır.

Kavite finesse’i ölçülerek bağıntı (1.84) kullanılarak kayıplar belirlenebilir. Kayıpların belirlenmesinde başlıca iki yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntemler sırası ile spektral ve zamana bağlı (temporal) yöntemlerdir. Spektral yöntemde kavite finesse’i; serbest spektral aralık değerinin () rezonansın çizgi kalınlığı () değerine bölünmesi ile elde edilmektedir;

F=Δ =

R

1 R (1.85)

Zamana bağlı (temporal) yöntemde ise kavite içi ışınımın optik enjeksiyonun kapatılmasından sonra 1/e sönüm zamanının () ölçülmesi prensibinden faydalanılır. Bu tür bir deney aynı zamanda cavity ring-down (CRD) deneyi olarak da bilinmektedir. Denklem (1.85)’te Denklem (1.86) ve Denklem (1.87) yerine konulursa Denklem (1.88) elde edilir;

= 1 2 (1.86) Δ = c 2L (1.87) F= c L (1.88)

Finesse değeri  sönüm zamanı kullanılarak bulunur ve böylelikle kayıplar belirlenir (Klaassen, 2006). Difraksiyon ile ilişkili kavite kayıplarına geçilmeden önce konunun anlaşılması için (Swinkels, 2006)’dan alınan bir örneği incelemekte fayda vardır. Swinkels tarafından gerçekleştirilen bu tez çalışmasında kullanılan Fabry-Perot kavitesi; eğrilik yarıçapları 50 cm olan iki konkav aynayı kullanmaktadır. Aynalar arası L mesafesi 10 cm’dir. Ayna ve kavite gövde malzemesi ultra-low expansion (ULE®) glass’tır ve aynalar ile gövde birbirlerine optik kontaktla bağlanmışlardır. Ayna üreticisinin 633 nm dalgaboyu için ölçtüğü transmittans T=2,645 x 10-4 _{tür ve} öngördüğü absorbans ise A=2,0 x 10-5 _{tir. Denklem (1.82) ve Denklem (1.85)} kullanılarak R=0,99972 minimum reflektans ve F=11041 teorik finesse değerleri bulunmuştur. Benzer şekilde Denklem (1.67) ve Denklem (1.79) kullanılarak enine mod aralığı parametresi, =(2/ ).arctan(0,1 / (2.(0,15)))=(2/ ).0,3217=0,2048 olarak

40

hesaplanmıştır. Görüldüğü üzere kavite 5. dereceden bir dejenereliğe sahiptir ve dikkatli bir mode-matching’e ihtiyaç duymaktadır.

Gaussian demet ve enine mod bahislerinde ayna boyutlarına kıyasla ayna üzerinde demet boyutlarının küçük olduğu durumlar varsayılmıştır. Demet boyutlarının büyük ve/veya ayna boyutlarının küçük olduğu durumlar için Gaussian demet enerjisinin bir kısmı ayna kenarlarından kaçabilmektedir. Bu durum büyük boyutlu modlar için difraksiyon kayıplarına sebep olmaktadır. Düzlem aynalı yapılar teorik olarak sonsuz demet boyutlarına sahip olduklarından, bu tür rezonatörler oldukça büyük difraksiyon kayıplarına sebep olmaktadır. Yüksek dereceden enine modlar (TEMmn) düşük dereceden modlara nazaran daha büyük mod boyutlarına sahip olduğundan, bunların lazer ışımasına katkılarının azaltılması veya yok edilmesine yönelik olarak sisteme difraksiyon kayıpları tanıtılmaktadır.

Bunu gerçekleştirmek için aynalar arasına yüksek dereceden mod boyutlarından küçük fakat düşük dereceden (genellikle TEM00) bir modun boyutlarından büyük bir açıklık (pinhole vb.) yerleştirilir. Açıklığın konumuna bağlı olarak, o konumdaki mod boyutları farklılık göstereceğinden, konuma bağlı açıklık büyüklüğü belirlenmelidir. Bir kavite için difraksiyon kayıpları genellikle kavite Fresnel Number (NF) sayısı ile ifade edilir. Fresnel sayısı rezonatör açıklığının konfokal mod boyutları ile karşılaştırıldığında ne kadar büyük olduğunun bir göstergesidir (Davis, 2017);

NF= a₁a₂

L (1.89)

a1 ve a2 ayna yarıçapları, L aynalar arası mesafe,  ise kullanılan ışığın dalgaboyudur. Kaba bir yaklaşıklıkla kesirsel difraksiyon kayıpları (fractional diffraction loss) Denklem (1.90) ile ifade edilebilir;

w

a (1.90)

Bir rezonatör için difraksiyon kayıpları önemli miktarda ise, modların gerçek alan dağılımları (real field distribution) Fresnel-Kirchoff difraksiyon teorisi kullanılarak bulunabilir. Fresnel-Kirchoff difraksiyon teorisi bu çalışmanın kapsamı dışında olduğundan daha detaylı bilgi verilmemiştir.

Yukardaki tartışmayı bir başka bakış açısı ile vermek gerekirse, kararlı bir rezonatör için ayna boyutları yeterince büyük olmalıdır ki saçılmalar az olsun. Aksi halde çok

41

daha kompleks bir difraksiyon analizine ihtiyaç duyulacaktır. Aynalar özdeş, düzlem veya küresel ise ve ayna yarıçapları a ise saçılma kayıplarının az olması için Denklem (1.91) koşulunun sağlanması gereklidir;

a w1,w2 (1.91)

w1 ve w2 aynalar üzerindeki demet boyutlarıdır ve aşağıdaki şekilde verilebilirler;

w₁2= L g₂ g₁ 1 g₁g₂ (1.92) w₂2= L g₁ g₂ 1 g₁g₂ (1.93)

benzer şekilde demet beli için de Denklem (1.94)’teki eşitlik yazılabilir;

w₀2= L

g₁g₂ 1 g₁g₂

g₁ g₂ 2g₁g₂ 2 (1.94)

Denklem (1.92) ve Denklem (1.93) ile ifade edilen demet boyutları, Denklem (1.95) ve Denklem (1.96) formunda da yazılabilirler;

w₁= L 1/2 F₁ g₁g₂ (1.95) w₂= L 1/2 F₂ g₁g₂ (1.96)

F1(g1g2) ve F2(g1g2) fonksiyonları genellikle 1’e yaklaşıktır. Denklem (1.91) koşulu ve Denklem (1.95) veya (1.96) bir araya getirilirse;

a L 1 2 _(1.97) veya; a2 L 1 (1.98)

42

N_F=N_max 1 (1.99)

şeklinde yazılabilir. Denklem (1.99)’da NF Fresnel sayısı, Nmax ise yarıçapı a olan rezonatör açıklığının müsaade ettiği en yüksek dereceden Hermite-Gaussian veya Laguerre-Gaussian mod ile ilişkili bir sayıdır.

Simetrik L kavite boylu konfokal bir rezonatör aynası üzerindeki demet boyutu (spot size);

w2₌ L _(1.100)

ifadesi ile verilmiştir ve bütün kararlı konfigürasyonlar için g paramatrelerine bağlı olarak bu değerden küçük bir sayısal çarpan kadar farklılık gösterir. Rezonatör ayna yüzey alanı ve konfokal TEM00 mod alanları oranlanırsa;

rezonatör ayna yüzey alanı konfokal TEM₀₀ mod alanı =

a2 w2= a2 w2=Nmax (1.101) Nmax= a2 w2= NF (1.102)

ifadesi elde edilir.

Fresnel rezonatör sayısı NF aslında rezonatör açıklığının konfokal mod boyutları ile kıyaslandığında ne kadar büyük olduğunun bir göstergesidir. Alternatif olarak, hangi dereceye kadar enine modların rezonatör açıklığı kenarlarından pertürbe olmadan kaviteye kuplajlanabileceğini göstermektedir (Siegman, 1986).

Küresel aynalı kaviteler için mode-matched durumların elde edilmesi için ayna eğrilikleri ile uyumlu eğrilikte dalga yüzeyi formlarının sisteme tanıtılması gereklidir. Aynalar üzerindeki demet boyutları ve demet beli ile ilgili Denklem (1.92), Denklem (1.93) ve Denklem (1.94) daha önce verilmişti. Ayna yüzeylerindeki demet boyutlarının yanı sıra, aynaların, demet beli konumundan (z=0) olan mesafeleri de önemlidir ve g faktörleri cinsinden Denklem (1.103) ve Denklem (1.104) ile ifade edilmektedirler;

z₁= g2 1 g1

43 z₂= g1 1 g2

g₁ g₂ 2g₁g₂L (1.104)

Bir kavitenin mod-uyumlu olması için gelen ışımanın demet beli boyutunun ve konumunun kavite modlarınınki ile uyumlu olması gereklidir.

Bir rezonatör için dejenereliğin derecesi N, ne kadar büyük ise interferometrenin o kadar fazla enine modu uyarılmış olur. m ile indislenen yüksek dereceden bir modun ayna yüzeyindeki boyutu;

m.w (1.105)

ile ifade edilebilir (Budker ve diğ., 2000). Denklem (1.95) ve (1.96) kullanılarak ayna yüzeyi demet beli / boyutu için ~0,1 / ~0,2 mm’lik değerler bulunur. Burada R=75 mm, L=56,2 m ve =780 nm alınmıştır. Giriş aynası üzerindeki ışık demet boyutu ~1,0 mm olarak alınırsa beklenti m<mmax~25 olan yüksek dereceden modların uyarılmasıdır. Işık demetinin eksenden olan ötelenmesi (offset) durumunda ise uyarılan enine mod indisi daha da büyüktür.