Elektrokimyasal prosesler

Nesta subseção é realizada a análise do estimador residual da solução numérica que será influenciada por diferentes discretizações do domínio retangular, ou seja, por diferentes valores para o número de Peclet da malha inicial.

Em SOREK (1988) um método adaptativo 2D Euler-Lagrangiano foi utilizado para o

transporte de massa com distribuição espacial da velocidade. A equação de advecção- dispersão (EAD) para um constituinte efluente em um fluido incompressível considera: fator de retardo R > 1, tensor de dispersão hidrodinâmica simétrico e semi-positivo e decaimento radioativo de 1ª ordem. Esse exemplo numérico para comparação com solução analítica e validação do método proposto considerou os seguintes parâmetros físicos:

= ] = 2 ⁄ , para as dispersões nas direções dos eixos coordenados e _ = 0,25 / e __] = 0 / como sendo os componentes da velocidade do fluxo subterrâneo [VAROGLU e

FINN, 1982 apud SOREK, 1988]44.

A malha adotada com ∆ = ∆ = 200 caracterizou o transporte em regime de advecção dominante, pois o número de Peclet na direção , foi = `R∆

aR = 25 e ] = 0 para

a direção y. Nesta situação, o menor autovalor do tensor D foi = = 2 e a constante " ≥ , O= 0,125 era de tamanho moderado. Ou seja, o regime adotado neste exemplo numérico foi o de pequena advecção.

A solução numérica obtida pelo código JAVA foi calculada sobre um domínio retangular

de 3.200m x 3.200m cuja malha inicial contém 289 nós para constituir 256 elementos quadriláteros. O tempo final da simulação é de = 50.000 , dividido em intervalos de tempo ∆ = 5.000 .

As condições iniciais adotadas são ( , , 0) = 0 no interior do domínio. As condições de fronteira são dadas pela expressão:

( , , )_{= b1 −} c

800 , 0 ≤ c ≤ 800 0, d% e def cáchei

sendo C0 a concentração inicial e r a distância entre os nós da fronteira ΓD e o nó central do lado que contém a frente inicial de contaminação, situado na fronteira esquerda do domínio da figura 5.26.

A implementação JAVA desta condição de contorno possui as seguintes linhas de

comando:

for (int i = -Ymed; i <= Ymed; ++i){

double DeltaY = YWELL+(i-desloca)*YWELL/Math.pow(2.0, stepRef);

if (yy==DeltaY){ //Condição Inicial de Sorek, 1988

solute = 1.0-(Ymed/Math.pow(2.0, stepRef-3))*Math.abs(i)*DeltaYY/YFINAL; concBC.put(node.id,solute);

concInit[node.id]=solute; }

DeltaY+=DeltaYY;

}

44 _{Varoglu E., Finn W. D. L., “Utilization of the method of characteristics to solve accurately two dimensional}

FIG 5.26 – Frente de contaminante obtida com os parâmetros físicos adaptados de SOREK (1988), no instante t = 10.000s em regime de pequena advecção

A determinação da solução JAVA apenas na metade superior do domínio é uma das

flexibilidades existentes no código implementado. Considerando essa simetria na solução numérica, a utilização do domínio computacional aumenta em 50%. A figura 5.26 ilustra a distribuição da concentração do contaminante, para o instante t = 10.000s, na metade superior do domínio computacional. As curvas de isoconcentrações são exibidas em intervalos de 0,2 em 0,2 dos valores normalizados e o comando de atualização é boolean simetria = true;

A análise de erro da solução numérica é realizada em domínios com os seguintes valores de bipartição:

• int stepRef = 3 (256 elementos e 289 nós);

• int stepRef = 4 (1024 elementos e 1089 nós);

• int stepRef = 5 (4096 elementos e 4225 nós).

Os resultados das simulações estão organizados na tabela 5.6.

Tabela 5.6 – Desempenho do estimador de erro residual aplicado em malhas iniciais com quantidades distintas de elementos em regime de pequena advecção (Cc = 0,125)

Malha inicial com 256 elementos

= 25 e = 6,25

Erro residual espacial da malha: 9.7597 Erro relativo da solução 0.0381

Erro residual máximo = 1.9124 no elemento 0 Erro residual mínimo = 0.0000 no elemento 251 --- time: 50000.0

Malha inicial com 1024 elementos

= 12,5 e = 12,5

Erro residual espacial da malha: 4.9027 Erro relativo da solução 0.0048

Erro residual máximo = 0.5217 no elemento 0 Erro residual mínimo = 0.0000 no elemento 997 --- time: 50000.0

Malha inicial com 4096 elementos

= 6,25 e = 25

Erro residual espacial da malha: 2.4481 Erro relativo da solução 0.0006

Erro residual máximo = 0.1388 no elemento 0 Erro residual mínimo = 0.0000 no elemento 4095 --- time: 50000.0

Verifica-se que o erro indicado pelo estimador residual diminui consideravelmente com o tipo de malha inicial adotada. O gráfico exibido na figura 5.27 demonstra a correlação perfeita (R2 = 1) entre o valor do erro residual e o número de Peclet da malha correspondente quando o regime é de advecção dominante.

3200 m 800 m

vx = 0,25 m/s 800 m

FIG 5.27 – Relação linear entre o erro residual e o número de Peclet da malha inicial para a equação de advecção-dispersão

A equação de regressão linear 2,5657 − 0,0502 é uma forte evidência de que o erro indicado pelo estimador residual < tende a zero quando o tamanho da malha ∆x tende a

zero, pois, se _{= → 0 segue que ∆ → 0, logo}

lim∆ → < ≈ 0 (5.2)

A correlação observada entre os valores dos erros relativos das malhas iniciais acima e o respectivo número de Peclet foi de 97,3%. Para os valores dos erros máximos, determinou-se uma correlação de 99,2% com os correspondentes números de Peclet.

A figura 5.28 ilustra a solução numérica JAVA nas malhas iniciais indicadas na tabela

5.5 e no passo de tempo igual a 50.000s (tempo final da simulação). A malha inicial com 1024 elementos (∆ = 100 ) é o refinamento uniforme da malha inicial com 256 elementos (∆ = 200 ). E ainda, a malha inicial com 4096 elementos (∆ = 50 ) é o refinamento uniforme da malha inicial com 1024 elementos (∆ = 100 ).

Conforme os valores do erro máximo, especificados na tabela 5.5, o estimador de erro residual, para a equação do transporte de contaminantes, é adequado para conduzir uma estratégia de refinamento adaptativo, pois, foi capaz de identificar o elemento que apresenta o erro máximo – o elemento 0 – em todos os casos descritos na simulação numérica. Esse elemento identificado situa-se no canto inferior esquerdo dos mapas de isoconcentrações ilustrados na figura 5.26. 9,7597 4,9027 2,4481 _{y = 2,5657x - 0,0502} R² = 1 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N o . d e P e cl e t

Erro estimado na malha inicial Correlação do estimador residual para o caso de advecção dominante

FIG 5.28 – So em malh

de adv

Visualmente, não exis entanto, o valor normaliza elementos, pois, verifica-se malha inicial. 256 eleme ∆∆∆∆x = 20 1024 elem ∆∆∆∆x = 10 4096 elem ∆∆∆∆x = 5

Solução numérica JAVA da equação de advecção-disp alhas com diferentes valores de Peclet indicando regim dvecção dominante no passo de tempo igual a 50.000

xistem diferenças importantes entre as curvas d izado é mais preciso quando calculado no nó

se que o erro residual máximo possui o men

lementos = 200m elementos = 100m elementos = 50m 0,8-1 0,6-0,8 0,4-0,6 0,2-0,4 0-0,2 ispersão gime 00s s de isoconcentração, no nó da malha com 4096 enor valor nessa última

0,8 0,6 0,4