Talan Ekonomisi

De acordo com as recomendações da API (1993)1_{, para os propósitos relativos à}

análise de risers, estes podem ser considerados como vigas tensionadas, modeladas sob as hipóteses de Euler-Bernouli, desde que se possam considerar curvaturas cujo ângulo entre a linha neutra e a vertical não ultrapassem 10◦_{. Ainda que essas reco-}

mendações sejam relativas a risers de perfuração, tal aproximação pode ser utilizada para as extremidades do riser de produção, de maneira que se configure adequada como primeira aproximação.

Dentre as diversas formas de se conceituar uma viga, é possível defini-la como um elemento estrutural linear sujeito, preponderantemente, a cargas de flexão.

Como qualquer estrutura real, seu estudo demanda a utilização de modelos matemá- ticos que encerram em si determinadas simplificações, dadas as hipóteses considera- das. Love (1906), Han et al. (1999), Oliveira (2004) e Costa (2006), dentre outros tra- balhos, citam, como modelos de vigas mais estudados, aqueles propostos por Euler- Bernoulli, por Rayleigh, por Vlasov (modelo da força cortante) e por Timoshenko, os quais são representados por equações diferenciais parciais, sujeitas a determinadas condições iniciais e de contorno.

Historicamente, Galileu foi o primeiro matemático a considerar a resistência dos mate- riais sólidos (até então tratados como inelásticos), além de fornecer a relação entre o comprimento de um pêndulo e seu período de oscilação, o que, de certa maneira, se configura como um dos primórdios da análise das vibrações.

Entre o estabelecimento da relação linear entre carregamento e deformação, em 1660, por Hooke, e a formulação da teoria geral da elasticidade, em 1821, por Navier, diver- sos problemas decorrentes dos estudos de Galileu foram examinados, dentre eles as vibrações em barras e placas e a estabilidade de colunas.

Dentre os modelos citados, o de Euler-Bernoulli é o mais utilizado, sendo a base da teoria clássica de vigas. Nele o cisalhamento e a inércia de rotação são desprezados, o material que constitui a viga é suposto isotropicamente homogêneo e linearmente elástico e sua seção transversal considerada plana e perpendicular ao eixo longitudi- nal, mesmo após a deformação.

Como consequência, a predição de suas frequências naturais de vibração é tanto mais precisa quanto mais esbelta for a estrutura em estudo. Adicionalmente, essa teoria tende, em geral, a superestimar as frequências naturais, o que acarreta maiores discrepâncias para os modos de vibrar mais elevados.

O modelo proposto por Rayleigh incorpora o efeito da rotação da seção transversal, o que, segundo Han et al. (1999), corrige parcialmente os efeitos de superestimação das frequências naturais, embora não incorpore os efeitos de cisalhamento.

1_{A API – American Petroleum Institute, sigla em inglês para Instituto Americano do Petróleo, é a maior associação comercial}

americana relacionada à indústria de petróleo e gás natural. Sua participação global engloba as áreas econômica, social, governamental, ambiental e legal, além do estabelecimento de práticas e o fomento à educação e pesquisa.

Por outro lado, o modelo de Vlasov leva em conta o efeito de distorção devido ao cisalhamento, incorporando essa hipótese ao modelo de Euler-Bernoulli, porém sem tratar do efeito de rotação das seções transversais.

O modelo de Timoshenko, finalmente, incorpora ao modelo clássico as modificações propostas por Rayleigh e por Vlasov. Sendo assim, é o modelo mais adequado ao estudo de estruturas não delgadas sob vibrações em altas frequências.

As relações citadas entre frequências e modos de vibrar, dependendo do modelo de viga utilizado, podem ser visualizadas nas Figuras 2.1 e 2.2. Ambas extraídas de (Han et al., 1999).

Figura 2.1: Primeiras frequências naturais de vibração de vigas para cada modelo. — Euler-Bernoulli · · · Rayleigh, − · − Vlasov, - - - Timoshenko.

(a) viga livre-livre, (b) viga biengastada, (c) viga em balanço, (d) viga biapoiada.

Umas das principais conclusões de Han et al. (1999) é que o número de onda é forte- mente relacionado à esbeltez da viga.

Ainda com relação aos quatro modelos de vigas citados anteriormente, Costa (2006) reforça as hipóteses básicas comuns, sendo estes:

• As vigas são longas e esbeltas, de maneira que a dimensão na direção axial é consideravelmente maior que nas demais;

• O material é linear e elástico. O efeito de Poisson, relacionado à estricção do elemento, é desprezado;

• Existe coincidência dos eixos neutro e longitudinal central, de maneira que a se- ção transversal seja simétrica;

Figura 2.2: Os quatro primeiros modos de vibrar de uma viga em balanço. — Euler-Bernoulli, · · · Rayleigh, − · − Vlasov, - - - Timoshenko. (a) primeiro modo, (b) segundo modo, (c) terceiro modo, (d) quarto modo.

Dando sequência às ponderações iniciais necessárias para a continuidade do pre- sente texto, é possível definir um cabo como sendo uma estrutura esbelta e extrema- mente flexível, de maneira que, fisicamente, considera-se desprezível a sua capaci- dade de resistir à flexão (rigidez flexional aproximadamente nula).

O interesse histórico a respeito de cordas e cabos remonta à Antiguidade Clássica, quando Pitágoras associou os sons produzidos por cordas tensionadas aos seus com- primentos e à tração a que estão sujeitas.

De acordo com Irvine & Caughey (1974), durante a primeira metade do século XVIII, diversos matemáticos, como Taylor, D’Alembert, Euler e Bernoulli, dedicaram estudos e trabalhos à teoria de vibrações em cordas retesadas e fixas em suas extremidades, mesmo que, à época, a teoria de equações diferenciais parciais, considerada essen- cial para a resolução deste tipo de problema, ainda estivesse em desenvolvimento. Somente em 1820, a teoria de vibrações em cabos recebeu sua maior contribuição, após um trabalho publicado por Poisson. Até então, soluções corretas só haviam sido concebidas para vibrações livres lineares em cabos uniformes e sob ação de seu peso próprio (catenária).

A fim de dar continuidade ao estabelecimento dos fundamentos que cercam a com- pressão dinâmica em risers, sem que o fenômeno seja formalmente definido, convém discutir alguns aspectos relevantes da deflexão lateral de colunas que, por definição, são elementos esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão.

Dependendo do valor do carregamento axial a que está sujeita, uma coluna pode sofrer flambagem, que se configura como uma flexão repentina que ocorre quando a força axial ultrapassa um determinado valor, denominado carga crítica, de maneira que a mesma atinja repentinamente um estado de equilíbrio instável, sem que atinja seu limite de escoamento (bifurcação de equilíbrio).

Por extensão dos conceitos apresentados, elementos estruturais esbeltos, sujeitos a carregamentos laterais e carga de compressão, são denominados vigas-coluna. Todos esses elementos possuem uma capacidade instrínseca comum: a possibilidade de resistência à flexão. Os elementos incapazes de resistir a cargas compressivas são chamados de cabos.

Embora discussões detalhadas sobre instabilidade de estruturas não façam parte do escopo deste trabalho, o fenômeno de flambagem é assunto correlato ao tema cen- tral desta tese. Assim, faz-se necessária uma breve introdução de alguns conceitos básicos sobre estabilidade de sistemas dinâmicos, ainda que de maneira não rigorosa. Segundo Savi (2006), os primeiros estudos relativos a sistemas dinâmicos são atribuí- dos a Kepler (por seus trabalhos de Mecânica Celeste) e a Newton (pelo desenvolvi- mento da matemática da Mecânica Clássica).

A partir daquele momento, o nível de sofisticação na modelagem de sistemas ganhou um impulso considerável, possibilitando diversos outros trabalhos, como os de La- grange e Hamilton, aos quais é atribuído o formalismo matemático da Mecânica Clás- sica. No final do século XIX, Poincaré, a partir do célebre problema dos três corpos, tomou contato com o caos determinístico, o que, posteriormente, culminou em novos conceitos matemáticos, considerados o início da Topologia Matemática. Suas ideias, estendidas por Birkhoff, Lyapunov e Kolgomorov, entre tantos outros, culminaram nos trabalho de Lorenz, na década de 1960.

Matematicamente, um sistema dinâmico pode ser descrito por equações diferenciais que envolvem o tempo. Além disso, um sistema é considerado estável se, após sofrer uma “pequena perturbação”, retorna ao seu estado inicial quando cessada a ação sobre ele imposta.

Cabe salientar, no entanto, que a estabilidade de um sistema, assim definida, é de- nominada assintótica, pois as perturbações ocorrem sobre as condições iniciais do sistema. Se as perturbações ocorressem sobre as equações diferenciais que mode- lam esse sistema, o problema seria definido como de estabilidade estrutural. Para definições formais e mais precisas ver, por exemplo, (Savi, 2006).

Essas poucas definições são suficientes para os objetivos da presente tese.

No Capítulo 3, serão tratadas as deflexões e vibrações de vigas, colunas e cabos, de maneira que o levantamento bibliográfico diretamente relacionado ao tema cen- tral dessa tese é tratado na sequência, sem desviar o foco do leitor. Saliente-se, entretanto, a importância das definições até aqui apresentadas, consideradas como primeiras aproximações para a estática de risers.