E 1 2n+1 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬

Simdi, 3 boyutlu Lorenz uzay¬için verdi¼gimiz ifadeleri 2n+1 boyutlu Lorenz uzay¬na geni¸sletelim.

5.4 E₁²ⁿ⁺¹ Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬

Tan¬m 5.4.1. E₁²ⁿ⁺¹ üzerinde

f : E₁²ⁿ⁺¹ ! E1²ⁿ⁺¹

x ! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t)

¸seklinde tan¬mlanan dönü¸süme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t)2 SO(2n + 1; 1); c(t) 2 R²ⁿ⁺¹1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi

2

¸seklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre

G =fA : A =

¸seklide bir grup olu¸stururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba kar¸s¬l¬k gelen Lie cebirini g ile gösterecek olursak,

g =f

¸seklinde elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir e¸ slenir-ler.

Tan¬m 5.4.2. S 2 R²ⁿ⁺¹2n+1 bir anti-simetrik matris ve V 2 R²ⁿ⁺¹1 olmak üzere

X : E₁²ⁿ⁺¹ ! R²ⁿ⁺¹1

M ! X(M) = V + S:M!

(5:4:1)

¸seklinde tan¬mlanan lineer dönü¸süme helisel vektör alan¬denir.

Tan¬m 5.4.3. X bir helisel vektör alan¬ve : I ! E1²ⁿ⁺¹, t ! (t) bir e¼gri olsun.

E¼ger her t 2 I için

d

dt = X( (t)) (5:4:2)

oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan¬n¬n integral e¼grisi denir.

1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yöüngesi y(t) = g(t)x + c(t) dir. Burada türev al¬n¬rsa,

y(t) = g(t)x + c(t)

= g(t)g ¹(t)(y(t) c(t)) + c(t)

= !(t)y(t) !(t)c(t) c(t) y(t) = !(t)y(t) + v(t)

elde edilir. t = 0 an¬nda h¬z vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.

¸

Simdi y1(0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu hareketi y1(t) ile gösterelim. Bu durumda

y₁(t) = !y₁(t) + v

diferensiyel denklemini

y₁(0) = y(0) = M

ba¸slang¬ç ¸sart¬alt¬nda çözersek,

5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼grisidir.

Teorem 5.4.4. X; E₁²ⁿ⁺¹ de bir helisel vektör alan¬ve X in f0; u¹; :::; u_2n+1g orto-normal çat¬s¬na göre matrisi; 2

4 ! v 0 0

3 5

olsun. Burada ! 2 R²ⁿ⁺¹2n+1 bir anti-simetrik matris ve v 2 R²ⁿ⁺¹1 bir sütun matristir.

Bu durumda;

1. rank[!; v] = 2n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn¬ parametreli dairesel helis e¼grileridir.

2. rank[!; v] = 2k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.

3. rank[!; v] = 2k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir.

4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard¬r.

Ispat.· X helisel vektör alan¬, her M = (x1; :::; x2n+1)2 E1²ⁿ⁺¹ için olarak bulunur. E₁²ⁿ⁺¹ de

: I ! E1²ⁿ⁺¹

t! (t) = ( ¹(t); :::; _2n+1(t)) e¼grisini ele alal¬m.

1. n¬n X vektör alan¬na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d

dt = X( (t)) (5:4:5)

diferensiyel denklemini sa¼glamas¬ gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayal¬m.

(5:4:5) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x1; :::; x_2n+1) ba¸slang¬ç

¸sartl¬integral e¼grisi

X(M ) = ( ₁x₂+ a₁; ₁x₁+ a₂; :::; _nx_2n+ a_{2n 1}; _nx_{2n 1}+ a_2n; a_2n+1)

için

d

dt = X(M ) (5:4:6)

diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir.

(5:4:6)denkleminin aç¬k ifadesi dx₁

dt = 1x2+ a1

dx₂

dt = ₁x₁+ a₂ dx₃

dt = ₂x₄+ a₃ dx₄

dt = ₂x₃+ a₄

... (5:4:7)

dx_{2n 1}

dt = _nx_2n+ a_{2n 1} dx_2n

dt = _nx_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1

¸seklindedir.

(4:4:7)denklem sisteminde i¸slemleri basitle¸stirmek amac¬yla i = 1, 1 i n almam¬z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (5:4:7) sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂ dx₃

dt = x₄+ a₃ dx₄

dt = x₃+ a₄

... (5:4:8)

dx_{2n 1}

dt = x2n+ a2n 1

dx_2n

dt = x_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1 = c

¸seklini al¬r.

(5:4:8)sisteminde son denklemin çözümü

x_2n+1 = ct + d (5:4:9)

¸seklindedir.

Geriye kalan 2n tane denklem iki¸ser iki¸ser çözülürler.

(5:4:8)sisteminde ilk iki denklemi ele alal¬m:

dx1

dt = x₂ + a₁ dx₂

dt = x1 + a2:

·Ikinci denklemin türevi al¬n¬r ve dx₁

dt de¼geri yerine yaz¬l¬rsa, d²x₂

dt² x₁ = a₁ (5:4:10)

bulunur. Bu denklemin çözümü

x₂ = A₁cosh t + B₁sinh t a₁

¸seklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz¬lmas¬yla

x₁ = A₁sinh t + B₁cosh t a₂

elde edilir.

Bu ¸sekilde devam edilirse, (2n 1) ve 2n-inci denklem çiftinin çözümü

x_{2n 1} = A_nsin t B_ncos t + a_2n x_2n = A_ncos t + B_nsin t a_{2n 1}

¸seklinde bulunur.

Buradan X lineer vektör alan¬na kar¸s¬l¬k gelen (t)integral e¼grisinin ifadesi;

(t) = (A₁sinh t + B₁cosh t a₂; A₁cosh t + B₁sinh t a₁; :::;

A_nsin t + B_ncos t + a_2n; A_ncos t + B_nsin t a_{2n 1}; ct + d) (5:4:11)

olur.

0(t) = (A₁cosh t + B₁sinh t; A₂sinh t + B₂cosh t; :::;

A_ncos t B_nsin t; A_nsin t + B_ncos t; c)

olmak üzere

< ⁰(t); (0; :::; 0; 1) >= c =sabit oldu¼gundan (t)bir helis belirtir.

2. rank[!; v] = 2k, 1 k n olsun.

(a) E¼ger rank[!; v] = 2n ise, bu durumda

a_2n+1 = 0

olmas¬gerekir. Bu durumda (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂ dx3

dt = x₄+ a₃ dx₄

dt = x3+ a4

... (5:4:12)

dx_{2n 1}

dt = x_2n+ a_{2n 1} dx_2n

dt = x_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (5:4:11) den

(t) = (A₁sinh t + B₁cosh t a₂; A₁cosh t + B₁sinh t a₁; :::;

A_nsinh t + B_ncosh t + a_2n; A_ncosh t + B_nsinh t a_{2n 1}; d)

bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu a¸sikard¬r.

(b) rank[!; v] = r, r = 2; 4; :::; 2n 2olsun. Bu durumda (5:4:3) deki matris-ten

rank[!; v] = r, ⁱ = 0; r

2+ 1 i n yaz¬labilir. Böylece (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx2

dt = x₁+ a₂

... (5:4:13)

dxr 1

dt = x_r+ a_{r 1} dx_r

dt = xr 1+ ar

dx_j

dt = 0; r + 1 j 2n + 1

¸sekline dönü¸sür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (5:4:11) den

(t) = (A₁sinh t + B₁cosh t a₂; A₁cosh t + B₁sinh t a₁; :::;

A_r=2sin t B_r=2cos t + a_r; A_r=2cos t + B_r=2sin t a_{r 1}; d_r+1; :::; d_2n+1)

bulunur. Bu integral e¼grileri yine birer çemberdir.

3. rank[!; v] = 2k + 1, 1 k n olsun.

(a) rank[!; v] = 2n + 1 ise, bu teoremin birinci ¸s¬kk¬n¬verir.

(b) rank[!; v] = 2k + 1 = r + 1, r = 2; 4; :::; 2n 2olsun. Bu durumda (5:4:3) deki ilk matristen

rank[!; v] = r + 1, ⁱ = 0;r

2+ 1 i n ve ar+1 6= 0 yaz¬labilir. Böylece (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂

... (5:4:14)

dxr 1

dt = x_r+ a_{r 1} dx_r

dt = xr 1+ ar

dx_r+1

dt = a_r+1 dx_j

dt = 0; r + 2 j 2n + 1 olur. Bu durumda (5:4:14) sisteminin çözümü

(t) = (A₁sinh t + B₁cosh t a₂; A₁cosh t + B₁sinh t a₁; :::;

A_r=2sin t B_r=2cos t + a_r; A_r=2cos t + B_r=2sin t a_{r 1};

olarak bulunur.

Görüldü¼gü gibi (5:4:15) e¼grileri dairesel helislerdir.

4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için i = 0 olmas¬demektir. Bu durumda (5:4:8) diferensiyel denklem sistemi

dx₁

dt = a₁ dx₂

dt = a₂

... (5:4:16)

dx_2n+1

dt = a_2n+1 olur. Bu denklem sisteminin çözümü;

(t) = (a₁t + d₁; a₂t + d₂; :::; a_2n+1t + d_2n+1) (5:4:17)

¸seklindedir. Bu ise, paralel do¼grular verir. Böylece teoremin ispat¬tamamlan-m¬¸s olur.

KAYNAKLAR

Acratalishian, A. 1989. E²ⁿ⁺¹ de Lineer Vektör Alanlar¬Üzerine. Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi, Ankara.

Agrawal, O. M. P. 1987. Hamilton Operators and Dual-Number Quaternions in Spatial Kinematics. Mech. Mach. Theory, 22, 569-575.

Bottema, O. and Roth, B. 1979. Theoretical Kinematics. North Holland Publ.

Company New York.

Chevallier, D.P. 1991. Lie Algebras, Modules, Dual Quaternions and Algebraic Meth-ods in Kinematics. Mech. Mach. Theory, 26, 613-627.

Hacisaliho¼glu, H.H. 1983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi Üniversitesi Fen-Ed. Fakültesi Yay¬nlar¬Mat. No. 2, Ankara.

Hacisaliho¼glu, H.H. 1993. Diferensiyel Geometri. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yay¬nlar¬, Ankara.

Hacisaliho¼glu, H.H. 1998. ·Iki ve Üç Boyutlu Uzaylarda Dönü¸sümler ve Geometriler.

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yay¬nlar¬, Ankara.

Karger, A. and Novak, J. 1985. Space Kinematics and Lie Groups. Gordon and Breach Science Publishers.

Veldkamp, G. R. 1964. Application of Dual-Number Quaternion Algebra to the Analysis of Spatial Kinematics. J. Appl. Mech., 86, 300-308.

Yayl¬, Y. 1988. Hamilton Hareketleri ve Lie Gruplar¬. Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi, Ankara.

ÖZGEÇM·I¸S

Ad¬Soyad¬: Zafer ÜNAL Do¼gum Yeri: Aalen/Almanya Do¼gum Tarihi: 18.08.1974 Medeni Hali: Evli Yabanc¬Dili: Ingilizce·

E¼gitim Durumu

Lise: Bursa Süleyman Çelebi Lisesi 1991

Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü 1998 Yüksek Lisans: Ankara Üniv. Fen Bil. Enst. Matematik Anabilim Dal¬2001

Çal¬¸st¬¼g¬Kurumlar ve Y¬l

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi 1998-2006

Belgede DOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL (sayfa 62-73)