DOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL

ANKARA ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

DOKTORA TEZ˙I

LORENZ UZAYINDA CEB˙IRSEL METOTLARLA K˙INEMAT˙IK

Zafer ÜNAL

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

ANKARA 2007

Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi

LORENZ UZAYINDA CEB·IRSEL METOTLARLA K·INEMAT·IK

Zafer ÜNAL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.

Birinci bölümde tezin önemi irdelenmi¸stir.

Ikinci bölümde, tezde kullan¬lan temel tan¬m ve kavramlar verilmi¸· stir.

Üçüncü bölümde, helisel vektör alanlar¬ve bunlar¬n dual kuaterniyonlarla ili¸skisi ele al¬nm¬¸st¬r.

Dördüncü bölümde, Öklid uzay¬nda helisel vektör alanlar¬yard¬m¬yla bir parametreli hareketlerin integral e¼grilerinin cinsi belirlenmi¸stir.

Son bölümde, Öklid uzay¬nda yap¬lan i¸slemler Lorenz uzay¬na genelle¸stirilmi¸stir.

2007, 64 sayfa

Anahtar Kelimeler : Helisel vektör alan¬, ·Integral e¼grisi, Vida hareketi, 1-Paramet- reli hareket, Dual kuaterniyon, Öklid uzay¬, Lorenz uzay¬, Kinematik.

ABSTRACT Ph.D. Thesis

KINEMATICS WITH ALGEBRAIC METHODS IN LORENTZIAN SPACES

Zafer ÜNAL Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI

This thesis consists of …ve chapters.

In the …rst chapter, is given the importance of thesis The second chapter, is devoted to the introduction.

In the third chapter, the relationship between helicoidal vector …elds and Dual quaternions is examined.

In the fourth chapter, in Euclidean space, the classi…cation of the integral curves of the one parameter motions are given by the help of the helicoidal vector …elds.

In the last chapter, the results which are required in Euclidean space are generalized into Lorentzian space.

2007, 64 pages

Key Words : Helicoidal vector …eld, Integral curve, Screw motion, 1-parameter motion, Dual quaternion, Euclidean space, Lorentzian space, Kinematics.

TE¸SEKKÜR

Bana ara¸st¬rma olana¼g¬sa¼glayan ve çal¬¸smalar¬m¬n her safhas¬nda yak¬n ilgi ve öne- rileri ile beni yönlendiren dan¬¸sman hocam, Say¬n Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve yard¬mlar¬n¬ esirgemeyen hocalar¬m, Say¬n Prof.

Dr. H. Hilmi HACISAL·IHO ¼GLU (Ankara Üniversitesi)’na ve Say¬n Prof. Dr. Baki KARLI ¼GA (Gazi Üniversitesi)’ya te¸sekkürlerimi bir borç bilirim.

Son olarak, her a¸samada bana destek olan sevgili e¸sim Derya ÜNAL ve biricik o¼glum Burak ÜNAL’a te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Zafer ÜNAL

Ankara, Eylül 2007

IÇ·· INDEK·ILER

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

TE¸SEKKÜR . . . iii

S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi

¸ SEK·ILLER D·IZ·IN·I . . . vii

1. G·IR·I¸S . . . 1

2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 2

3. HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN·IYONLAR 6 3.1 Vidalar Üzerinde ·I¸slemler . . . 6

3.1.1 D Vektör uzay¬. . . 6

3.1.2 D Vektör uzay¬üzerinde Lie operatörü . . . 6

3.1.3 D üzerinde iççarp¬m . . . 7

3.1.4 D de D nin temsili . . . 7

3.1.5 i¸slemi . . . 7

3.2 Dual Say¬lar ve D Üzerinde Modül Yap¬s¬. . . 8

3.3 Dual Kuaterniyonlar¬n Yeni Bir Geometrik Tan¬m¬. . . 14

3.4 Norm ve H da Ters Eleman. . . .16

4. ÖKL·ID UZAYINDA HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI . . . 20

4.1 1-Parametreli Hareketler . . . 20

4.2 E³ de Helisel Vektör Alanlar¬n¬n ·Integral E¼grileri . . . 26

4.3 E²ⁿ⁺¹ Öklid Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . 29

5. LORENZ UZAYINDA HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI . . . 40

5.1 1-Parametreli Hareketler . . . 40

5.2 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . .46

5.2.1 D vektör uzay¬. . . 47

5.2.2 D de Lie operatörü . . . 47

5.2.3 D de iççarp¬m . . . 49

5.2.4 D de D nin temsili . . . 49

5.3 Helisel Vektör Alanlar¬n¬n ·Integral E¼grileri . . . 51

5.4 E₁²ⁿ⁺¹ Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬. . . 54

KAYNAKLAR. . . .64

ÖZGEÇM·I¸S . . . 65

S·IMGELER D·IZ·IN·I

Eⁿ n-boyutlu Öklid uzay¬

Rⁿ n-boyutlu reel vektör uzay¬

E₁ⁿ n-boyutlu Lorenz uzay¬

O(n) n-boyutlu ortogonal matrislerin grubu

SO(n) n-boyutlu ortogonal matrislerin özel altgrubu so(n) SO(n) matris Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen Lie cebiri SE(n) Rⁿ de kat¬cisim hareketlerinin grubu

se(n) SE(n) Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen Lie cebiri

A A…n dönü¸süm

A A dönü¸sümünün lineer k¬sm¬

X Helisel vektör alan¬

D Helisel vektör alanlar¬n¬n cümlesi

y_h Homogen çözüm

y_o• Özel çözüm

D Dual say¬lar

N (q) q dual kuaterniyonunun normu

¸

SEK·IL D·IZ·IN·I

¸

Sekil 4.1 Ani hareket . . . 21

1. G·IR·I¸S

Son zamanlarda Diferensiyel Geometri konular¬n¬n Kinematikte yo¼gun bir ¸sekilde ele al¬nd¬¼g¬ görülmektedir. Özelikle kat¬ cisimlerin hareketlerinin Lie grup ve Lie cebir yap¬s¬ yard¬m¬yla vida operatörlerinin geni¸s bir uygulamas¬ verilebilmektedir.

Uygulamalara cebirsel metotlar da epey zenginlik katmaktad¬r. Kinematikte temel kavramlar, modül yap¬lar¬yla daha da zenginle¸stirilmi¸stir.

Chevallier (1991), modül yap¬s¬n¬ kullanarak, kinematikteki kavramlar¬ geni¸sletmi¸s ve bu sayede Dual Kuaterniyonlar¬n yeni yap¬s¬n¬ vermi¸s ve bu yeni yap¬y¬ kat¬

hareketlere uygulam¬¸st¬r.

Bu çal¬¸smada, Chevallier (1991)’in ele ald¬¼g¬helisel vektör alanlar¬n¬n Kinematikte yeni uygulamalar¬verilmi¸stir.

Lineer vektör alanlar¬n¬n tan¬m ve uygulamalar¬, Karger and Novak (1985) taraf¬ndan verilmi¸stir. Acratalishian (1989), lineer vektör alanlar¬n¬n integral e¼grilerini Öklid uzay¬için incelemi¸s. Fakat hareketler ile ili¸skisini vermemi¸stir.

Helisel vektör alanlar¬, lineer vektör alanlar¬olarak ele al¬n¬p, bu vektör alanlar¬n¬n ani hareketlerle ili¸skisi incelenmi¸stir.

Ani hareketlerde; bir noktan¬n yörüngesinin, helisel vektör alanlar¬n¬n integral e¼grileri olarak verilebilece¼gi gösterilmi¸stir. Helisel vektör alanlar¬, lineer vektör alan¬olarak verilebildi¼ginden, bu vektör alanlar¬na bir matris kar¸s¬l¬k getirilmi¸s ve bu matrisin rank¬yard¬m¬yla, yörüngelerin cinsi belirlenmi¸stir.

Helisel vektör alanlar¬ ile ani hareketlerin yörüngeleri aras¬ndaki ili¸ski, önce Öklid uzay¬nda, daha sonra da Lorenz uzay¬ndaki hareketler için verilmi¸stir.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, tez için gerekli olan baz¬temel kavram ve teoremleri verece¼giz.

Tan¬m 2.1. V bir vektör uzay¬ ve S de bo¸s olmayan bir nokta cümlesi olsun.

A¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬sa¼glayan bir

f : S S ! V

fonksiyonu varsa, S ye V ile birle¸stirilmi¸s bir a…n uzay denir.

(i) Her P; Q; R 2 S için f(P; Q) + f(Q; R) = f(P; R)

(ii) Her P 2 S, her ~v 2 V için f(P; Q) = ~v olacak ¸sekilde bir tek Q 2 S noktas¬

vard¬r (Hac¬saliho¼glu 1993).

Tan¬m 2.2. A : E³ ! E³ dönü¸sümüne a…ndir denir e¼ger,

A : R³ ! R³

M N! ! A(M N ) =! ! A(M )A(N )

olacak ¸sekilde bir A lineer dönü¸sümü varsa. A ya A n¬n lineer k¬sm¬denir. (Hac¬sa- liho¼glu 1998).

Tan¬m 2.3. Her M; N 2 E³ için d(M; N ) = d(A(M ); A(N )) uzakl¬k koruyan A : E³ ! E³ dönü¸sümüne izometri denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.4. R³ de ortogonal matrislerin cümlesi;

O(3) =fA 2 R³3 : A^TA = AA^T = Ig

¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu cümle standart matris çarp¬m¬ i¸slemine göre bir gruptur.

Tan¬m 2.5. O(3) ortogonal grubunun bir altgrubu olan ve

SO(3) =fA 2 R³3 : A^TA = AA^T = I; det A = 1g

¸seklinde tan¬mlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger and Novak 1985).

SO(3) grubunun tan¬m¬n¬a¸sa¼g¬daki ¸sekilde de verebiliriz:

SO(3) =fA 2 R³3 :< AX; AY >=< X; Y >; A2 O(3); det A = 1; 8X; Y 2 R³g:

SO(3) bir matris Lie grubudur.

Tan¬m 2.6. SO(3) Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen so(3) Lie cebiri a¸sa¼g¬daki ¸sekilde tan¬mlan¬r:

so(3) =f! 2 R³3 : ! = 2 66 64

0 !₃ !₂

!₃ 0 !₁

!₂ !₁ 0 3 77

75; !^T = !g

(Karger and Novak 1985).

Tan¬m 2.7. Eⁿ de parametrik bir e¼gri

: I ! Eⁿ

t ! (t) = ( ¹(t); :::; _n(t)) ve X; Eⁿ üzerinde bir vektör alan¬olmak üzere, her t 2 I için

d

dt = X( (t))

ise, e¼grisine X vektör alan¬n¬n bir integral e¼grisi denir (Hac¬saliho¼glu 1993).

Yani, e¼grisinin her noktas¬ndaki h¬z vektörü X vektör alan¬n¬n bu noktadaki de¼geri

ile çak¬¸s¬r.

Tan¬m 2.8. V; n-boyutlu bir vektör uzay¬, X; V üzerinde bir vektör alan¬ olsun.

E¼ger,

A : V ! V bir lineer dönü¸süm olmak üzere, her v 2 V için

X_v = A(v)

ise, X vektör alan¬na lineerdir denir (Karger and Novak 1985).

Teorem 2.9. A; E³ de bir anti-simetrik matrisle verilen lineer dönü¸süm olsun. Bu durumda A n¬n matris formu, 6= 0 olmak üzere

A = 2 66 64

0 0

0 0

0 0 0

3 77 75

olacak ¸sekilde E³ ün bir ortonormal baz¬vard¬r (Karger and Novak 1985).

Tan¬m 2.10.

SE(3) =fA : A = 2 4 g c

0 1 3

5 ; g 2 R³3; g^Tg = I₃; c2 R³1; det g = 1g

cümlesi, standart matris çarp¬m¬ i¸slemiyle bir gruptur. (SE(3); :) grubuna R³ de kat¬cisim hareketlerinin özel grubu denir (Karger and Novak 1985).

SE(3) grubu topolojik yap¬s¬yla ele al¬nd¬¼g¬nda, 6-boyutlu bir topolojik manifold- dur. Bu durumda, SE(3) bir matris Lie grubudur. Zaman zaman SE(3) yerine D notasyonunu da kullanaca¼g¬z.

Tan¬m 2.11. SE(3) Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen se(3) Lie cebiri;

se(3) = f 2 4 ! v

0 0 3

5 : ! 2 R³3; !^T = !; v2 R³1g

¸seklinde tan¬mlan¬r (Karger and Novak 1985).

Buradaki !; 3 3 anti-simetrik matrisi, ~!2 R³ vektörü ile tek türlü belirlidir:

~

! = (!₁; !₂; !₃)2 R³ ) ! = 2 66 64

0 !₃ !₂

!₃ 0 !₁

!₂ !₁ 0 3 77 752 R³3:

Tan¬m 2.12. SE(3) Lie grubunun tanjant operatörü;

T = 2 4 ! v

0 0 3

5 $ f~!;~vg

¸seklinde tan¬ml¬bir operatördür. Burada ! 2 R³3; !^T = !; v 2 R³1; ~!; ~v 2 R³ dir (Karger and Novak 1985).

Her T 2 se(3) eleman¬na bir f~!; ~vg vektör çifti kar¸s¬l¬k gelir.

A(t)2 SE(3) e¼grisi, kat¬cismin hareketini göstermek üzere, T (t) $ f~!(t); ~v(t)g için,

~!; cismin hareketinin aç¬sal h¬z¬n¬ve ~v; cismin hareketinin lineer h¬z¬n¬belirtir.

Tan¬m 2.13. Plücker koordinat sisteminde (~a; ~a ) bir vida olmak üzere,

X : E³ ! R³

M ! X(M) = ~a + ~a ^OM!

¸seklinde tan¬mlanan X dönü¸sümüne helisel vektör alan¬denir. ~a ya X in ekseni denir ve !X ile gösterilir.

3. HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN·IYONLAR

3-boyutlu Öklid uzay¬ E³ ve buna kar¸s¬l¬k gelen vektör uzay¬ R³ olmak üzere, her M; N 2 E³ noktas¬, R³ de bir tek M N! vektörü belirtir. ~u; ~v 2 R³ için < ~u; ~v > ve

~u^ ~v, R³ de s¬ras¬yla iççarp¬m ve vektörel çarp¬m¬göstersin.

3.1 Vidalar Üzerinde ·I¸slemler

3.1.1 D Vektör uzay¬

Tan¬m 2.13 de verilen X helisel vektör alan¬n¬ göz önüne alal¬m. Helisel vektör alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterelim.

(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E³ ( X)(M ) = X(M ); 2 R

i¸slemleriyle birlikte D cümlesi bir reel vektör uzay¬olu¸sturur.

¸

Simdi bu vektör uzay¬üzerinde tan¬mlanan di¼ger i¸slemleri ele alal¬m.

3.1.2 D Vektör uzay¬üzerinde Lie operatörü

D üzerinde tan¬mlanan

[ ; ] : D D ! D

(X; Y ) ! [X; Y ](M) = ~a ^ Y (M) ~b ^ X(M)

i¸slemini göz önüne alal¬m. Burada X(M ) = ~a + ~a ^OM!, Y (M ) = ~b + ~b ^OM! de¼gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,

[X; Y ](M ) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^OM! (3:1:1)

= [X; Y ](N ) + (!_X ^ !^Y)^M N!

elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan¬oldu¼gunu gösterir. Ayr¬ca,

!_{[X;Y ]} = ~a^~b

¸seklindedir. [ ; ] operatörü, antisimetrik, bilineer ve Jacobi özde¸sli¼gi özeliklerini sa¼glar. Dolay¬s¬yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir.

3.1.3 D Üzerinde iççarp¬m

[j ] : D D ! R

(X; Y ) ! [X j Y ] =< ~a;~b > + < ~a ;~b >

(3:1:2)

¸seklinde tan¬mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp¬m olarak ad- land¬r¬l¬r. Bu iççarp¬m ifadesi M nin seçili¸sinden ba¼g¬ms¬zd¬r. E¼ger

[Xj Y ] = 0

ise, X ile Y kar¸s¬l¬kl¬vidalar olarak adland¬r¬l¬rlar.

3.1.4 D de D nin temsili

A2 D bir kat¬hareket olsun.

A : D ! D

X ! A (X)(M) = A(X(A ¹(M )))

(3:1:3)

dönü¸sümü yard¬m¬yla D deki elemanlar D vektör uzay¬n¬n elemanlar¬ cinsinden tan¬mlanm¬¸s oldu. A lineer oldu¼gundan A dönü¸sümü de lineerdir. Ayr¬ca, her A; B 2 D için

(A:B) = A B ve

!_{A X} = A(!^X)

dir.

3.1.5 i¸slemi

D üzerinde tan¬mlanan

: D ! D

X ! X(M) = ~a

dönü¸sümü lineerdir ve X sabit bir vektör alan¬d¬r. n¬n görüntüsü ve çekirde¼gi E³ üzerinde de¼ger alan altuzaylard¬r. Ayr¬ca,

2 = = ~0

d¬r.

D vektör uzay¬, D Lie grubuna kar¸s¬l¬k gelen Lie cebirine izomorftur. Bunu 3.1.1, 3.1.4 ve 3.1.5 i¸slemleri yard¬m¬yla söyleyebiliriz. Bu i¸slemler aras¬nda çok say¬da ba¼g¬nt¬vard¬r. ¸Simdi bunlar¬n baz¬lar¬n¬ele alal¬m:

[Xj [Y; Z]] = [Y j [Z; X]] (3:1:4)

[X; [Y; Z]] = [Xj Z] Y [Xj Y ] Z+ < ~a;~c > Y < ~a;~b > Z: (3:1:5)

Bu ba¼g¬nt¬lar adi anlamda vektörel çarp¬m¬n ve karma çarp¬m¬n geni¸sletilmi¸si görünü- mündedir. ·Ikinci e¸sitlikten Jacobi özde¸sli¼gini görmek kolayd¬r. Ayr¬ca,

[ Xj Y ] = [X j Y ] =< ~a;~b > (3:1:6)

[ X; Y ] = [X; Y ] = [X; Y ] (3:1:7)

dir. D de D nin temsilinden

[A Xj A Y ](M) = [X j Y ](M) (3:1:8)

[A X; A Y ] = A [X; Y ] (3:1:9)

A X = !_{A X} =A(!^X) (3:1:10)

elde edilir.

3.2 Dual Say¬lar ve D Üzerinde Modül Yap¬s¬

Tan¬m 3.2.1. x; y 2 R olmak üzere z = x + "y; "² = 0, " 6= 0 ¸seklindeki say¬lara dual say¬lar denir ve D ile gösterilir. D s¬f¬r bölenli, birimli ve de¼gi¸smeli bir halkad¬r.

R; D n¬n bir althalkas¬d¬r (Chevallier 1991).

Teorem 3.2.2. D bir D-modüldür (Chevallier 1991).

Ispat.· z = x + "y2 D olmak üzere,

+ : D D ! D

(X; Y ) ! (X + Y )(M) = X(M) + Y (M)

: D D ! D

(z; X) ! z X = (x + "y) X = xX + y X

(3:2:1)

i¸slemleri modül aksiyomlar¬n¬sa¼glar.

D, D üzerinde bir Lie cebiridir. Burada Lie cebiri aksiyomlar¬ndan bilineerlik sa¼glat- t¬r¬l¬rken, z 2 D; X; Y 2 D için

[z X; Y ] = [X; z Y ] = z [X; Y ]

e¸sitli¼ginde z 2 R yerine z 2 D al¬nm¬¸st¬r. z [X; Y ] i¸slemi (3:2:1) deki gibidir.

z 2 R için zX çarp¬m¬ile z 2 D için z X çarp¬m¬farkl¬d¬r. ¸Sayet, z 2 D ise,

z X = 0, z = 0 veya X = 0 veya (Re z = 0 ve X = ~0)

d¬r. Dolay¬s¬yla ikinci çarp¬m daha geneldir.

D de R-lineerlik ve D-lineerlik farkl¬d¬r.

f (zX) = zf (X)

ifadesinde z 2 D ise f D-lineerdir. f nin D-lineer olmas¬halinde matris gösterimi vard¬r. f R-lineer ise (z 2 R) yoktur.

f; D-lineer , f; R-lineer ve f = f:

Kinematikte genellikle D-lineer operatörler kullan¬l¬r. Dinamikte bu do¼gru de¼gildir.

Çünkü, momentum hesab¬nda, h¬zlar 3 3 dual matrislerle ifade edilemez.

R³ reel vektör uzay¬olmak üzere,

D³ = R³ "R³

bir D-modüldür. D³ de zX bir dual say¬ile bir vektörün çarp¬m¬d¬r.

(~e₁; ~e₂; ~e₃), R³ uzay¬n¬n bir baz¬ise, D³ uzay¬n¬n da D üzerinde bir baz¬d¬r. Key… bir b

X 2 D³ eleman¬ bX =bx¹~e₁+bx²~e₂+bx³~e₃;bxⁱ 2 D ¸seklinde yaz¬labilir. bX ya D³ de bir dual vektör ad¬verilir. R³ de bilinen skalar ve vektörel çarp¬m D³ e geni¸sletilebilir.

D³ de skalar ve vektörel çarp¬m

X : bb Y =bx¹yb₁+bx²yb₂+bx³by₃ 2 D (3:2:3)

Xb Yb =

~e₁ ~e₂ ~e₃ bx¹ bx² bx³ b

y₁ by₂ by₃

= (bx²by₃ yb₂bx³)~e₁+ (bx³yb₁ yb₃bx¹)~e₂+ (bx¹yb₂ yb₁bx²)~e₃

(3:2:4)

¸seklinde tan¬mlan¬r. D³, D-modül yap¬s¬n¬n yan¬s¬ra bir Lie cebiri de yap¬labilir.

[ ; ] : D³ D³ ! D³

( bX; bY ) ! [ bX; bY ] = bX Yb

¸seklinde tan¬mlanan i¸slemle D³ bir Lie cebiridir.

f : R³ ! R³ X ! f(X) lineer dönü¸sümü,

f : Db ³ ! D³

"X ! bf ("X) = "f (X)

(3:2:5)

¸seklinde bir lineer dönü¸süme geni¸sletilebilir.

¸Simdi D D-modülü ile D³ D-modülü aras¬ndaki ilgiyi veren bir dönü¸süm verelim. Bu dönü¸süm iki cümle aras¬nda bir köprü olu¸sturur.

Teorem 3.2.3. P 2 E³ sabit bir nokta olmak üzere

J_P : D ! D³

X ! J^P(X) = ~a + "X(P )

dönü¸sümü D-lineer ve D üzerinde bir Lie cebir izomor…zmidir. Yani, J^P birebir ve örten ayr¬ca, JP([X; Y ]) = J_P(X) J_P(Y )dir (Chevallier 1991).

Ispat.· X; Y 2 D olmak üzere,

J_P(X + Y ) = ~a + ~b + "(X(P ) + Y (P ))

= ~a + ~b + "X(P ) + "Y (P )

= ~a + "X(P ) + ~b + "Y (P )

= J_P(X) + J_P(Y )

dir. z 2 D için

J_P(zX) = x ~a + "(xX(P ) + y ~a) (3:2:6)

zJ_P(X) = (x + "y)(~a + "X(P ))

= x ~a + "(xX(P ) + y ~a) (3:2:7)

dir. (3:2:6) ve (3:2:7) den

J_P(zX) = zJ_P(X)

elde edilir. O halde JP lineer bir dönü¸sümdür. D³deki vektörel çarp¬m¬n geni¸sletilmi¸si

J_P(X) J_P(Y ) = (~a + "X(P )) (~b + "Y (P ))

= ~a^~b + "(~a ^ Y (P ) ~b ^ X(P))

= ~a^~b + "[X; Y ](P )

= J_P([X; Y ]) (3:2:8)

¸seklindedir. Dolay¬s¬yla JP bir Lie cebir izomor…zmidir.

Ayr¬ca,

J_P(X) : J_P(Y ) = < ~a;~b > +"(< ~a; Y > + < X;~b >)

= < ~a;~b > +"[Xj Y ] (3:2:9)

dir.

Tan¬m 3.2.4.

f j g : D D ! D

(X; Y ) ! fX j Y g =< !^X; !_Y > +"[X j Y ]

(3:2:10)

¸seklinde tan¬mlanan dönü¸süm simetrik, D-bilineer formdur. Özel olarak, D-bilineer- likten

fzX j Y g = zfX j Y g; z 2 D; X; Y 2 D dir (Chevallier 1991).

Teorem 3.2.3 den a¸sa¼g¬daki sonucu verebiliriz:

Sonuç 3.2.5. J_P, D deki f j g D-bilineer form ile D³ deki ":" iççarp¬m¬n¬n izomor-

…zmas¬d¬r, yani JP(X) : J_P(Y ) =fX j Y g dir (Chevallier 1991).

fX j [Y; Z]g = fY j [Z; X]g (3:2:11)

[X; [Y; Z]] = fX j ZgY fX j Y gZ (3:2:12)

formülleri (3:1:4) ve (3:1:5) formüllerinin geni¸sletilmi¸s halleridir. Bundan sonraki i¸slemlerimizde bunlar¬kullanaca¼g¬z.

D deki f j g iççarp¬m D de¼gerli olup, reel de¼gerli olan [ j ] iççarp¬mdan daha ilginç bir yap¬ya sahiptir. (3:1:5) ve (3:2:12) kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda (3:2:12) daha basit bir formdur.

fX j Y g = 0 , X ve Y secant ortogonal eksenlerdir

fX j Xg = 0 , ("X = 0) , (!^X = 0) (3:2:13) fX j Xg = 1 , (j!^Xj = 1 ve X s¬f¬r ad¬ma sahiptir).

Normlanm¬¸s bir X vidas¬E³ de bir do¼gru belirtir. Tersine, E³ deki her do¼gru bir X vidas¬ile gösterilebilir.

D D-modülde f ; ; g bir yönlendirilmi¸s ortonormal baz olsun. fO; i; j; kg, E³ de ortonormal bir çat¬olmak üzere, ; ; 2 D baz elemanlar¬

! = i; ! = j; ! = k ve (O) = (O) = (O) = O (3:2:14)

¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu durumda

f j g = f j g = f j g = 1; f j g = f j g = f j g = 0 (ortogonallik) [ ; ] = ; [ ; ] = ; [ ; ] = ;f j[ ; ]g = 1 (sa¼g el kural¬)

özelikleri sa¼glan¬r.

3.3 Dual Kuaterniyonlar¬n Yeni Bir Geometrik Tan¬m¬

Kuaterniyon 1830 da Sir W.R. Hamilton taraf¬ndan ke¸sfedilmi¸stir. Hamilton kompleks say¬lar¬n bir benzerini R³ de aram¬¸st¬r. R³ de C deki gibi bir yap¬n¬n bu- lunmad¬¼g¬n¬10 y¬ll¬k bir çal¬¸sman¬n sonucunda farketmi¸stir. Daha sonra bu yap¬n¬n R⁴ deki kar¸s¬l¬¼g¬n¬kuaterniyon olarak tan¬mlam¬¸st¬r.

Kuaterniyonlar cebirini ve kinematikteki uygulamalar¬n¬ Agrawal (1987), Hac¬sa- liho¼glu (1983), Veldkamp (1976), ve Yayl¬(1988) referanslar¬nda bulabiliriz.

Bilindi¼gi gibi basit kuaterniyonlar (s; ~v) ikilisi ile tan¬mlanabilir. Burada s 2 R skalar k¬s¬m ve ~v 2 R³ vektörel k¬s¬md¬r. Bu durumda bu operatörler üzerinde a¸sa¼g¬daki toplama ve çarpma i¸slemleri tan¬mlanabilir:

q + q₁ = (s + s₁; ~v + ~v₁); (s; ~v) = ( s; ~v); 2 R (3:3:1) qq₁ = (ss₁ < ~v; ~v₁ >; s~v₁+ s₁~v + ~v^ ~v¹): (3:3:2)

(3:3:1)i¸slemleri ile kuaterniyonlar¬n H cümlesi birimi (0;~0) olan bir reel vektör uza- y¬d¬r. (3:3:1) ve (3:3:2) i¸slemleriyle birimi (1;~0) olan H bir reel cebirdir. Kuaterni-

yonlar¬n birle¸sme özeli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬göstermek için, vektörel çarp¬m¬n

~

u^ (~v ^ ~w) + ~v^ ( ~w^ ~u) + ~w^ (~u ^ ~v) = ~0

~

u^ (~v ^ ~w) =< ~u; ~w > ~v < ~u; ~v > ~w

özeliklerini kullan¬r¬z. Kuaterniyonlar¬n tan¬m¬n¬, D üzerinde Lie cebirine sahip D cümlesine (ve D de¼gerli) geni¸sletebiliriz. Benzer özelikleri sa¼glatabiliriz.

H = R R³ yerine H =D D³ cümlesini alaca¼g¬z. q = (z; X), z 2 D, X 2 D olmak üzere H üzerinde toplama, skalarla çarpma ve çarpma i¸slemleri

q + q⁰ = (z + z⁰; X + X⁰)

(z; X) = ( z; X); 2 D (3:3:3)

qq⁰ = (zz⁰ fX j X⁰g; zX⁰ + z⁰X + [X; X⁰])

¸seklinde tan¬mlan¬r.

¸

Simdi a¸sa¼g¬daki sonucu verelim:

Sonuç 3.3.1. H cümlesi e = (1; 0) birim eleman¬olan bir halkad¬r. (3:3:3) de verilen ilk iki operatörle bir D-modül, son operatörle D üzerinde bir cebirdir (Chevallier 1991).

D yi [:j:] iççarp¬m¬ ile ve reel Lie cebir yap¬s¬yla alsayd¬k bu do¼gru olmazd¬. D yi D üzerinde modül ve Lie cebir yap¬s¬yla al¬rsak, Kuaterniyonlar Cebirine (dual) geometrik bir destek vermi¸s oluruz.

(z; 0)2 H bir skalar kuaterniyon olup ze veya basitçe z ile gösterilir. (0; X) 2 H bir pür dual kuaterniyon olup, [X] ¸saklinde tan¬mlan¬r. Genel olarak, q = (z; X) 2 H kuaterniyonunda Sc(q) = z ve V e(q) = X; s¬ras¬ile, q nun skalar ve vektörel k¬s¬m- lar¬n¬tan¬mlar. q nun e¸sleni¼gini q = (z; X) ile gösterece¼giz. A¸sa¼g¬daki e¸sitliklerin

sa¼gland¬¼g¬n¬kolayca söyleyebiliriz:

q₁q₂ = q₂q₁; Sc(q₁q₂) = Sc(q₂q₁) (3:3:4) Sc([X][Y ]) = fX j Y g; V e([X][Y ]) = [X; Y ]: (3:3:5)

E¼ger H n¬n bir eleman¬di¼ger bütün elemanlarla de¼gi¸simli ise, bu eleman bir skalard¬r.

3.4 Norm ve H da Ters Eleman

q2 H için q nun normu

N (q) = q q = q q = (z²+fX j Xg)e

¸seklinde tan¬mlan¬r. N (q) pozitif reel k¬s¬ml¬bir dual kuaterniyondur. Kolayca,

N (qq⁰) = N (q⁰q) = N (q)N (q⁰); N (q) = N (q) (3:4:1)

oldu¼gu söylenebilir.

N (q) dual say¬s¬n¬n tersinin olmas¬ için reel k¬sm¬n¬n s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ gerekir.

Bunun için q 2 H n¬n tersinin olmas¬ için Re N(q) 6= 0 dolay¬s¬yla bu pozitif ola- ca¼g¬ndan Re N (q) > 0 olmal¬ve q nun tersi q ¹ = N (q) ¹q¸seklindedir.

Yukar¬da Chevallier (1991) taraf¬ndan verilen i¸slemleri, helisel vektör alan¬n¬matris formunda yazarak farkl¬bir biçimde verebiliriz:

D Vektör uzay¬

Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda 2 4 a a

0 0 3 5

¸seklinde ifade ederiz. Burada ~a; ~a 2 R³ ve a 2 R³3, a 2 R³1 dir. Bu matrisi, X helisel vektör alan¬na kar¸s¬l¬k gelen matris olarak alabiliriz. Bu durumda

X(M ) = 2 4 a a

0 0 3 5

2 4 M

1 3 5 =

2

4 ~a^ ! OM + ~a

0

3 5

yaz¬labilir.

D de Lie operatörü

X(M ) = ~a + ~a^OM! ve Y (M ) = ~b + ~b ^OM! olmak üzere, X ve Y nin matris ifadeleri

X ! 2 4 a a

0 0 3

5 ; Y ! 2 4 b b

0 0 3 5

için

[X; Y ] = XY Y X

= 2 4 a a

0 0 3 5

2 4 b b

0 0 3 5

2 4 b b

0 0 3 5

2 4 a a

0 0 3 5

= 2

4 ab ab

0 0

3 5

2

4 ba ba

0 0

3 5

= 2

4 ab ba ab ba

0 0

3 5

olur ki, bunun vida kar¸s¬l¬¼g¬

[X; Y ](M ) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^OM!

dir.

D de D nin temsili

D kat¬hareketlerin grubu olmak üzere, A 2 D olsun.

A : D ! D

X ! A (X)(M) = A(X(A ¹(M )))

dönü¸sümü yard¬m¬yla D deki elemanlar D vektör uzay¬n¬n elemanlar¬ cinsinden tan¬mlanm¬¸s olur. A lineer oldu¼gundan A dönü¸sümü de lineerdir. Ayrca, her A; B 2 D için

(A:B) = A B ve

!_{A X} = A(!^X)

dir. A dönü¸sümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA ¹ ¸sek- lindedir. Yani,

A (X) = 2 4 A d

0 1 3 5

2 4 ! v

0 0 3 5

2

4 A ¹ A ¹d

0 1

3 5 =

2

4 A!A ¹ A!A ¹d + Av

0 1

3 5

dir, burada A!A ¹, 3 3 tipinde anti-simetrik bir matris ve A!A ¹d + Av, bir vektördür. ¸Simdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A B oldu¼gunu gösterelim.

A= 2 4 A d₁

0 1 3 5 ; B =

2

4 B d₂ 0 1

3

5 ve X = 2 4 ! v

0 0 3

5 olmak üzere,

A (B (X)) = A 0

@ 2

4 B d₂

0 1

3 5

2 4 ! v

0 0 3 5

2

4 B ¹ B ¹d₂

0 1

3 5

1 A

= A 0

@ 2

4 B!B ¹ B!B ¹d₂+ Bv

0 0

3 5

1

A (3:4:2)

= 2

4 AB!B ¹A ¹ Ab!B ¹A ¹d₁ AB!B ¹d₂+ ABv

0 0

3 5

ve di¼ger taraftan

(AB) (X) = 2

4 AB Ad₂+ d₁

0 1

3 5

2 4 ! v

0 0 3 5

2

4 B ¹A ¹ B ¹A ¹ B ¹d₂ B ¹A ¹d₁

0 1

3 5

= 2

4 AB! ABv

0 0

3 5

2

4 B ¹A ¹ B ¹A ¹ B ¹d₂ B ¹A ¹d₁

0 1

3 5

= 2

4 AB!B ¹A ¹ Ab!B ¹A ¹d₁ AB!B ¹d₂+ ABv

0 0

3

5 (3:4:3)

elde edilir. (3:4:2) ve (3:4:3) den (A:B) = A B oldu¼gu görülür.

4. ÖKL·ID UZAYINDA HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI

4.1 1-Parametreli Hareketler

Tan¬m 4.1.1.

f : E³ ! E³

x ! f(x) = g(t)x + c(t)

(4:1:1)

dönü¸sümüne 1-parametreli hareket denir. Burada, g(t) 2 SO(3); c(t) 2 R³1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi

2 4 y(t)

1 3 5

| {z }

= 2

4 g(t) c(t)

0 1

3 5

| {z }

2 4 x

1 3 5

| {z }

Y (t) = A(t) : X

¸seklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre bir grup olu¸stururlar. Bu grubu SE(3) ile gösterece¼giz. Yani,

SE(3) =fA : A = 2 4 g c

0 1 3

5 ; g 2 SO(3); c 2 R³1g:

SE(3) bir Lie grubudur. Bu gruba kar¸s¬l¬k gelen Lie cebirini de se(3) ile gösterelim.

A ¹(t) = 2

4 g ¹(t) g ¹(t)c(t)

0 1

3

5 ve A(t) = 2

4 g(t) c(t)

0 0

3 5

oldu¼gundan

A(t)A ¹(t) = 2 4 g c

0 0 3 5

2

4 g ¹ g ¹c

0 1

3 5

= 2

4 gg ¹ gg ¹c + c

0 0

3 5

elde edilir. ! = gg ¹ ve v = gg ¹c + c dersek, !; 3 3 tipinde anti-simetrik bir matristir. Bu durumda SE(3) Lie grubunun Lie cebiri

se(3) = f 2 4 ! v

0 0 3

5 : ! 2 SO(3); v 2 R³1g

olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir e¸slenirler.

¸

Simdi helisel vektör alanlar¬ile ani hareketler aras¬ndaki ili¸skiyi verelim:

1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al¬n¬rsa,

y(t) = g(t)x + c(t)

= g(t)g ¹(t)(y(t) c(t)) + c(t)

= !(t)y(t) !(t)c(t) c(t) y(t) = !(t)y(t) + v(t)

elde edilir. Burada !(t) = g(t)g ¹(t); v(t) = !(t)c(t) c(t) dir. t = 0 an¬nda h¬z vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.

¸

Sekil 4.1. Ani hareket

¸

Simdi y1(0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu hareketi y1(t) ile gösterelim. Bu durumda

y1(t) = !y1(t) + v

diferensiyel denklemini

y₁(0) = y(0) = M

ba¸slang¬ç ¸sart¬alt¬nda çözersek, 2 4 y₁

0 3 5 =

2 4 ! v

0 0 3 5

2 4 M

1 3 5

olmak üzere

2 4 y₁(t)

1 3

5 = exp 0

@t 2 4 ! v

0 0 3 5

1 A

2 4 M

1 3 5

= 2

4 g₁(t) c₁(t)

0 1

3 5

2 4 M

1 3 5

elde edilir. Burada g1(t)2 SO(3); c¹(t)2 R³1 dir.

Bulunan y1(t) e¼grisi, X = 2 4 ! v

0 0 3

5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼grisidir.

Örnek 4.1.2. ! = 2 66 64

0 1 0

1 0 0

0 0 0

3 77 75; v =

2 66 64

0 0 1

3 77

75 olmak üzere,

X = 2 66 66 66 4

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 77 77 5

helisel vektör alan¬n¬ele alal¬m.

exp (sX) = X1

k=0

(sX)^k k!

= I₄ 0! + s

2 66 66 66 4

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 77 77 5

1! + s²

2 66 66 66 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5

2!

+s³ 2 66 66 66 4

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 77 77 77 5

3! + s⁴

2 66 66 66 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 77 77 77 5

4! + :::

= 2 66 66 66 64

1 s² 2! +s⁴

4! ::: ( s 1! +s³

3! :::) 0 0 s

1!+ s³

3! ::: 1 s² 2! +s⁴

4! ::: 0 0

0 0 1 s

0 0 0 1

3 77 77 77 75

= 2 66 66 66 4

cos s sin s 0 0 sin s cos s 0 0

0 0 1 s

0 0 0 1

3 77 77 77 5

bulunur. exp(sX) ile bir parametreli hareket tan¬mlanabilir. Bir noktan¬n yörüngesi bir helis e¼grisidir.

¸

Simdi bir parametreli hareketlerin h¬z da¼g¬l¬m¬ile vida hareketleri aras¬ndaki ilgiyi Bottema and Roth (1979)’un bak¬¸s aç¬s¬yla ele alal¬m:

Tan¬m 4.1.3. f : R³ ! R³ lineer dönü¸sümü, her ~u; ~v 2 R³ için

< f (~u); f (~v) >=< ~u; ~v > ise, yani iççarp¬m¬ koruyorsa, f dönü¸sümüne ortogonal dönü¸süm denir. Ortogonal dönü¸sümler cümlesi O(3) ile gösterilen bir grup olu¸stu-

rurlar. f 2 O(3) ve det f = 1 olan dönü¸sümlerin grubuna SO(3) denir ve SO(3), O(3) ün altgrubudur.

Tan¬m 4.1.4. A : E³ ! E³ dönü¸sümüne a…ndir denir e¼ger,

A : R³ ! R³ M N! ! A( !

M N ) = !

A(M )A(N )

olacak ¸sekilde bir A lineer dönü¸sümü varsa. A ya A n¬n lineer k¬sm¬denir.

Tan¬m 4.1.5. E³, 3 boyutlu Öklid uzay¬olmak üzere,

f : E³ ! E³ P ! f(P )

a…n dönü¸sümü, E³ ün her P; Q noktas¬için

d(P; Q) = d(f (P ); f (Q))

¸sart¬n¬sa¼gl¬yorsa, f dönü¸sümüne izometri denir ve f (P ) = AP + C ¸seklinde tan¬m- lan¬r.

Farkl¬bir notasyonla ifade edecek olursak,

P = AP + d (4:1:2)

dir. 1-parametreli hareketi gözönüne alal¬m. Yani,

P = A(t)P + d(t) (4:1:3)

olsun. Bunun h¬z da¼g¬l¬m¬,

P = _· AP + _d

¸seklindedir. Di¼ger taraftan, (4:1:2) den P = A ¹(P d) ifadesi (4:1:3) de yerine

yaz¬l¬rsa,

P = _· AA ¹(P d) + _d

veya _AA ¹ = ! olmak üzere vektörel olarak

P = ~· !^ (P d) + _d

elde edilir.

¸

Simdi h¬z¬~! ya paralel olan P noktalar¬n¬n geometrik yerini bulal¬m. Yani,

~

!^ (P d) + _d = ~! (4:1:4)

¸sart¬n¬ sa¼glayan P noktalar¬n¬ belirleyelim. Bunun için (4:1:4) e¸sitli¼ginin her iki taraf¬n¬n ~! ile iççarp¬m¬n¬al¬rsak,

< ~!^ (P d) + _d; ~! >= < ~!; ~! >

ve

= < ~!; _d >

< ~!; ~! >

bulunur. Bu son ifadeyi (4:1:4) de yerine yazarsak,

~

!^ (P d) = d +_ < ~!; _d >

< ~!; ~! >~! (4:1:5) elde edilir.

a^ x = b ve < a; b >= 0 ¸seklindeki bir denklemin çözümü

x = a^ b

< a; a >+ a

¸seklindedir (Bottema and Roth 1979). Buna göre, (41:5) denkleminin çözümü

P = d + ~!^ _d

< ~!; ~! > + ~!

olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda

P = ~· !^ (P S) + ~!

veya

P = ~· !^SP + ~! !

yaz¬labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç¬sal h¬z ve ~! ötelemesine sahip vida hareketindeki h¬z da¼g¬l¬m¬ile ayn¬d¬r.

4.2 E³ de Helisel Vektör Alanlar¬n¬n ·Integral E¼grileri

Helisel vektör alanlar¬ile bir parametreli hareketlerin Lie cebirinin elemanlar¬e¸slene- bilir. Dolay¬s¬yla, bunlar yard¬m¬yla 1-parametreli (ani) hareketleri elde ederiz. Bu ani hareketlerin yörüngelerini bir teoremle verelim:

Teorem 4.2.1. X bir helisel vektör alan¬olsun. Yani, 2

4 X(M ) 0

3 5 =

2 4 ! v

0 0 3 5

2 4 M

1 3 5 =

2

4 !! ^ ! OM + !v

0

3

5 : (4:2:1)

1. rank[!; v] = 3 ise, X in integral e¼grileri helislerdir.

2. rank[!; v] = 2 ise, X in integral e¼grileri çemberlerdir.

3. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri paralel do¼grulard¬r.

Ispat.· 2

66 66 66 4

0 1 0 p 1 0 0 q 0 0 0 r

3 77 77 77 5

2 66 66 66 4

x y z

3 77 77 77 5

= 2 66 66 66 4

x⁰ y⁰ z⁰

3 77 77 77 5

(4:2:2)

(t) = (x(t); y(t); z(t)),

Xj ^(t) = ⁰(t) (4:2:3)

nin integral e¼grilerini hesaplayal¬m.

1. rank[!; v] = 3 olsun. Bu durumda r 6= 0 d¬r ve (4:2:3) den dx

dt = y + p dy

dt = x + q dz

dt = r elde edilir. Üçüncü e¸sitlikten

z(t) = rt + s

bulunur. ·Ikinci e¸sitlikte türev al¬n¬r ve birinci e¸sitlik kullan¬l¬rsa, d²y

dt² = y p ve buradan

d²y

dt² + y = p (4:2:4)

ikinci basamaktan diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü

y_o•= p

ve homogen k¬sm¬n¬n çözümü

y_h = c₁cos t + c₂sin t

olur genel çözüm ise

y = y•o+ yh

y(t) = c₁cos t + c₂sin t + p (4:2:5)

olarak bulunur. Buradan

x(t) = c₁sin t c₂cos t + q

yani,

(t) = (c₁sin t c₂cos t + q; c₁cos t + c₂sin t + p; rt + s) (4:2:6)

¸seklindedir.

0(t) = (c₁cos t + c₂sin t; c₁sin t + c₂cos t; r)

ve

< ⁰(t); (0; 0; 1) >= r =sabit oldu¼gundan (t)bir helistir.

2. rank[!; v] = 2 olsun. Bu durumda (4:2:2) den r = 0 olaca¼g¬ndan dx

dt = y + p dy

dt = x + q dz

dt = 0 d¬r. Denklemler çözülünce

(t) = (c₁sin t c₂cos t + q; c₁cos t + c₂sin t + p; s) (4:2:7)

elde edilir.

3. rank[!; v] = 1 ise,

dx

dt = 0 dy

dt = 0 dz

dt = 0

denklem sistemi çözüldü¼günde

(t) = (pt + s₁; qt + s₂; rt + s₃) (4:2:8)

bulunur. Bu da paralel do¼grular verir.

Sonuç 4.2.2. E³ deki 1-parametreli uzay hareketlerinde, ani hareketler alt¬nda bir noktan¬n yörüngesi, ya bir helis, ya bir çember veya bir do¼grudur.

¸

Simdi E³ deki hareketler için yap¬lanlar¬E²ⁿ⁺¹ Öklid uzay¬na genelle¸stirelim.

4.3 E²ⁿ⁺¹ Öklid Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬

Tan¬m 4.3.1. E²ⁿ⁺¹ üzerinde

f : E²ⁿ⁺¹ ! E²ⁿ⁺¹

x ! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t)

¸seklinde tan¬mlanan dönü¸süme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t)2 SO(2n + 1), c(t) 2 R²ⁿ⁺¹1 dir. Bu hareketin matris formundaki ifadesi

2 4 y(t)

1 3 5

| {z }

= 2

4 g(t) c(t)

0 1

3 5

| {z }

2 4 x

1 3 5

| {z }

Y (t) = A(t) : X

¸seklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre

G =fA : A = 2 4 g c

0 1 3

5 ; g 2 SO(2n + 1); c 2 R²ⁿ⁺¹1 g:

¸seklinde bir grup olu¸stururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba kar¸s¬l¬k gelen Lie

cebirini de g ile gösterelim. O zaman,

g =f 2 4 S V

0 0 3

5 : S 2 R²ⁿ⁺¹2n+1 anti-simetrik; V 2 R²ⁿ⁺¹1 g

olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar¬helisel vektör alanlar¬ile bire bir e¸slenirler.

Tan¬m 4.3.2. S 2 R²ⁿ⁺¹2n+1 bir anti-simetrik matris ve V 2 R²ⁿ⁺¹1 olmak üzere

X : E²ⁿ⁺¹ ! R²ⁿ⁺¹1

M ! X(M) = V + S:M!

(4:3:1)

¸seklinde tan¬mlanan lineer dönü¸süme helisel vektör alan¬denir.

Tan¬m 4.3.3. X bir helisel vektör alan¬ve : I ! E²ⁿ⁺¹, t ! (t) bir e¼gri olsun.

E¼ger her t 2 I için

d

dt = X( (t)) (4:3:2)

oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan¬n¬n integral e¼grisi denir.

1-parametreli harekette x noktas¬n¬n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al¬n¬rsa,

y(t) = g(t)x + c(t)

= g(t)g ¹(t)(y(t) c(t)) + c(t)

= !(t)y(t) !(t)c(t) c(t) y(t) = !(t)y(t) + v(t)

elde edilir. t = 0 an¬nda h¬z vektörü y(0) = !(0)y(0) + v(0) d¬r.

¸

Simdi y1(0) = y(0) = M noktas¬nda h¬z¬y(0) ile ayn¬olan ani hareketi bulal¬m. Bu

hareketi y1(t) ile gösterelim. Bu durumda

y₁(t) = !y₁(t) + v

diferensiyel denklemini

y₁(0) = y(0) = M ba¸slang¬ç ¸sart¬alt¬nda çözersek,

2 4 y1

0 3 5 =

2 4 ! v

0 0 3 5

2 4 M

1 3 5

olmak üzere

2 4 y₁(t)

1 3

5 = exp 0

@t 2 4 ! v

0 0 3 5

1 A

2 4 M

1 3 5

= 2

4 g₁(t) c₁(t)

0 1

3 5

2 4 M

1 3 5

elde edilir. Burada g1(t)2 SO(2n + 1); c¹(t)2 R²ⁿ⁺¹1 dir.

Bulunan y1(t) e¼grisi, X = 2 4 ! v

0 0 3

5 helisel vektör alan¬n¬n integral e¼grisidir.

Teorem 4.3.4. X; E²ⁿ⁺¹ de bir helisel vektör alan¬ve X in f0; u¹; :::; u_2n+1g orto- normal çat¬s¬na göre matrisi; 2

4 ! v 0 0

3 5

olsun. Burada ! 2 R²ⁿ⁺¹2n+1 bir anti-simetrik matris ve v 2 R²ⁿ⁺¹1 bir sütun matristir.

Bu durumda;

1. rank[!; v] = 2n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn¬ parametreli dairesel helis e¼grileridir.

2. rank[!; v] = 2k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.

3. rank[!; v] = 2k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir.

4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard¬r.

Ispat.· X helisel vektör alan¬, her M = (x1; :::; x_2n+1)2 E²ⁿ⁺¹ için 2

4 X(M );

0 3 5 =

2 4 ! v

0 0 3 5

2 4 M

1 3 5

= 2 66 66 66 66 66 66 66 64

0 ₁ 0 0 0 0 a₁

1 0 0 0 0 0 a₂

... ... ... . .. ... ... ... ...

0 0 0 0 _n 0 a_{2n 1}

0 0 0 _n 0 0 a_2n

0 0 0 0 0 0 a_2n+1

0 0 0 0 0 0 0

3 77 77 77 77 77 77 77 75

2 66 66 66 66 66 66 66 64

x₁ x₂ ... x_{2n 1}

x_2n x_2n+1

1 3 77 77 77 77 77 77 77 75

(4:3:3)

X(M ) = ( ₁x₂+ a₁; ₁x₁+ a₂; :::; _nx_2n+ a_{2n 1}; _nx_{2n 1}+ a_2n; a_2n+1) (4:3:4) olarak bulunur. E²ⁿ⁺¹ de

: I ! E²ⁿ⁺¹

t! (t) = ( ¹(t); :::; _2n+1(t)) e¼grisini ele alal¬m.

1. n¬n X vektör alan¬na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d

dt = X( (t)) (4:3:5)

diferensiyel denklemini sa¼glamas¬ gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin

(4:3:5) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x1; :::; x2n+1) ba¸slang¬ç

¸sartl¬integral e¼grisi

X(M ) = ( ₁x₂+ a₁; ₁x₁+ a₂; :::; _nx_2n+ a_{2n 1}; _nx_{2n 1}+ a_2n; a_2n+1)

için

d

dt = X(M ) (4:3:6)

diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir.

(4:3:6)denkleminin aç¬k ifadesi dx₁

dt = ₁x₂+ a₁ dx2

dt = ₁x₁+ a₂ dx₃

dt = 2x4+ a3

dx₄

dt = ₂x₃+ a₄

... (4:3:7)

dx_{2n 1}

dt = _nx_2n+ a_{2n 1} dx_2n

dt = _nx_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1

¸seklindedir.

(4:3:7)denklem sisteminde i¸slemleri basitle¸stirmek amac¬yla i = 1, 1 i n

almam¬z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (4:3:7) sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂ dx3

dt = x₄+ a₃ dx₄

dt = x3+ a4

... (4:3:8)

dx_{2n 1}

dt = x_2n+ a_{2n 1} dx_2n

dt = x_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1 = c

¸seklini al¬r.

(4:3:8)sisteminde son denklemin çözümü

x_2n+1 = ct + d (4:3:9)

¸seklindedir.

Geriye kalan 2n tane denklem iki¸ser iki¸ser çözülürler.

(4:3:8)sisteminde ilk iki denklemi ele alal¬m:

dx₁

dt = x₂ + a₁ dx₂

dt = x₁ + a₂:

·Ikinci denklemin türevi al¬n¬r ve dx₁

dt de¼geri yerine yaz¬l¬rsa, d²x₂

dt² + x₁ = a₁ (4:3:10)

bulunur. Bu denklemin çözümü

x₂ = A₁cos t + B₁sin t a₁

¸seklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz¬lmas¬yla

x₁ = A₁sin t B₁cos t + a₂

elde edilir.

Bu ¸sekilde devam edilirse, (2n 1) ve 2n-inci denklem çiftinin çözümü

x2n 1 = Ansin t Bncos t + a2n

x2n = Ancos t + Bnsin t a2n 1

¸seklinde bulunur.

Buradan X lineer vektör alan¬na kar¸s¬l¬k gelen (t)integral e¼grisinin ifadesi;

(t) = (A₁sin t B₁cos t + a₂; A₁cos t + B₁sin t a₁; :::;

A_nsin t B_ncos t + a_2n; A_ncos t + B_nsin t a_{2n 1}; ct + d) (4:3:11)

olur.

0(t) = (A1cos t + B1sin t; A2sin t + B2cos t; :::;

Ancos t + Bnsin t; Ansin t + Bncos t; c)

olmak üzere

< ⁰(t); (0; :::; 0; 1) >= c =sabit oldu¼gundan (t)bir helis belirtir.

2. rank[!; v] = 2k, 1 k n olsun.

(a) E¼ger rank[!; v] = 2n ise, bu durumda

a_2n+1 = 0

olmas¬gerekir. Bu durumda (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂ dx₃

dt = x₄+ a₃ dx₄

dt = x₃+ a₄

... (4:3:12)

dx_{2n 1}

dt = x_2n+ a_{2n 1} dx_2n

dt = x_{2n 1}+ a_2n dx_2n+1

dt = a_2n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (4:3:11) den

(t) = (A₁sin t B₁cos t + a₂; A₁cos t + B₁sin t a₁; :::;

A_nsin t B_ncos t + a_2n; A_ncos t + B_nsin t a_{2n 1}; d)

bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu a¸sikard¬r.

(b) rank[!; v] = r, r = 2; 4; :::; 2n 2olsun. Bu durumda (4:3:3) deki matris- ten

rank[!; v] = r, ⁱ = 0; r

2+ 1 i n

yaz¬labilir. Böylece (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂

... (4:3:13)

dx_{r 1}

dt = x_r+ a_{r 1} dx_r

dt = x_{r 1}+ a_r dx_j

dt = 0; r + 1 j 2n + 1

¸sekline dönü¸sür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (4:3:11) den

(t) = (A₁sin t B₁cos t + a₂; A₁cos t + B₁sin t a₁; :::;

A_r=2sin t B_r=2cos t + a_r; A_r=2cos t + B_r=2sin t a_{r 1}; d_r+1; :::; d_2n+1)

bulunur. Bu integral e¼grileri yine birer çemberdir.

3. rank[!; v] = 2k + 1, 1 k n olsun.

(a) rank[!; v] = 2n + 1 ise, bu teoremin birinci ¸s¬kk¬n¬verir.

(b) rank[!; v] = 2k + 1 = r + 1, r = 2; 4; :::; 2n 2olsun. Bu durumda (4:3:3) deki ilk matristen

rank[!; v] = r + 1, ⁱ = 0;r

2+ 1 i n ve ar+1 6= 0

yaz¬labilir. Böylece (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi;

dx₁

dt = x₂+ a₁ dx₂

dt = x₁+ a₂

... (4:3:14)

dx_{r 1}

dt = x_r+ a_{r 1} dx_r

dt = x_{r 1}+ a_r dx_r+1

dt = a_r+1 dx_j

dt = 0; r + 2 j 2n + 1 olur. Bu durumda (4:3:14) sisteminin çözümü

(t) = (A₁sin t B₁cos t + a₂; A₁cos t + B₁sin t a₁; :::;

A_r=2sin t B_r=2cos t + a_r; A_r=2cos t + B_r=2sin t a_{r 1}; a_r+1t; d_r+2; :::; d_2n+1) (4:3:15)

olarak bulunur.

Görüldü¼gü gibi (4:3:15) e¼grileri dairesel helislerdir.

4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için i = 0 olmas¬demektir. Bu durumda (4:3:8) diferensiyel denklem sistemi

dx₁

dt = a₁ dx₂

dt = a₂

... (4:3:16)

dx_2n+1

dt = a_2n+1 olur. Bu denklem sisteminin çözümü;

(t) = (a t + d ; a t + d ; :::; a t + d ) (4:3:17)

¸seklindedir. Bu ise, paralel do¼grular verir. Böylece teoremin ispat¬tamamlan- m¬¸s olur.

Bundan sonraki bölümde, Öklid uzay¬için yap¬lanlar, Lorenz uzay¬na genelle¸stirile- cektir.

5. LORENZ UZAYINDA HEL·ISEL VEKTÖR ALANLARI

5.1 1-Parametreli Hareket

Tan¬m 5.1.1. R³ üstünde,

< ; >_L: R³ R³ ! R

(~v; ~w) ! < !v ; !w >_L= v₁w₁+ v₂w₂+ v₃w₃

ile tan¬mlanan < ; >_L metrik tensörünü ele alal¬m. Bu durumda (R³; < ; >_L) ikilisine 3-boyutlu Lorenz uzay¬ad¬verilir ve R³1 ile gösterilir.

Tan¬m 5.1.2. E₁³ üzerinde

f : E₁³ ! E1³

x ! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t)

(5:1:1)

dönü¸sümünü göz önüne alal¬m. Burada, g(t) 2 SO(3; 1) yani, " = 2 66 64

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 77 75

olmak üzere, g^T = "g ¹" dur. Bunun matris formunda ifadesi 2

4 y(t) 1

3 5

| {z }

= 2

4 g(t) c(t)

0 1

3 5

| {z }

2 4 x

1 3 5

| {z }

Y (t) = A(t) : X (5:1:2)

¸seklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp¬m¬na göre bir grup olu¸stururlar. Bu grubu SE(3; 1) ile gösterece¼giz. Yani

SE(3; 1) =fA(t) : A(t) = 2

4 g(t) c(t)

0 1

3

5 ; g(t) 2 SO(3; 1); c(t) 2 R³1g (5:1:3)

¸seklindedir. Bu gruba R³1 kat¬hareketlerinin Özel Öklidiyen grubu denir. SE(3; 1)

bir matris Lie grubudur.

(5:1:2)nin her iki taraf¬n¬n türevini al¬rsak,

Y (t) = A(t)X (5:1:4)

bulunur ve (5:1:2) den X çekilerek, (5:1:4) de yerine yaz¬l¬rsa;

Y (t) = A(t)A ¹(t)Y (t)

elde edilir. W = A(t)A ¹(t) diyelim.

A ¹(t) = 2

4 g ¹(t) g ¹(t)c(t)

0 1

3

5 ve A(t) = 2

4 g(t) c(t)

0 0

3 5

oldu¼gundan

W = A(t)A ¹(t)

= 2 4 g c

0 0 3 5

2

4 g ¹ g ¹c

0 1

3 5

= 2

4 gg ¹ gg ¹c + c

0 0

3 5

elde edilir. gg ¹ = ! dersek, ! Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir matristir. Yani,

!^T = " ! " dur.

Gerçekten,

! = 2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77 75

olmak üzere,

" ! " = 2 66 64

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 77 75

2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77 75

2 66 64

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 77 75

= 2 66 64

1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 77 75

2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77 75

= 2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77 75

= !^T

dir.

se(3; 1) ile SE(3; 1) Lie grubunun Lie cebirini gösterecek olursak, se(3; 1) i elde edelim.

A ¹(t) = 2

4 g ¹(t) g ¹(t)c(t)

0 1

3

5 ve A(t) = 2

4 g(t) c(t)

0 0

3 5

oldu¼gundan

A(t)A ¹(t) = 2 4 g c

0 0 3 5

2

4 g ¹ g ¹c

0 1

3 5

= 2

4 gg ¹ gg ¹c + c

0 0

3 5

elde edilir. ! = gg ¹ ve v = gg ¹c + c dersek, ! Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir matristir. Yani, !^T = " ! " dur. Bu durumda SO(3; 1) Lie grubunun Lie cebiri

se(3; 1) = f 2 4 ! v

0 0 3

5 : ! 2 SO(3; 1); v 2 R³1g (5:1:4)

olarak elde edilir.

¸

Simdi, Lorenz anlam¬nda 3 3 tipinde anti-simetrik matrislerde matris çarp¬m¬ile Lorenz anlam¬nda vektörel çarp¬m¬verelim.

! X = 2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77 75

2 66 64

x y z

3 77 75

= (ay + bz; ax + cz; bx cy)

veya

! = 2 66 64

0 a b

a 0 c

b c 0

3 77

75 ! !! = ( c; b; a)

olmak üzere,

!! ^^L!x = c b a

x y z

= ( ( bz ay); ( cz ax); cy + bx)

= (ay + bz; ax + cz; bx cy)

= ! X

dir.

¸

Simdi (5:1:1) ifadesini yeniden ele alal¬m.

y(t) = g(t)x + c(t)) x = g ¹(t)(y(t) c(t))

olmak üzere, bunun h¬z da¼g¬l¬m¬,

y = gx + c (5:1:5)

¸seklindedir. Di¼ger taraftan, (5:1:1) den x = g ¹(y c) ifadesi (5:1:5) de yerine yaz¬l¬rsa,

y = gg ¹(y c) + c

= !(y c) + c

= !^^L(y c) + c

elde edilir.

Her iki uzayda h¬z¬sabit olan noktalar¬(Pol noktalar¬n¬) bulal¬m. Bunun için

y = 0

denklemini çözmeliyiz.

~

!^^L(y c) + c = 0

denkleminde y nin tek olarak bulunmas¬için det ! 6= 0 olmal¬. Fakat,

!^T = " ! ") det ! = ( 1)³det ! ) det ! = 0

d¬r. Yani tek çözüm yoktur.

O halde h¬z¬~! ya paralel olan x noktalar¬n¬n geometrik yerini bulal¬m. Yani,

~

!^^L(y c) + c = ~! (5:1:6)

¸sart¬n¬ sa¼glayan x noktalar¬n¬ belirleyelim. Bunun için (5:1:6) e¸sitli¼ginin her iki

taraf¬n¬n ~! ile iç çarp¬m¬n¬al¬rsak,

< ~!^^L(y c) + c; ~! >_L= < ~!; ~! >_L

veya

= < ~!; c >_L

< ~!; ~! >_L bulunur. Bu son e¸sitli¼gi (5:1:6) da yerine yazarsak,

~

!^^L(y c) = c + < ~!; c >L

< ~!; ~! >_L~! (5:1:7) elde edilir.

a^^Lu = b ve < a; b >L= 0¸seklindeki bir denklemin çözümü

u = a^^Lb

< a; a >_L + a

¸seklindedir. Buna göre, (5:1:7) denkleminin çözümü

y = c ~!^^Lc

< ~!; ~! >_L + ~!

olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda

y = ~!^^L(y c) + c

d¬r. (5:1:6) dan

~

!^^L(S c) = ~! c ve son iki e¸sitlikten

y = ~!^^L ! Sy + ~!

yaz¬labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç¬sal h¬z ve ~! ötelemesine sahip vida

hareketindeki h¬z da¼g¬l¬m¬ile ayn¬d¬r. Gerçekten,

y = ~!^^LOy! ~!^^LOS + ~! !

= ~! +OS!^^L~!

| {z }

~ a

+ ~|{z}!

~a

^^LOy!

= ~a + ~a^^LOy!

elde edilir.

5.2 Lorenz Uzay¬nda Helisel Vektör Alanlar¬

Plücker koordinat sisteminde (~a; ~a ) ile ifade edilen bir vida

X : E₁³ ! R³1

M ! X(M) = ~a + ~a ^^LOM!

helisel vektör alan¬ile birle¸sir. !a ya X in ekseni denir ve !X ile gösterilir.

Helisel vektör alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterecek olursak, D,

(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E³ ( X)(M ) = X(M ); 2 R

i¸slemleriyle birlikte bir reel vektör uzay¬d¬r. Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda 2

4 a a 0 0

3 5

¸seklinde ifade ederiz. Burada a; 3 3 tipinde Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir matris ve a ; 3 1 tipinde sütun matrisi formundad¬r. Buna göre X helisel vektör alan¬n¬n matris gösterimi

2

4 X(M ) 3 5 =

2 4 a a

3 5

2 4 M

3 5 =

2

4 ~a^^LOM + ~a! 3 5

¸seklindedir.

¸

Simdi helisel vektör alan¬için Öklid uzay¬nda yapt¬¼g¬m¬z tan¬mlar¬Lorenz uzay¬için verelim:

5.2.1 D Vektör uzay¬

Helissel vektör alanlar¬n¬n cümlesini D ile gösterecek olursak, D,

(X + Y )(M ) = X(M ) + Y (M ); M 2 E1³

( X)(M ) = X(M ); 2 R

i¸slemleriyle birlikte bir reel vektör uzay¬d¬r. Bir (~a; ~a ) vidas¬n¬, matris formunda 2

4 a a 0 0

3 5

¸seklinde ifade ederiz. Burada a; 3 3 tipinde Lorenz anlam¬nda anti-simetrik bir matris ve a ; 3 1tipinde sütun matrisi formundad¬r.

5.2.2 D de Lie operatörü

D üzerinde tan¬mlanan

[ ; ] : D D ! D

(X; Y ) ! [X; Y ](M) = ~a ^^LY (M ) ~b ^^LX(M )

i¸slemini göz önüne alal¬m. Burada X(M ) = ~a + ~a ^^L !

OM, Y (M ) = ~b + ~b ^^L ! OM de¼gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa,

[X; Y ](M ) = ~a ^^L~b + ~a ^^L~b + (~a ^^L~b) ^^LOM!