Durağanlık Testi

Durağanlık, zaman serisi donelerinin sabit bir ortalama etrafında dalgalandığı ve dalgalanmanın varyansının özellikle zaman boyunca sabit kaldığı şeklinde atfedilir.

Belirli bir zaman serisinin durağan olup olmadığı birim kök testi (unit root) ile ortaya konmaktadır (Tarı, 2011: 382).

“Herhangi bir zaman serisi modeli geliştirildiğinde, elde edilen stokastik sürecin zamana bağlı olarak değişip değişmediğinin bilinmesi gerekir. Şayet stokastik sürecin niteliği zaman boyunca değişiyorsa; yani, seri durağan değilse, serinin geçmiş ve gelecek yapısını basit bir cebirsel modelle ifade etmek mümkün değildir. Eğer stokastik süreç zaman boyunca sabit ise, serinin geçmiş değerleri kullanılarak seriye ait sabit katsayılı bir model elde edilebilir. Bu mantık tek denklemli regresyon modellerindeki değişkenler arasındaki değişmeyen ilişki şeklinde anlaşılabilir.

Biraz daha açıklamak gerekirse bir durağan zaman serisinde, bir seride peş peşe gelen iki değer arasındaki fark, zamanın kendisinden kaynaklanmamakta, sadece zaman aralığından kaynaklanmaktadır. Durağan serideki bu ilişkinin pratik sonucu serinin ortalamasının zamanla değişmeyeceğidir. Gerçek dünyadaki zaman serilerinin çoğu durağan değildir ve serinin ortalaması zamanla değişir. Seri genellikle azalan veya artan bir trende sahip olur. Bazen serilerdeki büyük dalgalanmalardan dolayı da durağanlık ortadan kalkar.

Şayet seri durağan değilse, otokorelasyonlar önemli ölçüde sıfırdan sapar veya gecikmeler arttıkça sıfırdan uzaklaşır veya ortaya sahte bir örnek (pattern) çıkar. Zaman serilerini uygun bir modele oturtabilmemiz için bu serilerin önce durağan hale getirilmesi gerekir.” (Kutlar, 2005: 252).

Ö. Göktaş’a göre, belirli bir zaman serisinin istatistiksel analizi yapılmadan durağanlığı araştırılır. Çünkü durağanlığı sağlanamayan bir seri ile analizler gerçekleştirildiğinde geleneksel t ve f testleri ile R² karşılığı değeri yanlı sonuçlar ortaya çıkartır (Aktaran: Küçüksucu, 2012: 120).

H. Bozkurt’a göre, durağanlığı sağlanamayan zaman serileri ile elde edilmiş olan regresyon sonuçlarının, parametrelerin stokastik trend içermesi sebebiyle, modelde bulunan açıklayıcı parametrelerin açıklanan parametre üzerindeki oluşturduğu etkisini abartılı olarak yansıtır. Bir serinin durağanlık şartlarını bütün gecikmeler için ortalama, varyans ve kovaryans değerlerinin sabit tutulmasıdır:

- E (yᵼ) = µ → ortalama

- Var (yᵼ) = E(yᵼ-µ)² = σ² → varyans

- Yk = E [( yᵼ - µ ) ( y(ᵼ-k) - µ )] → kovaryans

Kaynaklarda bu durağanlığa zayıf, ikinci dereceden durağanlık denir. Bu ilişkideki durağanlıkta serinin ortalama değeri zamandan bağımsız olmaktadır, zaman içerisinde sabittir. Varyansı ise sonlu bir değer ile ifade edilmekte ve zaman içerisinde sistemli bir şekilde değişmediği varsayılır. Güçlü durağanlıkta ise parametrenin koşullu olasılık dağılımının zamanla değişmediği bir süreçtir (Aktaran: Küçüksucu, 2012: 121).

4.2.2.1. Birim Kök Testleri (Unit Root Test)

Bir seride trendin olup olmadığı ACF değerlerinin yavaşça azalmasından anlaşılabilmektedir. Seride trendin varlığı, gerçek bir karakter olduğu ya da serinin trend-durağan seri olup olmadığı bu fonksiyonun değerlerinden anlaşılır. Fakat bir seride birim kök ve birim köke yakınlık arasındaki farkı ACF değerleri ile fark etmek pek kolay değildir. Bundan dolayı geliştirilmiş testler kullanılır (Kutlar, 2005: 307).

Birim kökün var olup olmadığını bulabilmek için kullanılan testlerden, DF ve ADF testlerin en yaygın olanlarıdır (Kutlar, 2005: 307).

Birim kök süreçleri şu şekildedir, “Durağan serilerde;

 Seri uzun dönemde, dalgalanmalar olsa bile, aynı ortalamayı muhafaza eder.

 Zamana bağlı olarak değişmeyen bir sonlu varyansa sahiptir.

Durağan olmayan serilerde ise;

 Serinin uzun sürede döneceği bir ortalama değer bulunmamaktadır.

 Zaman sonsuza yaklaştığında, varyans zamana bağlı olduğundan, o da sonsuza yaklaşır.

 Teorik korelogram hemen bitmez, yavaş yavaş azalır.” (Kutlar, 2005: 308). Durağanlık, biçimsel seviyede, zaman serisinin birim kökünün varlığına bakılarak anlaşılabilmektedir. Dickey-Fuller (DF) ve genişletilmiş Dickey-Fuller (GDF) testleri bu amaca hizmet eder (Gujarati ve Porter, 2012: 768).

Durağanlığın varlığını veya yokluğunu literatürde en yaygın olarak araştıran test olan unit root testi için kullanılan otoregresif paradigma şu biçimdedir: (Küçüksucu, 2012: 1201-122).

Yᵼ = ρY(ᵼ-₁ ) + eᵼ

Bu paradigmadan hareketler, e ; ortalaması sıfır, varyansı değişmeyen, ardışık bağımlı olmayan olasılıklı hata terimi, Y ; Y’nin t zamanda almış olduğu değeri ve Y ise Y’nin t-1 zamanda almış olduğu değeri sembolize eder. Ancak tahmin edilen regresyonda Y ‘in katsayısı (ρ) 1’e eşitlenirse seride birim kök sorunuyla karşılaşılır. Bu durumda zaman serileri analizinde rassal yürüyüş (random walk) olarak bilenen ve serinin durağan olmadığı anlaşılır.

Yᵼ parametrenin bulunduğu dönemde almış olduğu değer ile Yᵼ-₁ ile olan ilişkisidir. eᵼ ise stokastik bir hata terimidir. Bu paradigma birinci dereceden otoregresif AR (1) modeli olmaktadır.

Öte taraftan birim kök testi için kullanılmış olan otoregresif modelin her iki tarafından Y(t-1) çıkartıldığında, yani ΔYᵼ= Yᵼ - Yᵼ-₁ birinci farkı (δ) alındığında, model şu şekli alır:

Bir zaman serisine ait durağanlığın sınanmasında geçerliliğini koruyan hipotezler:

H₀ : ρ = 1 ve δ = 0 (seri durağan değildir, birim kök vardır) H₁ : ρ ‹ 1 ve δ ‹ 0 (seri durağandır, birim kök yoktur)

Durağan serilere gelmiş olan etkiler zaman içerisinde yok olurken, durağan olmayan serilere gelmiş olan etkiler, durağan serilere nazaran daha uzun hafızanın sahibi olmalarından ötürü, serinin yapısında değişlik meydana getirirler (Yılgör, 2008: 31).

Sabit terimli ve trendli, sabit terimsiz ve trendsiz, sabit terimli ve trendsiz regresyonlar bulunarak, bunlarla birlikte τ (tau) istatistikleri veya ADF istatistikleri ile MacKinnon kritik değeri elde edilmektedir. ADF test istatistiğinin mutlak değeri çeşitli anlamlılık düzeylerine göre bulunan MacKinnon kritik değerlerinin mutlak değerinden küçükse serinin durağan olmadığı, büyükse serinin durağan olduğu sonucuna varılır (Tarı, 2011: 389).

4.2.2.1.1. Dickey-Fuller (DF) ve Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) Testi

Uzun dönemde bir serinin sahip olduğu nitelik, değişkenin bir önceki döneminde aldığı değeri, bu dönemi nasıl etkilediğinin belirlenmesi yolu ile ortaya konulabilir. Bu sebeple, serinin ne şekilde bir süreçten geldiğini kavrayabilmek için, serinin her dönemde almış olduğu değerin önceki dönemdeki değeri ile regresyonunun bulunması gerekmektedir. Bundan dolayı farklı yöntemler geliştirilmesi ile birlikte, ekonometride birim kök analizi olarak adlandırılan bu yöntem ile serinin durağanlığı anlaşılabilmektedir (Tarı, 2011: 387).

Bağımlı parametrenin gecikmeli değerlerinin başlangıçta olan DF denklemlerine ekstra terim olarak ilave edilmeleri bu denklemleri genişletmektedir. Bu yaklaşımın sonucunda kalıntılardaki otokorelasyon ortadan kalkar. Birim kök testini uygulamak için kullanılacak bir denklemde gecikme sayısı p’nin ne olacağını belirleyebilmek adına genel olarak Schwarz bilgi kriteri (SIC) ile Akaike bilgi kriteri (AIC) kullanılır (Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2010: 323).

Dickey ve Fuller’e göre, “Ortalaması ile varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki ortak varyansın hesaplandığı döneme değil de, yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreç için durağanlıktan söz etmektedir” .