Anselin (1988)’ e göre mekansal bağımlılığın modellenme şekline göre tahmin yöntemleri geliştirilmiştir. Mekansal Hata Modeli ve Mekansal Gecikmeli Modelinin en küçük kareler yöntemi ile tahminleri uygun değildir. Çünkü bu modeller hem mekansal bağımlılık hem de değişen varyans içermektedir. Bu durumda tahmin için uygun yöntemlerden birinin Maksimum Olabilirlik Yöntemi (ML) olduğu vurgulanmaktadır.
3.4.1. Maksimum Olabilirlik Yöntemi
Mekansal bir modelde gecikme veya hata terimlerindeki mekansal bağımlılığı maksimum olabilirlik yöntemi ile kapsamlı bir şekilde ilk kez Ord (1975) ele almıştır. Maksimum Olabilirlik tahmin yöntemi belli bir örneklem değerlerinin gerçekleşme olabilirliğini en yüksek yapan anakütle parametrelerini bulmaya çalışır. Maksimum Olabilirlik tahmin edicileri de olabilirlik fonksiyonunu en yükseğe çıkaran tahmin
ediciler olarak tanımlanır. Yöntemin uygulanabilmesi için ise hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımının yapılması gerekmektedir. Mekansal Hata Modeli için logaritmik olabilirlik fonksiyonu çok değişkenli normal dağılıma uygunluk gösterir. Bu durumda 𝜀~𝑀𝑉𝑁(0, Ʃ) olacağı için 𝜀 = 𝑦 − 𝑋𝛽 ve Ʃ = 𝜎2[(𝐼 − 𝜆𝑊)′(𝐼 − 𝜆𝑊)]−1 biçiminde
gösterilir. Mekansal Hata Modeli için logaritmik olabilirlik fonksiyonunun yapısı da eşitlik (3.14)’ de gösterilmiştir.
ln 𝐿 = − (𝑁 2) ln(2𝜋) − (𝑁 2⁄ ⁄ )𝑙𝑛𝜎2+ 𝑙𝑛|𝐼 − 𝜆𝑊|
−(1 2𝜎⁄ 2)(𝑦 − 𝑋𝛽)′(𝐼 − 𝜆𝑊)′(𝐼 − 𝜆𝑊)(𝑦 − 𝑋𝛽) (3.14)
Aslında (3.17) eşitliğindeki son terime daha yakından bakılırsa şu ortaya çıkar: λ koşulu altında logaritmik olabilirlik fonksiyonunun maksimizasyonu mekansal filtrelenmiş bağımlı değişkenin 𝑦∗ = 𝑦 − 𝜆𝑊𝑦 ve açıklayıcı değişkenin 𝑋∗ = 𝑋 − 𝜆𝑊𝑋 kalıntı
kareleri toplamının minimize edilmiş halidir. Bu durumda 𝛽̂𝑀𝐿 ve 𝜎̂𝑀𝐿2 için birinci sıra
koşulları Genelleştirilmiş En Küçük Kareler tahmincisiyle benzeşir. (3.14)’ deki bu eşitliğe birinci sıra koşulların uygulanmasıyla birlikte 𝛽̂𝑀𝐿 ve 𝜎̂𝑀𝐿2 tahmincileri elde edilir. Bu tahminciler eşitlik (3.15) ve (3.16)’ da gösterilmiştir.
𝛽̂𝑀𝐿 = [(𝑋 − 𝜆𝑊𝑋)′(𝑋 − 𝜆𝑊𝑋)]−1(𝑋 − 𝜆𝑊𝑋)′(𝑦 − 𝜆𝑊𝑦) (3.15)
𝜎̂𝑀𝐿2 = (𝜀 − 𝜆𝑊𝜀)′(𝜀 − 𝜆𝑊𝜀)/𝑁 ve burada 𝜀 = 𝑦 − 𝑋𝛽̂𝑀𝐿’ dir. (3.16) Fakat zaman serilerindeki durumun tersine EKK artıklarından faydalanılarak tutarlı bir λ tahmin edicisi elde edilemez. Bu yüzden de iki aşamalı Genelleştirilmiş En Küçük Kareler yöntemi uygulanamaz. Bunun yerine λ’ nın tutarlı bir tahmincisi yoğunlaştırılmış1 olabilirlik fonksiyonunun maksimizasyonu ile elde edilebilir (Anselin,
2003: 319-320).
Mekansal Gecikme Modeli için de log olabilirlik fonksiyonu eşitlik (3.17)’ deki gibi aynı prensiplerle elde edilmektedir.
ln 𝐿 = − (𝑁 2) ln(2𝜋) − (𝑁 2⁄ ⁄ )𝑙𝑛𝜎2+ 𝑙𝑛|𝐼 − 𝜌𝑊|
−(1 2𝜎⁄ 2)(𝑦 − 𝜌𝑊𝑦 − 𝑋𝛽)′(𝑦 − 𝜌𝑊𝑦 − 𝑋𝛽) (3.17)
(3.17)’ nolu eşitliğin son terimi minimize edildiğinde EKK ile uyumludur. Fakat bu logaritmik Jacobian 𝑙𝑛|𝐼 − 𝜌𝑊|’ yi gözardı ettiği için EKK bu model için uygun bir
1 𝛽̂
𝑀𝐿 ve 𝜎̂𝑀𝐿2 tahmincilerinin logaritmik olabilirlik fonksiyonunda yerine konulmasıyla elde edilen
tahmin edici değildir. Mekansal Hata Modelinde olduğu gibi burada da iki aşamalı prosedür uygulanamaz ve tahminciler yine yoğunlaştırılmış olabilirlik fonksiyonunun maksimizasyonu ile elde edilmek zorundadır. ρ koşulu altında birinci sıra koşullar uygulandığında 𝛽̂𝑀𝐿 ve 𝜎̂𝑀𝐿2 eşitlik (3.18), (3.19), (3.20), (3.21) ve (3.22) ile
gösterilmiştir. 𝛽̂𝑀𝐿 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′(𝑦 − 𝜌𝑊𝑦) (3.18) veya 𝛽̂0 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦 ile 𝑒 0 = 𝑦 − 𝑋𝛽̂0 (3.19) 𝛽̂𝐿 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑊𝑦, 𝑒 𝐿 = 𝑦 − 𝑋𝛽̂𝐿 (3.20) 𝛽̂𝑀𝐿 = 𝛽̂0 − 𝜌𝛽̂𝐿 (3.21) ve 𝜎̂𝑀𝐿2 = (𝑒0− 𝜌𝑒𝐿)′(𝑒 0− 𝜌𝑒𝐿) 𝑁⁄ (3.22)
Maksimum Olabilirlik tahmincilerinin optimal özelliklerinin (tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik) altında bu tür mekansal modeller klasik çerçeveye uymaz. Bu da bu özelliklerin sağlanmasına gerek olmadığını ima eder. Genel olarak model değişkenlerinin varyans ve daha yüksek momentler üzerindeki kısıtlamalar bir yana, bu koşullar mekansal ağırlık matrisindeki kısıtlamalara indirgenir. Örneğin Mekansal Gecikme Modeli için parametre uzayı 1 𝜔⁄ 𝑚𝑖𝑛 < 𝜌 < 1 𝜔⁄ 𝑚𝑎𝑥
koşulunu sağlamalıdır. Burada 𝜔𝑚𝑖𝑛 ve 𝜔𝑚𝑎𝑥 mekansal ağırlık matrisindeki en büyük ve en küçük öz değerleri ifade etmektedir. Standartlaştırılmış ağırlık matrisi için ise, parametre uzayının alt sınır koşulu 𝜔𝑚𝑖𝑛 > −1 ve 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 1 olarak ifade edilir (Anselin, 2003: 321).
Maksimum Olabilirlik Yöntemi ile tahmin edilen Doğrusal Mekansal Modellerde geleneksel 𝑅2 mekansal bağımlılığın varlığı konusunda yanıltıcı olabilir.
Bunun yerine Anselin (1988)’ e göre modelin uyumuna bakarken modellerin maksimize edilmiş logaritmik olabilirlik fonksiyonu değerleri, 2
R
pseudo veya modeldeki parametre sayısını dikkate alan AIC ve SIC (Akaike Bilgi Kriteri ve Schwarz Bilgi Kriteri) değerlerini dikkate almak daha sağlıklı olabilmektedir.
3.4.2. Mekansal İki Aşamalı En Küçük Kareler Yöntemi
Mekansal Gecikme Modelinde bir problem olarak içsellik ortaya çıkmaktadır. Çünkü bu modellerde 𝑊𝑦 ile ε birbirleriyle ilişkilidir. Böyle bir içsellik problemi ortaya çıktığı zaman bunu çözmek için Araç Değişken veya İki Aşamalı En Küçük Kareler yöntemi kullanılabilir. Kelejian ve Robinson (1993)’ ün gösterdiği gibi 𝑊𝑦 için seçilecek olan araç değişken şu indirgenmiş koşullu beklenen değer eşitlik (3.23) ile gösterilmiştir (Anselin,2003: 321).
𝐸(𝑦|𝑋) = (𝐼 − 𝜌𝑊)−1𝑋𝛽 = 𝑋𝛽 + 𝜌𝑊𝑋𝛽 + 𝜌2𝑊2𝑋𝛽 + ⋯ (3.23)
Araç değişken tahmincisinde maksimum olabilirlik yönteminin aksine normallik varsayımı yapılmaz eşitlik (3.24)’ deki gibi gösterilir.
𝛽𝐼𝑉 = [𝑍′𝑄(𝑄′𝑄)−1𝑄′𝑍]−1𝑍′𝑄(𝑄′𝑄)−1𝑄′𝑦 (3.24)
Burada Q, araç değişkenini temsil eder. Ayrıca;
𝑍 = [𝑊𝑦𝑋], 𝐴𝑠𝑦𝑉𝑎𝑟(𝛽𝐼𝑉) = 𝜎2[𝑍′𝑄(𝑄′𝑄)−1𝑄′𝑍]−1 ve
𝜎2 = [(𝑦 − 𝑍𝛽
𝐼𝑉)′(𝑦 − 𝑍𝛽𝐼𝑉)] 𝑁⁄ şeklinde tanımlanır.
Uygun varsayımlar altında mekansal ağırlık matrisi komşuluğa dayandığında mekansal iki aşamalı en küçük kareler tahmincileri, tutarlılık ve asimptotik normallik özelliklerini sağlar (Anselin, 2003: 321). 𝑊𝑦 için uygun araç değişkenlerin seçilmesi tutarlı tahminler elde edilmesini sağlayacaktır. Ancak etkinlik açısından da uygun araç değişken seçilmelidir. Fakat bu da küçük örneklemlerde yetersiz kalabilir (Anselin ve Bera, 1998: 259).
3.4.3. Genelleştirilmiş Momentler Yöntemi
İçsellik problemi için bir önceki başlıkta açıklanan iki aşamalı en küçük kareler yaklaşımının yanısıra mekansal bağımlılık ve değişen varyansın var olduğu durumlar için Kelijan ve Robinson (1993) Mekansal Hata bileşenlerine sahip 𝑦 = 𝜌𝑊𝑦 + 𝑋𝛽 + 𝜀, 𝜀 = 𝑊𝜉 + ѱ modeli için genelleştirilmiş bir moment tahmincisi türetmişlerdir. Bu eşitlik (3.25) ile ifade edilmiştir.
Burada, 𝛺̂ hata-kovaryans matrisinin tutarlı bir tahmincisidir. Asimptotik varyans ise eşitlik (3.26)’ da tanımlanmaktadır.
𝐴𝑠𝑦𝑉𝑎𝑟(𝛽𝐺𝑀𝑀) = 𝜎2[𝑍′𝑄(𝑄′𝛺̂𝑄)−1𝑄′𝑍]−1 (3.26)
Kelejian ve Robinson (1993), birinci ve daha yüksek mertebeden mekansal gecikmeli açıklayıcı değişkenlerden (𝑊𝑋, 𝑊2𝑋, 𝑒𝑡𝑐. ) oluşan araç değişken setinin
olduğu Mekansal Gecikme Modeli için 𝛽𝐺𝑀𝑀 ’nin tutarlı bir tahminci olduğunu da göstermiştir (Anselin ve Bera, 1998: 259-260 ).
3.5. Mekansal Bağımlılık İçin Belirleme Testleri