Adaptif t ers kontrol de offli ne pr oses ve bozucu kestiri mi i çi n kontrol edilecek ol an di na mi k sist e mleri n direkt modeli ne ve kontrolör ve bozucu yok et me bl oğunun belirlenmesi i çi n t ers model e i hti yaç duyul makt adır. Bu böl ümde sırası yla direkt ve ters model el de et mek üzere kull anılan adaptif modelle me ve adaptif t ers modell e me tekni kl eri ayrı ntılı bi çi mde el e alı nacaktır.
4. 1. Adaptif Modell e me
Şekil 4. 1’de adaptif modelle me sist e mi i çi n bl ok di yagra mı veril mekt edir. Adaptif modell e me sist e mi, modellenecek ol an bili nmeyen di na mi k sist e m il e aynı girişleri al makt adır. Adaptif modelle me sist e mi, çı kışı nı bili nmeyen di na mi k siste mi n çı kışı ile en i yi en küçük kare uyu mu ser gileyecek şekil de adaptif filtre ağırlı kl arı nı deği ştir mek sureti yl e bili nmeyen di na mi k sist e mi n ayrı k za manlı i mpul s cevabı nı ol uşt uracaktır.
Şekil 4. 1 Gür ült ül ü bir dina mi k siste mi n adaptif modellenmesi
Çoğu uygul a mada modellenecek ol an siste m gürült ül üdür, yani i ç ( yapısal) rast gel e bozucu güçl ere sahi ptir. Bu dur u mda adaptif model bili nmeyen sist e min di na mi k cevabı nı i zl eyebilecek şekil de yet erli esnekli ğe sahi p ol duğunda gür ült üsü dı şı nda
DS’ ye et ki yen bozucu DS S(z) Mo dell e me Si nyali + + yk nk zk + - Adaptif Model Ŝk(z) yˆk Hat a, k
siste m gür ült üsü ve siste m çı kış sensör ü gür ültüsü di na mi k sist e m çı kışı nda açı ğa çı kar ve çoğunl ukl a ek bir gür ült ü ol arak göst erilir. Bu gür ült ü genelli kle di na mi k siste me ol an giriş ile korel e değil dir [2].
Şekil 4. 1’deki siste mi n t opl a m çı kışı zk di na mi k si st e m çı kı şı yk ve bozucu nk’ nı n t opl a mı na eşit ol acaktır. Si st e m t opl a m çı kışı zk ile adaptif model çı kı şı yˆkarası ndaki far k ol an khat ası mi ni mize edil ecek şekil de her it erasyon adı mı nda filtre ağırlı kl arı güncell endi ği nde, adaptif filtre S(z)’i n kestiri mi ol an Ŝk(z)’ye yakı nsayacaktır. Eğer giriş si nyali geniş bantlı ise ve adaptif sist e mde yet erli öl çüde ser bestli k varsa, yani yet erli sayı da ayarl anabilir ağırlı kl ara sahi p i se yakı nsa ma ol dukt an sonra çı kışl ar arası nda yakı n hatta kusursuz bir uyu m mü mkün olacaktır.
4. 2. Adaptif Modell e me Prosesi nde Ayarsı zlı ğa Yol Açan Fakt örl er
Ger çekt e S(z) li neer sistemi genelli kl e üst el transient davranış sergiler ve dol ayı sı yl a sonsuz i mpul s cevabı (II R) var dır. İ mpul s cevabı sonsuz ol an si st e mi n modell enmesi nde sonl u i mpul s cevabı ( FI R) ol an adaptif filtre kull anıl ması na bağlı ol arak di na mi k siste m modeli i mpul s cevabı Ŝk(z) il e di na mi k si st e m i mpul s cevabı S(z) arası nda f ar k ol acaktır. Bu f ar k ayarsı zlı ğa yol açacaktır. Ayarsı zlık hat ası nı azalt mak i çi n önceli kl e di na mi k sist e mi n i mpul s veya basa mak cevabı ndaki en küçük osilasyonun peri yoduna göre Ts ör nekl e me peri yodu seçilecek ve daha sonra seçil en Ts’ ye bağlı ol arak FI R filtresi ni n geci kme zi nciri uzunl uğu, kararlı ol duğu kabul edilen siste mi n geçi ci reji m cevabı nı n et ki süresini kapsayacak şekil de seçilecektir. Dol ayısı yl a düşük sönüml ü bir sist e mi bir FI R filtresi ile modell e mek t ransversal filtredeki ağırlı k sayısı nın art ması na bağlı ol arak güçl eşecektir.
Eğer bili nmeyen di nami k sist e mi n cevabı nı n et ki süresi belirsiz i se t asarı ma e mni yetli t arafta kalı nacak şekil de geci kme zi ncir uzunl uğunu yet eri kadar büyük seçerek başl a mak gerekme kt edir. Tasarı mın il erleyen aşa mal arı nda yakı nsa madan sonr a geci k me hattı nı n s onl arı na doğr u yer al an i h mal edil ebilir değerl er deki ağırlı kl arı n kesi n sayıl arı belirlenebil mekt edir. n geci kme biri minden sonuçl ana n+1 adet ağırlı ğa ek ol arak sıfır girişleri n mevcut ol ması na rağ men mevcut ol abil ecek ve non-li neerli kl er il e yavaş, sür ükl en me ti pi bozuculara bağlı ol arak ort aya çı kabil ecek ol an sıfır ol mayan di na mi k sist e m çı kışl arı nı modelle mek üzere ek bir “bi as” ağırlı ğı ol acaktır. Bi as ağırlı ğı nı n sabit biri m girişi vardır [3].
Si st e m girişi ni n di na mi k ve spektral i çeri k ol arak zengi n ol madı ğı nda yani sabit ve uzun süreli ol arak sabit kal dı ğı nda di na mi k siste mi n modell enmesi güçleşecektir. Adaptif model il e bili nme yen di na mi k sist e m arası nda belirli bir frekans aralı ğı nda yakı n uyu mu sağl a mak i çi n siste m giriş si nyali uk’nı n bu frekans aralı ğı nda spektral enerji ye sahi p ol ması gerekecektir. Di ğer t araftan, çoğu dur u mda uk i yi uyu mun gerekli ol duğu t üm frekansl arda uygun ol mayan spektral yoğunl uğa sahi ptir. Bu dur um ayarsı zlı ğa neden ol makt adır. Şekil 4. 2’de verilen şe ma daha çok kontrol ör ün çı kışı nı n durağan st okhasti k bir pr oses ol duğu durumlarda kull anıl makt adır. Burada, kontrol ör çı kışı uk’ya bağı msı z bir dit her si nyali ekl enerek i st enen spektral karakt erde adaptif modelleyi ci giriş si nyali uk el de edil mekt edir [1].
Şekil 4. 2 Di na mi k siste m tanıla ması içi n dit her şeması A
Adaptif kontrol sist e mleri nde sı k sı k açı ğa çı kan di ğer bir zorl uk fakt örü i se uk’nı n durağan ol ma ması dır. Bu dur u mda şekil 4. 3’de verilen dit her şe ması C kull anıl arak durağan ol mayan kontrol ör çı kışı nı adapt asyon pr osesi ni n dı şı nda t utul abilir ve modell e me pr osesi ne ol an giriş si nyali ol arak i stenen karakt erde durağan bir dit her si nyali seçilebilir. Dit her si nyali ni beyaz gür ült ü seç mek sureti yl e modell eme si nyali içi n bili nen durağan istatisti kl er sağl anabil mekt edir.
Bur ada ATK si st e mi perfor ması nı arttır mak i çin opti mu m güçt e dit her si nyali ni n seçil mesi gerek mekt edir. Küçük güçt eki dit her sinyali adapt asyon pr osesini n büyük za man sabiti ne yol açacaktır. Dit her si nyali ni n gücünü arttırıl mak sureti yl e il e
DS’ ye et ki yen bozucu DS S(z) uk + + nk + - Adaptif Model Ŝ(z) Hat a, k Di t her, k k u Kontrol ör çı kışı İstenen Cevap Si nyali
Dit her Şe ma A
Si st e m Çı kışı
+ +
DS Gi rişi
adapt asyon pr osesi çok hı zlı bi çi mde yakı nsayacaktır. Di ğer t araft an çı kış dit her gür ült üsü artacaktır [1].
Şekil 4. 3 Di na mi k siste m tanıla ması içi n dit her şeması C
4. 3. Ters Si ste m Modelle mesi
Bu böl ümde kontrol edilecek ol an di na mi k sist emi n t ersi ni bul maya yöneli k genel adaptif t ers modell e me şe mal arı açı kl anacaktır. Adaptif t ers modell e mede, adaptif direkt modell eyi ci üzeri nden sist e m giriş ve çıkı şı nı n r olleri değiştirielerek direkt model yeri ne t ers model el de edil mekt edir. Burada sist e m girişi ist enen cevap ve siste m çı kışı ters modell eyi ci ye giriş gi bi alı nmakt adır.
Adaptif t ers modell e me, adaptif direkt modell eme den farklı ol arak sadece kararlı sist e ml ere uygul anabil mekt edir. Kar arsı z di na mi k si st e ml er geri besl e me ile st abili ze edilebilirler. Si st e m ve geri besl e me sat bilizöründen ol uşan kapalı çevri m eşdeğer kararlı siste m ol arak el e alı nacaktır. Büt ün sist e mi n perfor mansı adaptif çevri m göz önünde bul undur ul arak değerl endiril di ği nden st abilize edil en geri besl e meli kapalı çevri min perfor mansı krıti k değil dir. Bu ayrı ca adaptif model şe ması i çi n de geçerli dir [3].
Eğer bili nmeyen di na mi k si st e m mi ni mu m f azlı ise, yani büt ün sıfırları z- düzl e mi nde biri m çe mber i çi nde i se t ersi ni n de büt ün kut upl arı da biri m çe mber i çerisi nde ol acaktır ve t ers siste m kararlı ol acaktır. Di ğer taraftan biri m çe mber dı şı nda kal an sıfırlara sahi p mi ni mu m f azlı ol mayan di na mi k siste mler i çi n sist e m t ersi kararsı z
DS’ ye et ki yen bozucu DS S(z) uk + + nk + Di t her, k k u Kontrol ör çı kışı İstenen Cevap Si nyali zk Si st e m Çı kışı + - Adaptif Model Ŝk(z) Hat a, k + DS Gi rişi - + Kopya Ŝk(z) Adaptif Model
ol acaktır. Kararsı zlı ğı n bu t e mel ti pi bir t ers modell e me geci kmesi nin il avesi il e ort adan kal dırılabilecektir.
4. 3. 1. Mini mu m Fazlı Siste mleri n Tersi
Kar arlı veya kararlı hal e getiril miş ol an mi ni mum f azlı bili nmeyen di nami k si st e m ile bir transversal filtre ol an t ers modell eyi ci ni n bi r birl eri ne kaskad bağl an ması il e şekil 4. 4’te verilen adaptif ters modell e me siste mi ol uşt urul makt adır.
Şekil 4. 4 Di na mi k sistem t ersi ni n ol uşt urul ması
S( z) si st e mi büt ün sıfırl arı z- düzl e mi nde biri m çember i çerisi nde ol an mi ni mu m f azlı bir siste m ol duğundan C(z) =1/ S(z) gi bi kusursuz bir t ersi ol acaktır. C(z) kararlı ve “causal ” ol acaktır.
Di na mi k sist e m gür ült üsünün sıfır ol ması ve yakı nsa manı n i hmal edil ebilir öl çüde ayarsı zlı k il e gerçekl eşmesi dur umunda t ers modeli n transfer f onksi yonu Ĉ( z)’i n bili nmeyen si st e mi n t ransfer f onksi yonunun t ersi C( z)’ ye ner deyse t a m olarak eşit ol ması na neden ol acaktır. Bunun i çi n adaptif filtreni n yet erli sayı da serbestli k derecesi ne sahi p ol ması gerek mekt edir. Yakı nsamı ş adaptif t ers il e kaskad bağlı ol an di na mi k siste mi n transfer f onksi yonu bir ol acaktır ve bil eşi min i mpul s cevabı geci kmesi ol mayan biri m i mpul s ol acaktır.
4. 3. 2. Geci kti ril miş Di na mi k Siste m Tersi
S(z) di na mi k si st e mi ni t ransport geci k mesi i çer di ği nde veya mi ni mu m f azlı ol madı ğı nda t ers modelle me pr osesi nde geci kme ni n göz önünde bul undur ul ması gerek mekt edir.
Çoğunl ukl a di na mi k siste mt causal bir sist e mdir ve giriş si nyali fi zi ksel sist e m
Mo dell e me Si nyali DS S(z) DS Çı kışı DS Tersi Ĉ( z) Hat a + -
geci kmeni n şe maya eklen mesi mi ni mu m ort al ama kare hat a değerl eri ni daha da azalt arak daha hassas bi r t ers modell e meye ol anak t anı yacaktır. Di na mi k si st e mi n mi ni mu m f azlı ol ma ması dur u munda i se t ers modeli n kararlı ol abil mesi i çi n i mpul s cevabı nı n za manda sol-taraflı ol ması gerekecektir. Bu geci kme, i ki-taraflı causal ol mayan di na mi k si st e m i mpul s cevabı nı n, za manda kesil miş ol an (truncat ed) bi r causal i mpul s cevabı ile yakl aşı k ol arak el de edilmesi ne ol anak tanı yacaktır [2].
Şekil 4. 5 Geci ktiril miş dina mi k siste m t ersi ni n ol uşt urul ması
Yakı nsa mış adaptif t ers modeli n i mpul s cevabı nı n KEDS’ ni n i mpul s cevabı yl a çarpıl ması hali nde sonuç yakl aşı k ol arak kadar geci ken bir i mpul s ol acakt ır.
4. 3. 3. Model Ref erans Ters Modell e me
Model referans kontrol deki t e mel fi kir, bir referans model cevabı veya i deal cevap ol an bir f or m il e t opl a m gi riş-çı kı ş karakt eristi kleri hassas ol arak uyuşacak şekil de bir sist e mi ol uşt ur mak, tasarla mak veya adapt e et mektir [ 2]. Bu şekil de r eferans model il e kontrol edilen si st e mi n di na mi k davranı şı belirlenebil mekt edir. Ref erans model, di na mi k si st e m ve kull anıl an el e manl arın doğası nda ol an fi zi ksel sı nırl arı kendi spesifi kasyonl arı nda değerl endirerek aşırı ve bazen gerçekl eştirilemez fi zi ksel deği şken değerleri nden kaçı nmak i çi n kullanılabilir [3].
Şekil 4. 6’daki konfi gurasyonda model-referans sist e m t ersi ĈM( z)’i bul an bir adaptif pr oses açı kl anmakt adır. Bu pr osesi n gayesi si st e mi kontrol et mek üzere kull anıl dı ğı nda verilen bir referans modeli n M(z) transfer f onksi yonuyl a yakı ndan uyuşacak ol an bir t opl a m t ransfer f onksi yonu ol an ĈM( z) kontr ol ör ünü el de et mektir. Bu koşul gerçekl endi ği nde kontrol ör ve di na mi k si st e mi n basa mak cevabı, referans modeli n basa mak cevabıyl a yakı n ol arak uyuşacaktır.
Mo dell e me Si nyali DS S(z) Hat a + -
z
-Geci ktiril miş DS Ters Modeli
Şekil 4. 6 Model referans di na mi k siste m t ersi ni n bul un ması 4. 3. 4. Bozucu Et ki yen Siste mleri n Tersi
Si st e m bozucuya mar uz kal dı ğı nda t ers modelle me pr osesi daha karışık bir hal al makt adır. Bu gür ült ü adaptif filtreye ek bir giriştir ve kontrol siste mi ne olan i st enen cevap girişi ile korel e değil dir. Adaptif pr oses yakı nsadı ğı za man t ers model, R- 1
P for mundaki Wiener çözü müne yakı nsayacaktır. Di na mi k sist e m gür ültüsünün P üzeri nde bir et kisi ol mayacaktır; fakat R’ yi ve dolayısı yl a R- 1’i et kileyecektir. Buna bağlı ol arak di na mi k siste m gür ült üsü yakı nsa mış Wiener çözü müne bi as kat acak ve adaptif t ers modeli n i mpul s cevabı, genel ol arak di na mi k siste mi n i mpul s cevabı nı n bir t ersi ol mayacaktır [2]. Şekil 4. 7’de verilen t ers modell e me şe ması di na mi k siste mi n direkt modeli nden yararlanarak bi as proble mi ni n üst esi nden gel mekt edir. S(z) di na mi k si st e mi ni n model -referans t ersi ni bul mak yeri ne model -referans t ers Ŝ(z)’ten alı nmakt adır. Bur ada Ŝ(z), S(z) il e aynı di na mi k cevaba sahi p; fakat bozucuya mar uz değil dir. İst enen model referans t ersi yakı n yakl aşıklı kl a bi as katıl ma mış ol arak el de edil mekt edir. Si st e m Ŝ(z) ’ yi el de edecek şekil de doğr udan modell endi ği nde sist em bozucusunun Wiener çözü münü etkil e medi ği unut ul ma malı dır. Di ğer taraftan di na mi k sist e m gür ült üsü bu ağırlı k vekt öründe ek ayarsı zlı ğa yol açacaktır.
Yüksek sevi yede siste m bozucul arı nı n mevcut ol ması dur umunda ağırlı kl arı ndaki gür ült üyü küçük t ut arak sı nırla mak i çi n Ŝ(z)’i yavaş adapt e et mek gerekecektir. Ŝ(z)’i n ağırlı kl arı nda ne derece düşük gür ült ü ol ursa Ĉ(z)’ni n ağırlı kl arı nda da o derece düşük gür ült ü ol acağı unut ul ma malı dır [1].
Mo dell e me Si nyali DS S(z) Hat a + -
Ref erans Model
M( z)
Mo del- Ref erans DS Tersi
Şekil 4. 7’deki sist e mde Ĉ( z)’ni n el de edil mesi ne yöneli k adaptif pr oses her za man Ŝ(z)’i n el de edil mesi ni n ar kası nda geci kecektir. İki pr oses kaskad ol arak çalış makt adır.
Şekil 4. 7 Bozucu et ki yen di na mi k siste mi n onli ne ters modellenmesi
Ĉ( z)i çi n adaptif pr osesin Ŝ(z)’deki değişi mleri geci kmesi z ol arak yakala ması i çi n şekil 4. 8’deki offli ne şe ma öneril mekt edir.
Şekil 4. 5’de verilen modelle me şe ması nda önceli kl e daha önceden açı kl anan met odl ardan biri kull anılarak Ŝ(z)el de edil mekt edir. Daha sonra Ŝ(z)’i n ta m dijital kopyası bir offli ne pr osest e Ĉ(z)’i el de et mek üzere kull anıl makt adır. Bil gisayar tarafı ndan üretilen gür ült ü Ŝ(z)’i n kopyası na ve çı kışı Ĉ(z)’ye et ki mekt edir. Aynı gür ült ü referans model M( z)’ye de gir mekt e ve referans model çı kışı bir hat a si nyali el de et mek üzere Ĉ(z) çıkı şı il e karşılaştırıl makt adır. Ĉ(z), bu hat anı n ort al ma karesi mi ni mu m yapılacak şekilde adapt e edil mekt edir.
Modell e me si nyali ni n karakt eristi kl eri büt ün kont rol siste mi ni n ko mut giriş si nyali ile aynı karakt ere sahi p ol acak şekil de seçil mesi ve kontrol örün en i yi genel kontrol cevabı nı üret ecek şekil de eğitil mesi gerekmekt edir. Eğer ko mut giriş si nyali ile il gili her hangi bir ön bil gi mevcut değilse default ol arak sıfır-ort al a ma beyaz modell e me si nyali seçilebil mekt edir.
Ref erans Model
M( z)
+ -
Mo del- Ref erans Tersi Ĉ( z) Hat a + + + DS S(z) DS Modeli Ŝ(z) - DS’ ye et ki yen bozucu Kontrol ör çı kışı
Şekil 4. 8 Bozucu et ki yen di na mi k siste mi n offli ne ters modellenmesi 4. 3. 5. Ters Çözü mde Modell e me Si nyali Karakteristi kl eri ni n Et ki si
Şekil 3. 8’de Ĉ(z) causal ve FI R ol arak sı nırlandırıl makt adır. Dol ayısyl a C(z) il e t a m ol arak uyuşabil ecek şekil de Ĉ(z) de yet erli sayıda ağırlı k veya ser bestlik derecesi ol mayacaktır. Bu koşullar altı nda modell e me sinyali ni n spektral şekli nin Ĉ( z)’i n frekans cevabı üzeri nde gözl e gör ül ür bir etki si ol acaktır. Genelli kle M(z)’ye Ĉ( z). Ŝ(z)çarpı mını n frekans cevabı eğrileri nde farklılı k ol acaktır. Ĉ(z)’i n beyaz modell e me si nyali il e opti mize edil mesi transfer f onksi yonu farklılı kl arı nı n büt ün frekansl arda eşit bir şekil de ağırlı kl andırıl ması na neden ol arak i ki frekans cevabı eğrisi arası ndaki farkı n alanı nı n mi ni mize edil mesi ne yol açacaktır. Beyaz ol mayan bir modell e me si nyali nin yüksek güç yoğunl uğuna sahi p ol duğu frekanslar da daha yoğun bir şekil de ağırlı klandırıl ması na neden ol acaktır.
DS’ ye et ki yen bozucu DS S(z) + + + - DS Modeli Ŝ(z) + - Mo dell e me si nyali Kopya Ŝ(z)
Ref erans Model
M( z)
Of fli ne Ters Modell e me
Ĉ( z)
Hat a Kontrol ör