Deterministik Zamanlı Petri Ağları ve Analizi

Bir eş zamanlı ve çatışma içeren sisteminde operasyonlar veya faaliyetler için zaman gecikmeleri sabit ise sistem deterministik zamanlı PA olarak modellenebilir. Eğer böyle bir sistemde seçim mümkünse ve sistem serbestçe seçim yapabiliyorsa bu durumda sistemin davranışları deterministik olmayacaktır.

Dinamik sistemlerin zaman bağlı davranışını tanımlamakta faydalı olan zamanlı PA‟da zamanlama geçişler, konumlar veya oklarla ilişkilendirilebilmektedir. Bunun sonucu zamanlı işaretli bir grafik ortaya çıkmaktadır. PA‟da zaman aşağıdaki dört şekilde oluşturulmaktadır. p1 p3 p2 t1 t2 1   2   p4

(a) Zamanlı geçiş

p1 p2 t1 t2 1   2   p3 p4 (b) Zamanlı konum

1. Eğer bir operasyon veya aktiviteyi modellemek için kullanılan geçiş belli bir  zamanı alıyorsa, bu geçiş  ile ilişkilendirilebilir. Bu geçişin olurlu hale gelmesinden sonra ateşlenmesi  kadar zaman almaktadır.

2. Eğer bir konum bir operasyon, faaliyet veya süreci modellemek için kullanılan konum belli bir  zamanı alıyorsa, bu konum  ile ilişkilendirilebilir. Bir konuma jeton ulaştıktan sonra, jetonun çıktı geçişini olurlu hale getirmeye uygun durumuna gelmesine kadar kadar zaman gerekmektedir.

3. Eğer bir konumdan geçişe yönlendirilmiş bir ok taşıma süreci veya malzeme akış sürecini modelliyorsa ve bu  kadar zaman alıyorsa, ok  ile ilişkilendirilir. Geçişi olurlu hale getirebilmek için konum içinde yer alan jetonun  kadar süre beklemesi gerekmektedir.

4. Eğer bir geçişten konuma doğru yönlendirilmiş bir ok taşıma süreci veya malzeme akış sürecini modelliyorsa ve bu  kadar zaman alıyorsa, ok  ile ilişkilendirilir. Geçişin ateşlenmesiyle oluşan jetonun konuma ulaşabilmesi için  kadar zaman gerekmektedir.

Petri ağ model ve sistemlerine zamanı eklerken modelin altındaki zamanlı olmayan ağ yapısınının temel davranışlarını değiştirmemek oldukça önemlidir. Bu sayede zamanlı PA için temel PA modelinin özelliklerini inceleyerek çalışabilmek mümkün olmaktadır.

Zamanlı işaretli bir grafikte bir döngü düşünülürse, döngüdeki zaman gecikmelerinin toplamı zaman gecikmelerinin modelle nasıl ilişkilendirildiğine bakmaksızın sabit kalacaktır. Bu işaretli grafik döngüsündeki jeton sayısı da sabit olacaktır (Zhou ve Venkatesh, 1999).

Formel olarak deterministik zamanlı bir PA Z (P,T,I,O,m0) işaretli grafiği ve konum, geçiş ve/veya oklarla ilişkilendirilmiş 0 veya pozitif zaman gecikmesiyle tanımlanmaktadır. Eğer sıfırdan farklı zaman gecikmesi sadece geçiş (konum, ok) ile ilişkilendirilmişse, Z aynı zamanda zamanlı geçiş (konum, ok) PA olarak adlandırılır. Bir deterministik zamanlı Petri ağında deterministik zaman geçiş, konum ve/veya oklarla ilişkilendirilebilir.  zaman gecikmeli konum içindeki bir jeton çıktı geçişini olurlu hale getirmeye uygun olabilir ya da olmayabilir. Bir konuma jeton(lar) ulaştıktan sonra jeton(lar)ın uygun hale gelebilmesi  kadar zaman alır. Eğer bir

68

konumdan geçişe yönlendirilmiş bir ok  kadarlık zaman gecikmesine sahipse, konumdaki jetonun çıktı geçişini olurlu hale getirmesine hazır olması  kadar zaman alacaktır. Bir geçişi olurlu hale getirmeye hazır olan bir jeton hazır jeton olarak adlandırılmaktadır. Eğer bir konumdan geçişe yönlendirilmiş ok 0 zaman gecikmesine sahipse bu konum içinde yer alan bu jeton hazır jetondur. Eğer bir geçişten konuma yönlendirilmiş bir ok  zaman gecikmesine sahipse, geçişin ateşlenmesiyle oluşan jetonun konuma ulaşabilmesi için  kadar zaman harcaması gerekmektedir.

Tek oklu sıradan (ordinary) PA için geçerli olan ateşleme kuralları zamanlı PA için aşağıdaki gibi genellebilir.

- Herhangi bir anda, t geçişi m işaretlemesinde olurlu hale gelir eğer t‟nin her bir girdi konumu p en az bir tane hazır jeton içeriyorsa,

- Bir kere t geçişi m‟de olurlu hale gelirse, her bir girdi konumundan bir jetonu uzaklaştırarak ateşlemeye başlar. t ile ilişkilendirilmiş zaman gecikmesi kadar sonra ateşleme tamamlanır, ve t‟den p‟ye doru olan okla ilişkilendirilmiş zaman gecikmesi kadar sonra her bir p çıktı konumuna bir jeton toplanır. p ile ilişkili zaman artı p‟nin çıktı oku ile ilişkili zaman kadar sonra yeni biriktirilen jeton hazır hale gelir.

Hazır jetonlar tarafından olurlu hale getirilen geçişlerin hemen ateşlendiği kabul edilmektedir. Bir t geçişi m‟de k-olurludur eğer m(p)kI(p,t), pP ve burada k pozitif bir tamsayıdır. Eğer t hazır jetonlar tarafından k-olurlu hale getirilirse, t geçişi

k kere aynı anda ateşlenir.

Daha önce de belirtildiği gibi Petri ağlarında zamanlama konum, geçiş veya oklarla ilişkilendirilerek oluşturulabilmektedir. Zaman gecikmesinin kesin olarak bilindiği deterministik zamanlı bir Petri ağından zamanlı geçiş PA veya zamanlı konum PA veya zamanlı ok PA‟na dönüşüm mümkündür.

Teorem 4.1: Deterministik zamanlı bir PA zamanlı bir geçiş veya zamanlı konum

veya zamanlı ok Petri ağına dönüştürülebilir.

İspat: İlk olarak herhangi bir deterministik zamanlı PA‟nın zamanlı geçiş PA

dönüştürülebildiğini ispatlayabilmek için zamanlı konum, bir geçişten bir konuma zamanlı ok ve bir konumdan bir geçişe zamanlı ok dönüşümlerinin sadece geçişlerle

ilişkili gecikmelere sahip denk yapılarının ortaya koyulması gerekmektedir. Bu dönüşümler Şekil 4.6(a)-(c)‟deki gibidir. Bütün bu dönüşümlerde davranışsal özellikler korunmaktadır. İkinci olarak da PA yapılarının zaman süresi çiftleri de korunmaktadır. Bu yüzden deterministik zamanlı bir PA zamanlı geçiş PA‟na zamana ait davranışını değiştirmeden dönüştürülebilmektedir. Aynı şekilde herhangi bir deterministik zamanlı PA‟nı zamanlı konum veya zamanlı ok PA‟na dönüştüren dönüşümler oluşturulabilir.

ġekil 4.6: (a) zamanlı konum , (b) geçişten konuma zamanlı ok, (c) konumdan geçişe zamanlı okların dönüştürülmüş denk zamanlı geçiş Petri ağları.

t1 t2 p1 gecikme  t1 t2 p11 tp1 p12 gecikme  (a) t1 gecikme  p1 t1 p11 t11 p1 gecikme  (b) p1 gecikme  t2 p1 t12 p12 t2 gecikme  (c)

70

Deterministik zamanlı Petri ağlarının davranışsal özelliklerinin incelenmesi zaman içermeyen PA modellerininkiyle aynıdır. Zamanlı olmayan PA‟nın davranışsal özelliklerinin incelenmesinde kullanılan teknikler zamanlı PA‟na da uygulanabilmektedir. Bununla beraber Ruiz ve diğ. (1991) deterministik zamanlı Petri ağlarını zaman içermeyen Petri ağlarına dönüştüren bir yöntem önermektedir. Deterministik zamanlı Petri ağlarının incelenmesi ve performans analizinde iki temel kavram önemli rol oynamaktadır (Zhou ve Venkatesh, 1999). Bunlar bir döngüdeki toplam zaman gecikmesi ve bir döngüdeki toplam jeton sayısıdır. İşaretli bir grafikte bu ikisi de sabittir. Güçlü şekilde birleştirilmiş (strongly connected) bir işaretli grafik sınırlı sayıda temel döngü içerir. Bir döngüdeki toplam zaman gecikmesi döngüyü oluşturan tüm konum, geçiş ve okların gecikmelerinin toplanmasıyla elde edilir. Toplam jeton sayısı döngüye ait konumlarda yer alan jetonların toplanmasıyla elde edilmektedir. Ramchandini (1974) ve Ramamoorthy ve Ho (1980) bunu aşağıdaki teoremde ortaya koymuşlardır.

Teorem 4.2: Güçlü şekilde deterministik zamanlı bir Petri ağında çevrim süresi ) / ( i i i D N Maks   (4.1)

şeklinde elde edilir ve burada

Di : i. döngünün toplam zaman gecikmesi ve

Ni : i. döngünün jeton sayısıdır.

i

i N

D / : i. döngünün çevrim zamanıdır.

Eğer zaman gecikmesi



Min,Maks



gibi zaman aralığı şeklinde verilirse, çevrim

süresinin alt ve üst sınırları aşağıdaki şekilde elde edilir.

) / ( _{Min,i i} i Min Maks D N  ve ( _Maks,i / _i) i Maks Max D N  (4.2)

burada DMin,i ( DMaks,i) tüm gecikmeler için Min (Maks)‟i baz alan i. döngünün

toplam zaman gecikmesidir.



Min,Maks



gecikmeli bir geçişin olurlu hale geldikten sonra en az Min ve en fazla Maks

 kadar süre sonra ateşlenebilmektedir. Konumlar ve oklar için aralıklı zaman gecikmeleri için aynı durum geçerlidir. Elde edilen bu alt ve üst sınırlar kaynakların kullanım durumuyla ilgili problemlerin analiz edilmesine imkan vermektedir.

5. STOKASTĠK PETRĠ AĞLARI

Belgede Petri Ağları İle İmalat Sistemlerinin Modellenmesi Ve Analizinde Yeni Bir Yaklaşım (sayfa 90-95)