Köprü veya yapı özelikleri bilinen bir sistemin deterministik dinamik yükler altındaki davranışının kesin olarak belirlenmesi amacıyla yapılan hesaplar büyük bir çaba ve zaman gerektirmesine karşılık yaklaşık yöntemlere dayalı çözümlemeler ile daha kolay ve küçük hacimli hesaplarla kısa zamanda sonuca ulaştıran çözümlerde kullanılabilir. Yapısal bir sistemde etkiyen yüklerin zamanla yön, pozisyon veya şiddetinin değişmesi gerilme ve yerdeğiştirmelerin de zamana bağlı olarak ortaya çıkmasına dolayısıyla statik analizden farklı olarak birden fazla çözümün katkısından oluşan davranış da zamana bağlı olarak ortaya çıkmaktadır. Sistemin dengesinde yer alan atalet kuvvetlerinin oluşan yerdeğiştirmeler ile bir döngü içerisinde olması, problemi oldukça karmaşık hale getirmektedir. Sebep ve etkinin kapalı çevrimi ancak diferansiyel bağıntılarla formüle edilerek aşılabilir. Tek serbestlik dereceli bir sistem üzerinde matematiksel model kurularak yazılan diferansiyel hareket denklemleri, çok serbestlik dereceli sistemlere uygulanmasıyla köprü modeli için dinamik çözüme gidilir.
2.1. Deterministik Dinamik Hareket Modeli
Sisteme etkiyen yüklerin titreşim hareketi ya da düzensiz karakterde olması halinde bile zamanla değişiminin tam olarak bilinmesi durumunda çözüm deterministik olarak ortaya çıkar. Titreşim hareketi kütle-yay sistemi ile temsil edilebilir.
Şekil 2.1: Matematiksel model ve kuvvetler
c k p(t) m v fS fD fI
Titreşimde bulunan m kütlesinin tek serbestlik dereceli matematiksel modeli ve ortaya çıkan kuvvetleri Şekil 2.1’de gösterilmiştir. Sistemin hareket denklemleri doğrudan denge, kütleye verilen birim yerdeğiştirmeler nedeniyle kuvvetlerin yapacağı işi esas alan virtüel iş formülasyonu ile varyasyonel formda enerji ilkesine dayalı ve statik problemlere de uygulanabilen Hamilton ilkesinin uygulanmasıyla üç şekilde elde edilebilir. Tercih edilen yöntem kütle üzerinde etkiyen kuvvetlerin doğrudan diferansiyel denge denklemlerinin yazılarak çözüme gidilmesidir (Clough, Penzien, 1993). Denklem 2.1’de sırasıyla verilen d’Alembert ilkesine dayalı atalet kuvvetleri ile sönüm ve elastik kuvvetleri bulunan m kütlesinin denge denklemi,
I D S
f + f + f = p(t) (2.1)
mv cv kv p(t)&&+ &+ = (2.2) ile ifade edilir. Çok serbestlik dereceli bir sistemin hareket denklemi ise, buna benzer şekilde şöyledir:
[ ]
M v{ }
&& +[ ]
C v{ }
& +[ ]
K v{ } { }
= p(t) (2.3) [M] : Kütle matrisi [C] : Sönüm matrisi [K] : Rijitlik matrisi {p(t)}: Kuvvet vektörü {v}: Yerdeğiştirme vektörü.Çok serbestlik bir dereceli sistemin sönümsüz serbest titreşimi ele alınarak, serbest titreşim frekansları ve modları bulunduktan sonra, sistemin sönümlü ve zorlanmış davranışı ele alınır ve modların süperpozisyonu yöntemine dayalı olarak çözüm vektörünün uygun katsayılarla çarpılıp toplanmasından oluştuğu kabul edilir. Bu durumda yer değiştirme vektörü:
{ }
n i i ı 1 v(t) Y (t) [ (x)]{Y(t)} = =∑
φ = φ (2.4) [φ(x)]: modlar matrisi,YT(t)= [Y1(t) , Y2(t) , Y3(t) ,... Yn(t) ] (2.5) Toplam davranışda mod şekillerinin katkısını ifade eden bu katsayıların bulunduğu terimlerin etkisi titreşim frekansı yükseldikçe azalır. Bu nedenle, sayısal çözümlerde ilk birkaç modla hesap yapmak yeterli yaklaşım sağlayabilir. Yerdeğiştirme vektörü (2.4), hareket denkleminde yerine konularak ve modların ortogonalliği prensibinin sönüm içinde geçerli olduğu kabul edilirse;
Mi= φiT[M]mφi (2.6) Ki= φiT[K]φi=ω2 iMi (2.7) Ci= φiT[C]φi= 2ξiωiMi (2.8) Pi= φiTp (2.9) olmak üzere;
M Yi i&& +C Yi i& +K Yi i =P (t)i (i=1,2,...n) (2.10) elde edilir. Böylece çok serbestlik dereceli bir sistemin davranışını temsil eden hareket denklemleri n adet tek serbestlik dereceli sistemlere ayrıklaştırılmış olur. Burada Mi, Ci, Ki, Pi sırasıyla genelleştirilmiş kütle, sönüm, rijitlik ve kuvvet katsayılarıdır.
2.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Dinamik Çözümleme
Yapı dinamiği, sistemde uygulanan değişken kuvvetlerin oluşturduğu gerilmeler ile şekil değiştirmelerin zamana bağlı olarak hesaplanmasını içerdiğinden, statik hesaplara ek olarak ortaya çıkan zaman değişkeni kesit geometrisi farklı bazı sistemlerde problemin analitik metotlarla çözümlenmesini güçleştirmektedir. Yaygın olarak kullanılan sonlu eleman yöntemi, statik çözümleme yanında dinamik çözümlemede de daha iyi bir imkan sağlamıştır. Bir yapıdaki yerdeğiştirmeler, deplasman fonksiyonları ile ifade edilebilir:
Burada deplasman fonksiyonunun yer ve zaman değişkenleri ayrılabilir; yani sonlu sayıda zaman ve yer parametreleri terimlerinin toplamı olarak ifade edilebilir:
v (x,y,z,t)= Y1(t).v1(x,y,z) + Y2(t).v2(x,y,z) +……….+ Yn(t).vn(x,y,z) (2.12) Böylece sürekli sistem, sonlu n sayıda serbestlik derecesine sahip bir sisteme ayrıklaştırılmış olur. Burada:
Y1(t), Y2(t),…,Yn(t): Normal koordinatlar. vi(x,y,z): Seçilen yerdeğiştirme fonksiyonlarıdır.
Uzay tanım alanının sonlu elemanlara ayrıklaştırılmasıyla, karmaşık yer-konum problemi ayrık xk, yk ve zk düğüm noktalarında zaman bağımlı probleme indirgenebilir. Bu durumda vi=vi(xk,yk,zk) sonlu eleman düğüm noktası parametresi olmak üzere,
v(t)= Y1(t).v1 + Y2(t).v2 +………+ Yn(t).vn (2.13) olarak ifade edilebilir. Normal koordinatlar Yi(t) fonksiyonu zamana bağlı olarak yer hareketine göre değişir. Yerdeğiştirmelerin genel olarak kapalı çözümleri yoktur, ancak bunların çözümünü sağlayabilecek yerdeğiştirme fonksiyonları mevcuttur. Bu yerdeğiştirme fonksiyonları, sistem serbest titreşim frekans denkleminde mod şekilleri olarak adlandırılır ve bunlar doğal modlar olarak bilinir. Doğal modlar, zaman değişkeni içermeyen sönümsüz sisteme ait diferansiyel hareket denkleminin serbest titreşim çözümünden belirlenebilir. Bir yapı sisteminin dinamik analiz aşamaları kısaca şöyledir:
a. Hareket denklemlerinin yazılması, b. Doğal mod şekillerinin hesaplanması,
c. Bu modlar yardımıyla hareket denklemlerindeki bilinmeyenlerin ayrıştırılması,
d. Hareket denklemlerindeki ayrıştırılan terimlerin Yi normal koordinatlarla çözülmesi ve zamana bağımlı yerdeğiştirmelerin hesaplanması.
Genel olarak yayılı kütleli durumlarda serbestlik derecesi gerçekte sonsuz sayıdadır. Dolayısıyla, bir yapı analizinin en kritik aşaması sonlu sayıda düğüm noktası ve kütleleri bu noktalarda toplanan elemanlarla bir hesap modeli oluşturarak yapının yeter yaklaşıktaki davranışını temsil edebilecek toplanmış kütleli bir hesap modeli
ortaya koymaktır. Yapının kütlesi düğüm noktalarında toplanır ve bu ayrıntılı hesaplarla daha hassas olarak belirlenebilir. Doğrusal davranış altında elemanların rijitlik ve dayanım özellikleri, deneysel bilgilerin de yardımıyla yüksek derecede doğrulukla belirlenebilirken, pek çok yapı için dinamik yükü ve başlangıç koşullarını belirlemek zordur (Chopra, 1995). Deprem hareketinin rasgele doğasını da hesaba katınca çözüm stokastik denklemler oluşturularak olanaklı hale gelecektir.
Sonlu elemanlar yöntemi ile bir yapı sistemine ait dinamik hareket denklemlerinin oluşturulması sırasında aşağıda kısaca verilen adımlar izlenecektir:
1. Sistem, belirli kritik yerlerde seçilen düğüm noktaları ile birbirine bağlı, sonlu sayıda elemanların toplamı olarak idealize edilir, elemanda serbestlik dereceleri tanımlanır.
2. Her eleman için rijitlik ve kütle matrisleri kurulur. Elemanın serbestlik derecesine uyumlu olarak eleman kuvvet vektörü yazılır. Her eleman için kuvvet-yerdeğiştirme ve atalet kuvveti-ivme bağıntısı,
{ }
Fs =[ ]
Ke{ }
Ue{ }
FI =[ ]
Me{ }
Ue (2.14) olarak alınır. Sonlu eleman formülasyonunda bu bağıntılar, düğüm noktaları yerdeğiştirmeleri ile ifade edilmiş eleman üzerindeki yerdeğiştirme alanı kabulüyle elde edilmiştir.3. Yerdeğiştirmeleri ve kuvvetleri ortak bir eksen takımına taşımak üzere, eleman dönüşüm matrisleri teşkil edilir.
4. Genel koordinatlarda sistem rijitlik matrisi ve kütle matrisi kurularak uygulanan yük vektörü yazılır.
5. Rijitlik matrisi, kütle matrisinde elemanları bulunan dinamik serbestlik dereceleri tutulup, diğerleri statik yoğunlaştırma işlemi ile yok edilerek indirgenir.
6. Sistemin dinamik dengesine karşı gelen diferansiyel hareket denklemleri yazılır.
Dinamik hareket karakteristikleri ve davranışın zamana bağlı değişimini belirlemek üzere yukarıda özetle belirtilen analiz adımlarını esas alacak şekilde köprü sistemin sonlu eleman modellemesi ve dinamik analizi ile stokastik analiz çalışmalarını kapsayan ayrıntılar sonraki bölümlerde verilmiştir.