Derecelendirilmiş Modüllerin Asal Alt Modülleri

Tanım 3.3.1: (Atani ve Farzalipour, 2007) R bir derecelendirilmiş halka, _g

g G

M M

   derecelendirilmiş bir R-modül ve N, M nin bir derecelendirilmiş alt modülü olsun. (i) N_g M_g olmak üzere amN_g koşulunu sağlayan her aR_e,mM_g için,

g

mN veya



:



e

g R g

a N M

oluyorsa N_g ye g-asal alt modül denir.

(ii) N M olmak üzere amN koşulunu sağlayan her ah R

_{ }

,mh M

_{ }

için,

mN veya a



N:_R M



oluyorsa N ye derecelendirilmiş asal alt modül denir.

Teorem 3.3.2: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka, _g

g G

M M



  derecelendirilmiş bir

R-modül ve N , M nin bir derecelendirilmiş alt modülü olsun. N, M nin dereceli asal alt modülü ise Ng de Mg nin g-asal alt modülüdür.

İspat : N, M nin derecelendirilmiş asal alt modülü ve gG olsun. aR_e, mM_g için

g

amN olsun. N_g N olduğu için mN veya a

_

N:_R M

_

bulunur. Eğer mN ise

g

mN olur. Eğer a

_

N:_R M

_

ise aM_g aM N olur. Buradan da aR_e olduğundan



:



e

g R g

a N M elde edilir. Sonuç olarak N_g, M_g nin g-asal alt modülü olarak bulunmuş

Tanım 3.3.3: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka, _g g G M M    derecelendirilmiş bir R-modül olsun. T M

 





mM 0 r h R( ) için rm0



olarak tanımlansın.

Teorem 3.3.4: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş tamlık bölgesi, _g

g G

M M

   derecelendirilmiş bir R-modül ise T M bir derecelendirilmiş alt modüldür. ( )

İspat : İspatı yaparken önce T M nin ( ) R nin bir alt modülü olduğunu gösterelim, sonra da derecelendirilmiş olduğunu gösterelim. Bunun için de m m₁, ₂T M( ) ve rR alalım. Bu

durumda sıfırdan farklı öyle r r₁, ₂h R

_{ }

vardır ki r m_{1 1} 0 ve r m_{2 2}  dır. Buradan da 0













1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 0

r r m m r r m r r m    elde edilir. R bir derecelendirilmiş tamlık

bölgesi olduğundan r r  ve böylece _{1 2} 0 m₁m₂T M( ) bulunmuş olur. Aynı şekilde









1 1 1 1 0

r rm r r m  olduğundan da rm₁T M

_{ }

elde edilmiş olur. Yani T M bir alt ( ) modüldür. Şimdi de derecelendirilmiş alt modül olduğunu gösterelim. Göstermemiz gereken ifade ( )



( ) _g



g G T M T M M     dir. ( )



( ) _g



g G T M T M M 

   olduğu açıktır, şimdi de ters kapsamayı gösterelim. m T M ( ) olarak alalım. M derecelendirilmiş modül ve mM

olduğundan m tek türlü olarak _g

g G

m m





_

yazılır. Bu durumda her gG için m_gT M( ) olduğu gösterilirse istenen sonuç elde edilmiş olur. Genelliği bozmadan i1, 2,...,t için

0

i

g

m  ve g



g g₁, ₂,...,g_t



için m _g 0 olmak üzere

1 i t g i m m  



alabiliriz. m T M ( )

olduğundan en az bir sıfırdan farklı rh R

_{ }

için rm 0 dır ve böylece

1 2 ... t 0

g g g

rm rm  rm  bulunmuş olur. Sonuç olarak istendiği şekilde i



1, 2,...,t



için

( )

i

g

m T M elde edilmiş olur.

Teorem 3.3.5: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş tamlık bölgesi, _g

g G

M M



  bir derecelendirilmiş R-modül olsun. T M( )M ise T M , ( ) M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülüdür.

İspat : Kabul edelim ki ah R

 

ve mh M

_{ }

için am T M

_{ }

ve a



T M

_{ }

:_R M



olsun.

 



:_R



a T M M olduğundan a 0 dır. Ayrıca bazı g h, G için aR_g ve mM_h dır.

 

am T M olduğundan sıfırdan farklı bir bh R

_{ }

, bR_t olsun, için abm 0 olur. Eğer 0

am  ise m T M

 

olur ki bu aradığımız durumdur. Aksini kabul edelim, yani am 0 olsun. Bu durumda da R bir derecelendirilmiş tamlık bölgesi olduğundan

 

0abR_gt h R için abm 0 olmuş olur ki bu da m T M

_{ }

demek olur. Yani iki durumda istenen elde edilmiş olur. Böylece T M

_{ }

bir derecelendirilmiş asal alt modül olarak bulunmuş olur.

Yardımcı Teorem 3.3.6: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R-modül ve N,M nin bir derecelendirilmiş R-alt modülü ve gG

olsun. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir: (i) Ng, Mg nin bir asal alt modülüdür

(ii) I R nin bir ideali ve , _e B M, _g nin bir alt modülü olsun. IBN_g olduğunda



:



e

g R g

I  N M veya BN_g olur.

İspat : (i)  (ii) Kabul edelim ki N_g, M_g nin bir asal alt modülü olsun. ,I R nin bir ideali _e

ve B M, _g nin bir alt modülü olmak üzere IBN_g ve xB N\ _g olsun. aI alalım, bu durumda axN_g olur. N_g asal olduğundan



:



e

g R g

a N M elde edilir. Sonuç olarak



:



e

g R g

I  N M bulunmuş olur.

(ii)  (i) Koşulun gerçeklendiğini kabul edelim. cRe ve yMg için cyNg olduğunu

kabul edelim. I Rc ve BRy olarak aldığımızda IBN_g olur. Kabulümüzden



:



e

g R g

I  N M veya BN_g bulunur. Yani



:



e

g R g

c N M veya yN_g bulunmuş olur.

Sonuç olarak N_g asal alt modül olmuş olur.

Önerme 3.3.7: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R- modül ve N, M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü ve gG olsun. Aşağıdaki ifadeler sağlanır:

(i)



:



e

g R g

(ii)

_

N:_R M

_

, R nin derecelendirilmiş asal idealidir.

İspat : (i) Teorem 3.3.2 den N_g, M_g nin asal alt modülüdür ve böylece



:



e g R g e N M R dir. , e a bR için



:



e g R g

ab N M olsun. O zaman abM_g N_g olur. Kabul edelim ki



:



e

g R g

b N M olsun. Bu durumda en az bir nM_giçin bnN_g olur. Fakat abnN_g dir.

g

N asal alt modül olduğundan



:



e

g R g

a N M elde edilir.

(ii) N,M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü olduğundan

_

N:_R M

_

R dir.

 

,

c dh R için cd



N:_R M



olsun. O zaman cdM N olur. Eğer dM N ise istenen sonuç d

_

N:_R M

_

elde edilir. Tersini kabul edelim, yani en az bir mM için dmN

olsun. M derecelendirilmiş modül olduğundan en az bir hG için dmhN olur. N

derecelendirilmiş alt modül ve cdmN olduğundan cdm_hN elde edilir. N

derecelendirilmiş asal alt modül olduğundan da c



N:_R M



bulunmuş olur.

Not : Yukarıdaki önermede

_

N:_R M

_

derecelendirilmiş ideali R nin derecelendirilmiş asal ideali iken N derecelendirilmiş alt modülü M nin derecelendirilmiş asal R-alt modülü olmayabilir.

Örnek 3.3.8: RR₀ bir -derecelendirilmiş halka ve M   bir - derecelendirilmiş R-modül olsun. N 4

 

0 derecelendirilmiş alt modülünü ele alalım. Bu durumda

_

N:R M

_





r r

_

 

_

N



0 ideali R de derecelendirilmiş asal idealdir ancak 2 2, 0

_

_

N iken 2

_

N:_R M

_

ve

_

2, 0

_

N olduğundan, N derecelendirilmiş alt modülü M de derecelendirilmiş asal alt modül değildir.

Yardımcı Teorem 3.3.9: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka, M bir derecelendirilmiş R-modül ve N ile K, M nin K N koşulunu sağlayan derecelendirilmiş alt modülleri olsun. Bu durumda N, M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü olması için gerek ve yeter koşul N

Kalt modülü, derecelendirilmiş R-modül M K

İspat : N, M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü olsun. O zaman N M K  K dır.

 

ah R ve m K h



M



K   için a m

_

K

_

N K   olsun. m K h



M



K   olduğundan

 

mh M dir ve böylece amN olduğundan a

_

N:_R M

_

veya mN dir. Buradan da



N :_R M



a

K K

 veya m K N K

  elde edilir. Tersine olarak N

K, M K nin bir

derecelendirilmiş asal alt modülü ve ah R

 

,mh M

 

için amN olsun. Bu durumda



 



N

a m K am K

K

    elde edilir ve N

K asal olduğundan a



N_K:R M _K



veya

N m K

K

  bulunur. Buradan da a

_

N:_R M

_

veya mN bulunur.

Teorem 3.3.10: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R- modül ve N ve K, M nin KN M koşulunu sağlayan derecelendirilmiş asal alt modülleri olsun. O zaman KN de M nin derecelendirilmiş asal alt modülüdür.

İspat : N ve K, M nin KN M koşulunu sağlayan derecelendirilmiş asal alt modülleri olsun. KN N ve NKN dir. Bir önceki yardımcı teoremden





N

KN de

derecelendirilmiş asal alt modüldür. İzomorfizma teoreminden









K N _N N K N    elde edilir ve böylece



K N



N 

de bir derecelendirilmiş asal alt modül olur. Yine bir önceki yardımcı teoremden derecelendirilmiş alt modül KN asal olarak bulunmuş olur.

Teorem 3.3.11: (Atani, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R- modül ve N, M nin bir derecelendirilmiş alt modülü ve gG olsun. Aşağıdaki ifadeler sağlanır:

(i) N_g, M_g nin bir asal alt modülüdür ancak ve ancak



:



e

g R g g

N M P , R nin bir asal _e

idealidir ve g g M

N bir derecelendirilmiş g-burulmalı e _g R

P -modüldür.

(ii) N, M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülüdür ancak ve ancak

_

N:_R M

_

P, R nin bir derecelendirilmiş asal idealidir ve M

N bir derecelendirilmiş g-burulmalı RP-

İspat : (i) Kabul edelim ki Ng, Mg nin bir asal alt modülü olsun. Bu durumda Önerme 3.3.7

den



:



e

g R g g

N M P , R nin bir asal idealidir ve _e g g M

N bir derecelendirilmiş e _g R

P -

modülüdür. aR_e ve mM_g olmak üzere



aP_g



mN_g



 0 N_g olsun. Bu durumda

g

amN olur ve böylece



:



e

g R g g

a N M P veya mN_g bulunur. Yani aP_g  0 P_g

veya mN_g  0 N_g bulunmuş olur ve böylece M

N bir derecelendirilmiş g-burulmalı R

P-modül olarak bulunmuş olur. Tersine,



Ng:Re Mg



Pg, R nin bir asal idealidir ve e

g g M

N bir derecelendirilmiş g-burulmalı e _g R

P -modülü olsun.



Ng:Re Mg



Pg Re

olduğundan Ng Mg dir. bRe ve tMg iken btNg olsun. O zaman



bPg



tNg



btNg Ng bulunur ve M _N bir derecelendirilmiş g-burulmalı R_P-

modül olduğundan bPg veya tNg elde edilir.

(ii) N , M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü olsun. O zaman Önerme 3.3.7 den



N:_R M



P bir derecelendirilmiş asal ideal olarak elde edilir ve M

N bir

derecelendirilmiş R

P-modüldür. rPh

 

RP ve nNh



M N



için



rP



nN



 0 N olsun. O zaman rnN elde edilir ve N, M nin bir derecelendirilmiş asal alt modülü olduğundan rP veya nN bulunmuş olur. Buradan da

0

rP P veya nN  0 N bulunmuş olur. Tersine,

_

N:R M

_

P, R nin bir

derecelendirilmiş asal idealidir ve M

N bir derecelendirilmiş g-burulmalı RP-modülü

olsun. N M olduğu açıktır. ah R

 

ve m M K

 için amN olsun. Bu durumda



aP



mN



 0 N olur. Kabulümüzden aP veya mN elde edilir ve böylece N bir derecelendirilmiş asal alt modül olur.

Teorem 3.3.12: (Atani ve Farzalipour, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R-modül ve N , M nin bir derecelendirilmiş alt modülü olsun. Aşağıdakiler sağlanır:

(i) Eğer

_

N:_R M

_

P , R nin derecelendirilmiş maksimal ideali ise N, M nin derecelendirilmiş asal alt modülüdür.

(ii) Eğer Q , R nin QM M koşulunu sağlayan derecelendirilmiş maksimal ideali ise QM

derecelendirilmiş asal alt modüldür.

İspat : (i)



N:_R M



P , R nin derecelendirilmiş maksimal ideal olduğundan R

P

derecelendirilmiş cisim olur ve buradan da M

N bir derecelendirilmiş burulmalı RP-modül

olur. Bir önceki teoremden de N derecelendirilmiş asal alt modül elde edilir.

(ii) QM M olduğundan Q

_

QM:_R M

_

dir ve böylece Q

_

QM:_R M

_

bulunur. (i) şıkkından da istenen elde edilir.

Tanım 3.3.13: (Atani ve Farzalipour, 2006) Bir M derecelendirilmiş modülün sadece iki tane (0 ve M ) derecelendirilmiş alt modülü var ise M ye derecelendirilmiş basit modül denir.

Tanım 3.3.14: (Atani ve Farzalipour, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R-modül olsun. Bir rh R

 

ye M üzerinde derecelendirilmiş sıfır bölen denir eğer rm 0 koşulunu sağlayacak bir 0mM var ise.

Önerme 3.3.15: (Atani ve Farzalipour, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş basit R-modül olsun. M üzerinde derecelendirilmiş sıfır bölenlerin hepsi aynı zamanda M nin bir sıfırlayıcısıdır.

İspat : rh R

 

, M üzerinde derecelendirilmiş sıfır bölen olsun. Bu durumda en az bir

 

0mh M için rm 0 dır. M derecelendirilmiş basit modül olduğundan RmM dir. Buradan da



 







0

rM r Rm  Rr mR rm 

elde edilir ve böylece rh R

_{ }

, M nin bir sıfırlayıcısıdır.

Teorem 3.3.16: (Atani ve Farzalipour, 2006) R bir derecelendirilmiş halka ve M bir derecelendirilmiş R-modül olsun. Bu durumda M nin her derecelendirilmiş maksimal alt modülü bir derecelendirilmiş asal alt modüldür.

İspat : N, M nin her derecelendirilmiş maksimal alt modülü olsun. Kabul edelim rh R

_{ }

ve mh M

_{ }

\N için rmN olsun. 0

_

m N

_

h



M



N

r , M _N derecelendirilmiş modülü üzerinde bir derecelendirilmiş sıfır bölendir. Bir önceki

önermeden de r



N:_R M



elde edilir. Yani N bir derecelendirilmiş asal alt modüldür.

Belgede Modüller ve asal alt modülleri (sayfa 38-45)