Derecelendirilmiş Asal Alt Modüller

Tanım 3.4.1: R bir G-derecelendirilmiş halka, M bir derecelendirilmiş R-modül ve N de

M nin derecelendirilmiş bir R-alt modülü olsun. N M olmak üzere amN koşulunu sağlayan her ah R

_{ }

, mh M

_{ }

için mN veya a

_

N:_R M

_

oluyorsa N ye derecelendirilmiş asal alt modül denir.

Bir sonraki örneğimizde N derecelendirilmiş alt modülü asal olmadığı halde

_

N:_R M

_

derecelendirilmiş ideali asal olan bir derecelendirilmiş alt modüle örnek vereceğiz.

Örnek 3.4.2: RR₀ bir - derecelendirilmiş halka ve M   bir - derecelendirilmiş R-modül olsun. Burada M =₀





_{ }

0



ve M =₁

_{ }

0  



olarak alınmıştır. Bu durumda N=4

_{ }

0 bir derecelendirilmiş alt modüldür.

_

N:_R M

_

=0 ideali Yardımcı Teorem 3.2.7 den derecelendirilmiş bir idealdir ve bu ideal derecelendirilmiş bir asal idealdir. Fakat 2h R

_{ }

ve

_

2, 0

_

h M

_{ }

için 2 2, 0

_

_

N olduğu halde

_

2, 0

_

N ve 2

_

N:_R M

_

dir.

Teorem 3.4.3: R bir G- derecelendirilmiş halka, M bir derecelendirilmiş R-modül ve N

de M nin derecelendirilmiş bir R-alt modülü olsun. Bu durumda N bir derecelendirilmiş asal alt modül olması için gerek ve yeter koşul IV N koşulunu sağlayan her derecelendirilmiş ideal I ve derecelendirilmiş alt modül V için V N veya I 



N:_R M



olmasıdır.

İspat : Kabul edelim ki N bir derecelendirilmiş asal alt modül, I bir derecelendirilmiş ideal ve V bir derecelendirilmiş alt modül olmak üzere IV N olsun. I 



N:_R M



olduğunu kabul edelim. Bu durumda en az bir gG için a_gI_g \

_

N:_R M

_

vardır öyle ki her v_hV_h

ve hG için a v_{g h}N dir. N derecelendirilmiş asal alt modül olduğundan vhN elde

edilir. Yani V N bulunur.

Ters tarafın ispatı için ifadenin doğru olduğunu kabul edelim. ah R

_{ }

, mh M

_{ }

için

Teorem 3.2.7 den

_{ }

a ideali bir derecelendirilmiş ideal ve

_{ }

m alt modülü de bir derecelendirilmiş alt modüldür. Kabulümüzden

 

m N veya

  

a  N:_R M



bulunur. Buradan da mN veya a

_

N:_R M

_

elde edilmiş olur.

Önerme 3.4.4: R bir G- derecelendirilmiş halka, M bir derecelendirilmiş R-modül ve N

de M nin derecelendirilmiş bir R-alt modülü olsun. Bu durumda N derecelendirilmiş asal alt modül olması için gerek ve yeter koşul NK M koşulunu sağlayan her derecelendirilmiş alt modül K için

_

N:_R K

_

=

_

N:_R M

_

olur.

İspat : Kabul edelim ki N bir derecelendirilmiş asal alt modül ve K da NK M

koşulunu sağlayan M nin bir derecelendirilmiş alt modülü olsun. Burada rKrM N

olduğundan



N:_R M 





N:_R K



elde edilir. Şimdi de ters kapsamayı gösterelim. gG

için _g



:_R



g

r  N K olarak alalım. Bu durumda en az bir nh M

 

vardır öyle ki nK N\ iken r n_g N dir. N derecelendirilmiş asal alt modül olduğundan r_g

_

N:_R M

_

elde edilir. Böylece

_

N:R K

_

=



N:R M



bulunmuş olur.

Ters tarafın ispatı için ifadenin doğru olduğunu kabul edelim. Yani N bir derecelendirilmiş alt modül olmak üzere N KM koşulunu sağlayan her derecelendirilmiş alt modül K

için

_

N:_R K

_

=

_

N:_R M

_

olsun. Kabul edelim ki rh R

_{ }

ve nh M

_{ }

\N için rnN

olsun. Bu durumda K N

_{ }

n alırsak, N K M kapsaması sağlanmış olur. Kabulümüzden dolayı



N:_R K



=



N:_R M



elde edilir ve böylece r



N:_R M



bulunur. Tanım 3.4.5: (Escoriza ve Torrecillias, 1998) Derecelendirilmiş R-modül M nin herhangi bir derecelendirilmiş alt modülü N için N IM olacak şekilde R nin bir derecelendirilmiş ideali I bulunabiliyor ise M ye çarpımsal derecelendirilmiş modül denir.

Teorem 3.4.6: Çarpımsal derecelendirilmiş modülün her homomorfik görüntüsü de çarpımsal derecelendirilmiş modül olur.

İspat : M çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve f M: M' bir derecelendirilmiş homomorfizma olsun. K  f M

_{ }

olmak üzere N, K derecelendirilmiş modülünün bir derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu durumda f1

 

N IM olacak şekilde R nin derecelendirilmiş ideali I vardır. Böylece N  f IM

_

_

If M

_{ }

IK elde edilmiş olur.

Sonuç 3.4.7: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve N de M nin derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu durumda M

N de çarpımsal derecelendirilmiş modül olur.

Teorem 3.4.8: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül olsun. N, M nin derecelendirilmiş asal alt modül olması için gerek ve yeter koşul

_

N:_R M

_

ideali, R nin bir derecelendirilmiş asal ideali olmasıdır.

İspat : N, M nin derecelendirilmiş asal alt modülü olsun. İspatın bu kısmı Önerme 3.3.7 de ispat edilmiştir.

N, M nin derecelendirilmiş alt modülü için

_

N:_R M

_

ideali R nin bir derecelendirilmiş asal ideali olsun. Kabul edelim ki I derecelendirilmiş ideali ve V derecelendirilmiş alt modülü için IV N olsun. M çarpımsal derecelendirilmiş modül olduğundan en az bir derecelendirilmiş ideali J vardır öyle ki V JM dir. Böylece N IV IJM bulunur. Bu da IJ 



N:_R M



demektir.



N:_R M



derecelendirilmiş asal ideal olduğundan I 



N:_R M



veya J 

_

N:_R M

_

dir. Yani ya I 

_

N:_R M

_

veya V  JM N bulunmuş olur. Sonuç olarak Teorem 3.4.3 den N yi derecelendirilmiş asal alt modül elde etmiş oluruz.

Tanım 3.4.9: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül, N IM ve K JM de I ve J

derecelendirilmiş idealler olmak üzere M nin derecelendirilmiş alt modülleri olsunlar. Bu iki derecelendirilmiş alt modülün çarpımını NK ile göstereceğiz ve

 

IJ M olarak tanımlayacağız.

Aynı şekilde derecelendirilmiş modülün iki homojen elemanının çarpımını da ürettikleri derecelendirilmiş alt modüllerin çarpımı olarak tanımlayacağız. Yani, m ve m' iki homojen eleman iken

_{ }

m ve

_{ }

m' iki derecelendirilmiş alt modül olur ve

_{ }

m IM ,

_{ }

m' JM

olacak şekilde R derecelendirilmiş halkasının I ve J derecelendirilmiş idealleri vardır. Böylece mm'

_{ }

IJ M olarak elde edilir.

Teorem 3.4.10: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül, N IM ve K JM de I ve

J derecelendirilmiş idealler olmak üzere M nin derecelendirilmiş alt modülleri olsunlar. Bu durumda derecelendirilmiş alt modüllerin çarpımları derecelendirilmiş ideallerinden bağımsızdır.

İspat : M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modülü için N ve K iki farklı derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu iki derecelendirilmiş alt modülü için N I M₁ I M₂

ve K  J M₁ J M₂ olacak şekilde iki farklı gösterimi olsun, burada I I J₁, ,_{2 1}ve J idealleri ₂

R nin derecelendirilmiş idealleridir. Bu durumda



1



1

 

1 1



1



1



1



2



2



1



2



2

 

2 2



NK  I M J M  I J M I J M I J M J I M J I M  I J M elde

edilir.

Tanım 3.4.11: R bir G- derecelendirilmiş halka ve M bir çarpımsal derecelendirilmiş R- modül olsun. Sıfırdan farklı bir homojen a elemanı için ab 0 olacak şekilde bir

 

0 b h M elemanı var ise ah M

 

ye derecelendirilmiş sıfır bölen denir.

Yani, ah M

_{ }

bir derecelendirilmiş sıfır bölen ise bir 0 b h M

_{ }

elemanı için,

_{ }

a IM

ve

_{ }

b JM olmak üzere 0ab

_{ }

IJ M elde edilir. Sonuç olarak IJ  Ann M

_{ }

bulunmuş olur.

Teorem 3.4.12: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve N, M nin derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu durumda N derecelendirilmiş asal alt modül olması için gerek yeter koşul M nin ABN koşulunu sağlayan A B derecelendirilmiş alt , modülleri için AN veya BN olmasıdır.

İspat : N, M nin derecelendirilmiş asal alt modülü ve A B derecelendirilmiş alt modülleri , için ABN koşulu sağlanıyor olsun. Bu durumda R nin AIM ve BJM olacak şekilde

ve

I J derecelendirilmiş idealleri vardır. Buradan AB



IM



JM

  

 IJ M N ve böylece IJ 

_

N:_R M

_

elde edilir. Önerme 3.3.7 den

_

N:_R M

_

derecelendirilmiş ideali asaldır. Buradan da I 

_

N:_R M

_

veya J 

_

N:_R M

_

ve böylece AIM N veya

BJM N bulunur. Tersini göstermek için rh R

 

ve mh M

 

için rmN olsun. Bu durumda derecelendirilmiş I 

_{ }

r ideali ve derecelendirilmis K 

_{ }

m alt modülü için

IKN elde edilir. M çarpımsal olduğundan R nin bir derecelendirilmiş J ideali için

K JM dir. Buradan da IK I JM

_

_{  }

 IJ M 

_

IM

_

JM

_

N elde edilir. Kabulümüzden de IM N veya JM N ve böylece r I



N:_R M



veya mKN

bulunmuş olur.

Sonuç 3.4.13: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve N, M nin derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu durumda N derecelendirilmiş asal alt modül olması için gerek ve yeter koşul abN koşulunu sağlayan a b, h M

_{ }

için aN veya bN olmasıdır.

İspat : N derecelendirilmiş asal alt modül ve a b, h M

_{ }

için abN olsun. Bu durumda

  

a b N olduğundan Teorem 3.4.12 den

 

a N veya

 

b N elde edilir. Buradan da

aN veya bN elde edilir. Tersine olarak abN koşulunu sağlayan a b, h M

_{ }

için

aN veya bN olsun. rh R

 

ve mh M

 

için rmN ve r



N:_R M



olsun. O zaman en az bir xM için rxN dir. Bu durumda rx m N elde edilir ve böylece mN

bulunmuş olur.

Teorem 3.4.14: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve N, M nin derecelendirilmiş alt modülü olsun. Bu durumda N derecelendirilmiş asal alt modüldür ancak ve ancak M

N derecelendirilmiş modülünün dereceli sıfır böleni yoktur.

İspat : N derecelendirilmiş asal alt modülü ve





_ _ , M a b h N  için _ _ 0 a b  olsun. _ _ , a b             derecelendirilmiş alt modüller ve M çarpımsal derecelendirilmiş modül olduğundan









_ _ ve M M a I b J N N          

    olacak şekilde R nin I J derecelendirilmiş idealleri ,

vardır. Böylece

_{ }



_ 0

M IJ

N  elde edilmiş olur. Buradan da

 

IJ M N bulunur. N,

derecelendirilmiş asal alt modülü olduğundan I 

_

N:_R M

_

veya J 

_

N:_R M

_

bulunur. Yani IM N veya JM N dir. Bu da

_ 0

a  veya

_ 0

b  demektir. Tersini ispat için M N

derecelendirilmiş modülünün derecelendirilmiş sıfır böleninin olmadığını ve a b, h M

_{ }

için

abN olduğunu kabul edelim. Bu durumda _ _ 0 a b  olur. Kabulümüzden _ 0 a  veya _ 0 b 

elde edilir, yani aN veya bN dir.

Tanım 3.4.15: (Escoriza ve Torrecillias, 2000) M bir derecelendirilmiş R-modül olsun. (i) R nin bir P derecelendirilmiş asal ideali için,

 



 

icin 0



P

T M  mM  c h R P cm

kümesini tanımlayalım. Eğer M T_P

 

M ise M ye derecelendirilmiş P-burulmalı modülü denir.

(ii) P, G R

_{ }

de bir derecelendirilmiş asal ideal olsun. Eğer xh M

_{ }

ve ch R

_{ }

P elemanları için cM Rx koşulunu sağlıyor ise M ye derecelendirilmiş P-devirli denir.

(iii) Eğer aM 0 koşulu ah R

_{ }

elemanı için a 0 oluyorsa M ye sadık denir. (iv) M modülünün bir m elemanının sıfırlayıcısı aşağıdaki gibi tanımlanır:

  

0 :_R





 

0



ann m  m  rh R rm .

Burada not edelim ki, T_P

 

M kümesi M nin bir derecelendirilmiş R-alt modülüdür.

Teorem 3.4.16: (Escoriza ve Torrecillias, 2000) M bir derecelendirilmiş R-modül olsun. Bu durumda M bir çarpımsal derecelendirilmiş modüldür ancak ve ancak G R

_{ }

nin her P

derecelendirilmiş asal ideali için M ya derecelendirilmiş P-burulmalı ya da derecelendirilmiş P-devirli modüldür.

İspat : Kabul edelim ki M bir derecelendirilmiş R-modül ve P derecelendirilmiş asal ideal olsun. İlk önce PM M durumunu inceleyelim. Bir mh M

 

için Rm derecelendirilmiş alt modülünü düşünelim. Bu durumda, M derecelendirilmiş modül olduğundan R nin bir I

derecelendirilmiş ideali için RmIM IPM mP bulunur. Yani, en az bir ch R

_{ }

\P için 0

cm  dır ve böylece M derecelendirilmiş P-burulmalı olur. Şimdi de PM M durumunu inceleyelim. En az bir xh M

_{ }

\PM vardır ve Rx alt modülü derecelendirilmiştir. Dolayısıyla RxBM olacak şekilde R nin bir B derecelendirilmiş ideali vardır. BP ise

xBM PM olacağından bir çelişki elde edilir, dolayısıyla BP olmak zorundadır. En

azından bir ch B

_{ }

\P vardır ve cM BM Rx bulunmuş olur. Yani M

derecelendirilmiş P-devirli modüldür.

Şimdi de ters gerektirmeyi gösterelim. N M nin derecelendirilmiş alt modülü ve ,



:_R



A N M olsun. Bir nh N

 

için K 



MA:_R Rn



ideali R nin bir derecelendirilmiş idealdir. Kabul edelim ki K R olsun. O zaman R nin K yı kapsayan en az bir tane P

derecelendirilmiş maksimal ideali vardır. Eğer M derecelendirilmiş P-burulmalı ise en az bir ch R

_{ }

\P vardır öyle ki cn 0 dır. Bu da cK P\ demek olur ki bu da bir çelişkidir. Dolayısıyla kabulümüzden M derecelendirilmiş P-devirli modüldür. O zaman cM Rx

olacak şekilde xh M

 

ve ch R

 

\P elemanları vardır. Burada Rx, kendisi devirli ve x

homojen olduğundan çarpımsal derecelendirilmiş modüldür. Burada cN Jx olacak şekilde



:_R



J  cN Rx ideali vardır. Bu ideal cJM JcM xJ N koşulunu sağlar ve böylece

Yani K R olur, buradan da R

_

AM :_R N

_

elde edilir. Sonuç olarak N

_

N:_R M M

_

bulunur, ters kapsama her zaman doğru olduğundan M bir çarpımsal derecelendirilmiş modül olmuş olur.

Teorem 3.4.17: M bir sadık derecelendirilmiş R-modül olsun. O zaman M bir çarpımsal derecelendirilmiş modül olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki iki koşulun sağlanmasıdır:

(i) G R

 

nin I_ idealleri için



I M_



I_ M

 

 

  

 





dir.

(ii) M nin bir derecelendirilmiş alt modülü N olsun. N AM koşulunu sağlayan G R

_{ }

nin her A derecelendirilmiş ideali için en az bir B derecelendirilmiş ideali vardır G R

_{ }

nin, öyle ki B A ve N BM koşulları sağlanır.

İspat : İfadedeki iki koşulun sağlandığını kabul edelim. M nin bir derecelendirilmiş alt modülü N ve S 



I I G R: ,

_{ }

nin bir derecelendirilmi ideali ve ş N IM



olsun. Bu küme boş kümeden farklıdır, çünkü RS dir.

 

I_{ } kümesi S nin boştan farklı bir alt kümesi olsun, bu durumda (i) deki kabulümüzden I_ S







olur. S kümesi ters kapsamaya göre parçalı sıralı küme olduğundan Zorn Yardımcı Teoremini kullanırsak, S nin bir minimal elemanı A vardır. O zaman N AM dir. N  AM olduğunu kabul edelim. (ii) ifadesini kabul ettiğimizden G R

_{ }

nin en az bir derecelendirilmiş B ideali vardır, öyle ki B A ve

N BM koşulları sağlanır. Bu durumda BS olur ki bu A nın seçimi ile çelişir. Yani

N  AM elde edilmiş olur ki bu da M nin çarpımsal derecelendirilmiş modül olması demek olur.

İspatın diğer tarafı için G R

_{ }

nin derecelendirilmiş ideallerinden oluşan boş kümeden farklı bir

_{ }

I_

 ailesini alalım ve I I 





olsun. IM



I M_









olduğu kolayca görülür. Ters kapsama için de x



I M_









ve K 



rh R rx

_{ }

: IM



olsun. Kabul edelim ki K R

olsun. Bu durumda G R

 

nin K P koşulunu sağlayan en az bir P derecelendirilmiş maksimal ideali vardır. Burada xT_P

_{ }

M bulunur. Eğer böyle olmasaydı, yani xT_P

_{ }

M

olsaydı en az bir ch R

_{ }

\P için cx 0 IM vardır. Bu da cKP demek olur ki bu da bir çelişkidir. Böylece M bir derecelendirilmiş P-devirli bulunur. Yani cM Rm olacak

şekilde mh M

_{ }

ve ch R

_{ }

\P elemanları vardır. Buradan









cx c I M_ cI M_      _{ } 







ve böylece cx



I cM_





I Rm_





I m_



   











bulunur. Her   için cxa m_ olacak şekilde en az bir a_I_ vardır. Seçilen bir   ve her

  için a m_ a m_ bulunur. Buradan da

_

a_ a_

_

m0 olur. Şimdi,













0

c a_ a_ M  a_a_ cM  a_ a_ Rm

ve M derecelendirilmiş sadık modül olduğundan c a

_

_a_

_

0 bulunur. Buradan da

ca_ ca_I_ ve böylece ca_I_ olur. Yani c x2 ca m_ ca m_ IM olur. Buradan da 2

c KP ve böylece cP bulunur. Yani K R ve buradan xIM bulunmuş olur. Şimdi de M nin bir derecelendirilmiş alt modülü N yi ve R nin bir derecelendirilmiş ideali

A yı, N AM olacak şekilde alalım. Bu durumda en az bir C derecelendirilmiş ideali vardır öyle ki N CM dir. Burada B AC alınırsa B A ve





BM  AC M  AMCM N

elde edilir.

Teorem 3.4.18: M bir sadık derecelendirilmiş R-modül ve P, G R

 

nin bir derecelendirilmiş asal ideali olsun. Eğer bazı ah R m

_{ }

, h M

_{ }

için amPM iken aP

veya mPM dir.

İspat : Kabul edelim ki mh M

_{ }

ve ah R

_{ }

için amPM ve aP olsun.

 





K  rh R rxPM kümesini göz önüne alalım. Kabul edelim ki K  R olsun, bu

durumda G R

_{ }

nin KQ koşulunu sağlayan en az bir derecelendirilmiş maksimal ideali Q

vardır. Burada xT_Q

_{ }

M bulunur. Eğer böyle olmasaydı, yani xT_Q

_{ }

M olsaydı en az bir

 

\

ch R Q için cx 0 PM vardır. Bu da cK Q demek olur ki bu da bir çelişkidir.

M çarpımsal derecelendirilmiş modül olduğundan M bir derecelendirilmiş Q -devirli

modüldür. Yani en az bir ch R

_{ }

\Q için cM Rm olur. Bu durumda cm _sm _ve cam pm

 olacak şekilde m M s, R

  elemanları bulunabilir. Burada asm cam pm

 

 





0

c ann m  bulunur. Buradan cascpP ve böylece sP elde edilir. Böylece

cm _sm_PM _{ve buradan}

cK bulunur. Bu da bir çelişkidir.

Sonuç 3.4.19: M bir çarpımsal derecelendirilmiş R-modül ve N, bir çarpımsal derecelendirilmiş alt modül olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir:

(i) N bir derecelendirilmiş asal alt modüldür.

(ii)

_

N:R M

_

, G R

 

nin bir derecelendirilmiş asal idealidir.

(iii) N PM olacak şekilde G R

 

nin ann M

 

P koşulunu sağlayan bir P

derecelendirilmiş asal ideali vardır.

İspat : (i)  (ii) Önerme 3.3.7 de ispatı verilmişti.

(ii)  (iii) İstenen P derecelendirilmiş ideali olarak



N:_R M



seçilirse, ann M

  

 N:_R M



koşulu da sağlandığından (iii) nin tüm şartları sağlanmış olur.

(iii)  (i) N PM olacak şekilde G R

_{ }

nin ann M

_{ }

P koşulunu sağlayan bir P

derecelendirilmiş asal idealini alalım. Bu durumda M bir sadık derecelendirilmiş

 

R

ann M -modülü olur. Bir önceki yardımcı teoremi kullanırsak N bir derecelendirilmiş

asal alt modül olur.

Tanım 3.4.20: M bir derecelendirilmiş R-modül ve N de derecelendirilmiş alt modülü olsun. N nin derecelendirilmiş radikali, M rad N

_{ }

ile gösterilir, N yi kapsayan derecelendirilmiş asal alt modüllerin kesişimi olarak tanımlanmaktadır. Eğer N yi kapsayan derecelendirilmiş asal alt modülü yok ise M rad N

_{ }

M olarak tanımlanır.

Teorem 3.4.21: M bir derecelendirilmiş R-modül ve N de derecelendirilmiş alt modülü olsun. Eğer A



N:_R M



ise M rad N

 



 

A M dir.

İspat : Genelliği bozmadan M yi sadık çarpımsal derecelendirilmiş R-modülü olarak alalım.

 

G R nin A yı kapsayan bütün derecelendirilmiş asal ideallerinin kümesini  ile gösterelim. Eğer B A ise

P

B P







dir ve böylece Teorem 3.4.18 den

_

_

P

BM PM

 



elde edilir. Şimdi P  alalım. Eğer M PM ise M rad N

_{ }

PM dir. Eğer M PM

 

M rad N BM bulunur. Ters kapsama için, N yi kapsayan bir derecelendirilmiş asal alt modül K olsun. Sonuçtan K QM olacak şekilde G R

 

nin AQ koşulunu sağlayan bir

Q dereceli asal ideali vardır. AM N QM K M olduğundan AQ dir. Yardımcı

teoremden BQ dur. Yani BM K ve böylece BM M rad N

 

dir. Böylece

 

M rad N BM elde edilmiş olur.

Belgede Modüller ve asal alt modülleri (sayfa 45-54)