Demografik Verilerin Frekans Tabloları

A resolução de equações no Derive pode ser feita recorrendo ao menu Solve e ao submenu Algebraically. Podemos tirar partido do atalho se introduzirmos a expressão em primeiro lugar e o utilizarmos de seguida. Nessa situação surge uma janela na qual podemos especificar o tipo de resolução que pretendemos para cada caso.

Carregando em OK e usando o atalho obtemos as soluções para a nossa equação.

Mas, não ficamos por aqui no que respeita à resolução de equações algébricas, o

Derive também é capaz de resolver simbolicamente uma equação arbitrária. Neste caso

Agora, mediante este último output, que não é mais do que a fórmula resolvente das equações de segundo grau, e sem usar a função SOLVE, podemos resolver qualquer equação da forma ax2 + bx + c = 0. Para tal basta que substituamos os valores de a, b e c na solução geral. Tal pode ser feito utilizando o atalho . Aí temos de referir quais os valores para as incógnitas a, b e c.

Imediatamente o sistema substitui nas expressões os novos valores que depois de mandado avaliar dará as soluções da nossa equação. Neste caso concreto a=1, b=-8 e

c=15.

Mesmo quando as raízes são complexas o Derive é capaz de nos dar as soluções pretendidas.

Para resolver um sistema de equações lineares podemos utilizar o menu Solve e o submenu System. Neste primeiro exemplo procuramos a solução de um sistema possível e determinado.

Portanto a solução do sistema é a obtida.

Neste caso as soluções são todos os pares de números da forma (4-2y,y).

Se o sistema for impossível, não existem quaisquer soluções e portanto a lista das soluções é vazia.

Vamos agora analisar qual a resposta que o Derive dá quando confrontado com equações que envolvem outras funções como por exemplo as funções trigonométricas.

Esta equação tem uma infinidade de soluções que são todas aquelas que se podem escrever na forma x = kππππ, com k∈Z. Assim as soluções obtidas estão correctas mas, o programa não consegue determiná-las todas.

Analisemos ainda mais um caso.

Aqui também não obtivemos uma solução satisfatória.

Maple:

A resolução de equações algébricas é possível no Maple recorrendo à função predefinida solve. Através do uso desta função conseguimos ultrapassar em muitos casos o trabalho monótono dos cálculos.

A função solve recebe como argumentos um conjunto de uma ou mais equações e tenta resolvê-las em ordem a um conjunto de incógnitas especificadas pelo segundo argumento da função.

Vejamos agora como o Maple lida simbolicamente com equações. Para isso vamos procurar a solução para uma equação de segundo grau arbitrária.

Como se pode ver, o Maple retorna cada uma das possíveis soluções dentro de chavetas, o mesmo será dizer que cada solução forma um conjunto.

Como se pode constatar conseguimos encontrar as soluções para uma equação mesmo que as mesmas sejam complexas.

Podemos também usar o comando solve para resolver sistemas de equações.

Nem sempre são necessárias as chavetas envolvendo as equações ou as variáveis, mas usando-as obriga o Maple a fornecer a solução como um conjunto o que traz por vezes algumas vantagens.

Obtivemos portanto duas soluções. Podemos verificar se as soluções realmente são estas, substituindo na equação original.

fornece uma expressão algébrica que nos permite obter uma das incógnitas à custa da outra.

Sendo o sistema a resolver impossível, o Maple simplesmente não retorna qualquer output o que dá a ideia que não conseguiu concluir o que lhe foi pedido.

No caso anterior não obtivemos qualquer output.

Vamos analisar agora o comportamento do Maple quando confrontado com equações envolvendo funções trigonométricas.

Tal como acontecia com o Derive obtivemos uma solução mas, como é do nosso conhecimento as soluções são todas aquelas que se podem escrever na forma

Ζ ∈ + = k k x 2 , 2 1_{π π} .

Vejamos ainda uma última situação.

Sem ter obtido uma solução concreta podemos sempre partir para o cálculo numérico e pedir ao programa que faça uma aproximação do valor surgido.

Mathematica:

Utilizando o Mathematica é possível encontrar de forma eficiente as soluções de muitas das equações que nos surgem.

Assim, encontrar uma solução para uma equação do segundo grau não representa qualquer dificuldade para o Mathematica.

Antes de entrarmos num exemplo concreto, convém lembrar que ao fazermos

x=3 estamos a efectuar uma atribuição imediata, ou seja, estamos a fazer com que a variável x passe a guardar o valor 3. Assim para designar o teste de igualdade temos de

Solve

@

2x^3+3*x^2- 3*x- 2Š 0, x

D

:8

x® -2

<

,

:

x® - 1 2

>

,

8

x®1

<>

Solve

@

a*x^2+b*x+cŠ0, x

D

::

x® -b- b 2_{- 4 a c} 2 a

>

,

:

x® -b+ b2- 4 a c 2 a

>>

Mesmo quando as soluções são complexas conseguimos encontrá-las.

Solve

A

x2+7== 0, x

E

99

x® - ä 7

=

,

9

x® ä 7

==

De forma muito semelhante procedemos ao pretender resolver um sistema de equações lineares. Solve

@8

3x+4yŠ 8,-2x+5y==17

<

,

8

x, y

<D

::

x® - 28 23, y® 67 23

>>

Quando o sistema a resolver é indeterminado o programa, não conseguindo determinar uma única solução, emite uma mensagem de erro onde diz que não lhe é possível dar uma solução em função de todas as variáveis pretendidas.

Solve

A9

5

2 x+6yŠ5, 15x+36yŠ30

=

,

8

x, y

<E

Solve::svars: Equations may not

give solutions for all "solve" variables.

::

x®2- 12 y

5

>>

Tendo em conta o erro podemos então mandar resolver o sistema apenas em ordem a uma das variáveis. No entanto este procedimento não acrescenta muito ao que já sabíamos.

Solve

A9

5

2 x+6yŠ5, 15x+36yŠ30

=

,

8

x

<E

::

x® - 2

5

H

-5+6 y

L>>

Quando o sistema é impossível a solução apresentada é a lista vazia o que indica de forma clara que não existem quaisquer soluções.

Solve

@8

x+2yŠ7, 3x+6yŠ 3

<

,

8

x, y

<D

8<

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found.

::

x® - p

2

>

,

:

x® p

2

>>

Analisemos mais um caso em que o Mathematica se vê impossibilitado de dar-nos uma solução.

Solve

@

Cos

@

x

D

Š Sin

@

E^x

D

, x

D

Solve::tdep:

The equations appear to involve the variables to be

solved for in an essentially non-algebraic way.

Solve

@

Cos

@

x

D

==Sin

@

ãx

D

, x

D

Quando tal acontece podemos ainda recorrer à função FindRoot que tenta encontrar uma solução aproximada para a equação pretendida. Para aplicar esta função é necessário introduzir o valor do qual se pretende a solução mais aproximada.

FindRoot

@

Cos

@

x

D

Š Sin

@

E^x

D

,

8

x, 1

<D

8

x®0.90762

<

Desta forma obtivemos a solução aproximada para a equação introduzida que mais próximo do 1 está.

3.12.2. - DERIVAÇÃO

Belgede Özel lise öğrencilerinin beden eğitimi ve spor dersine ilişkin tutumlarının incelenmesi (sayfa 44-67)