Dois aspectos que permeiam o trabalho com o computador são a visualização e a possibilidade de trabalhar com múltiplas representações.
A importância das múltiplas representações na construção dos conceitos é ressaltada por Gravina e Santarosa (1998). Elas explicam que os objetos matemáticos podem ser representados em diferentes formas e, então, no processo de construção, é significativa uma exploração que faça o trânsito entre os diferentes sistemas. As autoras apresentam o seguinte exemplo,
a uma função pode-se associar uma representação gráfica que evidencia variações qualitativas, ou uma representação matricial numérica que evidencia variações quantitativas, ou ainda um fenômeno cujo comportamento é dado pela função. Ou, ainda, pode-se estudar família de funções sob o ponto de vista de operações algébricas e correspondentes movimentos geométricos nos gráficos associados (GRAVINA e SANTAROSA, 1998, p. 11).
Esses elementos ressaltados por Gravina e Santarosa (1998) podem ser explorados utilizando um software como o GeoGebra, tanto no estudo da geometria quanto no das funções. A análise de uma função, por exemplo, se torna muito rica quando podemos explorar a possibilidade de visualizar e manipular, ou mesmo construir várias curvas na mesma tela, usando texturas e cores diferentes para os traçados e o preenchimento de áreas. Associado a isso, pode-se visualizar na mesma tela as representações analíticas e as coordenadas de pontos especificamente definidos da função.
Essa exploração usando o componente visual no ensino de Matemática é fundamental, tanto no processo de estruturação de um raciocínio quanto na verificação de um resultado.
Nas aulas, é interessante trazer esses elementos, pois, de acordo com Barufi (1999, p. 154), “as ilustrações sempre possibilitam melhor visibilidade e os argumentos geométricos normalmente são mais aceitos do que os argumentos puramente lógicos”. Esse potencial tem sido investigado pelos educadores. Entretanto, como há divergências entre autores quanto à definição do termo Visualização e variantes como Imagem Visual e Pensamento Visual, Borba e Villarreal (2005), Costa (2002), Guzmán (2002) e Presmeg (2006) apresentam estudos sobre as diferentes formas de entender esse termo.
O trabalho de Presmeg (2006) faz um levantamento sobre diferentes perspectivas da visualização e suas aplicações nas pesquisas. De acordo comesta autora,“uma imagem visual é tida como uma construção mental que descreve a informação visual ou espacial e um visualizador é uma pessoa que prefere usar métodos visuais quando existe a opção”20 (PRESMEG, 2006, p. 207, tradução nossa).
Guzmán (2002 p. 3) relata que a Matemática, seus conceitos e ideias são ricas em diferentes representações e relações visuais. Em seu artigo, busca analisar o papel da visualização no ensino de análise, mas apresenta elementos interessantes sobre o papel da visualização no ensino da Matemática como um todo. Segundo ele,
Os especialistas em um campo particular possuem uma variedade de imagens visuais, de formas intuitivas para perceber e manipular os conceitos e métodos mais usuais no campo em que trabalham. Por meio destas, os especialistas são capazes de relacionar, de forma versátil as constelações de fatos e resultados da teoria que, frequentemente, são muito complexas para serem manipuladas de uma forma mais analítica e lógica. De uma forma direta, semelhante à forma com que reconhecemos um rosto familiar, eles são capazes de selecionar, por meio do que para outros parece ser uma confusão intrincada de fatos, as formas mais adequadas para atacar os problemas mais difíceis do sujeito21 (GUZMÁN, 2002, p. 3).
Para este autor, a visualização aparece de maneira absolutamente natural no nascimento do pensamento matemático, descoberta de novas relações entre os objetos matemáticos e no processo de comunicação (GUZMÁN, 2002). Ele também afirma que a interpretação tem um peso importante na experiência de visualização.
20“a visual image is taken to be a mental construct depicting visual or spatial information, and a visualizer is a person who prefers to use visual methods when there is a choice” (p. 207).
21 “The experts in a particular field own a variety of visual images, of intuitive ways to perceive and manipulate the most usual concepts and methods in the subject on which they work. By means of them they are capable of relating, in a versatile manner the constellations of facts and results of the theory that are frequently too complex to be handled in a more analytic and logic manner. In a direct way, similar to the one in which we recognize a familiar face, they are able to select, through what to others seems to be an intricate mess of facts, the most appropriate ways of attacking the most difficult problems of the subject”.
Guzmán (2002) também apresenta alguns tipos de visualização e as dificuldades inerentes a elas. A primeira é a visualização Isomórfica, na qual os objetos têm uma correspondência exata com a representação que fazemos. Já na visualização Homeomórfica, “alguns dos elementos têm certas relações mútuas que imitam suficientemente bem as relações entre os objetos abstratos e assim eles podem nos fornecer suporte, por vezes, muito importantes, para orientar nossa imaginação na Matemática”22 (p. 6, tradução nossa). A visualização Analógica é aquela na qual podemos substituir os objetos trabalhados por outros que se relacionam entre si de forma parecida, mas tem um comportamento conhecido. E, por fim, a visualização Diagramática, que, segundo Guzmán (2002, p. 8),
neste tipo de visualização nossos objetos mentais e suas relações mútuas sobre os aspectos que são de interesse para nós são meramente representadas por diagramas que constituem um instrumento útil de ajuda para nossos processos de pensamento. Pode-se dizer que, em muitos casos, tais diagramas são semelhantes às regras mnemotécnicas.23
Guzmán (2002, p. 11) ressalta que “a imagem é muitas vezes a matriz da qual surgem os conceitos e métodos (...). A visualização é, portanto, extremamente útil no contexto do processo inicial de matematização, bem como no ensino e aprendizagem da matemática”24.
O autor ainda discute algumas críticas que são feitas em relação à visualização. Uma delas é que a visualização (usada incorretamente) pode levar a erros. Para Guzmán (2002), esse não é um argumento válido, pois até as técnicas mais formais são abertas a erros, falácias e raciocínios incompletos. Outra questão é que os alunos, mesmo após uma apresentação para justificar um fato usando apelo visual, acabam pedindo uma demonstração formal, ou seja, eles têm dificuldade em aceitar uma argumentação que não apresente o simbolismo e o rigor matemático. O argumento anterior também aparece na pesquisa realizada por Eisenberg e Dreyfus (1991, apud Borba e Villarreal, 2005). Para eles, os alunos relutam contra a visualização porque têm a crença de que a matemática não é visual, também não foram acostumados com análise visual e esta exige mais demandas cognitivas. Uma última crítica apontada por Guzmán (2002) é que a visualização é difícil, mas, para ele, o que traz
22 “[In this kind of visualization that I am calling ”homeomorphic”] some of the elements have certain mutual relations that imitate sufficiently well the relationships between the abstract objects and so they can provide us with support, sometimes very important, to guide our imagination in the mathematical processes of conjecturing, searching, proving,...”.
23 “In this kind of visualization our mental objects and their mutual relationships concerning the aspects which are of interest for us are merely represented by diagrams that constitute a useful help in our thinking processes. One could say that in many cases such diagrams are similar to mnemotechnic rules”.
24“the image is frequently the matrix from which concepts and methods arise (…). Visualization is therefore extraordinarily useful in the context of the initial process of mathematization as well as in that of the teaching and learning mathematics”.
dificuldades é a falta de uma preparação por meio da atividade de decodificação de imagens que muitos matemáticos não são capazes de transmitir.
Por fim, ele apresenta exemplos da análise Matemática para discutir o papel da visualização. Ele esclarece que neles não é preciso usar instrumentos sofisticados. Logo, defende uma visualização que em grande parte pode ser feita com as mídias tradicionais (papel, lápis, giz, lousa, etc.) por meio da imaginação e capacidade de representar (Guzmán, 2002, p. 15). Contudo, ele ressalta que “o estudante que é capaz de estabelecer um diálogo inteligente com a máquina, através de suas capacidades de representação, está em posição muito melhor para compreender todos os problemas que podem ser propostos”25 (GUZMÁN, 2002, p. 15, tradução nossa).
Para Lois e Milevicich (2008), é necessário que o ensino de Matemática retome o espírito geométrico. Eles exemplificam afirmando que os alunos não entendem o conceito de integral definida, pois não visualizam como esta área é construída como uma soma. O computador pode ser um aliado, pois, segundo eles,
O uso do computador na aula, como recurso pedagógico facilitador do processo de ensino e aprendizagem, pode ser um meio para coordenar os diferentes registros de representação de um conceito, mas acreditamos que a maior contribuição das novas tecnologias para melhorar a aprendizagem centra-se na criação de mídias personalizadas que melhor se adaptem às exigências da proposta pedagógica26 (LOIS e MILEVICICH, 2008, p. 6, tradução nossa).
Borba e Villarreal (2005) trazem, baseados em pesquisas de mestrado e doutorado, diversos exemplos onde foram utilizados computadores com softwares gráficos e/ou calculadoras gráficas para o estudo do Cálculo. Numa atividade sobre parábolas, usando o
software Graphmatica, por exemplo, diversas conjecturas puderam ser criadas sobre o
comportamento da parábola e sua relação com os coeficientes e raízes da expressão algébrica. É possível trabalhar em sala com diferentes representações usando os recursos tradicionais, mas atividades como as de traçado de gráficos são prejudicadas, uma vez que nessas mídias (quadro/giz e papel/lápis) os objetos construídos são estáticos e em número limitado. Com a utilização de um software que faz as construções e permite modificá-las é
25 “the student who is able to establish an intelligent dialogue with the machine through its representation capacities is in much better position to understand all the problems that might be proposed”.
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El uso del ordenador en el aula, como recurso didáctico facilitador de los procesos de enseñanza aprendizaje, puede ser un medio para coordinar los distintos registros de representación de un concepto, si bien consideramos que la mayor contribución de las nuevas tecnologías a la mejora del aprendizaje se centra en la creación de medios personalizados que mejor se adapten a los requerimientos pedagógicos de la propuesta.
possível dar o sentido dinâmico, permitindo a experimentação e a transição entre as representações.
No caso específico do Cálculo, Villarreal (1999) estudou o pensamento matemático dos estudantes dessa disciplina em ambientes computacionais. O computador teve papel destacado quando os estudantes o utilizaram para pensar com, de acordo com a perspectiva dos seres-humanos-com-mídias. Esta autora caracterizou duas abordagens (algébrica e visual) no processo de pensamento dos estudantes pesquisados. A abordagem algébrica se caracteriza por:
Preferência de resoluções analíticas quando resoluções gráficas também são possíveis;
Dificuldade para estabelecer interpretações gráficas das resoluções analíticas;
Quando uma resolução gráfica é pedida, há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico;
Facilidade para formular conjecturas e refutações ou gerar explicações a partir de fórmulas ou equações (VILLARREAL, 1999, p. 337).
Já a abordagem visual se caracteriza, segundo a autora, por:
Emprego de informações gráficas para resolver uma questão matemática que também poderia ser abordada algebricamente;
Dificuldade para estabelecer interpretações algébricas das resoluções gráficas;
Quando resoluções gráficas são solicitadas, não há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico;
Facilidade para formular conjecturas e refutações ou dar explicações a partir de informações gráficas (VILLARREAL, 1999, p. 339).
Para Villarreal (1999), o processo de visualização teve um papel fundamental, não subordinado à Álgebra. Apesar de trabalhos como o de Presmeg (2006) afirmarem que os “não visualizadores” apresentam melhor desempenho matemático, a pesquisa de Villarreal (1999) mostra que os aspectos visuais, algébricos e verbais são complementares no processo de aprendizagem da Matemática.