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múltiplo de 2 ou 3 é múltiplo de 3. 1 8 3 2 10 5 4 120

Desenhe todas as flechas que estão faltando no diagrama dado. Agora, complete:

Este problema é semelhante ao anterior, embora a relação definida sobre ele seja outra. Quando os alunos iniciaram o trabalho com esse problema, percebi que eles estavam confundindo divisores com múltiplos, ou seja, que esses conceitos não estavam ainda bem claros para eles. Acredito que isso possa ter ocorrido devido ao modo como eles haviam compreendido a relação existente entre múltiplo e divisor, isto é, não conseguindo imaginar a mesma flecha com dois significados diferentes. Assim, foi preciso lançar mão de outro recurso – usar as tabuadas – dizendo que os resultados dos produtos nas tabuadas (por exemplo do 2, 3, 4, ...) eram múltiplos desses números. A partir desses exemplos eles se mostraram mais convencidos e seguros.

Durante a exploração do Problema 3, perguntei aos alunos:

– O número 8 está na tabuada do 2? E na do 3? E na do 1? e assim por diante. É preciso relatar que essa atividade foi explorada por professora e alunos antes que eles entregassem seus resultados. A formalização desse trabalho deu-se quase que simultaneamente.

Durante a discussão, entre professora e alunos, algumas perguntas foram feitas:

– De algum número partiram flechas para todos os outros números? O que isso significa?

10 é múltiplo de

Alguns alunos disseram que do número 1 partiram flechas para todos os outros números do diagrama.

Perguntei por que isto ocorria e um aluno do Grupo 2 disse: – Porque todos os números podem ser divididos por 1.

e completando, disse que, por isso, o número 1 é divisor de todos os outros números. 1 é chamado divisor universal.

Uma outra pergunta foi:

– Em algum número chegaram flechas de todos os outros números? Por quê? Uma aluna do grupo 1 disse:

– Professora, no meu foi o número 120. Acho que é porque ele dá para dividir pelos outros números.

Continuando, questionei:

– De cada número parte uma flecha para ele mesmo? O que isso significa? Nesse momento a classe estava bastante participativa e até mesmo aqueles alunos que, no início, pareciam perdidos, durante a discussão começaram a se envolver no trabalho. Um aluno do grupo 5, que no início estava um pouco confuso, disse:

– Eu acho que é porque 1 dá para dividir por 1, 2 dá por 2, 3 dá por 3, ... Reforçando a idéia vinda desse aluno, disse:

– Então o número 1 é divisor do 1? O número 2 é divisor do 2? ... A classe concordou.

Aproveitando essa fala, recordando, chamamos a atenção do leitor para o seguinte: “Um número é divisível por outro quando a sua divisão por esse outro é exata.”

Se um número é divisível por outro diz também que ele é múltiplo desse outro, e o outro passa a ser seu divisor.

Múltiplo e divisor sempre andam juntos, pois se o primeiro número é múltiplo (ou divisível) do segundo, isto é, divisor (ou divide) do primeiro. Isto permite dizer que no conjunto dos números naturais, a relação: “ser divisível por”, ou sua inversa: “ser divisor de” são relações de ordem onde valem as propriedades reflexiva e transitiva. Assim, todo número é divisor e múltiplo de si mesmo. Por exemplo, 5 é múltiplo e divisor de 5. Também vale a transitividade, pois se 20 é divisível por 10 e 10 é divisível por 5 então 20 é divisível por 5.

Na figura 4.1.4, os alunos puderam perceber que 1 é divisor de todos os números; que qualquer número é divisor de si mesmo, e que se 2 é divisor de 10 e 10 é divisor de 120, então 2 é divisor de 120. Também puderam observar que não vale a simetria, isto é, 2 é divisor de 10 e 10 não é divisor de 2, mas seu múltiplo (anti-simétrica).

Continuei a perguntar:

– As flechas que partem de 2 apontam para que números? E de 5? E de 10? Por quê?

Nesse momento pedi que observassem as características dos números que recebiam as flechas do 2, do 5 e do 10. Pretendia que eles começassem a notar algo de comum nesses números.

Na realidade, estava assumindo que os alunos pudessem fazer uso de conhecimento anterior sobre os números pares e ímpares. Dante (2000, p. 34), no livro 2 da série Vivência e Construção, diz que:

Quando formamos grupos de 2 e não sobram elementos, o número total de elementos é par.

Quando formamos grupos de 2 e sobra um elemento, o número total de elementos não é par, é ímpar.

Jácomo Stávale (1956, p. 70) apresenta:

Primeiro caracter: Um número é divisível por 2, por 5 ou por 10, quando o número formado pelo primeiro algarismo da direita é divisível por 2, por 5 ou por 10.

Um número inteiro qualquer pode sempre ser decomposto em duas parcelas, sendo a primeira terminada por um zero e a segunda constituída pelo algarismo das unidades.

A primeira parcela, com um zero à direita é divisível por 10 e, por conseqüência, por 2 e por 5. Ora, se a segunda for divisível por 2, por 5 ou por 10, a soma também o será. Entretanto, se a segunda não for divisível por 2, por 5 ou por 10, a soma também não o será e os restos das duas divisões serão iguais.

Os números formados por um algarismo, divisíveis por 2, são 2, 4, 6, 8 e 0; divisível por 5 são 5 e 0; o único divisível por 10 é zero. É por isto que se diz que um número é divisível por 2 quando termina em 2, 4, 6, 8 ou 0; por 5 quando termina em 5 ou 0; por 10, quando termina em 0.

Os números divisíveis por dois são chamados números pares; os não divisíveis por 2 são chamados números ímpares.

Um aluno do grupo 4 disse prontamente:

– Os números que recebem as flechas do número 2 são pares.

Procurei não explorar muito esta parte para não interferir na atividade que seria proposta posteriormente, onde seriam trabalhados os critérios de divisibilidade.

Após terem completado os dois diagramas, os problemas 2 e 3, foram feitos mais alguns questionamentos:

– De algum número partiram flechas para todos os outros números, no diagrama I? O que isso significa?

Eles responderam que era o número 1 e que ‘o número 1 é divisor de todos os números’. Conforme eles respondiam, pedia-se que colocassem, no caderno, essas frases como observações importantes e fiz mais uma pergunta.

- Em algum número chegaram flechas de todos os outros números, no diagrama I? Por quê?

- No 120, pois todos os números do diagrama I são divisores de 120. 120 é múltiplo desses números.

- De cada número parte uma flecha para ele mesmo? O que isso significa? - Que todo número diferente de zero dá para dividir por ele mesmo.

Chamando a atenção de todos os alunos, adverti que essa afirmação não servia para o número zero, pois nunca é permitida a divisão por zero. Assim, o correto é afirmar que “todo número diferente de zero é divisor dele mesmo.”

– As flechas que partem de 2 apontam para que números? Por quê?, perguntei. Um aluno do grupo 4 prontamente respondeu:

– Para os números pares, por que estes podem ser escritos como 2 vezes qualquer número.

Como não foi possível terminar a discussão sobre os dois problemas propostos nas aulas previstas, foi necessário continuar esse trabalho de fixação de conceitos na aula seguinte.

Acredito que os objetivos colocados nas páginas 109 e 117, se não plenamente, pelo menos satisfatoriamente foram atingidos. Os alunos mostraram-se participativos e, trabalhando colaborativamente nos grupos, ajudaram a construir e formalizar, com muita ajuda da professora, os conceitos de múltiplo e divisor e de um número.

Como se tinha por objetivo, nas 9ª e 10 ª aulas, construir os conceitos de múltiplos e divisores comuns de dois ou mais números, pedi aos alunos que voltassem ao Problema 1 e à tarefa extraclasse da 2ª aula mostrando, novamente, os divisores de 48 e 36.

Perguntei o que percebiam com relação aos divisores desses dois números. Um aluno, do grupo 5, participando, o que não era freqüente nele, disse prontamente:

– Eles têm alguns números iguais como divisores.

Aproveitando sua colocação foi dito que aqueles números que apareciam tanto nos divisores de 36 quanto nos de 48 eram divisores comuns a eles. O significado da palavra “comum” foi procurado no dicionário. Um aluno do grupo 4, que possuía o dicionário Aurélio escolar, leu em voz alta para a classe.

A partir daí, foi formalizado o conceito de divisores comuns de dois ou mais números, através da decomposição dos mesmos e, posteriormente, o conceito de múltiplos comuns de dois ou mais números. Na lousa, foi registrado:

Divisores comuns de dois ou mais números

Sejam dados os números 36 e 48.

Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 Os divisores de 48 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48

Os números sublinhados são chamados divisores comuns de 36 e 48. Chamando D (n) o conjunto dos divisores de n, pudemos escrever:

D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} e D (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} e, chamando DC (36, 48), o conjunto de Divisores Comuns de 36 e 48, concluiu-se que,

DC (36, 48) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Observando que há um número finito de divisores comuns de 36 e 48.

Múltiplos comuns de dois ou mais números

Sejam dados os números 2 e 3.

Os múltiplos de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... Os números sublinhados são alguns múltiplos comuns de 2 e 3. Então, chamando M (n) o conjunto dos múltiplos de n, pudemos escrever:

Comum significa pertencente a todos ou a muitos; vulgar, trivial, ordinário; aquilo que é comum, habitual, geral.

M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} e M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} e, chamando MC (2, 3), o conjunto de Múltiplos Comuns de 2 e 3, concluiu-se que,

MC (2, 3) = {0, 6, 12, 18, ...}

Observando que há uma infinidade de múltiplos comuns de 2 e 3.

Foram deixadas algumas tarefas extraclasse para fixação dos conceitos construídos.

Tarefas Extraclasse: 1 – Dê os divisores de: a) 120 e) 4 b) 10 f) 3 c) 8 g) 2 d) 5 h) 1

2 – Com as respostas obtidas, complete a tabela abaixo: Números de um divisor,

apenas

Números de dois divisores, apenas

Números com MAIS de dois divisores

Nas 11ª e 12ª aulas, foram recolhidas as tarefas deixadas na aula anterior e discutidas

com a classe. O objetivo era o de que os alunos começassem a classificar os números quanto à quantidade de divisores que possuem para, posteriormente, introduzir os conceitos de números primos e números compostos.

Lembrei aos alunos que a palavra tabela já fazia parte de seu vocabulário.

Os alunos, em geral, não tiveram maiores dificuldades em executar as tarefas dadas, pois já haviam utilizado a decomposição de números e sabiam reconhecer cada fator do produto como divisor daquele número. Eles ainda não haviam aprendido a achar os divisores de um número pela regra prática, pois não tinham o conceito de número primo.

Durante as discussões, na plenária, procurei chamar a atenção dos alunos para a coluna de números de um divisor apenas, onde só havia sido colocado o número 1. Perguntei se havia algum outro número que também pudesse ficar nessa coluna.

Alguns alunos disseram que o número 2 estaria nessa coluna.

Ao pedir que escrevessem o número dois de maneira multiplicativa, isto é, como produto de números, eles fizeram a decomposição: 2 = 1 x 2 e 2 = 2 x 1, concluindo que o número dois tinha dois divisores: o 1 e ele mesmo. Após essa conversa todos concordaram que somente o número 1 possuía apenas um divisor. Complementei, dizendo que o número 1 possui apenas um divisor, que é ele mesmo, pois pode ser escrito apenas como 1 x 1 = 1.

A maioria dos grupos apresentou 1 na primeira coluna, 2, 3 e 5 na 2ª coluna e 4, 8, 10 e 12 na 3ª coluna.

No Projeto, para o tópico Múltiplos e Divisores, haviam sido propostas 7 aulas mas, realmente, para a aplicação foram necessárias 12 aulas.