Bu çalışmada, TIMSS 2011 sınavına katılan sekizinci sınıf öğrencilerin matematik başarı puanlarının ülke düzeyinde farklılık gösterip göstermediğini belirlemek ve ülkeden ülkeye farklılık gösteriyorsa ülke düzeyinde bu farklılığa neden olan değişkenleri tespit etmek amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda 41 ülke, 7.690 okul ve 234.918 öğrenciye ait verilerle üç düzeyli HLM analizi gerçekleştirilmiş ve aşağıdaki bulgulara ulaşılmıştır.
Birinci Alt Probleme İlişkin Bulgular ve Yorum
Öğrenci, okul ve ülke düzeylerinde öğrencilerin ortalama matematik başarıları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını tespit etmek için HLM analizinde boş model olarak da bilinen rastgele etkiler ANOVA modeli kullanılmıştır. Bu modelde üç düzeyde de hiç bir bağımsız değişken kullanılmamıştır. Bu modelin amacı, toplam varyansın hiyerarşik lineer modellemenin üç düzeyi arasında (öğrenci, okul ve ülke) nasıl dağıldığı ortaya çıkarmaktır. Sabit etkilere ilişkin analiz sonuçları Tablo 6’da, rastgele etkilere ilişkin analiz sonuçları Tablo 7’de sunulmuştur.
Tablo 6
Tamamen Koşulsuz Model (Boş Model) Analiz Sonuçları (Sabit Etkiler)
Sabit etkiler Katsayılar Standart hata t Yaklaşık
s.d. p
Kesim noktası1, π0
Kesim noktası2, β00
52
Tablo 6’daki “Kesim noktası katsayısı” TIMSS matematik puan ortalaması şeklinde yorumlanmaktadır. Kesim noktası1(π0) okul ortalamalarını, Kesim noktası2(β00) ülke
ortalamalarını ve Kesim noktası3(γ000) de genel ortalamayı ifade etmektedir. Tablo 6
incelendiğinde genel ortalama (γ000) yaklaşık olarak 9,77 standart hata ile 463,78 olarak
kestirildiği görülmektedir. Genel ortalamanın gerçek değerinin (%95 güven aralığı ile) 444,63 ile 482,93 aralığında olması beklenir (%95CI(γ000) = 463,78 ± (1,96)(9,77)). Genel
ortalamanın sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 000
0
H
H0 hipotezini test etmek için γ000 katsayısının p değeri incelenmiştir. Katsayının p değeri
istatistiksel olarak anlamlı bulunduğu (p<0,001) için H0 hipotezi reddedilmiştir.
Tablo 7
Tamamen Koşulsuz Model (Boş Model) Analiz Sonuçları (Rastgele Etkiler)
Rastgele Etkiler Standart
Sapma Varyans bileşenleri s.d. χ2 p Kesim noktası1,r0 54,72860 2995,22001 7649 141942,45141 <0,001 Düzey-1, e 71,74127 5146,80945 Kesim noktası1/Kesim noktası2,u00 62,37236 3890,31081 40 8960,71841 <0,001
Tablo 6 ve 7’de sunulan verilerden elde edilebileceği gibi, okulların TIMSS matematik puanı ortalamalarının %95’inin 356,51 ile 571,05 aralığında olması beklenir (γ̂= 463,78+(1,96)(54,73)). Aynı şekilde ülkelerin TIMSS matematik puanları 00
ortalamalarının %95’inin 341,53 ile 586,03 aralığında olması beklenir (γ̂=463,78 00
+(1,96)(62.37)).
Tablo 7’de rastgele etkiler incelendiğinde, TIMSS matematik puanlarının okul içi değişkenliğin (e) 5146,81 olarak, okullar arası değişkenliğin (r0) 2995,22 olarak ve ülkeler
arası değişkenliğin (u00) 3890,31 olarak kestirildiği görülmektedir.
Okulların ortalama matematik başarılarının varyansının sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
53
0
:
000
H
Benzer şekilde ülkelerin ortalama matematik başarılarının varyansının sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 00 0
H
Yukarıdaki hipotezleri test etmek için (r0) ve (u00) katsayılarının p değerleri incelenmiştir.
Katsayıların p değerleri 0,001 alfa düzeyinden küçük olduğu için H0 hipotezi reddedilir.
Başka bir ifade ile okulların ve ülkelerin ortalama matematik başarılarında istatistiksel olarak anlamlı farklılıklar olduğu söylenebilir. Ayrıca TIMSS 2011 sekizinci sınıf matematik puanı ortalamalarının okul (p<0,001) ve ülke (p<0,001) düzeylerindeki değişkenliğinin anlamlı bulunması üç düzeyli hiyerarşik lineer modelinin kurulması gerekliliğini ortaya koymaktadır. Sonraki modelde düzeylere yordayıcı değişkenler eklenerek, düzeylerdeki varyanslar açıklanmaya çalışılmıştır. Bağımlı değişkendeki varyansın ne kadarının birinci düzeyden, ne kadarının ikinci düzeyden ve ne kadarının üçüncü düzeyden kaynaklandığını belirlemek amacıyla okul içi, okullar arası ve ülkeler arası varyans oranları “𝜌 ” hesaplanır (Raudenbush & Bryk, 2002, s.230):
Okul içi varyans oranı : p̂ = 5146,81 / (5146,81 + 2995,22 + 3890,31) = 0,428 Okullar arası varyans oranı : p̂ = 2995,22 / (5146,81 + 2995,22 + 3890,31) = 0,249 Ülkeler arası varyans oranı : p̂ = 3890,31 / (5146,81 + 2995,22 + 3890,31) = 0,323 Bu sonuçlara göre TIMSS matematik puanlarındaki varyansın %42,8’inin öğrenci düzeyinden, %24,9’inin okul düzeyinden ve %32,3’ünün de ülke düzeyinden kaynaklandığı söylenebilir. Varyans oranının en büyük kısmının (%42,8) öğrenci düzeyinde olduğu görülmektedir. Bu durum matematik başarılarını etkileyen değişkenlerin büyük kısmının öğrenci düzeyinde olduğu veya öğrenci düzeyi değişkenlerin öğrencilerin matematik başarılarını yordama da büyük öneme sahip olduğu şeklinde ifade edilebilir.
Bu araştırmanın konusunu oluşturan ülke düzeyindeki varyansa bakıldığında %32,3 ile öğrenci düzeyinden sonra geldiği görülmektedir. Bu sonuca göre matematik başarısını açıklamak için sadece öğrenci ve okul düzeyi değişkenlerini ele alan birçok araştırmanın aksine ülke düzeyindeki değişkenlerin de matematik başarısını yordama da önemli bir etkisi olduğu söylenebilir. Öyle ki ülke düzeyindeki açıklanan varyans oranının okul düzeyindekinden büyük olduğu da görülmektedir. Bir sonraki aşamada modelin üçüncü
54
düzeyine ülke ortalamaları arasındaki bu farkları açıklamak üzere ülke özelliklerini yansıtan değişkenler eklenmiştir. Bu çalışmada odak noktası ülke özellikleri olduğu için düzey 1 ve düzey 2 deki değişkenliği açıklamak için hiçbir öğrenci ve okul değişkeni kullanılmamıştır. Tablo 8
Tamamen Koşulsuz Model (Boş Model) Güvenirlik Katsayıları
Rastgele Katsayı Güvenirlik
Düzey 1 (Kesim noktası1, π0 ) 0,936
Düzey 2 (Kesim noktası1/Kesim noktası2, β00) 0,995
Tablo 8’deki düzey 1 ve düzey 2 kesim noktası katsayılarının güvenirlikleri incelendiğinde veri seti için rastgele etkiler ANOVA modeli analizinde TIMSS matematik başarı ortalamaları için güvenirlik birinci düzeyde 0,936 ve ikinci düzeyde 0,995 olarak kestirildiği görülmüştür. Buna göre örneklem ortalamalarının gerçek ortalamaların oldukça güvenilir göstergeleri olma eğiliminde oldukları söylenebilir.
İkinci Alt Probleme İlişkin Bulgular ve Yorum
Ülkelerin ortalama matematik başarı puanları arasında anlamlı bir fark belirlendikten sonra, öğrenci ve okul düzeyindeki değişkenler kontrol altına alınarak, bu farklılıkları açıklayan ülke düzeyi değişkenler araştırılmıştır. İkinci araştırma sorusunu cevaplamak için ortalamaların bağımlı değişken olduğu model (Means as outcome model) kullanılmıştır. Ortalamaların bağımlı değişken olduğu modelde yalnızca düzey 1 ve düzey 2 regresyon sabitlerinin (πojk ve β00k ) rastgele değiştiği varsayılır ve düzey 1 ve düzey 2 eğim katsayıları mevcut değildir. Modelin üçüncü düzeyine düzeltilmiş ülke ortalamaları arasındaki farkları açıklamak üzere modele ülke özelliklerini yansıtan değişkenler eklenmiştir.
HLM analizine başlamadan önce HLM 7.01 programına aktarılan yordayıcı değişkenlerin hangisi/hangilerinin modele dâhil edileceğini belirlemek için hem HLM 7.01 programında açımlayıcı analiz hem de SPSS 21.0 programında “Forward” yöntemi kullanılarak regresyon analizi yapılmıştır. Aynı işlevi gören ve birbirinin sağlaması niteliğinde olan her iki analizde de birbirine benzer sonuçlar ortaya çıkmış ve sonuçta, açımlayıcı analizde t değerleri ve Forward yönteminde F değerleri anlamlı çıkan, “Beklenen okullaşma yılı”, “Yüksekokul ve
55
üzeri okul mezunu yüzdesi” ve “Zorunlu eğitim sınıfı” değişkenlerinin yordayıcı değişken olarak HLM modeline alınmasına karar verilmiştir. Sabit ve rastgele etkilerin raporlanması için iki farklı tablo oluşturulmuştur. Model eşitliklerine ve modelin analiz sonuçlarına aşağıda yer verilmiştir.
Düzey-1 (Öğrenci Düzeyi) Modeli: BSMMAT01ijk = π0jk + eijk
Düzey 2 (Okul Düzeyi) Modeli: π0jk = β00k+ r0jk
Düzey 3 (Ülke Düzeyi) Modeli:
β00k= γ000+ γ001(BEK_OKL)k + γ002(YUK_OK_MZN)k + γ003(ZOR_EG_SNF)k +u00k
Birleştirilmiş Model
BSMMAT01ijk= γ000+ γ001(BEK_OKL)k + γ002(YUK_OK_MZN)k +
γ003(ZOR_EG_SNF)k + u00k + r0jk + eijk
Tablo 9
Ortalamaların Bağımlı Değişken Olduğu Model Analiz Sonuçları (Sabit Etkiler)
Sabit etkiler Katsayılar Standart
hata t s.d. p Kesim noktası1, π0 Kesim noktası2, β00 Kesim noktası3, γ000 463,769003 5,374977 86,283 37 <0,001 BEK_OKL, γ001 17,640293 3,052019 5,780 37 <0,001 YUK_OK_MZN, γ002 2,179724 0,496041 4,394 37 <0,001 ZOR_EG_SNF, γ003 -15,919885 4,508812 -3,531 37 0,001
İkinci düzey sabit etkiler analiz sonucu Tablo 9’da verilmiştir. Tablo 9 incelendiğinde genel ortalama, Kesim noktası3 (γ000) yaklaşık olarak 5,38 standart hata ile 463,77 olarak
56
kestirildiği görülmektedir. Genel ortalamanın gerçek değerinin (%95 güven aralığı ile) 453,23 ile 474,31 aralığında olması beklenir (%95CI(γ000) = 463.77 ± (1,96)(5,38)). Genel
ortalamanın sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 000
0
H
H0 hipotezini test etmek için γ000 katsayısının p değeri incelenmiştir. Katsayının p değeri
istatistiksel olarak anlamlı bulunduğu (p<0,001) için H0 hipotezi reddedilmiştir.
Tablo 9 incelendiğinde “Beklenen okullaşma yılı” (BEK_OKL) değişkeni katsayısı (γ001)
ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi 17,64 olarak kestirilmiştir. Kestirimin standart hatası 3,05’dir. Bu değer beklenen okullaşma yılındaki bir yıllık artışın ortalama TIMSS matematik başarısında yaklaşık 17 puanlık bir artışa karşılık geleceğini ifade eder. Ülkelerin “Beklenen okullaşma yılı” ve ortalama TIMSS matematik başarısı arasındaki ilişkinin sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 001
0
H
Buna göre “Beklenen okullaşma yılı” nın ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi 0,05 alfa düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır (p < 0,001). Burada BEK_OKL değişkeninin ortak etkisinin raporlandığı da söylenebilir. Başka bir ifade ile bu değişken farklı ülkelerdeki okul ve öğrenciler üzerinde farklı etkiye sahiptir.
Tablo 9 incelendiğinde “Yüksekokul ve üzeri okul mezunu yüzdesi” (YUK_OK_MZN) değişkeni katsayısı (γ002) ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi 2,18 olarak
kestirilmiştir. Kestirimin standart hatası 0.50’dir. Bu değer bir ülkenin 25 yaş ver üzerindeki nüfusundaki “Yüksekokul ve üzeri okul mezunu yüzdesi” ndeki bir birimlik artışın, o ülkenin ortalama TIMSS matematik başarısında yaklaşık 2 puanlık bir artışa karşılık geleceğini ifade eder.
Ülkelerin “Yüksekokul ve üzeri okul mezunu yüzdesi” ve ortalama TIMSS matematik başarısı arasındaki ilişkinin sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 002
0
57
Buna göre “Yüksekokul ve üzeri okul mezunu yüzdesi” değerinin ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi 0,05 alfa düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır (p < 0,001). Burada YUK_OK_MZN değişkeninin ortak etkisinin raporlandığı da söylenebilir. Başka bir ifade ile bu değişken farklı ülkelerdeki okul ve öğrenciler üzerinde farklı etkiye sahiptir.
Tablo 9 incelendiğinde “Zorunlu eğitim sınıfı” (ZOR_EG_SNF) değişkeni katsayısı (γ003)
ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi -15,92 olarak kestirilmiştir. Kestirimin standart hatası 4,51’dir. Bu değer bir ülkenin “Zorunlu eğitim sınıfı” bir sınıf artırıldığında, o ülkenin ortalama TIMSS matematik başarısında yaklaşık 16 puanlık bir azalma meydana geleceğini ifade eder.
Ülkelerin “Zorunlu eğitim sınıfı” ve ortalama TIMSS matematik başarısı arasındaki ilişkinin sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 003
0
H
Buna göre “Zorunlu eğitim sınıfı” değerinin ortalama TIMSS matematik başarısı üzerindeki etkisi 0,05 alfa düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır (p = 0,001). Burada ZOR_EG_SNF değişkeninin ortak etkisinin raporlandığı da söylenebilir. Başka bir ifade ile bu değişken farklı ülkelerdeki okul ve öğrenciler üzerinde farklı etkiye sahiptir.
Tablo 10
Ortalamaların Bağımlı Değişken Olduğu Model Analiz Sonuçları (Rastgele Etkiler) Rastgele Etkiler Standart
Sapma Varyans Bileşenleri s.d. χ2 p Kesim noktası1,r0 54,72947 2995,31454 7649 141943,10618 <0,001 Düzey-1,e 71,74125 5146,80692 Kesim noktası1/ Kesim noktası2, u00 34,08373 1161,70094 37 2482,68064 <0,001
Tablo 10 incelendiğinde öğrenci düzeyinde, okul ortalaması çevresinde öğrencilerin matematik başarılarının varyansı 5146,81 olarak kestirilmiştir. Okul düzeyinde, yordayıcı değişkenler kontrol altına alındıktan sonra okulların ortalama matematik başarılarının varyansı (artık varyans) 2995,31 olarak kestirilmiştir. Ülke düzeyinde ise, yordayıcı
58
değişkenler kontrol altına alındıktan sonra ülkelerin ortalama matematik başarılarının varyansı (artık varyans) 1161,70 olarak kestirilmiştir.
Yordayıcı değişkenler kontrol altına alındıktan sonra okulların TIMSS matematik puanı ortalamalarının %95’inin 356,50 ile 571,04 aralığında olması beklenir (γ̂= 463.77+(1,96)(54,73)). Aynı şekilde ülkelerin TIMSS matematik puanları 00
ortalamalarının %95’inin 396,97 ile 530,57 aralığında olması beklenir (γ̂=463,77 00
+(1,96)(34,08)). Bu aralık yordayıcı değişkenler sabit tutulmadığında elde edilen aralığa (341,53 - 586,03) göre daha dardır.
Yordayıcı değişkenler kontrol altına alındıktan sonra ülkelerin ortalama TIMSS matematik başarılarının varyansının sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek üzere kurulan sıfır hipotezi aşağıdaki gibidir:
0 : 00 0
H
Yukarıdaki hipotezleri test etmek için (u00) katsayısının p değerleri incelenmiştir. Katsayının
p değeri 0,001 alfa düzeyinden küçük olduğu için H0 hipotezi reddedilir. Başka bir ifade ile
yordayıcı değişkenler kontrol edildikten sonra ülkelerin ortalama TIMSS matematik başarılarında anlamlı varyans açıklanmadan kalır.
Ortalama ülke TIMSS matematik başarıları için iki modelde kestirilen varyans değerleri karşılaştırılarak açıklanan varyans oranı indeksi elde edilebilir:
Düzey-3’te Açıklanan Varyans = 00(Model 1) - 00(Model 2)
00
(Model 1)
= 3890,31081- 1161,70094
3890,31081 = 0,70
Buna göre TIMSS matematik başarısındaki ülkeler-arası varyansın yaklaşık %70’i BEK_OKL, YUK_OK_MZN ve ZOR_EG_SNF değişkenleri tarafından açıklanır. Ülke düzeyinin TIMSS matematik başarısındaki varyansın %32’sini açıkladığı göz önüne alınırsa bu yordayıcı değişkenlerin TIMSS matematik başarısındaki varyansın yaklaşık %22,4’ünü açıkladığı söylenebilir.
59
Aşağıdaki 𝜌 değeri, TIMSS matematik başarısının BEK_OKL, YUK_OK_MZN ve ZOR_EG_SNF değişkenleri kontrol altına alındıktan sonra ülkeler arasındaki varyans oranının kestirilen değerini verir:
𝜌 (ülkeler arası) = 𝜏𝛽 / (𝜎2+ 𝜏
𝜋+ 𝜏𝛽)
=1161,70 / (5146,81 + 2995,31 + 1161,70) = 0,125
Son durumda BEK_OKL, YUK_OK_MZN ve ZOR_EG_SNF değişkenleri kontrol altına alındıktan sonra TIMSS matematik başarılarındaki varyansın yaklaşık %12,5’lik kısmı ülkeler arasında açıklanmadan kalır.
Von Secker ve Lissitz (1999)’e göre, büyük örneklemler üzerinde yapılan istatistiksel analizlerde bağımsız değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki çok küçük etkileri bile istatistiksel olarak anlamlı sonuçlar verebilir. Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkenler üzerinde olan istatistiksel olarak anlamlı etkilerinin pratikte ne kadar önemli olduğunu değerlendirebilmek için etki büyüklüğünün hesaplanmasına ihtiyaç duyulur.
Etki büyüklüklerinin hesaplanabilmesi için tamamen koşulsuz model ve ortalamaların bağımlı değişken olduğu model analizleri standardize edilmiş verilerle tekrar gerçekleştirilmiştir. Standardize edilmiş verilerle gerçekleştirilen tamamen koşulsuz modelin (boş model) rastgele etkilerine ilişkin analiz sonuçlar Tablo 11’de, ortalamaların bağımlı olduğu modelin sabit etkilerine ilişkin analiz sonuçları da Tablo 12’de sunulmuştur.
Tablo 11
Standardize Edilmiş Verilerle Gerçekleştirilen Tamamen Koşulsuz Model (Boş Model) Analiz Sonuçları (Rastgele Etkiler)
Rastgele Etkiler Standart
Sapma Varyans bileşenleri s.d. χ 2 p Kesim noktası1,r0 0,49713 0,24714 7649 141942,48519 <0,001 Düzey-1, e 0,65167 0,42467 Kesim noktası1/Kesim noktası2,u00 0,56656 0,32099 40 8961,07773 <0,001
60 Tablo 12
Standardize Edilmiş Verilerle Gerçekleştirilen Ortalamaların Bağımlı Değişken Olduğu Model Analiz Sonuçları (Sabit Etkiler)
Sabit etkiler Katsayılar Standart
hata t s.d. p Etki Büyük. Kesim noktası1, π0 Kesim noktası2, β00 Kesim noktası3, γ000 0,032831 0,048748 0,673 37 0.505 BEK_OKL, γ001 0,320401 0,055363 5,787 37 <0,001 0,57 YUK_OK_MZN, γ002 0,241563 0,054955 4,396 37 <0,001 0,43 ZOR_EG_SNF, γ003 -0,177182 0,050164 -3,532 37 0,001 0,31
Standartlaştırılmış verilerle gerçekleştirilen analiz sonucu Tablo 12’de yer alan etki büyüklükleri, gamma katsayılarının Tablo 11’de yer alan boş model (tamamen koşulsuz model) ülkeler-arası standart sapmaya (0,56656) bölünmesi ile elde edilmiştir (Von Secker & Lissitz, 1999). Etki büyüklükleri incelendiğinde, diğer değişkenlerin etkileri sabit tutulduğunda ülkelerin beklenen okullaşma yıllarındaki bir standart sapmalık artışın ortalama matematik başarısında yaklaşık 0,57 standart sapmalık artışa neden olması beklenir. Benzer şekilde ülkelerin 25 yaş ve üzerindeki nüfusundaki yüksekokul ve daha üzeri bir okulu bitirme yüzdelerindeki bir standart sapmalık artışın ortalama matematik başarısında yaklaşık 0,43 standart sapmalık artışa neden olacağı söylenebilir. Son olarak ülkelerin zorunlu eğitimi yıllarındaki bir standart sapmalık artışın ortalama matematik başarısında yaklaşık 0,31 standart sapmalık azalışa neden olması beklenir.
Raudenbush and Liu (2000), sabit ekiler için elde edilen standardize edilmiş etki büyüklüklerinde 0,2-0,5 küçük etki; 0,5-0,8 orta büyüklükte etki ve 0,8 ve üzeri büyük etki aralıklarını önermektedir. Bu değerlere göre etki büyüklüklerine ilişkin sonuçlar incelendiğinde, “Beklenen okullaşma yılı” yordayıcısının ortalama matematik başarısı üzerinde orta büyüklükte bir etkiye sahip olduğu, “Yüksekokul ve üzeri okul mezunu yüzdesi” ve “Zorunlu eğitim sınıfı” yordayıcılarının ise ortalama matematik başarısı üzerinde küçük bir etkiye sahip oldukları söylenebilir.
61 Tablo 13
Ortalamaların Bağımlı Değişken Olduğu Model Güvenirlik Katsayıları
Rastgele Katsayı Güvenirlik
Düzey 1 (Kesim noktası1, π0 ) 0,936
Düzey 2 (Kesim noktası1/Kesim noktası2, β00) 0,984
Tablo 13’teki düzey 1 ve düzey 2 kesim noktası katsayılarının güvenirlikleri incelendiğinde veri seti için bağımlı değişken olarak ortalamalar modelinin analizinde TIMSS matematik başarı ortalamaları için güvenirlik birinci düzeyde 0,936 ve ikinci düzeyde 0,984 olarak kestirildiği görülmüştür. Buna göre örneklem ortalamalarının gerçek ortalamaların oldukça güvenilir göstergeleri olma eğiliminde oldukları söylenebilir.
63