Apesar de programadas um total de doze atividades, sendo que cinco delas pertenciam ao terceiro conjunto, o número de sessões disponíveis (oito no total) não foi suficiente para o desenvolvimento de todas as atividades propostas. Assim, do terceiro conjunto de atividades apenas três questões foram resolvidas pelos alunos.
Para a execução da Atividade 10, a professora instruiu o grupo para que realizassem a construção do paralelogramo conforme as instruções da atividade anterior, ou seja, que a construção fosse robusta e que as duplas só utilizassem as transformações geométricas e que, em seguida, realizassem a prova de sua construção.
5.1.3.1.SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
Durante a execução desta última atividade, ocorreu, no sistema de aprendizagem A, a falta de dois alunos: Guilherme e Júlia. Pensando que seria mais produtivo o trabalho em duplas, a professora reorganizou duas alunas que estavam sós, Maíra e Paula, formando uma nova dupla. Desta forma, na última sessão programada, havia, neste sistema de aprendizagem, apenas duas duplas ao invés de três como nas anteriores.
As duplas iniciaram suas construções criando dois segmentos de vértice comum. Inicialmente, as alunas pensaram em utilizar a reflexão pois todas as construções realizadas nas atividades anteriores possuíam eixo de reflexão, porém, como o paralelogramo não possui tal eixo, as duplas abandonaram esta estratégia antes mesmo de sua construção e passaram a realizar a translação de um dos segmentos (Figura 5.13).
Figura 5.13: Passos da construção do paralelogramo da Atividade 10
Em seguida, manipularam o vetor até que o vértice do segmento transladado coincidisse com o vértice do outro segmento construído (Figura 5.14).
Figura 5.14: Posição final do segmento BC na construção do paralelogramo da Atividade 10
O passo final foi a construção do segmento unindo o vértice do segmento transladado e o vértice do segmento original obtendo assim o paralelogramo pedido (Figura 5.15).
Figura 5.15: Exemplo de construção da Atividade 10 realizada no Sist. de Aprendizagem A
A dupla Maíra/Paula fez questão de medir os lados e ângulos da figura construída como forma de comprovar que realmente tratava-se de um paralelogramo, ou seja, que os lados opostos apresentavam medidas iguais assim como os ângulos opostos. A descrição da construção realizada por esta dupla encontra-se na Figura 5.16.
Terminada as construções das duas duplas, a professora/pesquisadora realizou o teste da robustez da figura. Tal teste revelou que ambas as construções realizadas não eram robustas devido ao uso do vetor externo (Figura 5.17).
Figura 5.17: Resultado da manipulação do vetor da Atividade 10
Nenhuma das duplas refez a construção pois, sob a perspectiva das duplas, a construção realizada estava correta, apesar de não robusta. Em termos dos passos da construção realizada, uma das formas para que esta construção fosse robusta, seria necessário que um lado do paralelogramo fosse substituído por um vetor, isto é, uma conexão inter-intra – o vetor poderia ser tratado como interno à figura.
Novamente, utilizando como modelo a Atividade 8, as duplas passaram a construir suas provas (Figura 5.18). Na dupla recém-criada, Maíra tentou convencer Paula a utilizar a mesma estratégia utilizada por ela e Júlia na resolução da Atividade 9, ou seja, elaborar a prova traçando um paralelo entre o modelo da Atividade 8 e a construção realizada. Como tal estratégia era semelhante a utilizada por Paula e Guilherme, Paula não fez nenhuma objeção quanto ao uso desta estratégia. A dupla pediu à professora para que disponibilizasse o cartaz com as afirmações e as respostas corretas para consulta. Além disso, a dupla necessitou ainda consultar os dados da Tabela 5.2 onde observaram que as características do paralelogramo são lados opostos iguais e os ângulos opostos iguais.
Figura 5.18: Prova da Atividade 10 realizada pela dupla Maíra/Paula
A dupla apresentou grande dificuldade na elaboração desta prova já que a construção realizada não apresentava grande semelhança com a construção da Atividade 8, pois a reflexão não foi utilizada.
Como nenhuma afirmação sobre a igualdade dos segmentos iniciais poderia ser realizada - pois estes segmentos foram construídos livremente e não através das transformações geométricas -, a dupla iniciou sua prova através da afirmação sobre a igualdade dos ângulos. Porém, após esta primeira afirmação, as alunas retornaram às afirmações anteriores da Atividade 8 e elaboraram seus paralelos a estas, ou seja, a ordem não apresentou relevância para a dupla durante a elaboração da prova, passando a ser uma coleção de “fatos” e “observações” sem uma seqüência lógica de raciocínio.
Interessante observar que, apesar da interferência da professora na prova da Atividade 9 referente ao uso dos valores dos ângulos na prova, esta dupla continuou utilizando tanto as medidas de ângulos quanto dos segmentos do paralelogramo, porém, o tratamento dado a esta informação pode ser caracterizado como um “exemplo genérico” na classificação de Balacheff (1988), ou seja, o paralelogramo construído tornou-se um exemplo da classe a qual
pertence através do qual podem ser realizadas as operações e/ou transformações que representam sua classe.
De outro lado, percebe-se que a dupla conhecia o objetivo a ser alcançado, ou seja, que sua prova deveria terminar afirmando que a figura construída possuía as características do paralelogramo, ou seja, lados e ângulos opostos iguais. Esta afirmação foi realizada ao final da prova, mas como justificativa de que a figura era realmente um paralelogramo, ou seja, ela não derivava das afirmações anteriores, sendo que, pelo menos para justificar a igualdade entre um dos segmentos originais e sua imagem (obtida através da translação), a dupla poderia ter utilizado a propriedade sobre a congruência entre o segmento original e sua imagem obtida através da translação.
Apesar da afirmação sobre congruência ter sido a mais utilizada pelas duplas nas atividades anteriores, nesta prova, a única afirmação relacionada às transformações geométricas referia-se ao paralelismo do segmento original e sua imagem obtida através da translação.
Uma preocupação desta dupla, presente durante a execução desta prova, centrou-se no número de afirmações e, aparentemente, não na validade de cada uma das delas.
A dupla fez questão de inserir em sua prova a característica de que a figura obtida era robusta, apesar desta figura não apresentar robustez pois, ao se movimentar o vetor, a mesma não permanecia com os lados paralelos (Figura 5.17), fato este de conhecimento da dupla. Porém, ao movimentar-se o vértice A, a figura permanecia com as características de um paralelogramo o que levou à justificativa sobre a robustez (Figura 5.19). Ou seja, a manipulação da figura da Atividade 10 teve ênfase nos aspectos intrafigurais, isto é, no ângulo BÂD e não nos interfigurais, já que as alunas não manipularam o vetor, ângulo ou eixo de simetria.
Figura 5.19: Resultado da manipulação do vértice A da construção elaborada para a Atividade 10
A dupla Ana/Letícia também apresentou grande dificuldade na elaboração desta prova (Figura 5.20) pois, seguindo os passos das provas anteriores, sempre era utilizada a reflexão, o que não ocorre no paralelogramo.
Figura 5.20: Prova da Atividade 10 realizada pela dupla Ana/Letícia
A falta de ordem das afirmações mostrou-se muito forte nesta prova que tem como primeira afirmação a igualdade dos lados opostos da figura, afirmação esta que deveria ser uma das conclusões da prova. De fato, esta dupla não conseguiu
relacionar sua construção com sua prova, por exemplo, ao construir um segmento a partir da translação do segmento original, a dupla conseguiu uma justificativa tanto para a congruência entre os segmentos quanto para o paralelismo dos mesmos, porém, a mesma justificativa foi utilizada para os outros dois segmentos, sendo que esta construção não foi realizada através da translação.
Assim como na Atividade 9, a dupla utilizou-se de fatos que deveriam ser
comprovados conforme pode ser observado na afirmação ABˆ =C ADˆC pois “os
ângulos opostos de um paralelorama são iguais”, ou seja, a justificativa utilizada era uma das afirmações que deveriam ser conclusões da prova e não justificativas da mesma.
A igualdade entre os segmentos AB e CD também não teve uma justificativa que possa ser considerada correta pois, o segmento CD, diferentemente de BC, não foi construído através de uma translação, mas da união dos vértices obtidos na construção.
Para a justificativa do paralelismo dos segmentos, a dupla poderia ter utilizado o fato observado na Atividade 5 sobre o paralelismo dos segmentos ao vetor ao invés da justificativa pragmática dada.
A dupla tentou ainda realizar uma última afirmação sobre a igualdade dos ângulos opostos do paralelogramo, o que acabou desconsiderando já que esta afirmação foi considerada como verdade servindo inclusive, de justificativa.
5.1.3.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
Os alunos foram instruídos pela professora a iniciarem a Atividade 10 sobre a construção do paralelogramo. A professora/pesquisadora relatou a semelhança desta atividade com a anterior tendo em vista que apenas as transformações geométricas deveriam ser utilizadas. Além disso, a professora/pesquisadora colocou na lousa as propriedades do paralelogramo: ângulos opostos iguais e lados opostos iguais. Concluiu suas orientações ressaltando que, devido às
medidas dos lados do paralelogramo serem diferentes, estes poderiam ser construídos através de dois segmentos com um vértice comum.
A dupla Cínthia/Flávia e Pedro/Felipe tiveram dificuldades em realizar a construção do paralelogramo. Tal dificuldade ocorreu porque ambas as duplas, seguindo o modelo das atividades anteriores, decidiram utilizar a reflexão, verificando que a mesma não funcionava para o paralelogramo pois o mesmo não possui eixo de reflexão. Numa segunda tentativa as duplas decidiram combinar a reflexão com outra transformação (rotação ou translação) porém, desta forma, também não obtiveram o resultado esperado. Uma última construção foi realizada utilizando-se apenas da translação. Esta construção foi realizada construindo-se dois segmentos de mesma origem, transladando um destes segmentos pelo vetor original e modificando o tamanho do vetor até encaixar na linha poligonal (conforme ilustram as Figuras 5.13 e 5.14). Porém, ao invés de efetuar a construção de um segmento unindo os vértices obtidos, ou seja, a mesma estratégia utilizada pelo sistema de aprendizagem A, as duplas resolveram construir um novo vetor, externo a linha poligonal conforme ilustra o trecho abaixo:
Professora: - O que que você ta fazendo? Cínthia: - To fazendo o vetor.
Professora: - E como é que tem que ser esse vetor? Flávia: - De assim, de assim.
Professora: - É?
Flávia: - Não. Sei lá, faz de qualquer jeito, se não der certo a gente muda.
Professora: - Faz aí a translação e depois você vê direitinho a posição dele.
Flávia: - É.
O diálogo, assim como a Figura 5.21, mostra que a dupla, ao transladar o outro segmento através do novo vetor, modificou o tamanho e a orientação do mesmo a fim de obter o paralelogramo.
Figura 5.21: Passos da construção da Atividade 10 realizada pela dupla Cínthia/Flávia
A construção desta dupla parece ter sido realizada baseando-se em aspectos perceptuais, ou seja, aproximando o vetor até que o segmento transladado encontre-se na posição desejada. Aparentemente, pode-se associar esta construção à percepção, por parte dos alunos de aspectos interfigurais, porém, neste caso, não se tem indicações suficientes de que eles tenham consciência destas relações.
A professora/pesquisadora foi chamada para verificar a robustez das figuras construídas, verificando que a construção realizada não era robusta. A dupla Cínthia/Flávia ainda tentou reconstruir a figura de forma a obter uma figura robusta, porém, diante das dificuldades acabou desistindo e retomou a construção original. A dupla Pedro/Felipe sugeriu que para refazerem a construção deveriam utilizar uma nova ferramenta:
Pedro: - Só uma coisa. Não tem nenhum programa pra ele inverter? ...não teria nenhuma coisinha que fizesse uma simetria que fizesse ao contrário?
Essa “simetria invertida” poderia ser realizada através do caso particular da rotação em torno de 180º , porém, as duplas não conseguiram realizar esta associação. Por esta razão, talvez fosse apropriado ter introduzido aos alunos a Simetria Central durante o primeiro conjunto de atividades. Essa escolha não foi
realizada pois a estrutura desenvolvida visa trabalhar com um modelo de Geometria Euclidiana a partir da abordagem de Klein no Programa de Erlanger. A construção da dupla Lylli/Henrique foi diferente. A dupla, ao invés de construir dois segmentos, iniciou a construção da figura apenas por um segmento e o transladou (Figura 5.22).
Figura 5.22: Primeiros passos da construção da dupla Lylli/Henrique na Atividade 10
Em seguida, uniu os vértices correspondentes do segmento original e sua imagem (Figura 5.23).
Figura 5.23: Passos da construção de Lylly/Henrique na Atividade 10
Procedendo desta forma mais uma vez, a dupla obteve o paralelogramo (Figura 5.24).
De todas as construções realizadas nesta atividade, esta foi a única que resultou numa figura robusta, pois manipulando os vértices do segmento inicial ou o vetor (Figura 5.25), a figura permanece com as características de um paralelogramo.
Figura 5.25: Resultado da manipulação da construção de Lylli/Henrique
Após a construção, as duplas passaram a elaborar sua prova. A dupla Cínthia/Flávia, devido à intenção de obter uma figura robusta, acabou usando seu tempo na construção e deixou a prova de lado, realizando uma única afirmação conforme mostra a Figura 5.26.
Figura 5.26: Prova elaborada pela dupla Cínthia/Flávia para a Atividade 10
Aparentemente a dupla ainda permanece enfatizando os aspectos pragmáticos, destacando principalmente as figuras como parte da prova.
A segunda dupla Pedro/Felipe utilizou como estratégia basear-se na Atividade 8. A dupla iniciou sua prova (Figura 5.27) descrevendo corretamente a igualdade dos segmentos iniciais e transladados. Em seguida, a dupla afirmou algo que não acrescentaria muito a sua prova: o fato do paralelogramo possuir quatro ângulos utilizando como justificativa o fato dele ser um quadrilátero. Interessante observar que a dupla incorporou de alguma forma, o fato das justificativas dependerem das anteriormente realizadas, apesar de, em alguns casos (como no desta terceira
afirmação) não existir lógica, pois esta afirmação independe das anteriores dependendo exclusivamente dos conhecimentos prévios dos alunos a respeito dos quadriláteros.
Figura 5.27: Prova construída pela dupla Pedro/Felipe para a Atividade 10
Na quarta afirmação, sobre a igualdade dos ângulos, a justificativa da dupla utiliza as afirmações anteriores, porém, não é muito claro se realmente os alunos perceberam que, através da translação, os ângulos formados são congruentes. Em seguida, as afirmações sobre ângulos agudos e obtusos referem-se à conhecimentos prévios dos alunos sobre o paralelogramo e não influenciam na prova que termina sem uma conclusão definitiva sobre a figura ser realmente um paralelogramo. Aparentemente, estas duas últimas afirmações foram realizadas apenas para preencher mais espaços da tabela.
A terceira dupla, Lylli/Henrique, construiu sua prova conforme mostra a Figura 5.28.
Figura 5.28: Prova de Lylli/Henrique para a Atividade 10
A primeira afirmação da dupla refere-se à igualdade do segmento original e transladado, o que foi observado na Atividade 2.
A segunda afirmação utiliza-se da descrição da ação dos alunos durante a construção. Não parece muito evidente para os alunos, o fato de que esta conclusão pudesse ser realizada através da observação da igualdade dos segmentos ao tamanho do vetor, o que exigiria uma abordagem interfigural e não intra como a justificativa dada.
A terceira afirmação também descreve a ação da dupla porém numa abordagem, não como justificativa, mas, para auxiliar na explicação da estratégia por eles adotada de adicionar uma reta (passando pela diagonal do paralelogramo) à construção. Nesta afirmação, assim como durante a construção da dupla Pedro/Henrique, a dupla refere-se a um espelhamento que inverteria a imagem ou seja, a simetria central.
Nesta última afirmação, é relevante observar ainda a procura da dupla por triângulos internos ao paralelogramo e que fossem congruentes, visando com isso, justificar a igualdade dos ângulos opostos do paralelogramo. Tendo em vista a construção realizada pela dupla, onde uma única translação foi realizada, esta parece ser a única alternativa para que a dupla pudesse justificar a igualdade dos ângulos.
5.1.3.3. CONCLUSÕES SOBRE A ATIVIDADE 10
As duplas de ambos os sistemas continuaram utilizando como modelo a Atividade 8, o que, se por um lado facilitou a apropriação da linguagem matemática, por outro dificultou a realização da prova quando não havia semelhança como nesta atividade já que a figura construída não possuía eixo de simetria.
Outra dificuldade presente em algumas provas foi a preocupação excessiva com o número de afirmações a serem descritas e não com a ordem lógica das mesmas, o que transformou algumas delas em uma seqüência de afirmações sem sentido.
A abordagem intrafigural realizada pelas duplas para a translação, acabou dificultando a justificativa de algumas afirmações desta prova pois algumas poderiam ser realizadas através da abordagem interfigural como por exemplo, utilizando-se da igualdade entre medidas e o vetor.
Por outro lado, alguns fatos interessantes levam a observar que os alunos começaram a apropriar-se do discurso da prova, como por exemplo, a busca por figuras semelhantes.
Pode-se observar ainda que em algumas afirmações, as duplas utilizam-se de descrições de ações (provas pragmáticas) enquanto em outros momentos, descrevem a incorporação de fatos estabelecidos anteriormente (provas conceituais).