A RDF permite obter atrav´es do gr´afico g(r)×r a distribui¸c˜ao espacial dos gr˜aos, deste modo poderemos encontrar part´ıculas do mesmo tamanho agrupadas, o que caracteriza a segrega¸c˜ao, e se elas formam alguma estrutura regular. Os picos do gr´afico fornecem o tipo de estrutura formada pelas part´ıculas segregadas. A figura 3.4apresenta dois casos para um comportamento tipo s´olido: A3.4amostra uma rede quadrada, cujos trˆes primeiros picos no gr´afico da RDF s˜ao 1d, √2d e 2d e a 3.4b mostra uma rede hexagonal onde seus primeiros picos s˜ao em 1d, √3d e 2d.
3.4
Padr˜ao de Ondula¸c˜ao
Apesar de v´arios artigos [3,5] mostrarem que os padr˜oes de ondas n˜ao s˜ao perfeitamente senoidais, ´e poss´ıvel caracteriz´a-las pela amplitude e pelo comprimento de onda (λ) devido ao perfil peri´odico que as corruga¸c˜oes adquirem.
A maneira para verificar a periodicidade da estrada foi feita por meio da an´alise da con- figura¸c˜ao final da estrada ap´os o movimento da roda sobre a estrada. A caixa de simula¸c˜ao foi dividida em N colunas de largura igual a 1, ent˜ao a altura do centro de massa de todos os gr˜aos contidos na coluna foi guardada e, usando um algoritmo de ordena¸c˜ao [38], as coordenadas do gr˜ao do topo da estrada foram selecionadas. Esse processo foi repetido at´e a ´ultima coluna fornecendo uma aproxima¸c˜ao muito boa do padr˜ao formado em toda a extens˜ao da estrada.
0 6,283 12,566 18,849 25,132 -1 -0,5 0 0,5 1 f(x) = sin x DFT de f(x)
3.4 Padr˜ao de Ondula¸c˜ao 30
Os valores obtidos no processo descrito acima fornecem uma altura para cada coluna, ou seja, hx, que s˜ao N n´umeros h0, h1,..., hN −1 que varrem a caixa de simula¸c˜ao do in´ıcio ao fim.
De posse desses dados ´e poss´ıvel fazer uma transforma¸c˜ao via transformada discreta de Fourier (DFT, discrete Fourier transform) para, a partir de hx, obter as caracter´ısticas ondulat´orias das
corruga¸c˜oes. A DFT ´e definida por [39]: Hk≡
N −1
X
x=0
hxexp(2πixk/N ) (3.22)
onde os valores de Hk foram dados em fun¸c˜ao do per´ıodo. A figura 3.5 mostra que o pico da
DFT indica a amplitude e o per´ıodo, ou comprimento de onda, para a fun¸c˜ao f (x) = sin x, cujo comportamento ´e conhecido: per´ıodo 2π e amplitude 1. Da mesma forma que o exemplo acima, a DFT vai indicar os parˆametros para as ondula¸c˜oes formadas nas simula¸c˜oes.
Cap´ıtulo 4
Resultados e Discuss˜ao
4.1
Detalhes da Simula¸c˜ao
Para simular a estrada de terra, foram gerados gr˜aos em posi¸c˜oes aleat´orias depositados no fundo da caixa de simula¸c˜ao por meio da implementa¸c˜ao de um campo gravitacional constante, conforme explicado no cap´ıtulo 3. A fim de observar uma poss´ıvel influˆencia da granulometria, seja na forma¸c˜ao das ondula¸c˜oes ou na segrega¸c˜ao, foram utilizadas trˆes distribui¸c˜oes distintas de diˆametro dos gr˜aos a livre escolha, sendo a primeira com quatro tamanhos diferentes igualmente distribu´ıdos, di = 1,0, 0,8, 0,6 e 0,4 d, que daqui em diante ser´a chamada de distribui¸c˜ao
1. A segunda distribui¸c˜ao, tamb´em com quatro valores diferentes de diˆametros igualmente distribu´ıdos, possui os valores di = 1,0, 0,9, 0,8 e 0,7 d, a qual ser´a chamada de distribui¸c˜ao
2. Por ´ultimo, o terceiro caso, h´a valores igualmente distribu´ıdos entre 0,80 e 1,20, chamada de distribui¸c˜ao 3, a mesma usada em [5]. Para todos os casos a massa dos gr˜aos ´e dada por, mi= πρpd2i/4, onde ρp´e a densidade das part´ıculas. Outro fator investigado foi a altura do leito
da estrada. Foram simulados v´arios sistemas com n´umero de gr˜aos diferentes. Em uma caixa de simula¸c˜ao de tamanho L = 400 d foram feitos ensaios com 10000, 15000 e 30000 part´ıculas.
Al´em de todos os detalhes referentes `a estrada ´e preciso descrever as grandezas que caracteri- zam a roda. Diferentemente do experimento e da simula¸c˜ao apresentados na referˆencia [5], neste trabalho a roda tem um torque constante, que equivale a uma for¸ca aplicada a uma distˆancia do centro igual ao raio, que faz a roda girar e se mover sobre o leito de areia. Dessa forma n˜ao ´e poss´ıvel controlar diretamente o valor da velocidade da roda, visto que as estradas possuem imperfei¸c˜oes, ent˜ao foram realizadas medidas da m´edia da velocidade horizontal, hVxi, que pode
4.1 Detalhes da Simula¸c˜ao 32
aumentar, caso o torque seja maior, ou vice-versa. Outro aspecto analisado ´e o diˆametro da roda. Nas simula¸c˜oes foram usados trˆes valores, D = 30, 50 e 100 d, com massas iguais a 100, 200 e 600 m, respectivamente. Esses valores foram escolhidos de modo a evitar que a roda afundasse na estrada.
(a)
(b)
Figura 4.1: em 4.1a o movimento da roda ´e iniciado pela aplica¸c˜ao de uma velocidade horizontal, como em [5]. Em 4.1b um torque ´e aplicado na roda. Ambos os casos foram simulados com 10000 gr˜aos e roda com diˆametro 30 d e massa 100 m. A roda move-se da esquerda para a direita.
O fato de o movimento da roda ser iniciado pela aplica¸c˜ao de um torque constante traz algu- mas diferen¸cas substanciais tanto na forma¸c˜ao das ondula¸c˜oes, quanto no efeito de segrega¸c˜ao. A figura4.1mostra uma compara¸c˜ao de simula¸c˜oes da roda rolando apenas com a imposi¸c˜ao de uma velocidade horizontal constante, 4.1a, e as ondula¸c˜oes formadas pela roda com um toque aplicado4.1b. Uma an´alise bem sucinta pode ser feita apenas visualizando a figura mencionada acima. No primeiro caso, ´e poss´ıvel perceber que h´a um resultado qualitativamente pr´oximo do observado em [5], as ondula¸c˜oes possuem assimetria, sendo que o lado de descida ´e menos ´ıngrime que o lado por onde a roda sobe, no segundo caso as ondas tem formato mais regular. Tamb´em foi verificado na primeira situa¸c˜ao que as ondas viajam para frente, da mesma forma que a simula¸c˜ao do artigo supracitado. Isto ocorre devido `a roda empurrar as part´ıculas para a frente,
4.1 Detalhes da Simula¸c˜ao 33
alimentando as ondas a sua frente com o material proveniente das ondas de tr´as. Quando a roda possui um torque aplicado o efeito ´e o mesmo, contudo, com outra caracter´ıstica. Ao rotacionar ativamente a roda joga gr˜aos para tr´as alimentando as ondas anteriores, no mesmo sentido do movimento. Apesar disso ´e conhecido o fato de que em estradas reais ocorre a migra¸c˜ao das ondula¸c˜oes em ambos os sentidos [3,5].
5000 10000 15000 20000 Ciclos 0 20 40 60 80 F / 100 D = 50 d ; M = 200 m D = 100 d ; M = 600 m
Figura 4.2: M´odulo da for¸ca de contato entre a roda e os gr˜aos para dois tipos de roda nos primeiros 20000 ciclos.
A for¸ca de contato entre a roda e o leito de areia pode fornecer informa¸c˜ao sobre a forma¸c˜ao das ondula¸c˜oes. Isso ´e feito obtendo a for¸ca que a roda sofre com o contato com os gr˜aos no decorrer do seu movimento. Ent˜ao, foram plotados gr´aficos do m´odulo da for¸ca total que a roda sofre em fun¸c˜ao dos ciclos de dinˆamica molecular. Foram realizadas medidas para rodas de dois diˆametros, 50 e 100 e massas de 200 e 600, respectivamente.Para os dois casos a estrada foi formada por 15000 gr˜aos com a distribui¸c˜ao de diˆametros tipo 1. As an´alises foram realizadas em trˆes etapas, sendo que a primeira medida ocorreu nos primeiros 20000 ciclos, onde h´a apenas um rolamento suave sobre a estrada quase lisa, de modo que a roda n˜ao salta e nem o pacote granular que forma a estrada ´e totalmente perturbado. A figura 4.2 mostra o comportamento gr´afico para esta etapa do movimento em que ´e poss´ıvel perceber que o m´odulo da for¸ca sobre a roda flutua em torno de um valor aproximadamente constante.
Ap´os 40000 ciclos ´e feito outro conjunto de medidas, cujo gr´afico ´e mostrado na figura4.3. Neste caso j´a s˜ao percept´ıveis algumas regi˜oes de baixa for¸ca antes ou ap´os os picos, isso pode ser encarado como pequenos montes de gr˜aos que fazem a roda subir e descer. No caso da roda menor observa-se um salto ap´os o ciclo 15000, indicado no gr´afico pela for¸ca nula, sendo que
4.1 Detalhes da Simula¸c˜ao 34
para a roda maior n˜ao houve saltos.
5000 10000 15000 20000 Ciclos 0 20 40 60 80 F / 100 D = 50 d ; M 200 m D = 100 d ; M 600 m
Figura 4.3: M´odulo da for¸ca de contato entre a roda e os gr˜aos para dois tipos de roda no in´ıcio da forma¸c˜ao das ondula¸c˜oes.
No ´ultimo caso, foi obtida a medida da for¸ca entre a roda e a estrada quando os padr˜oes de ondula¸c˜oes j´a est˜ao formados. O comportamento ´e mostrada no gr´afico da figura 4.4, onde os picos descrevem a for¸ca devido ao impacto da roda com a face das ondula¸c˜oes em que ocorre o contato. Para todos os casos a for¸ca ´e maior na roda grande, que por ser mais pesada requer uma for¸ca de resposta maior do leito granular.
0 5000 10000 15000 20000 Ciclos 0 100 200 300 400 500 F / 100 D = 50 d ; M = 200 d D = 100 d ; M = 600 d
Figura 4.4: M´odulo da for¸ca de contato entre a roda e os gr˜aos para dois tipos de roda com as ondula¸c˜oes j´a formadas.