Birim Kök Testi

Birim kök testleri zaman serilerinin birim kök içerip içermediklerini bir başka deyişle durağan olup olmadıklarını belirlemekte kullanılır. Zaman serisinde birim kök olması serinin durağan olmadığı anlamına gelmektedir.

Bir zaman serisinin uzun dönemde sahip olduğu özellik bir önceki dönemde söz konusu değişkenin aldığı değerlerin bu dönemi ne şekilde etkilediğinin belirlenmesi ile ortaya konulabilir. Bu sebeple serinin nasıl bir süreçte oluştuğunu ortaya koyabilmek için

119

serinin her dönemde aldığı değerler daha önceki dönemlerdeki değerler ile regresyona tabi tutulur (Ağır, 2003:73).

Y

t

= Y

t-1

+ u

t

(4.1)

Birim kök testi sınamasının tanımlanması için denklem (4.1)’i kullanacak olursak; burada Yt bağımlı değişkeninin geçmiş dönemlerindeki değerleri olan Yt-1 ile ilişkisi ifade edilmektedir. Burada

u

t modelin hata terimlerini ifade etmektedir ve klasik varsayımlara uyan yani ortalaması sıfır, sabit varyanslı ve ardışık bağımlı olmayan olasılıklı hata terimidir.

u

_t iktisadi değişkenin bir dönem önce maruz kaldığı şokun sistemde yer almasını sağlar. Bu durum bütün dönemler için genellenecek olursa daha önceki dönemlerde ortaya çıkan şokların söz konusu değişkenin bu dönemdeki değerine etkisinin sürdüğünü ifade eder. Sözkonusu şokların kalıcı nitelikte olması, serinin durağan olmaması anlamına gelmektedir.

Dickey-Fuller (DF) ve Geliştirilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testleri uygulanmasındaki kolaylık nedeniyle zaman serilerinin durağanlığının incelenmesinde en çok tercih edilen yöntemlerdir (Gujarati, 2001:719, Tarı, 2005:395). (4.1) nolu denklem;

Y

t

= αY

t-1

+ u

t

(4.2)

Şeklinde ifade edilirse, buradan Yt-1 in katsayısı olan α = 1 ise Yt olasılıklı değişkeninin bir birim kökü olduğu anlaşılır. Eğer α < 1 ise geçmiş dönemlerdeki şoklar belli bir dönem boyunca etkilerini sürdürseler bile bu etki giderek azalacak ve kısa bir dönem sonra tamamen ortadan kalkacaktır.

Denklem (4.2) de

u

thata terimi sabit varyansa sahipse t arttıkça Y’nin varyansı sonsuza yaklaşacaktır. Bu durumda en küçük kareler (EKK) tahmincisinin standart t-testine ilişkin olarak yaptığı varsayımlar geçersiz olacaktır. Durağan olmayan serilerin EKK ile tahmin edilmesi sonucu elde edilen t ve F gibi istatistikler dağılımın normal olmaması nedeniyle kullanılmamalıdır.

120

Birim kökün belirlenmesi için α’nın 1’e eşit olup olmadığı regresyon modelinde test edilmelidir. Ancak regresyon modelinde katsayıların 0’a eşit olup olmadığı araştırılmaktadır (Çemrek, 2006:13). Bu durumda α’nın 1’e eşit olup olmadığını belirlemek için;

H

0

: α = 1

(Seri birim kök içermektedir veya seri durağan değildir)

H

1

: α < 1

(Seri birim kök içermemektedir veya seri durağandır)

Denklem (4.2)’nin her iki tarafından da

y

_t-1 değerini çıkaracak olursak (4.4) eşitliğini elde ederiz.

Y

t

– Y

t-1

= (α – 1)Y

t-1

+ u

t

(4.3)

∆y

_t

= δy

t-1

+ u

t

(4.4)

Denklem (4.4)’te; δ = (α = 1), ∆ ise, fark alındığını gösteren işarettir. Dolayısıyla ∆yt , Yt

– Y_t-1 farkını göstermektedir. Burada α = 1 olduğunda δ = 0 olacaktır. Bu yeni durumda durağanlığın sınanması için kullanılacak hipotezler aşağıdaki şekilde olacaktır;

H0 : δ = 0 (Seri birim kök içermektedir veya seri durağan değildir)

H1 : δ ≠ 0 (Seri birim kök içermemektedir veya seri durağandır) 4.2.1. Dickey – Fuller (DF) Testi

Dickey – Fuller testi AR(1) sürecinin birim köke sahip olup olmadığını inceler. Yukarıda verilen sıfır hipotezlerinin (H₀ : α = 1 ve H₀ : δ = 0) sınanmasında geleneksel yollarla hesaplanan t-istatistiği kullanılamayacağından bunun yerine Dickey ve Fuller tarafından Monte Carlo yöntemi kullanılarak elde edilmiş olan τ (tau) istatistiği kullanılır. Çünkü standart t-istatistiği serilerin durağan olması durumunda geçerli bir testtir. t-istatistiğinin kullanılmamasındaki temel sebep t-istatistiğinin sıfır etrafında dağılmıyor olmasıdır. Diğer bir deyişle normal dağılıma sahip değildir. Birim kök

121

sınamasında kullanılan Dickey – Fuller tablo değerleri daha sonra MacKinnon tarafından geliştirilmiştir.

Hesaplanan

τ

istatistiğinin mutlak değeri çeşitli anlamlılık düzeylerine göre hesaplanan MacKinnon Kritik değerlerinin mutlak değerlerinden küçükse H₀ hipotezi reddedilemez

ve serinin durağan olmadığına karar verilir. Hesaplanan

τ

istatistiğinin mutlak değerinin MacKinnon Kritik değerlerinin mutlak değerlerinden büyük olması durumunda ise H0

hipotezi reddedilir ve seri durağandır denir.

Modele sabit terim veya sabit terim ile birlikte trend değişkeni eklendiği durumda da birim kök testi yapılabilir. Bu durumda test istatistiğinin dağılımı değişmekte ve her bir model için farklı kritik değerler söz konusu olmaktadır.

∆y

_t

= δy

t-1

+ u

t (Sabitsiz – trendsiz model)

(4.5)

∆y

t

= µ

0

+ δy

t-1

+ u

t (Sabitli – trendsiz model)

(4.6)

∆y

t

= µ

0

+ µ

1

t + δy

t-1

+ u

t (Sabitli – trendli model) (4.7)

Bu üç farklı model için ayrı

τ

istatistiği değerleri hesaplanarak hipotez testi gerçekleştirilir. Birim kök sınaması sonucunda serilerin birim kök içermesi yani durağan olmaması durumunda serilere fark alma işlemi uygulanarak durağanlaştırılmaları sağlanır. Serinin birinci farkında durağan olması durumunda seri için birinci dereceden entegre olmuş denir ve I(1) olarak ifade edilir. Eğer serinin durağanlaştırılması için iki defa fark almak gerekirse seri için ikinci dereceden entegre olmuş denir ve I(2) şeklinde gösterilir. Fark alma işlemi sonrasında serinin durağan olma derecesi genel olarak I(d) şeklinde gösterilir.

122 4.2.2. Genişletilmiş Dickey – Fuller (ADF) Testi

Dickey ve Fuller, durağanlık testinde kullanılan (4.5), (4.6) ve (4.7) denklemlerindeki

u

t

hata terimleri arasındaki olabilecek otokorelasyon göz ardı etmişlerdir.

u

_t hata terimleri arasında otokorelasyon olması durumunda yapılan EKK tahminleri etkin değildir. Dickey ve Fuller daha sonraki çalışmalarında söz konusu otokorelasyon sorununun giderilebilmesi için Genişletilmiş Dickey – Fuller testini önermişlerdir. Bu testte otokorelasyon sorununun giderilebilmesi için bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri eşitliğin sağ tarafında açıklayıcı değişken olarak kullanılmaktadır. Denklem (4.8) yukarıdaki denklemlerde kullanılan AR(1) süreci için Genişletilmiş Dickey – Fuller testinin uygulanmasını göstermektedir.

∆

_

 

_

  ∆

_

 

_

 

(4.8)

Yukarıdaki denklemde ∆, fark alındığını gösteren işaret, k, gecikme sayısını gösteren operatör ve

u

t de hata terimidir.

u

t hata teriminin ortalaması sıfır ve varyansı sabittir. ADF testinde de DF testinde kullanılan hipotezler kullanılmaktadır.

H₀ : δ = 0 (Seri birim kök içermektedir veya seri durağan değildir)

H1 : δ ≠ 0 (Seri birim kök içermemektedir veya seri durağandır)

ADF testi yardımıyla serilerin birim durağanlıkları analiz edilirken yine H0 hipotezinin uygun

τ

tablo kritik değeriyle (veya MacKinnon kritik değeriyle) karşılaştırılması gerekmektedir. Eğer H0 hipotezi reddediliyorsa serinin durağan olduğu sonucuna ulaşılır. Burada H0 hipotezinin kabul edilmesi durumunda yani serinin durağan olmaması durumunda, dizinin durağan hale getirilmesi için fark alma işlemi uygulanır. ADF testinde de DF testinde olduğu gibi modele sabit terim veya sabit terim ile birlikte trend değişkeni eklenebilir. Bu durumda modeller aşağıdaki şekilde olacaktır.

123

∆

_

 

_

  ∆

_

 

_

 

(4.9)

(Sabitsiz – trendsiz model)

∆

_



_

 

_

  ∆

_

 

_

 

(4.10)

(Sabitli – trendsiz model)

∆

_



_



_

  

_

  ∆

_

 

_

 

(4.11)

(Sabitli – trendli model)

ADF testinde en önemli kısım k gecikme uzunluğunun belirlenmesidir. k değerinin bir taraftan

u

t hata terimindeki otokorelasyonu ortadan kaldıracak kadar büyük, diğer taraftan serbestlik derecesinin düşeceği düşünülerek küçük olmasına dikkat edilmelidir. Bu faktörler göz önünde bulundurularak bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerine ilişkin maksimum gecikme sayısı belirlenmeli ve model buna göre tahmin edilmelidir. Gecikme uzunluğu belirlenirken AIC (Akaike Bilgi Kriteri), SCI (Schwarz Bilgi Kriteri), FPE (Son hata olasılığı), HQ (Hannan-Quinn Bilgi Kriteri) gibi kriterler kullanılabilir. Söz konusu kriterler birçok ekonometri bilgisayar paket programında kolaylıkla hesaplanabilmektedir. Bu kriterlere göre elde edilecek en küçük değeri sağlayan k değeri en uygun gecikme uzunluğu olarak belirlenir. Modele fazladan ilave edilecek her parametrenin tahmin sayısını arttırarak gecikme sayısının düşmesine neden olacağı unutulmamalıdır.

Belgede Enerji bağımlısı ülkelerin enerji politikaları : Türkiye örneği (sayfa 134-139)