2.3. Bireyselleştirilmiş Eğitim Programı
2.3.5. Bireyselleştirilmiş Eğitim Programı (BEP) Hazırlama Süreci
A aritmética, segundo van Roomen, “é a ciência dos números”108 (VAN ROOMEN, 1605, p. 21, tradução nossa). A palavra aritmética tem origem etimológica no grego ἀ ό que significa “número” e daí se origina ἀ ό , ou seja, o calculador hábil ou o aritmético. O aritmético trabalha somente com os números e “compreende a unidade e
ϭϬϴ ACLASSIFICAÇÃO DAS DISCIPLINAS MATEMÁTICAS E A MATHESIS UNIVERSALIS NOS SÉCULOS XVI E XVII
as partes da unidade sob o número”109 (VAN ROOMEN, 1605, p. 22, tradução nossa). O entendimento do objeto de estudo da aritmética, o número, por parte de van Roomem parece ser o mesmo daqueles considerado por muitos medievais. Segundo Brito, na tradução feita por Boécio do texto do neopitagórico Nicômaco de Gerasa e nas obras de Cassiodoro e de Isidóro, “o número era definido como uma reunião de unidades, o que fazia com que não só as frações, mas também a própria unidade não fossem consideradas números” (BRITO, 2007, p. 130).
Van Roomen afirma que o objeto de estudo da aritmética são os números e sua finalidade, citando Dasypodius, “é contemplar as disposições e propriedades dos números”110 (VAN ROOMEN, 1605, p. 22, tradução nossa).
Em seguida, van Roomen cita a obra Scholarum mathematicarum libri unus et
triginta de Petrus Ramus. Os livros IV e V dessa obra são dedicados à aritmética, porém,
no início do livro IV, Ramus trata brevemente da história da matemática, a define e descreve suas partes. Quando passa a descrever a aritmética, o autor afirma que ela “é a doutrina de numerar bem”111 (RAMUS, 1569, p. 116, tradução nossa). O trecho citado por van Roomen mostra que Ramus compreende a aritmética pelo nome de “numeração” e que tal disciplina engloba “a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão dos números e das partes, a comparação das razões e das proporções; e finalmente, o poder da aritmética é numerar bem e exprimir a facilidade”112 (VAN ROOMEN, 1605, p. 22, tradução nossa).
Provavelmente a aritmética de van Roomen tenha influência daquela descrita nos livros aritméticos dos Elementos de Euclides, ou seja, uma aritmética que aplica-se às propriedades acima no conjunto do que chamamos atualmente de números inteiros positivos. “As operações numéricas envolvendo eles (por exemplo, a determinação de proporcionalidade) foram severamente restritas para garantir que as respostas fossem aceitas – isto quer dizer, que as respostas deveriam ser números inteiros positivos”113. Nos
Elementos também há uma separação da noção de números e de magnitudes que foi
preservada nas traduções latinas medievais e muitas vezes ensinada até a segunda metade do século XV. Somente “por volta da segunda metade do século XVII, entretanto, a distinção entre as noções clássicas de números (naturais) e magnitudes geométricas
109 “...sub numero unitatem quoq; unitatisque comprehendens partes”. 110 “...affectiones & proprietates numerorum contemplatur...”. 111 “...est doctrina bene numerandi”.
112 “...additionem, subductionem, multiplicationem, diuisionem numerorum & partium, comparationem rationum &
proportionum complectitur; Denique bene numerare est Arithmeticae vim & facultatem exprimere...”.
113 “...the numeral operations involving them (for instance, the determination of proportional means) were severely
ϭϬϵ
4. AS MATEMÁTICAS PURAS
contínuas foi feita largamente”114. É provável que a aritmética de van Roomen tenha em suas características influências de noção de álgebra árabe medieval, que entendia os números e as magnitudes geométricas muito mais unidas do que no modelo euclidiano. Desse modo, “as noções e operações aritméticas poderiam ser aplicadas às magnitudes geométricas”115 (MALET, 2006, pp. 64-65, tradução nossa).
Porém, é mais provável que as ideias aritméticas de van Roomen sejam aquelas presentes nos comentários de Clavius aos Elementos. Clavius “inclui muitas interpolações extraordinárias, todas visando introduzir a teoria de operações com frações ou (como nós agora chamamos) números racionais positivos – “numeris fractis, et integris cum fractis” nas palavras de Clavius”116. Estas ideias acerca das operações com números racionais são feitas nos comentários aos livros aritméticos dos Elementos e num pequeno apêndice. Clavius também assume que “linhas retas e objetos geométricos têm medidas numéricas”117 e que é legítimo fazer operações aritmeticamente com objetos geométricos, por exemplo, “retângulos é igual ou equivalente ao produto de seus lados”118. O livro I do
De Triangulis de Regiomontano também contém aplicações de resultados numéricos para
magnitudes geométricas e provavelmente foi uma das fontes consultadas por Clavius (MALET, 2006, pp. 69-70, tradução nossa).
“A referência de Clavius a Regiomontano como uma autoridade nesta matéria significa um muto aval para os dois autores. De um lado, o altamente influente texto de Regiomontano, escrito no inicío da década de 1460, publicado primeiramente em 1533, e republicado muitas vezes no século XVI, foi uma fonte apropriada para ser citada com uma autoridade em tais matérias. Regiomontano não somente foi preeminente na astronomia, a ciência mista por excelência onde linhas e ângulos geométricos não podem deixar de ser manuseados numericamente, mas ele foi também o principal representante do renascimento e da renovação do pensamento matemático no oeste. Por isso, Claviu estava desenhando em uma prática aceita desde pelo menos cem anos atrás. De outro lado, Clavius, um aprendiz e matemático altamente competente, assumiu e endossou o caminho prático em que os matemáticos práticos foram resolvendo as dificuldades de manipulação numérica de magnitudes geométricas, uma dificuldade que ele não teve por completo, com solução satisfatória”119 (MALET, 2006, pp. 71-72, tradução nossa).
114 “By the second half of the 17th century, however, the distinction between the classical notions of (natural) numbers
and continuous geometricl magnitudes was largely gone...”.
115 “...
116 “...include several extraordinary interpolations, all of them aiming to introduce the theory of operations with fractions
or (what we now call) positive rational numbers – “numeris fractis, et integris cum fractis,” in Clavius’s words”.
117 “...straight lines and geometrical objects habe numerical measures...”. 118 “...rectangles ‘equal’ or ‘equivalent’ to the product of its sides...”.
119 “The Clavius’s reference to Regiomontanus as na authority in this matter meant a mutual endorsement fo the two
authors. On the one hand, Regiomontanus’s highly influential text, written in the early 1460s firs published in 1533, and republished many times in the 16th century, was a fitting source to be quoted as na authority in such matters. Regiomontanus not only had been preeminente in astronomy, the mixed science par excellence where geometrical lines and angles cannont but be handled numerically, but he was also the foremost representative of the rebirth and renovation of mathematical thought in the West. Clavius was therefore drawing on na accepted practice then at least one handred years old. On the other hand Clavius, himself a learned and highly competent mathematician, was assuming and
ϭϭϬ ACLASSIFICAÇÃO DAS DISCIPLINAS MATEMÁTICAS E A MATHESIS UNIVERSALIS NOS SÉCULOS XVI E XVII
Vemos então que a aritmética do século XVI e XVII estava de certo modo ligada à geometria e também às matemáticas mistas.
Van Roomen mostrando a certeza do conhecimento produzido pela aritmética, afirma que ela é tida como uma ciência que não falha e não pende ao conhecimento de nenhuma ciência particular. Ela “tem princípios tanto próprios quanto tomados a partir da
prima mathesis”120 e depois dela, a aritmética obtém o lugar seguinte no conhecimento (VAN ROOMEN, 1602, p. 22, tradução nossa).
Ainda segundo van Roomen, o uso da aritmética é maximamente observado na
supputatrix e, além disso, todas as coisas que foram relatadas no capítulo sobre a supputatrix – como os princípios e os usos – devem ser atribuídas também à aritmética.