Bir Ticaret Nesnesi Olarak Kitap

O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar uma s´erie de propriedades das a¸c˜oes X-externas. Essas pro- priedades ser˜ao fundamentais para os cap´ıtulos subsequentes. O primeiro resultado foi extra´ıdo de [Mil95a, Lemma 3.2].

Proposi¸c˜ao 3.4.1. (Ql# H)R_{⊆ Q # H.}

Demonstra¸c˜ao. Seja z ∈ (Ql# H)R. Pelo Lema3.2.1(2), podemos escrever z = P

β(1 # hβ)qβ, onde somente um n´umero finito de qβ ∈ Ql ´e n˜ao nulo e {1 # hβ} ´e uma base para o Ql-m´odulo `a direita Ql# H. E, pelo Lema 3.2.1(3), existe um I ∈ F(R) tal que Iz ⊆ R # H. Ent˜ao temos:

zI = Iz ⊆ R # H, ou seja, X β

(1 # hβ)qβI ⊆ R # H.

Mas pelo Lema3.2.1(2), {1 # hβ} ´e tamb´em uma base para o R-m´odulo `a direita R # H. Assim qβI ⊆ R, para todo β. Pela defini¸c˜ao de Q, conclu´ımos que qβ ∈ Q, para todo β. Logo, z ∈ Q#H.

O seguinte resultado ´e consequˆencia imediata da proposi¸c˜ao anterior. Corol´ario 3.4.2. Se a a¸c˜ao de H em R for X-externa, ent˜ao

Demonstra¸c˜ao. Imediato a partir da proposi¸c˜ao anterior.

Agora, vamos ver um dos resultados mais importantes de [Mil95a], o Theorem 4.1.

Teorema 3.4.3. Seja H uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita agindo em R, e seja

I ∈ F(R). Se a a¸c˜ao de H em R for X-externa, ent˜ao a fun¸c˜ao

Ψ : Ql⊗K(Ql# H) −→ homk(I, Ql) q ⊗ x 7−→ (r 7→ (x · r)q)

´e injetora.

Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que Ψ n˜ao seja injetora e que x = n X i=1

qi⊗ xi ∈ ker(Ψ), onde n ≥ 1, x1, . . . , xn ∈ Ql # H, q1, . . . , qn ∈ Ql s˜ao K-linearmente independentes e qi ⊗ xi 6= 0, para todo 1 ≤ i ≤ n.

Ser´a suficiente mostrar que existe n X

i=1

qi⊗ zi(q # g) ∈ ker(Ψ) n˜ao nulo, onde q ∈ Ql, g ∈ G(H) e z1, . . . , zn∈ (Ql# H)R, pois a´ı ter´ıamos (Lembrar que, pelo Corol´ario3.4.2, temos (Ql# H)R= K.):

n X i=1 qi⊗ zi(q # g) = n X i=1 qizi⊗ (q # g)

Da´ı (q # g) · r
b = q(g · r)b = 0, onde b =Pn_i=1qizi, para todo r ∈ I. Pela continuidade da a¸c˜ao, existe J ∈ F(R) tal que g−1· J ⊆ I, e pelo Teorema 1.4.1, existe um J′ _{∈ F(R) tal que J}′_{q ⊆ R.} Logo J′qJb = 0. Como q 6= 0, temos que J′qJ ∈ F(R). Assim, pelo Lema 3.2.2 (2), b = 0, uma contradi¸c˜ao pois q1, . . . , qn∈ Ql s˜ao K-linearmente independentes.

Por indu¸c˜ao em n, vamos mostrar que sempre chegaremos em uma contradi¸c˜ao e concluir, por- tanto, que Ψ ´e injetora.

r ∈ I, n X i=1 [(sxit) · r]qi = n X i=1

[(sxi) · (t · r)]qi, identificando t com t # 1H

= n X

i=1

[s · xi· (tr)
]qi, identificando s com s # 1H

= n X i=1 [s xi· (tr)
]qi = s[ n X i=1 xi· (tr)
qi] = 0, pois tr ∈ I e n X i=1 qi⊗ xi ∈ ker(Ψ). Assim, ´e f´acil ver que

M =y1∈ Ql: existem y2, . . . , yn∈ Ql# H tais que n X i=1

qi⊗ yi∈ ker(Ψ)

´e um (R, R)-sub-bim´odulo de Ql# H n˜ao nulo, j´a que x1 ∈ M . Pelo Teorema 3.2.4, existe eq ∈ Ql, e

g ∈ G(H) e ez ∈ (Ql# H)R_{, tal que a}

1= ez(eq # eg) ∈ M.

Vamos come¸car a indu¸c˜ao. Para n = 1, a contradi¸c˜ao ´e imediata pois q1⊗ a1 = q1_{⊗ ez(eq # eg) ∈} ker(Ψ). Supondo v´alido para valores menores do que n, vamos mostrar que vale para n.

Pela defini¸c˜ao de M , existem a2, . . . , an ∈ Ql# H tais que Pni=1qi⊗ ai ∈ ker(Ψ). Como a1 = e

z(eq # eg) ∈ K(eq # eg), resta mostrar que ai ∈ K(eq # eg), para todo 2 ≤ i ≤ n. Ent˜ao, vamos supor que al_{∈ K(e}/ _{q # eg), para algum 2 ≤ l ≤ n.}

Assim, temos que al_{(1 # eg}−1) /_{∈ K(eq # eg)(1 # eg}−1_{) = K e}q. Portanto, pelo Teorema3.2.3, existem m ≥ 1 e sj, tj ∈ R, onde 1 ≤ j ≤ m, tais que

m X j=1 sjqtje = 0 e m X j=1

sjal_{(1 # eg}−1)tj 6= 0. Vamos definir uj _{= (1 # eg}−1_{)tj(1 # eg) = eg}−1_{· tj ∈ R, para todo 1 ≤ j ≤ m. Ent˜ao,}

m X j=1 sja1uj = m X j=1 sjz(eeq # eg)(eg−1· tj) = m X j=1 sjz(eeqtj_{# eg) = e}z( m X j=1 sjqtje _{)(1 # eg) = 0.}

Al´em disso, m X j=1 sjaluj = m X j=1

sjal(1 # eg−1)tj(1 # eg) 6= 0. De fato, supondo o contr´ario e multipli- cando `_{a direita por 1 # eg}−1_{, temos que} Pm

j=1sjal(1 # eg−1)tj = 0, uma contradi¸c˜ao. Logo n X i=1  qi⊗ ( m X j=1 sjaiuj)   = n X i=2  qi⊗ ( m X j=1 sjaiuj) 

 ∈ ker(Ψ). Portanto, pela hip´otese de indu¸c˜ao, chegamos em uma contradi¸c˜ao.

Observa¸c˜ao. Como no Teorema3.2.4, da demonstra¸c˜ao do teorema acima, podemos tamb´em elimi- nar a hip´otese da dimens˜ao de H ser finita. Para isso, basta perceber que podemos ver al∈ Ql# H′, onde H′ _{´e uma subco´algebra de H de dimens˜ao finita. O Teorema Fundamental das Co´algebras (Te-} orema1.3.11) nos garante a existˆencia de H′. Por´em, o teorema como est´a ´e suficiente para atender as necessidades deste trabalho.

Finalmente, a proposi¸c˜ao mais importante deste cap´ıtulo.

Proposi¸c˜ao 3.4.4. Seja H uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita agindo em R, e seja U uma sub´algebra de R contendo RH_{. Assuma que a a¸c˜ao de H em R ´e X-externa. Ent˜ao:}

1. Para todo q ∈ Ql n˜ao nulo, todo ξ ∈ Ql# H, e todo ideal I ∈ F(R), se ξ · (Iq) = 0, ent˜ao ξ = 0.

2. Seja ξ ∈ Ql# H e seja a ∈ Ql. Se ξU a = 0, ent˜ao ξ = 0 ou a = 0. Em particular U ´e uma

´

algebra prima.

3. Todo (R, U )-sub-bim´odulo n˜ao nulo de Ql cont´em um ideal n˜ao nulo de R.

4. Seja I ∈ F(R) e f : I −→ R # H, um homomorfismo de R-m´odulos `a esquerda, ent˜ao existe

z ∈ Ql# H tal que f (r) = rz, para todo r ∈ I.

5. K ´e est´avel sob a a¸c˜ao de H, ou seja, H · K ⊆ K. 6. (Ql# H)U = (Q # H)U = (K # H)U.

Demonstra¸c˜ao. Note que, como H ´e uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita temos que a ant´ıpoda S de H ´e bijetora. Isso pode ser obtido tanto pelo Teorema 1.3.18 quanto pelo Teorema

1.3.22.

(1) Baseado na demonstra¸c˜ao de [Yan97, Lemma 3.5]:

Pelo Teorema de Taft-Wilson (Teorema2.3.1) podemos escrever ξ = m X

i=1

ai#hi, onde a1, . . . , am∈ Ql, h1, . . . , hm ∈ H s˜ao k-linearmente independentes e, para todo 1 ≤ i ≤ m, hi = σi ou ∆(hi) = hi⊗ σi+ τi⊗ hi+ wi, onde σi, τi ∈ G(H) e wi∈ Hni−1⊗ Hni−1, sendo ni o grau de hi.

Sejam h1, . . . , hj elementos de grau maximal n. Ent˜ao,

0 = ξ · (Iq) = m X i=0

(ai# hi) · (Iq) = m X i=0 ai hi· (Iq)
= p X i=0 ai(hi· I)(σi· q) + X j a′_j(h′_j· I)q_j′, onde a_j′, q′_j ∈ Ql e h′j ∈ Hn−1. Note que p X i=0

(σi· q) ⊗ (ai# hi) +X j

qj′ ⊗ (a′j# h′j) est´a no n´ucleo da aplica¸c˜ao do Teorema3.4.3, e portanto ´e igual a zero.

Como h′_j ∈ Hn−1 e h1, . . . , hp s˜ao k-linearmente independentes de grau maximal n, temos que (σi· q) ⊗ ai = 0, para todo 1 ≤ i ≤ p. Do fato de q 6= 0, temos que σi· q 6= 0. De fato, se σi· q = 0, ter´ıamos que q = (σ_i−1σi) · q = σ−1_i · (σi· q) = σ_i−1· 0 = 0, um absurdo. Assim, conclu´ımos que ai= 0, para todo 1 ≤ i ≤ p.

Se p < m, podemos continuar o processo para ξ′ = m X i=p+1

ai# hi e concluir facilmente que ai= 0, para todo 1 ≤ i ≤ m. Logo ξ = 0.

(2) Baseado na demonstra¸c˜ao de [Mil95a, Theorem 4.3]:

Como H tem dimens˜ao finita, pelo Teorema1.3.22, H possui um integral `a esquerda n˜ao nulo t, isto ´e, t ∈ H e ht = ε(h)t, para todo h ∈ H. Temos que t · r ∈ RH_{, para todo r ∈ R. De fato,}

Ent˜ao temos ξ(t · R)a = 0.

Pelo Lema 3.2.1 (2), podemos escrever ξ = X β

(1 # hβ)qβ, onde {1 # hβ} ´e uma base para o Ql-m´odulo `a direita Ql# H. Da´ı temos que

0 = ξ(t · R)a =X β

(1 # hβ)qβ(t · R)a.

Como {1 # hβ} ´e base para o Ql-m´odulo `a direita Ql# H, qβ(t · R)a = 0, para todo β. Note que a ⊗ (qβ⊗ t) est´a no n´ucleo da aplica¸c˜ao do Teorema3.4.3, e portanto ´e igual a zero.

Como t 6= 0, temos que a = 0 ou qβ = 0, para todo β. Ou seja, temos que a = 0 ou ξ = 0. Portanto, em particular, U ´e uma ´algebra prima.

(3) Baseado em [Yan97, Lemma 4.3]:

Seja M um (R, U )-sub-bim´odulo de Ql. Vamos mostrar que M′ = (M ∩ R) ⊂ M , que ´e tamb´em um (R, U )-sub-bim´odulo de Ql, cont´em um ideal n˜ao nulo de R.

Como em (2), H possui um integral `a esquerda n˜ao nulo t. ´E f´acil ver que R(q # t)R ´e um (R, R)-sub-bim´odulo de Q # H, para todo q ∈ Q n˜ao nulo. Ent˜ao, pelo Teorema 3.2.4, existem r ∈ R, g ∈ G(H) e α ∈ (Q # H)R_{= K tais que α(r # g) ∈ R(q # t)R, sendo α(r # g) 6= 0. Podemos} escrever α(r # g) =X

i

ri(q # t)si, onde ri, si∈ R, para todo i.

Temos que α(r # g)I 6= 0, para todo ideal I ∈ F(R). De fato, vamos supor que α(r # g)I = 0. Como α ∈ K, que ´e um corpo, temos

0 = (r # g)I = r(g · I) # g = r(g · I), pois g 6= 0.

Assim, 1 ⊗ (r # g) est´a no n´ucleo da aplica¸c˜ao do Teorema 3.4.3, e portanto ´e igual a zero. Logo r # g = 0, o que ´e um absurdo.

Assim, podemos escolher um I ∈ F(R) e um a ∈ I tal que X

i

ri(q # t)sia = α(r # g)a = αr(g · a) # g 6= 0.

Ent˜ao temos que X i

r′_i(q # t)si= a′# g 6= 0, para algum a′ ∈ I′αr(g · a) e ri′ ∈ R, para todo i. Da continuidade da a¸c˜ao de H em R, existe I′′_{∈ F(R) tal que g}−1_{· I}′′ _{⊆ I. Para todo x ∈ Q da} forma x = g−1_{· y, onde y ∈ I}′′_{, temos}

(a′# g) · (g−1· y) = a′ g · (g−1· y)
= a′y X i [r_i′(q # t)si] · (g−1· y) =X i,(t) [r′_iq(t₍₁₎· si) # t₍₂₎)] · (g−1· y) =X i,(t) ri′q(t(1)· si) t(2)· (g−1· y)
=X i ri′q  t · si(g−1· y)
.

Igualando as express˜oes e do fato de t · r ∈ RH_{, para todo r ∈ R, conforme mostrado em (2), temos} que a′_I′′_{⊆ RqR}H_{. Lembrar que a escolha de q ∈ Q n˜ao nulo foi aleat´oria.}

Finalmente, seja m 6= 0 com m ∈ M′ ⊆ R. Pelos argumentos acima, existe algum b ∈ R n˜ao nulo e algum ideal J ∈ F(R), tais que RbJ ⊆ RRmRH _{⊆ RmU ⊆ M}′_{, pois M}′ _{´e (R, U )-sub-bim´odulo de} Ql. Note que RbJ ´e um ideal n˜ao nulo de R. De fato, caso RbJ = 0, pelo Teorema 1.4.1, b = 0, um absurdo.

Assim, M′ _{cont´em um ideal n˜ao nulo de R.} (4) Imediato a partir do Lema3.2.2(3). (5) Baseado em [Mil95b, Bemerkung 15.3]:

Inicialmente vamos mostrar que se z ∈ K = (Q#H)R_{, ent˜ao z ↼ h =}X_(1#S(h

(1)))z(1#h(2)) ∈ K, para todo h ∈ H. De fato, para todo r ∈ R, temos:

(z ↼ h)r =X 1 # S(h₍₁₎)
z(1 # h₍₂₎)r =X 1 # S(h(1))
z(h(2)· r # h(3)) =X 1 # S(h₍₁₎)
(h₍₂₎· r)(z # h₍₃₎), pois z ∈ K. =X S(h₍₁₎)₍₁₎· (h₍₂₎· r) # S(h₍₁₎)₍₂₎
(z # h₍₃₎)

=X S(h₍₂₎) · (h₍₃₎· r) # S(h₍₁₎)
(z # h₍₄₎), pois S ´e antimorfismo de co´algebras. =X (S(h(2))h(3)) · r # S(h(1))
(z # h(4)) =X ε(h₍₂₎)r # S(h₍₁₎)
(z # h₍₃₎), pois XS(h₍₁₎)h₍₂₎= ε(h)1H. =X r # S(h₍₁₎)
(z # h₍₂₎), pois Xε(h₍₁₎)h₍₂₎= h. = rhX 1 # S(h₍₁₎)
z(1 # h₍₂₎)i = r(z ↼ h).

Agora vamos mostrar que S(h) · z ∈ K, para todo h ∈ H e todo z ∈ K. De fato, inicialmente temos que, z ↼ h =X 1 # S(h₍₁₎)
z(1 # h₍₂₎) =X S(h(1))(1)· z # S(h(1))(2)
(1 # h(2)) =X S(h₍₂₎) · z # S(h₍₁₎)
(1 # h₍₃₎) =XS(h₍₂₎) · z # S(h₍₁₎)h₍₃₎.

Como z ↼ h ∈ K, temos que (Id ⊗ ε)(z ↼ h) ∈ K, ou seja, (Id ⊗ ε)(z ↼ h) = (Id ⊗ ε)XS(h₍₂₎) · z # S(h₍₁₎)h₍₃₎

=X(S(h₍₂₎) · z)ε S(h₍₁₎)h₍₃₎

=X(S(h₍₂₎) · z)ε S(h₍₁₎)
ε(h₍₃₎), pois ε ´e morfismo de ´algebras. =X ε S(h₍₁₎)
S(h₍₂₎) · zε(h₍₃₎) =X ε S(h(1))(2)
S(h(1))(1)· z  ε(h(3)) =X(S(h₍₁₎) · z)ε(h₍₂₎) =XS(ε(h(2))h(1)) · z = S(h) · z ∈ K.

Como a ant´ıpoda S de H ´e bijetora, segue que K ´e est´avel sob a a¸c˜ao de H. (6) Baseado na demonstra¸c˜ao de [Mil95a, Theorem 4.3]:

Como (K#H)U _{⊆ (Q#H)}U _{⊆ (Ql#H)}U_{, para termos a igualdade basta mostrar que (Ql#H)}U _⊆ (K # H)U. Como em (2), H possui um integral `a esquerda n˜ao nulo t e t · r ∈ RH ⊆ U , para todo r ∈ R.

Seja ξ ∈ (Ql# H)U_{, ent˜ao ξ(t · r) − (t · r)ξ = 0, para todo r ∈ R. Pelo Lema 3.2.1 (1), podemos} escrever ξ =X

β

qβ(1 # hβ), onde qβ ∈ Ql, para todo β e {1 # hβ} ´e uma base para o Ql-m´odulo `a esquerda Ql# H. Ent˜ao temos:

0 = ξ(t · r) − (t · r)ξ =X β qβ(1 # hβ)(t · r) − (t · r) X β qβ(1 # hβ) =X β  qβ X (hβ) hβ₍₁₎ · (t · r) # hβ₍₂₎
− (t · r)qβ(1 # hβ)   =X β  qβ X (hβ) ε(hβ₍₁₎)(t · r) # hβ₍₂₎
− (t · r)qβ(1 # hβ)   , Lema3.1.1 aplicado em t · r ∈ RH. =X β  qβ(t · r)(1 # hβ) − (t · r)qβ(1 # hβ) =X β  qβ(t · r) − (t · r)qβ  (1 # hβ).

Como {1 # hβ} ´e uma base para o Ql-m´odulo `a esquerda Ql# H, temos que qβ(t · r) − (t · r)qβ = 0, para todo β. Ent˜ao 1⊗(qβ⊗t)−qβ⊗(1⊗t) est´a no n´ucleo da aplica¸c˜ao do Teorema3.4.3, e portanto, ´e igual a zero.

Assim, temos que 1 ⊗ qβ = qβ ⊗ 1. Logo, {1, qβ} ´e linearmente dependente sobre K, ou seja, existem a, b ∈ K n˜ao nulos tais que a + bqβ = 0. Ent˜ao qβ = −b−1a ∈ K, para todo β, o que implica em ξ ∈ (K # H)U_.

(7) Baseado na demonstra¸c˜ao de [Wes99, Lemma 1.3]: ´

E f´acil ver que (K#H)U_{´e sub´algebra de Q#H. Falta verificar que ρ (K # H)}U
_{⊆ (K#H)}U_⊗H. Seja ξ =Xqα# hα∈ (K # H)U. Temos ξu = uξ, para todo u ∈ U . Ent˜ao:

ρ(ξ) =Xqα# hα(1)⊗ hα(2) = n X i=1

ξi⊗ hi, onde ξi∈ K # H, para todo i.

ξu =X(qα# hα)u =Xqα(hα₍₁₎· u) # hα₍₂₎ =X(qα# hα₍₁₎) · u # hα₍₂₎ = n X

i=1

ξi· u # hi.

uξ =Xuqα# hα =Xuε(hα₍₁₎)qα# hα₍₂₎ = n X

i=1

u(Id ⊗ ε)(ξi) # hi.

Como podemos considerar {hi}1≤i≤n k-linearmente independente, temos que ξi· u = u(Id ⊗ ε)(ξi), para todo 1 ≤ i ≤ n e todo u ∈ U.

Seja M = span_k{ξi}1≤i≤n = {λ1ξ1+ · · · + λnξn : λ1, . . . , λn ∈ k}. Pelo Lema 1.3.9, M ´e um H- subcom´odulo `a direita de K # H, ent˜ao ρ(ξi) =

n X j=1

ξj ⊗ lij ∈ M ⊗ H, onde lij ∈ H, para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Assim, temos que

ξiu = n X j=1 ξj · u # lij = n X j=1

u(Id ⊗ ε)(ξi) # lij = uξi, para todo u ∈ U.

Portanto, ξi ∈ (K # H)U_{, para todo 1 ≤ i ≤ n, e (K # H)}U _{´e uma H-com´odulo sub´algebra `a} direita.

A injetividade da correspondˆencia de

Galois

4.1

Introdu¸c˜ao

Finalmente, neste cap´ıtulo estamos em condi¸c˜oes de mostrar a primeira parte da teoria da cor- respondˆencia, objetivo deste trabalho. Os resultados aqui apresentados se baseiam principalmente no artigo [WY01].

No decorrer deste cap´ıtulo, R ser´a uma ´algebra prima e H ser´a uma ´algebra de Hopf pontual de dimens˜ao finita agindo em R. Pela Proposi¸c˜ao3.4.4(5) temos que K ´e est´avel pela a¸c˜ao de H, ent˜ao podemos construir o produto smash K # H, que ´e uma H-com´odulo-´algebra `a direita via ρ conforme vimos na Proposi¸c˜ao3.1.2.

Seja U um subconjunto de R. Vamos definir

Φ(U ) = (K # H)U.

Vamos definir tamb´em a aplica¸c˜ao linear ϕ : Q # H −→ Qop# Hcop dada por ϕ(a # h) =X

(h)

S(h(1)) · a # S(h(2)), para todo a ∈ Q e todo h ∈ H.

A proposi¸c˜ao abaixo foi extra´ıda de [WY01, Proposition 0.5]. Proposi¸c˜ao 4.1.1. Temos:

1. A aplica¸c˜ao ϕ ´e um antimorfismo bijetor de ´algebras com inversa ψ dada por

ψ(a # h) =X (h)

S(h₍₂₎) · a # S(h₍₁₎), para todo a ∈ Qop e todo h ∈ Hcop.

2. Um conjunto Λ ´e um H-com´odulo sub´algebra `a direita de Q # H se, e somente se, ϕ(Λ) for um Hcop<sub>-com´odulo sub´algebra `a direita de Q</sub>op_{# H}cop_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam a, b ∈ Q e sejam h, l ∈ H. Vamos denotar a multiplica¸c˜ao em Qop_{# H}cop _por “•”. Inicialmente, observe que

Assim,

ϕ ((a # h)(b # l))

=Xϕ a(h(1)· b) # h(2)l

=XS (h₍₂₎l)₍₁₎
· a(h₍₁₎· b)
# S (h₍₂₎l)₍₂₎

=XS(h₍₂₎l₍₁₎) · a(h₍₁₎· b)
# S(h₍₃₎l₍₂₎), ∆ ´e homomorfismo de ´algebras.

=XS(l₍₁₎) ·hS(h₍₂₎) ·a(h₍₁₎· b)i# S(l₍₂₎)S(h₍₃₎), S ´e antimorfismo de ´algebras. =XS(l₍₁₎) ·h(S(h₍₂₎)₍₁₎· a)S(h₍₂₎)₍₂₎· (h₍₁₎· b)i# S(l₍₂₎)S(h₍₃₎) =XS(l(1)) · h (S(h(3)) · a)  S(h(2))h(1)

· bi# S(l(2))S(h(4)), S ´e antimorfismo de co´algebras. =XS(l(1)) ·  (S(h(1)) · a)b  # S(l(2))S(h(2)), pois X S(h(2))h(1) = ε(h)1H. =X S(l₍₁₎)₍₁₎· (S(h₍₁₎) · a)S(l₍₁₎)₍₂₎· b# S(l₍₂₎)S(h₍₂₎)

=X S(l₍₂₎) · (S(h₍₁₎) · a)S(l₍₁₎) · b# S(l₍₃₎)S(h₍₂₎), S ´e antimorfismo de co´algebras. =X S(l₍₁₎) · b•S(l₍₂₎) · (S(h₍₁₎) · a)# S(l₍₃₎)S(h₍₂₎)

=X S(l(1)) · b 

•S(l(2))(2)· (S(h(1)) · a) 

# S(l(2))(1)S(h(2)), S ´e antimorfismo de co´algebras. =X S(l₍₁₎) · b # S(l₍₂₎)•S(h₍₁₎) · a # S(h₍₂₎), por (4.1).

= ϕ(b # l) • ϕ(a # h). ´

E f´acil ver que ϕ(1Q# 1H) = 1Qop # 1_Hcop. Assim mostramos que ϕ ´e um antimorfismo de ´

algebras. Falta mostrar a bije¸c˜ao. Temos: ϕ ψ(a # h)
=Xϕ S(h₍₂₎) · a # S(h₍₁₎)

=XS S(h₍₁₎)₍₁₎
· S(h₍₂₎) · a
# S S(h₍₁₎)₍₂₎

=XS S(h₍₂₎)
· S(h₍₃₎) · a
# S S(h₍₁₎)
, S ´e antimorfismo de co´algebras. =Xh(2)· S(h(3)) · a
# h(1) =X h(2)S(h(3))
· a # h(1) = a # h, pois Xh₍₁₎S(h₍₂₎) = ε(h)1H.

De forma an´aloga, temos ψ ϕ(a # h)
= a # h. Assim, ϕ ´e um antimorfismo bijetor de ´algebras com inversa ψ. Portanto, mostramos (1).

(2) Seja Λ um H-com´odulo sub´algebra `a direita de Q # H. Por (1), temos que ϕ(Λ) ´e sub´algebra de Qop# Hcop. Vamos mostrar que ϕ(Λ) ´e um Hcop-com´odulo sub´algebra `a direita de Qop# Hcop. Seja ξ =Xai# hi ∈ Λ. Temos:

(IdQop⊗ ∆cop) ϕ(ξ)
= (IdQop⊗ ∆cop) X

S(hi₍₁₎) · ai# S(hi₍₂₎)
=XS(hi₍₁₎) · ai# S(hi₍₂₎)₍₂₎⊗ S(hi₍₂₎)₍₁₎ =XS(hi(1)) · ai# S(hi(2)) ⊗ S(hi(3)) =Xϕ(ai# hi₍₁₎) ⊗ S(hi₍₂₎).

Como Λ ´e um H-com´odulo sub´algebra `a direita, temos que (IdQ⊗ ∆)(ξ) =Xai# hi₍₁₎⊗ hi₍₂₎ ∈ Λ ⊗ H. Assim, (IdQop⊗ ∆cop) ϕ(ξ)
=

X

ϕ(ai# hi₍₁₎) ⊗ S(hi₍₂₎) ∈ ϕ(Λ) ⊗ Hcop. Ent˜ao, conclu´ımos que ϕ(Λ) ´e um Hcop-com´odulo sub´algebra `a direita de Qop# Hcop.

A rec´ıproca ´e mostrada de forma an´aloga.

Belgede Osmanlı sosyal hayatında kitap (sayfa 69-76)