BÖLÜM 2: OSMANLI SOSYAL HAYATI
2.2. Bir Sanat Nesnesi Olarak Kitap
O objetivo desta se¸c˜ao ´e obter uma s´erie de resultados sobre a estrutura (Q#H)Re definir quando uma a¸c˜ao de H em R ´e X-externa. Os resultados e defini¸c˜oes aqui apresentados foram baseados em [Mil95a,Yan97].
Observe que o grupo G = G(H) age em R por automorfismos, ou seja, existe o seguinte homo- morfismo de grupos
G −→ Aut(R)
σ 7−→ (r 7→ σ · r),
onde Aut(R) denota o grupo dos automorfismos da ´algebra R. Definimos, para todo σ ∈ G, Φσ = {q ∈ Q : q(σ · r) = rq, para todo r ∈ R}.
Se Φσ 6= {0}, dizemos que a a¸c˜ao de σ em R ´e X-interna, caso contr´ario dizemos que a a¸c˜ao de σ em R ´e X-externa. Se Φσ = {0}, para todo σ ∈ G com σ 6= 1, dizemos que a a¸c˜ao de G em R ´e
X-externa.
Segue um resultado extra´ıdo de [Mil95a, Lemma 3.2].
Lema 3.3.1. Sejam σ1, . . . , σn elementos de G distintos dois a dois, e sejam q1, . . . , qn∈ Q. Ent˜ao: n
X i=1
qi# σi ∈ (Q # H)R se, e somente se, qi ∈ Φσi para todo 1 ≤ i ≤ n.
Demonstra¸c˜ao. Seja r ∈ R. Observe que
r n X i=1 qi# σi ! = n X i=1 rqi# σi n X i=1 qi# σi ! r = n X i=1 qi(σi· r) # σi.
Das express˜oes acima e do fato dos elementos group-like serem linearmente independentes, obtemos o resultado desejado.
R, ou seja, δ · (rs) = (σ · r)(δ · s) + (δ · r)(τ · s), para todos r, s ∈ R. Dizemos que a a¸c˜ao de δ em R ´e X-interna ou dizemos que δ age como uma deriva¸c˜ao X-interna se existir q ∈ Q tal que
δ · r = (σ · r)q − q(τ · r), para todo r ∈ R.
Sejam α ∈ K, τ ∈ G e δ ∈ P1,τ. Note que a aplica¸c˜ao linear
R −→ Q
r 7−→ α(δ · r) ´e uma (1, τ )-deriva¸c˜ao. De fato,
α δ · (rs)= α[(1 · r)(δ · s) + (δ · r)(τ · s)] = (1 · r)α(δ · s) + α(δ · r)(τ · s), para todos r, s ∈ R.
Assim podemos definir o seguinte homomorfismo canˆonico K ⊗ P1,τ −→ Der1,τ(R, Q)
α ⊗ δ 7−→ r 7→ α(δ · r),
onde Der1,τ(R, Q) = {f ∈ hom(R, Q) : f (rs) = rf (s) + f (r)(τ · s), para todos r, s ∈ R} denota o espa¸co vetorial de todas as (1, τ )-deriva¸c˜oes de R em Q. Vamos denotar por Xinn−Der1,τ(R, Q) o subespa¸co de Der1,τ(R, Q) de todas as (1, τ )-deriva¸c˜oes X-internas, ou seja,
Xinn−Der1,τ(R, Q) = {f ∈ Der1,τ(R, Q) : existe q ∈ Q tal que f (r) = rq − q(τ · r), para todo r ∈ R}.
Da composi¸c˜ao do homomorfismo acima com o homomorfismo canˆonico de Der1,τ(R, Q) em Der1,τ(R, Q)/Xinn−Der1,τ(R, Q), obtemos um homomorfismo
ϑτ: K ⊗ P1,τ −→ Der1,τ(R, Q)/Xinn−Der1,τ(R, Q). Seja α ⊗ (1 − τ ) ∈ K ⊗ P1,τ. Vamos denotar ϑτ(α ⊗ (1 − τ )) = ω. Temos que
ou seja, ω ∈ Xinn−Der1,τ(R, Q). Portanto, K ⊗ k(1 − τ ) ⊆ ker(ϑτ) e temos um homomorfismo ϑτ: K ⊗ P1,τ′ −→ Der1,τ(R, Q)/Xinn−Der1,τ(R, Q),
induzido por ϑτ:
De [Mil95a, Proposition 3.4] temos o pr´oximo resultado. Proposi¸c˜ao 3.3.2. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
1. (Q # H)R= K;
2. ϑτ ´e injetora, para todo τ ∈ G, e a a¸c˜ao de G em R ´e X-externa.
Demonstra¸c˜ao. Se (Q # H)R = K, ent˜ao ´e imediato que a a¸c˜ao de G em R ´e X-externa a partir do Lema 3.3.1. Seja τ ∈ G. Se α1, . . . , αn ∈ K e x1, . . . , xn ∈ P1,τ s˜ao tais que
n X
i=1
αi⊗ xi ∈ ker(ϑτ),
ent˜ao existe a ∈ Q tal que n X
i=1
αi(xi· r) = ra − a(τ · r), para todo r ∈ R. Assim temos:
( n X i=1 αi# xi+ a # τ )r = n X i=1 (αi# xi)r + (a # τ )r = n X i=1
[αir # xi+ αi(xi· r) # τ ] + a(τ · r) # τ , lembrar que ∆(xi) = 1 ⊗ xi+ xi⊗ τ.
= n X i=1 rαi# xi+ n X i=1 αi(xi· r) # τ + ra # τ − n X i=1 αi(xi· r) # τ = r( n X i=1
αi# xi+ a # τ ), para todo r ∈ R.
Logo n X
i=1
αi# xi+ a # τ ∈ (Q # H)R= K. Note que K ⊆ (Q # H0)R⊆ (Q # H)R⊆ K, ou seja, (Q # H0)R= (Q # H)R= K. Como a ⊗ τ ∈ Q # H0, temos que
n X
i=1
pela Proposi¸c˜ao 1.3.1. Assim, conclu´ımos que ϑτ ´e injetora para todo τ ∈ G.
Se ϑτ´e injetora para todo τ ∈ G, e a a¸c˜ao de G em R ´e X-externa, basta mostrar que (Q#Hn)R= (Q # Hn−1)R, para todo n ≥ 1. Da´ı, pelo Lema 3.3.1conclu´ıremos que (Q # H)R= K.
Seja n ≥ 1 e seja x ∈ (Q#Hn)R. Da Se¸c˜ao2.3, lembrar que Hn= Hn−1⊕Xn= Hn−2⊕Xn−1⊕Xn. Assim, vamos escolher bases {xi} de Xn e {xj} de Xn−1 tais que xi ∈ Xσi,τi,n, onde σi, τi∈ G, para todo i, e xj ∈ Xσj,τj,n−1, onde σj, τj ∈ G, para todo j. Podemos escrever
x =X i qi# xi+ X j qj# xj+ ex, onde qi, qj ∈ Q, e ex ∈ Q # Hn−2.
Pelo Corol´ario 2.3.6, temos que ∆(xi) = σi ⊗ xi +X j
wij ⊗ xj + exi, onde exi ∈ H ⊗ Hn−2 e wij ∈ Xσi,σj,1 ⊆ Pσi,σj (Proposi¸c˜ao 2.3.2). Assim, para todo r ∈ R temos que:
xr ∈X i [qi(σi· r) # xi+X j qi(wij · r) # xj] +X j qj(σj· r) # xj+ Q # Hn−2 rx ∈X i rqi# xi+X j rqj# xj+ Q # Hn−2
Como xr = rx, qi(σi · r) = rqi, para todo i, ou seja, qi ∈ Φσi. Do fato da a¸c˜ao de G em R ser X-externa, temos que σi = 1. Pelo Lema3.3.1, qi∈ K, para todo i.
Temos tamb´em que X i
qi(wij · r) = rqj − qj(σj · r), para todo j, ou seja, a aplica¸c˜ao linear (r 7→ X
i
qi(wij · r)) ´e uma (1, σj)-deriva¸c˜ao X-interna. Assim X i
qi⊗ wij ∈ ker(ϑσj). Mas como todos ϑσj s˜ao injetores, temos que ker(ϑσj) ⊆ K ⊗ H0. Logo:
(Id ⊗ ∆)(x) ∈X i qi⊗ σi⊗ xi+X j (X i qi⊗ wij + qj⊗ σj) ⊗ yj + Q ⊗ H ⊗ Hn−2 ⊆ Q ⊗ H0⊗ H + Q ⊗ H ⊗ Hn−2 = Q ⊗ (H0⊗ H + H ⊗ Hn−2). Da´ı, x ∈ (Id ⊗ ∆)−1 Q ⊗ (H 0 ⊗ H + H ⊗ Hn−2) = Q ⊗ ∆−1(H0⊗ H + H ⊗ Hn−2) = Q ⊗ Hn−1, conforme desejado.
A partir do fato de R ser uma ´algebra prima, ´e f´acil verificar que Rop tamb´em ´e uma ´algebra prima. Note que (Qr)op = (Qop)l, (Ql)op = (Qop)r, e que (Q)op = Qop, ou seja, a ´algebra de quocientes de Martindale sim´etrica de Rop coincide com a de R como espa¸cos vetoriais. Al´em disso, pelo fato de K ser um corpo, Kop = K.
Como H possui ant´ıpoda S bijetora, pela Proposi¸c˜ao 1.3.5, temos que Hcop ´e uma ´algebra de Hopf com ant´ıpoda S. Assim como H, ´e f´acil ver que Hcop´e ´algebra de Hopf pontual. Seja h ∈ Hcop e seja r ∈ Rop. Vamos definir h ⇀ r = h · r. Temos ent˜ao, baseado em [Yan97, Proposition 2.6]: Proposi¸c˜ao 3.3.3. Rop ´e um Hcop-m´odulo ´algebra `a esquerda com a a¸c˜ao “⇀”.
Demonstra¸c˜ao. ´E claro que Rop ´e um Hcop-m´odulo `a esquerda. Sejam a, b ∈ Rop e seja h ∈ Hcop. Ent˜ao: h ⇀ (a • b) = h · (ba) =X (h) (h(1)· b)(h(2)· a) =X (h) (h(2)⇀ a) • (h(1)⇀ b). h ⇀ 1Rop= h · 1Rop = ε(h)1Rop. Observe que 1Rop = 1R e que ∆cop(h) = (τ ◦ ∆)(h) =
X (h)
h(2)⊗ h(1). Assim Rop ´e um Hcop-m´odulo ´
algebra `a esquerda com a a¸c˜ao “⇀”.
Como Hcop ´e uma ´algebra de Hopf pontual que age na ´algebra prima Rop, valem todos os resultados mostrados para a a¸c˜ao de H em R. O nosso pr´oximo resultado foi baseado em [Yan97, Proposition 3.6].
Proposi¸c˜ao 3.3.4. Temos: 1. RH = (Rop)Hcop
.
2. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: (i) (Q # H)R= K;
(ii) (Qop# Hcop)Rop = K.
Demonstra¸c˜ao. (1) Aplicando o Lema3.1.1, temos que:
(Rop)Hcop = {r ∈ Rop : h ⇀ r = ε(h)r, para todo h ∈ Hcop}
A partir das express˜oes acima e do fato de h ⇀ r = h · r, para todo h ∈ H e todo r ∈ R, conclu´ımos que RH = (Rop)Hcop.
(2) Primeiramente, observe que G = G(H) = G(Hcop), e que σ · α ∈ K, para todo σ ∈ G e todo α ∈ K. De fato,
(σ · α)q = σ · α(σ−1· q)= σ · (σ−1· q)α= q(σ · α), para todo q ∈ Q.
Se (Q # H)R= K, ent˜ao a a¸c˜ao de G em R ´e X-externa pela Proposi¸c˜ao3.3.2. Vamos supor que exista σ ∈ G, com σ 6= 1, e q ∈ Qop, com q 6= 0, tais que (σ · r)q = q • (σ ⇀ r) = r • q = qr, para todo r ∈ R. Como σ−1 ∈ G age como um automorfismo em R, podemos substituir r por σ−1 · r e obter σ · (σ−1· r)q = q(σ−1· r), isto ´e, rq = q(σ−1· r), para todo r ∈ R, um absurdo. Portanto, a a¸c˜ao de G em Rop ´e X-externa.
Ainda pela Proposi¸c˜ao 3.3.2, temos que ϑτ ´e injetora para todo τ ∈ G. Seja τ ∈ G, e sejam α1, . . . , αn∈ K e δ1, . . . , δn∈ P1,τ(Hcop) tais que
n X i=1
αi• (δi⇀ r) = q • (τ ⇀ r) − r • q, para algum q ∈ Qcop e para todo r ∈ R.
´
E claro que δi∈ Pτ,1(H). Da´ı
∆(τ−1δi) = ∆(τ−1)∆(δi) = (τ−1⊗ τ−1)(τ ⊗ δi+ δi⊗ 1) = 1 ⊗ τ−1δi+ τ−1δi⊗ τ−1, ou seja, τ−1δi ∈ P
1,τ−1(H), para todo 0 ≤ i ≤ n. Temos ainda n X i=1 (τ−1· αi)(τ−1δi· r) = τ−1· n X i=1
αi• (δi ⇀ r), observe que αi∈ K. = τ−1· (q • (τ ⇀ r) − r • q) = τ−1· (τ · r)q − qr = r(τ−1· q) − (τ−1· q)(τ−1· r), para todo r ∈ R, ou seja, n X i=1
(τ−1· αi) ⊗ τ−1δi∈ ker(ϑτ−1) = K ⊗ (1 − τ−1). Ent˜ao, n X
i=1
αi⊗ δi∈ (τ · K) ⊗ τ (1 − τ−1) ⊆ K ⊗ k(1 − τ ). Novamente pela Proposi¸c˜ao 3.3.2, temos que (Qop# Hcop)Rop = K.
Se (Qop# Hcop)Rop= K, basta procedermos de forma an´aloga para concluirmos que (Q # H)R= K.
Finalmente, vamos definir as a¸c˜oes X-externas.
Defini¸c˜ao. A a¸c˜ao de H em R ´e chamada X-externa se (Q # H)R= K.
Observa¸c˜ao. Essa defini¸c˜ao foi primeiro sugerida por Milinski no artigo [Mil95a]. Milinski escolheu esse nome para homenagear Kharchenko, cujo nome em russo come¸ca com a letra X. Kharchenko foi o autor de diversos trabalhos pioneiros no estudo de a¸c˜oes de grupos de automorfismos e de a¸c˜oes de ´algebras de Lie restritas em ´algebras primas e semi-primas. Alguns autores denominam as a¸c˜oes
X-externas por a¸c˜oes M-externas, em homenagem a Milinski.