Beta Polinomu

Ghysels ve diğerleri (2007), üstel Almon Polinomunun yanı sıra 𝑥_𝑡^(𝑚) yüksek frekanslı değişkenin ağırlıklandırılması için Beta Dağılımını da önermişlerdir. Normalleştirilmiş Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde gösterilebilir.

𝜔_𝑗(𝜃₁, 𝜃₂) = 𝑓(𝑗, 𝜃₁; 𝜃₂)

∑^𝑀_𝑗=1𝑓(𝑗, 𝜃₁; 𝜃₂) (19)

Yukarıdaki (19) numaralı eşitlikte 𝑓(𝑗, 𝜃₁; 𝜃₂) =^{𝑗𝑎−1(1−𝑗)𝑏−1Γ(𝑎+𝑏)}

Γ(𝑎)Γ(𝑏) Beta Dağılımıdır. Bu

dağılımdaki Γ(𝑎) = ∫ 𝑒₀^{∞ −𝑗}𝑗^𝑎−1𝑑𝑥 ise Gama Dağılımını göstermektedir. Beta Dağılımı, gecikme formunun spesifikasyonlarına bağlı olarak önemli özelliklere sahip olabilmektedir. Örneğin, polinomunun yığın boyutunun sadece parametresi ile sınırlandırılması, azalan ağırlık değerlerini empoze edecektir. Sadece bir hiper parametresi içeren bu ağırlıklandırma şeması aşağıdaki gibidir.

𝜑(𝑘, 𝜃) = 𝜑𝐾(𝑘, 𝜃₁) = 𝜃₁(1 − 𝑘)^𝜃1−1 (20)

Üstel Almon ve Beta Polinomları, oynaklık hesaplanmasının pozitif tanımlılığı için gerekli olan pozitif katsayıları sağlamaktadırlar. Her iki polinomda doğrusal olmayan en küçük kareler (NLS) yöntemi kullanılarak tahmin edilebilir.

1.2.4. Kısıtsız MIDAS (U-MIDAS)

Foroni ve diğerleri (2015), yüksek frekansa sahip değişkenlerdeki bilgiyi yansıtabilmek adına kısıtsız MIDAS (U-MIDAS) yöntemini geliştirmişlerdir. U-MIDAS yöntemi, özellik mikro ve

14

makro iktisadi alanda değişkenler arasında frekans farkının fazla olmadığı durumlarda yüksek frekanslı serilerde kullanılan diğer ağırlıklandırma yöntemlerine göre daha iyi performans göstermektedir. Genel hatları ile U-MIDAS modeli aşağıdaki regresyon modelinde gösterilmiştir.

𝑦_𝑡 = 𝛽₀+ 𝛽₁(𝐿^𝑖/𝑚)𝑥_𝑡^(𝑚)+ 𝑢_𝑡 (21)

Burada (𝐿^𝑖/𝑚); yüksek frekanslı değişkenin gecikme katsayılarını temsil etmektedir. U-MIDAS yönteminde, üstel Almon gibi ağırlıklandırma yönteminin aksine yüksek frekanslı değişkenin, düşük frekanslı değişken periyoduna karşılık gelen değerlerine eşit ağılıklar verilmektedir. Söz gelimi, aylık frekanslı serilerden yararlanılarak üçer aylık büyüme oranlarını tahmin ettiğimizi varsayalım. Bununla birlikte yüksek frekanslı değişken için optimal gecikme uzunluğu olarak belirlenmiş olsun. Bu örneğimizde yüksek frekanslı değişkendeki ilk gecikme döneminde düşük frekanslı dönemi içerisinde yer alan 3. aylara denk gelen yüksek frekanslı değişkenin verileri yer alacaktır. Başka bir ifade ile aralık, eylül, haziran ve mart aylarına ait veriler yer alacaktır. İkinci gecikme döneminde ise düşük frekanslı dönemindeki 2. aylara ait yüksek frekanslı veriler yer alacaktır. 3. gecikme döneminde ise düşük frekanslı döneminde bulunan ilk aylara denk gelen yüksek frekanslı veriler kullanılacaktır. 4. gecikmede ise düşük frekanslı dönemi içerisinde yer alan 3. aylara denk gelen yüksek frekanslı değişkenin verilerinden faydalanılacaktır. Bu durum belirlenen optimal gecikme uzunluğuna kadar devam etmektedir. Foroni ve diğerleri (2015), optimal gecikme uzunluğunun geleneksel zaman serileri analizlerinde kullanılan bilgi kriterleri ile belirlenebileceğini belirtmişlerdir.

U-MIDAS yönteminde, üstel Almon gibi ağırlıklandırma yöntemlerinin aksine doğrusal olmasından dolayı EKK ile parametre tahmini gerçekleştirilebilmektedir. Ancak regresyon modelinde değişkenler arasında frekans farkının çok yüksek olması durumunda tahmin edilmesi gereken parametre sayısı bir hayli fazla olacaktır. Örneğin günlük verili bir değişkenle üçer aylık verili bir değişkenin aynı regresyon modelinde kullanıldığı düşünelim. Bu durumda düşük frekansta bir dönem gecikmeye gidilmesi yüksek frekansta 66 gecikmeye kadar gidilmesi anlamına gelecektir.

Böylelikle parametrelerin serbestlik dereceleri bir hayli düşecektir. Hatta bazı durumlarda tahmin edilmesi gereken parametre sayısı düşük frekanslı değişkenin gözlem sayısından daha fazla olması olası olacaktır.

15 1.2.5. Basamak Ağırlıklı MIDAS Modeli

Bir önceki alt bölümde anlatılan U-MIDAS modelinde, 𝑚 değerinin büyük olması durumunda parametre sayısının olağanüstü bir biçimde arttığı görülmüştür. Şöyle ki, frekans oranının bir hayli yüksek olması durumunda U-MIDAS Modeli, EKK yöntemi altında tahmin edilmesi imkansız hale gelebilecektir. Öte yandan Forsberg ve Ghysels (2007), Corsi (2004) tarafından oluşturulan yüksek frekanslı gerçekleşen oynaklığın heterojen otoregresif model (heterogeneous autoregressive model of the realized volatility, HAR-RV) modelinden yola çıkarak basamak fonksiyonlarına sahip bir basamak ağırlıklı MIDAS Modelini geliştirmişlerdir. Forsberg ve Ghysels, bu modeli geliştirirken Andersen ve diğerleri (2005)’nin HAR-RV modelinin Oynaklık kısmını sürekli ve kesikli kısımlarına ayırmasından faydalanmışlardır. Söz konusu modelde RV’nin kesikli kısmından yararlanılarak yüksek frekanslı değişkenin geçmiş değerlerinin belli bir basamak sayısı kadar benzer katsayı değerleri aldığı varsayılmaktadır. Değişkenler arasındaki frekans oranı 𝑚 değerinin büyük olması durumunda bile basamak Ağırlıklı MIDAS modeli, EKK yöntemiyle tahmin edilebilmektedir.

𝑆 basamağa sahip basamak Ağırlıklı MIDAS modeli aşağıda gösterildiği şekildedir.

𝑦_𝑡 = 𝛽₀+ 𝛽₁ ∑ (∑ 𝛾_𝑗

Yukarıdaki denklemde 𝛾_𝑗; yüksek frekanslı değişkenin geçmiş değerlerinin 𝑆 basamak kadar olan kısmının benzer katsayıya eşit olacağını ifade etmektedir. Aynı denklemde ⌈(𝑞/𝑆)⌉; ise basamak sayısının optimal gecikme uzunluğu 𝑞’ya bölünmesiyle elde edilecek değerin bir üst tam sayıya yuvarlanmasıyla oluşturulan parametre sayısıdır. Basamak Ağırlıklı MIDAS modelinde optimal gecikme uzunluğu geleneksel zaman serilerindeki gibi Akaike, Schwarz gibi bilgi kriterleri ile belirlenebilmektedir. Söz konusu modelde optimal gecikme uzunluğunun modelde oluşturacağı gözlem kaybı, ⌈(𝑞/𝑆) − 1⌉’e eşit olmaktadır. Örneğin yüksek frekanslı değişkenin aylık, düşük frekanslı değişkenin de üçer aylık olduğu bir durumda basamak sayısının 3 ve yüksek frekanslı değişken için optimal gecikme uzunluğunun 5 olduğunu varsayalım. Bu durumda ⌈(5/3) − 1⌉ = 1’den gözlem kaybı 1 olacaktır. Basamak ağırlıklı MIDAS yönteminde yüksek frekanslı değişken, dönüşüme tabi tutulacaktır. Bu dönüşüm ile oluşturulacak olan serilerin sayısı, optimal gecikme sayısının, basamak sayısına bölünmesi ile elde edilecek değerin bir üst sayıya yuvarlanmasına eşit olacaktır. Örneğimizde bu değer ⌈(5/3)⌉ = 2 olarak hesaplanmıştır. Burada ilk seri 𝑆₁= 𝐿^𝑚0𝑥_𝑡^(𝑚)+ 𝐿^𝑚1𝑥_𝑡^(𝑚)+ 𝐿^𝑚2𝑥_𝑡^(𝑚) şeklinde oluşturulurken; 2. seri 𝑆₂= 𝐿^𝑚3𝑥_𝑡^(𝑚)+ 𝐿^𝑚4𝑥_𝑡^(𝑚) biçiminde oluşturulmaktadır. Başka bir ifade ile yüksek frekanslı değişkenin ocak, şubat ve mart¹ aylarına denk gelen gözlemleri toplanarak ilk gözlemi; şubat, mart ve nisan aylarına ait gözlemleri toplanarak 2.

1 Yüksek frekanslı değişkenin ilk gözlemi ocak ayında başladığı varsayılmıştır.

16

gözlemi ve yüksek frekanslı değişkenin son gözlemine kadar bu işlem devam ederek ilk seri oluşturulmaktadır. İkinci seri için ise ocak ayından önce gözlem değeri olmadığı için veri kaybı söz konusu olacaktır. İkinci serinin ilk gözlemi, ocak ve şubat aylarının gözlem değerlerinin toplanmasına; 2. gözlemi ise şubat ve mart aylarına ait gözlem değerlerinin toplanmasına eşit olacaktır. Burada yüksek frekanslı değişkenin 3 ve 4 dönem gecikmeleri kullanılacağı için 2. serinin ilk gözlemi 1. serinin 3. gözlemine denk gelecektir.

Daha sonra düşük frekanslı değişkenin 𝑡 dönemine ya da (𝑡 − 𝑗)/𝑚 dönemine denk gelen 𝑆₁ ve 𝑆₂ değişkenlerine ait gözlemlerin kullanılması suretiyle aşağıdaki regresyon modeli EKK yöntemi ile tahmin edilmektedir.

𝑌_𝑡= 𝛽₀+ 𝛾₁𝑆₁+ 𝛾₂𝑆₂+ 𝑢_𝑡 (23)

Yukarıdaki regresyon modelinden tahmin edilecek olan 𝛾₁ parametresi yüksek frekanslı değişkenin ilk 3 gecikme katsayısına ve 𝛾₂ parametresi ise 4 ve 5 gecikme katsayılarına eşit olacaktır.

Tekrar edilecek olunursa 𝑆₁ ve 𝑆₂, yüksek frekanslı 𝑥_𝑡^(𝑚) değişkenin sırasıyla 3 ve 2 dönem gecikmelerinin toplanmaları yoluyla oluşturulmuş serilerdir.