Benford Kanunu Çerçevesinde Dijital (Sayısal) Analiz

1881 yılında Amerika’lı astronom ve matematikçi Simon Newcomb Journal of Mathematics’de yayınlanan makalesinde tuhaf bir olgudan söz etmekteydi. Henüz hesap makinelerinin kullanılmadığı bu zamanda hesaplamalar tablolar vasıtasıyla yapılmaktaydı.

Logaritma tablolarının ilk sayfalarının diğer sayfalara oranla daha kirli olduğunu dolayısıyla daha fazla kullanıldığını gözlemlemiştir. Bu tablolarda araştırılan veriler ilginç bir biçimde en çok “1” ile başlamaktaydı. Öğrenciler ve araştırmacılar 1 ile başlayan

sayılara 2 ile başlayandan, 2 ile başlayan sayılara da 3 ile başlayanlardan daha fazla bakmışlardı. Bu süreç böyle devam etmiş ve en az 9 ile başlayan sayılara bakmışlardı (Erdoğan, 2001: 1; Akkaş, 2007: 192). Newcomb bu gözleminden sonra herhangi bir sayının ilk rakam (sıfırdan farklı) olma olasılığını şu şekilde formüle etmiştir (Durtschi ve diğerleri, 2004: 19);

P(S)=Log10(1+1/S), S=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ve P=Olasılık

Örneğin 1’in ilk rakam olma olasılığı; P(1)=Log10(1+1/1)=0,301=%30,1’dur.

Newcomb’un bu makalesi o zamanlar pek inandırıcı gelmemiştir. Aradan 57 yıl geçtikten sonra bir fizikçi olan Frank Benford, logaritma tabloları üzerinde aynı gözlemi yapmış ve aynı logaritmik kanunu ifade etmiştir. Buradan yola çıkan Benford tüm zamanını ve çabasını bu konuya vererek bu gözlemini çok çeşitli alanlardan¹⁹ elde ettiği çok sayıda veri ile test etmiştir. Bu konuya yönelik tam 20.229 adet araştırmadan elde ettiği verileri kullanmıştır. Sonuç olarak yine sayılarda ilk rakamın 2’ye göre 1’i tercih edilmesi veya 3’e göre 2’nin tercih edilmesi daha fazladır (Küçük, 2008: 109). 1938 yılında Frank Benford, kendi adıyla anılan “Benford Kanunu Bir Sayısal Olgunun Tarifi”

olarak makale yayınlamıştır (Butsa ve Weinberg, 1998: 356). Bu makalede 1’den 9’a kadar sayıların ortaya çıkış frekansları şöyledir.

Tablo 6: En Solda Yer Alan Rakamların Kuramsal Ortaya Çıkış Frekansları

Bir sayının ilk değerleri 1 2 3 4 5 6 7 8 9

İlgili frekanslar(olasılıklar)²⁰ %30,1 %17,6 %12,5 %9,7 %7,9 %6,7 %5,8 %5,1 %4,6

Tablo 6’da 1’den 9’a kadar olan rakamların bir sayının en solunda(en başında) olma olasılıkları mevcuttur. Bu sayılardaki ilk rakamların ilk 4 basamakta ortaya çıkma ihtimalleri de tablo 7’deki şekildedir.

19 Hangi alanların olduğunu öğrenmek için bkz. http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html.

20 Hesaplama şekli şöyledir. Log10(1+1/Sayının İlk Değeri)

Tablo 7: Benford Kanunu'na Göre Rakamların İlk Dört Basamakta Olma Olasılıkları

Rakam 1. Basamak 2.Basamak 3.Basamak 4.Basamak

0 - 0.11968 0.10178 0.10018

1 0.30103 0.11389 0.10138 0.10014

2 0.17609 0.10882 0.10097 0.10010

3 0.12494 0.10433 0.10057 0.10006

4 0.09691 0.10031 0.10018 0.10002

5 0.07918 0.09668 0.09979 0.09998

6 0.06695 0.09337 0.09940 0.09994

7 0.05799 0.09035 0.09902 0.09990

8 0.05115 0.08757 0.09864 0.09986

9 0.04576 0.08500 0.09827 0.09982

Toplam 1 1 1 1

Kaynak: Butsa ve Weinberg, 1998: 359.

Daha sonra 1996 yılında Atlanta Georgia Teknoloji Enstitüsü matematik profesörü Theodore Hill P. Benford yasasını kanıtlamıştır. Bu kanıtlamada temel düşünce ortak olarak kabul görmüş olan verilerin değişmezlik ölçüsüdür (Yaman, 2008: 218). Hill bu olgunun birçok alanda işe yarayacağını belirtmiştir. Bu alanları bilgisayar tasarımı, matematiksel modelleme ve finansal verilerin içinde bulunan hilelerin tespit edilmesinde şeklinde sıralamıştır (Hill, 1995: 354). Hill’in bu bulguları sonrası önerdiği alanlara yönelik çalışmalardan hilenin tespit edilmesine yönelik olması da bu alanda araştırma yapmaya imkan sağlamıştır.

Benford Yasasını hileli finansal raporlarda ve muhasebe verilerinde ilk defa Mark Nigrini gündeme getirmiştir. Nigrini 1992’de doktora tezinde bu yöntemi kullanmış ve 1996’da da vergi oranları üzerinde bu yöntemi denemiştir (Butsa ve Weinberg, 1998: 356).

Nigrini bu tekniğin finansal verilerin birçoğunun Benford kanununa uygun olduğunu belirtmiştir. Nigrini 1992’deki doktora tezinde kullanmış olduğu ve dijital analiz olarak nitelendirilen tekniğin altyapısı olarak düşündüğü bu yapı bir program haline getirilmiştir.

Bu programla Brooklyn’de bölge savcılık ofisinde New York borsasında kayıtlı 7 şirketin hileli finansal raporlama düzenlediği belirlenmiştir (Hill, 1995: 362). Bu başarılı uygulamalardan sonra Benford kanunu ile sayısal analiz, mali suçlarla mücadele, ve vergi kaçakçılığını önlemek için çeşitli eyaletlerdeki vergi servisleri tarafından kullanılmaya başlanmıştır. Ayrıca şirketlerin hem iç hem de dış denetiminde bu kanundan yararlanma ve

sayısal analiz yapma artmaya başlanmıştır. Bu anlamda Benford kanunu ve sayısal analiz için en uygun finansal tablo verileri; alacaklar, borçlar, satışlar ve giderlerdir. Bunun yanı sıra veri kümesi olarak bir yıl alındığında hemen hemen bütün hesap kalemleri bu kanuna uygundur (Akkaş, 2007: 198).

Nigrini yaptığı bu çalışmaları ile alt yapısını Benford kanununun oluşturduğu

“Dijital Analiz” tekniğini ortaya koymuştur. Dijital analizde sayılarda normal olmayan oluşumların varlığı tespit edilmeye çalışılır. Bu teknikte matematiksel bir teori olarak bilinen Benford yasası kullanılır. Bu analizin temel noktası insanların rast gele davranmayacaklarına dayanır. İnsanlar bir hileye olanak vermek amacıyla sayı ürettiklerinde alışkanlıklarının sonucu olarak birkaç numarayı tekrar ederler (Yaman, 2008:

249). Nigrini ve Mittermaier bir petrol şirketi üzerinde dijital analiz yöntemini Benford yasasından esinlenerek denemişlerdir. Bu dijital analiz tekniğini uygularken finansal tablo verilerine 6 rakamlı tabanlardan oluşan testlerle çalışmalar yaparak dijital analizin temelini ortaya atmışlardır. Bu çalışmada muhasebe verilerinin Benford kanununa uygun olduğunu eğer bir düzensizlik varsa muhtemel bir hile göstergesi olduğunu ortaya koymuşlardır (Nigrini ve Mittermaier, 1997: 62-64).

Benford modeline uygun olarak dijital analiz tekniği ile finansal tablo veya muhasebe verileri ölçüldüğünde, normal muhasebe verileri ile, hileli veriler arasında çok güçlü farklar ortaya çıkmaktadır. Mark Nigrini’nin 1992’deki tezinde de bu şekilde sonuçlar ortaya çıkmıştır (Küçük, 2008: 110). Basit bir mantıkla muhasebe verilerinin çoğunun Benford yasasına uygun olduğu düşünülürse, bu yasanın öngördüğü ilk rakamın frekansları ile gerçek bir muhasebe verisinin ilk rakamlarını karşılaştırmak bu teknik için yeterli olmaktadır. Bu anlamda tablo 8’de Nigrini’nin tezindeki çalışması ile ilgili bir örnek sunulmuştur.

Tablo 8: Benford ve Hileler

0 20 40 60 80

İlk Rakam 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Benford Yasası 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Gerçek Veriler 30,5 17,8 12,6 9,6 7,8 6,6 5,6 5 4,5

Hileli Veiler 0 1,9 0 9,7 61,2 23,3 1 2,9 0

Rassal Sayılar 17,7 10 10,4 13,3 9,7 15,7 12 8,4 5,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kaynak: Erdoğan, 2001 :4.

Temeli Benford yasasına dayanan dijital analiz tespit edebilme kabiliyetinden dolayı muhtemel hileleri belirlemede kullanışlı bir araçtır. Tanımlanmış veriler beklenen sayı frekanslarını karşılamazsa denetçi yüksek hile riski olan bu alanda daha fazla denetim çalışmaları yapması gerekir. Örneğin alacak hesaplarının bakiyesinde Benford yasasından önemli derecede sapmalar oluşursa denetçi doğrulama düzeyini artırabilir, ek tarama ve işlemler yapabilir, kaydedilen kredili satışlarla ilgili incelemelerini artırabilir (Drake ve Nigrini, 2000: 129).

Ancak hemen burada dikkat çekilmesi gereken bir konu vardır ki tekniğin uygulanabilmesi için bunun üzerinde durulması gerekir. Denetçinin temin ettiği verilerin dijital analiz tekniğine uygun olması gerekir. Bunun uygunluğu verilerin Benford yasasına uygunluğu demektir. Denetçinin bu tekniği uygulamaya karar vermesi her türlü verinin analizinde bu yöntemin kullanılabileceği anlamına gelmez (Coderre, 2000: 25-28). Nigrini bu anlamda verilerin Benford yasasına uygunluğu için 4 tane temel şart koşmuştur. Bunlar (Butsa ve Weinberg, 1998: 357);

• Veri seti aynı nitelikteki olayları ölçmek için tanımlanmalıdır(Örneğin verilerin hepsi TL üzerinden olmalı ya da verilerin hepsi mesafe ölçmeli gibi)

• Herhangi bir alt veya üst sınır değer olmaması gerekir.

• Veri seti tahsis edilmiş(belirlenmiş değerler) olmamalıdır(örneğin telefon numarası veya kimlik numaraları gibi)

• Büyük kalemlere oranla küçük kalemlerin daha çok tetkik edilmesi (örneğin nehir alanları ölçülürken büyük nehirlere oranla daha çok küçük nehirler vardır;

aynı şekilde finansal veriler için de bu geçerlidir. Çünkü büyük finansal olaylara göre küçük finansal olayların vuku bulması daha fazladır)

Yukarıdaki maddeler aslında bu yöntemin diğer yöntemlerde olduğu gibi kısıtlarıdır. Örnek vermek gerekirse bir hesaptan tek seferlik bir zimmete geçirme ya da kazançları şişirmek için tek bir günlük girdinin olması muhtemelen bu yöntemle teşhis edilemez. Fakat hile sık sık işleniyor ve/veya tekrarlanıyorsa, bu tip hilelerin erken teşhisinde Benford yasası bir çok kuruluşa yardım etmektedir (Tapp ve Burg, 2001: 22).

Benford yasasına dayanan dijital analiz tekniği olağan olmayan ilişkileri ve şüpheli girişleri ortaya çıkarır. Ancak sonuçların değerlenmesi, yorumlanması ve karar verilmesi tamamen denetçinin yargısına bağlıdır. Denetçi analiz sonucu riskli bulduğu alanlara daha fazla dikkat etmeli normal denetim sürecinin dışına çıkmalıdır. Olası riskleri belirlemek için kontrollerin yenilenmesi, hile olasılığının yeniden keşfedilmesi ve ilgili alanlara muhtemel hileden kaynaklanabilecek olası etkileri denetçi tarafından değerlendirilmesi gerekir. Bu şekilde proaktif bir denetçi katılımı ile dijital analiz tekniği daha verimli olmaktadır (Coderre, 2000: 27).

Uygulamada genellikle 6 sayısal analiz tekniği kullanılmaktadır. Bunlar (i) ilk rakam testi (ii) ikinci rakam testi (iii) ilk iki rakam testi (iv) sayı çoğaltılması (v) yuvarlanan rakamlar testi(sayının katları testi) ve (vi) son iki rakam testidir²¹ (Nigrini ve Mittermier, 1997: 57). Şirket verileri üzerinde bu dijital analiz testleri uygulanırken düşünülmesi gereken noktalar vardır. Birincisi, dijital analiz testleri uygulanacak verilerin aylık, 3 aylık veya yıllık gibi belli bir zaman periyodundan gelmesi gerekir. Denetçiler defteri kebir hesaplarını elde bulundurulan bütün verilere uydurmalıdır. İkincisi, bir işletme için gerekli veriler tanımlanmalıdır. Eğer veriler iki veya daha fazla ilişkisiz bölümden elde edilmişse, herhangi bir bölümün verileri ile diğer bölümün verileri birleştirildiğinde

21 Bu testler bir petrol şirketi için Nigrini ve Mittermier tarafından uygulanmıştır. Ayrıntılı bilgi için bkz.

(Nigrini ve Mittermier, 1997: 57-64; Drake ve Nigrini, 2000: 133-137).

verilerdeki anormal rakam ve sayı tekrarlarının bir bölümü yok olabilir. Yani, tek tek bölümlerden elde edilen verilere göre birleştirilmiş veriler Benford kanununa daha uygun olabilir. Üçüncüsü veriler mümkün olduğunca açık bir şekilde analiz edilmelidir. Örneğin yapılan ödemeler ve çalışanın seyahat harcamaları tek tek analiz edilmelidir. Sadece seyahat harcama tutarlarının ve maliyetlerin toplamı incelenirse toplamlar ilgili kalemi yuvarlak sayıların içinde gizleyebilir. Sonuncusu ise dijital analiz için 10$’dan az pozitif sayıların, negatif sayıların ve sıfırların silinmesi gerekir. Çünkü çok küçük sayılar genellikle önemsiz kabul edilir. Ayrıca pozitif ve negatif sayılar ayrı incelenir. Çünkü bu ayrı sayılardan meydana gelecek hata ve hileler farklı çeşittirler (Drake ve Nigrini, 2000:

133).

Görüldüğü üzere gerekli olan birtakım varsayımlar yerine getirildikten sonra hile riskinin tespit edilmesinde dijital analiz tekniği kullanılabilir. Bu hem iç denetim hem de dış denetimde kullanılabilir. Basit olan bu analiz tekniği ile sayılar arasında doğal kabul edilmeyen sapmaların tespit edilmesi ile hile riski ortaya çıkmaktadır. Bu sayılar hem büyük hem de küçük tutarlı olabilir. İlk akla geldiğinde büyük tutarlı sayılarda hile riskinin aranması mantıklı gibi gelmesine rağmen bu analiz tekniği ile bütün sayılar araştırılabilir.

Bu analiz tekniğinin bilgisayar vasıtasıyla uygulanması ile denetim hız kazanabilmekte ve maliyet azalabilmektedir.