Baskakov Teoremi

 

 

 

n n

x n x

x x f x f A x

f x f A

n x

n

R x n

1 2

2 4 cos 2 sup

1

; sup

;

2

2 ,

0

*

*

*

*

 





 













elde edilir ve buradan



^*;



 ^*

 

1 x 

f x f

A_n dir. Bu ise Ağırlıklı uzaylarda Korovkin teoreminin şartları sağlanmasına rağmen yakınsamanın sağlanmadığını göstermektedir.

2.5 Baskakov Teoremi

1962 yılında Baskakov, Korovkin teoremindeki f nin tüm reel eksende sınırlı olması koşulu yerine 1x² fonksiyonuyla sınırlı olması halinde de yine düzgün yakınsamasının olduğunu ispatlamıştır. Baskakov’un bu teoremi ve ispatı aşağıdaki gibidir:

Teorem 2.5.1 (Baskakov): f C

 

a,b ve tüm reel eksende f(x) M_f (1x²) olsun. L_n

 

f;x lineer pozitif operatörler dizisi olmak üzere x

 

a,b için

i)L_n

 

1;x ^_ 1, ii)L_n

 

t;x ^_ x, iii)^Ln

 

^{t2;x x2}



 ……….………..…….(2.16) koşullarının sağlanması için gerek ve yeter koşul

 

f x f

 

x

L_n ; ^_ ………..………..(2.17) olmasıdır.

19 İspat:

 

a b x

x, ,

,

1 ²  ve

) 1 ( )

(x M x²

f  _f  ………...…….………..(2.18) koşulunu sağladıklarından dolayı ^Ln

 

^{f x f}

 

^x



;  olması durumunda



^2.16



koşulları sağlanır.



2.16



deki koşulların sağlanması halinde ^Ln

 

^{f x f}

 

^x



; olduğunu göstermek ispat için yeterlidir.

 

a b C

f  , olsun. f fonksiyonu sürekli olduğundan  0 için  vardır öyle ki )

, (



t ve ^x

 

^{a,b için tx } olduğunda





 ( ) )

(t f x

f ………..……….………(2.19)

sağlanır. Eğer tx  ise  1

 x

t olacağından ( ) 1

2 2 



 x

t eşitsizliği geçerlidir.

(2.18)den ve üçgen eşitsizliğinden ) 1 1

( )

( )

(t f x M t² x²

f   _f   

M_f(2



txx



² x²)

M_f(2(tx)² 2x(tx)x² x²) M_f(2(tx)² 2xtx 2x²)

_







   





2

2 2

2 2

2 2 1

)

(   

x x x

t

M_f ……..……….…...(2.20)

olarak elde edilir. Burada

 

_







   

 ₂ 2₂²

2 2 1

 



x x x

K dir. ^x

 

^{a,b için}

yukarıdaki K

 

x in sınırlı olduğu açıktır.  0 için



2.19



ve



2.20



den

 

^x

K x t M x

f t

f( ) ( )  _f(  )² ………..………...(2.21) yazılabilir. L_noperatörü (2.21) eşitsizliğine uygulanır, basit düzenlemeler yapılırsa

20 x x f t f L x

f x f

L_n( ; ) ( )  _n( ( ) ( );

L_n(;x)M_fK

 

x L_n((tx)²;x)

^Ln⁽^;x)^Mf^K

 

^x



^Ln^(t2;x)^2xLn^(t;x)^x2Ln^(1;x)^2x2 ^2x2



^Ln⁽^;x)Mf^K

 

^x

 

^Ln^(t2;x)x2



^2x

^

^Ln^(t;x)x

^

^x2

^

^Ln^(1;x)1

^ 

elde edilir. Bu eşitsizlik ise

 

 

   

^{( ; )}



²

^

^{(; )}

^{ }

^{(1; ) 1}

^ 

1 )

; 1 ( )

( )

; (

2 2

2 ,



















x L x x x t L x x x t L x K M

x L x

f x f L

n n

n f

b n a n c





şeklinde yazılabilir. (2.21)den dolayı yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafı n için

a eşit olur. da istenilen kadar küçük bir sayı olduğundan, Teoremin ispatı elde edilmiş olur.

Lemma 2.5.1: Eğer A_n :C_ B_ lineer pozitif operatörler dizisi için n olduğunda



 ;





 

0 0,1,2





 x x

A_n

şeklinde üç şart geçerli ise, her bir f C_ fonksiyonu için herhangi bir

 

^{a,b sonlu}

aralığında

 

   

, 0 sup

lim

,





 

 A_n f x f x

b a

n x ………..………(2.22) olur.

Teorem 2.5.2 :

 

A lineer pozitif operatörler dizisi n



;

  

0 0,1,2

lim   



   





 x x

A_n

n

şeklindeki üç şartı sağlıyorsa, her f C^k_ için n iken,

0

 f _ f A_n olur.

21 2.6 Süreklilik Modülü

Tanım 2.6.1.(Süreklilik modülü) Kabul edelim ki f,

 

a,b aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon olsun. Keyfi  0 için

 

) ( ) ( sup )

; (

, ,

x f t f f

b a x t

t x









 





şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin süreklilik modülü denir.

Bazen bu gösterim yerine () veya _f() gösterimi de kullanılabilir. (f;); değişkenler farkının en fazla  olması durumunda iki fonksiyon değerinin en fazla ne kadar fark edeceğini belirler. , nın bir fonksiyonu durumundadır ve  0 için

)

; (f 

w negatif olmayan bir fonksiyondur.

Lemma 2.6.1: w(f;) fonksiyonu monoton artandır.

İspat:

2

01  olsun. Bu durumda xy ₂ koşulunu sağlayan (x,y) sayı çiftlerinin kümesi xy ₁ koşulunu sağlayan sayı çiftlerinin kümesinden daha kapsamlıdır. Kümelerdeki supremum kavramı göz önüne alınarak süreklilik modülünün tanımından dolayı

)

; ( )

;

( ₁  ₂

 f  f

yazılabilir.

Lemma 2.6.2: Kabul edelim ki f,

 

^a,b aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda

0 )

; (

lim_0 f   dır.

22

elde edilir. Burada

 

23

olur. Yukarıdaki toplamın içindeki ifade süreklilik modülü olması ile toplananların sayısı m tane olduğundan

)

; ( )

;

(   

 f m m f eşitsizliği elde edilir.

Lemma 2.6.4: 0 reel sayısı için )

; ( ) 1 ( )

;

(    

 f   f

dir.

İspat:

 ,

m nın tam kısmı olsun. O taktirde m m1 olur.  süreklilik modülünün monotonluk özelliği ve Lemma



2.6.3



den

) ) 1 (

; ( )

;

(   

 f  f m

)

; ( ) 1 ( )

; ( ) 1 ( ) ) 1 (

;

(      

 f m  m f   f

olur. Dolayısı ile

)

; ( ) 1 ( )

;

(    

 f   f

olarak elde edilir.

Lemma 2.6.5: _n sıfıra yakınsayan bir dizi olmak üzere

n f

n k

f  

( ; )

eşitsizliği sağlanacak şekilde f(x) e bağlı bir k_f sabiti vardır.

24 İspat:

Süreklilik modülünde  için bir alınarak 1 )

; ( ) 1

;

( _n

n

f

f 

 

 

olarak yazılabilir. Lemma



2.6.4



den )

; ( 1 1

1 )

;

( _n

n n

n

f

f  

 

  _



 



 



1 ( ; )

n n

n  f 



 

 



 

olur. _nnin yakınsak bir dizi olmasından dolayı _n 1k şeklinde bir k sabiti vardır. O taktirde

)

; ( )

1

;

( _n

n

k f

f  

 

olur.

k k_{f }(f;1)

seçildiğinde

n f

n k

f  

( ; )

şeklinde istenen sonuç elde edilir.

Lemma 2.6.6:

f

fonksiyonu

 

a,b aralığında tanımlı sınırlı bir fonksiyon ise her

 

a b t

x,  , için

)

; ( ) ( )

(t f x f t x

f   

dır.

İspat:

Süreklilik modülünün tanımı ve Lemma



2.6.4



den )

; ( ) ( )

( 

 f ^t^x x

f t

f 





25 1 ( ;)

 ^f

x t







 





sonucu elde edilir.

Lemma 2.6.7: f fonksiyonu

 

a,b aralığının tüm noktalarında türevi sınırlı ise



 c f

w( ; )

eşitsizliği gerçeklenir.

İspat:

f fonksiyonu

 

a,b aralığının tüm noktalarında türevi sınırlı ise f'(x) M olur.

Ortalama Değer Teoreminden )

( ) ' ( )

( f 

x t

x f t

f 





olacak şekilde bir  noktası vardır. f'()c olarak alınırsa



 ct x c f

w( ; )   elde edilir.

Tanım 2.6.2.(Ağırlıklı Süreklilik Modülü) 

 

x 1x² olmak üzere, her







C^k 0,

f _ için

   

 

²

,

0 1

sup )

; (

h x

x f h x f f

h

x  



 





 



ifadesine f fonksiyonunun C_^k



0,



uzayında Ağırlıklı süreklilik modülü denir.

)

; (f 

 ağırlıklı süreklilik modülünün, Tanım(2.6.1)de verilen süreklilik modülüne benzer özelliklerini aşağıdaki Lemma’da verildi.

26

Lemma 2.6.8.[10,12]: f C_^k



0,



olmak üzere (f;) fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar.

i) (f;)0,

ii)Her f C_^k



0,



için lim_₀ (f;)0dır,

iii) Her mN için (f;m)m(f;) eşitsizliği sağlanır, iv) Her R^ için ⁽f^;⁾



¹



⁽f^;⁾ eşitsizliği sağlanır,

v) ^{f(t) f(x)}



¹



^{2x t}



²



^x_ ^{t 1}_^(f;)







  







 dir.

İspatlar:

i) f



xh

  

 f x ^0,1



xh



² ⁰ olduğundan süreklilik modülünün tanımı gereğince (f;)0dır.

ii) 0 olsun. f C_^k



0,



olduğunda

   

^{ }



 f

x k

x x f lim 

olacaktır. Buna göre öyle bir x₀ 0sayısı vardır ki, her x₁ x₀  olsun. Bu durumda

   

 

   

 

²

2 , ,

0 sup 1

sup 1 )

; (

1

1 x h

x f h x f h

x

x f h x f f

h x x h

x

x  



 







 











  



_{ }

     

 

²

, ,

0 ; sup 1

1

1 x h

x f h x f f

h x x

x  



 





 





olur. x x₁ olmak üzere

   

   

   

 

²

2

2 1 1

1 x h

x K f

K h x

h x f h

x

x f h x f

f

f    

 



 









27

eşitsizliği elde edilir. (2.6.1) eşitsizliğinde,

 

eşitliğinden yararlanarak, h  olduğundan

 

x elde edilir. Bu eşitsizlik (2.23)e uygulandığında

   

keyfi olduğundan ispat tamamlanmış olur.

iii)mN olmak üzere

28



^{x mh}

  

^{f x m}



¹



^{x h}



²



^.

^

^f;

^

f      

eşitsizliği elde edilir. Buradan

   

 

^{. ( ; )}

1

sup ₂

, 0



 m f

h x

x f mh x f

h x



 











bulunur.

iv)

   

 

   

 1 eşitsizliğine (f;)nın i) ve ii) özellikleri uygulanarak

R

 olmak üzere



1



( ; ) )

;

(f     f 

 sonucuna ulaşılır.

v)(f;) tanımından ve iv) özelliğinden

 



¹



^{1 ( ; )}

) ( )

( ² 

 ^f

t x x

t x x

f t

f 







  









 ………...(2.24)

elde edilir.

x t  iken

 



^{1 x tx 2}



^{1t2,x}

^

^0,

^

olduğundan

 



^{1 x tx 2}



^1

^

^2xt

^

² eşitsizliği elde edilir.

x t  iken

 



^{1 x tx 2}



^1

^

^2xt

^

^{2, x}

^

^0,

^

olduğu için

 



^{1 x tx 2}



^1

^

^2xt

^

²olur. Buna göre (2.24) eşitsizliğinde bunu yazarsak

 



^{1 2}



^{1 ( ; )}

) ( )

( ² 

 ^f

x t t

x x

f t

f 







  









istenen eşitsizlik elde edilir.

29 2.7 Doğurucu Fonksiyonlar

Doğurucu fonksiyonlar, özel fonksiyonların tanımlanmasında ve bu fonksiyonlarla ilgili birçok bağıntının bulunmasında önemli bir yer tutar.

Tanım 2.7.1. İki değişkenli bir F( tx, ) fonksiyonu t nin kuvvetleri cinsinden,



^

 





0

) , (

n

n n nf xt c t

x

F ………..(2.25) şeklinde bir seriye açılabiliyorsa, F( tx, ) fonksiyonuna



^fn

 

^x



fonksiyonlar cümlesinin Doğurucu fonksiyonu denir. (2.25) bağıntısında c ler _n x ve t den bağımsız, n nin bir fonksiyonu olup değişik değişik parametreler içerebilirler.

Tanım 2.7.2.(Bilineer Doğurucu Fonksiyon) Üç değişkenli bir G(x,y,t) fonksiyonu t nin kuvvetleri göre,

   



^





0

) , , (

n

n n n

nf x f y t

g t

y x

G ………...……….…………..(2.26) şeklinde bir seriye açılabiliyorsa, G(x,y,t) fonksiyonuna Bilineer Doğurucu fonksiyonu denir. (2.26) bağıntısında g ler _n x ve y değişkenlerinden bağımsızdır.

Tanım 2.7.3.(Bilateral Doğurucu Fonksiyon) Üç değişkenli bir H(x,y,t) fonksiyonu t nin kuvvetleri cinsinden,

   



^





0

) , , (

n

n n n

nf x g y t

h t

y x

H ………...………...………….……..(2.27) şeklinde bir seriye açılabiliyorsa, H(x,y,t) fonksiyonuna Bilateral(ikili) Doğurucu fonksiyonu denir.



2.27



bağıntısında h ler x ve _n y değişkenlerinden bağımsız olup

 

^x

f_n ve ^gn

 

^y ler farklı fonksiyonlardır.

30 Lemma 2.7.1:

a)

   

^

 

 













0 0

0 0

, ,

n n

k

n k

k n k A n

k

A ………...……...(2.28)

b)

   

^

 

 













0 0

0 0

, ,

n n

k

n k

k n k B n

k

B ………...……..(2.29) dir.

İspat:

a) Düzlemde

 

k,n doğal sayı çiftlerinin oluşturduğu bir nokta cümlesi

 



k n k n k N



D , :0 , 0 , 

şeklinde tanımlansın. Burada yeni indisler k  j,nm j olarak alınırsa D cümlesi

 



j m j m m m N



D^* , :0  , 0 , 

cümlesine dönüşür. Bu dönüşüm geometrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

Şekil 2.1 Cauchy Çarpım Formülü Şekli

 



k n k n k N



D , :0 , 0 ,  ,

31

Şekil 2.2 Cauchy Çarpım Formülü Dönüşüm Sonrası Şekli

 



j m j m m m N



D^* , :0  , 0 ,  . Buna göre

    



^

 













0 0

0 0

, ,

m m

j

n k

j m j A n

k A

yazılabilir. m, indisleri yerine j n, indisleri konulursa k



2.28 elde edilir.



b) Önceki eşitlikte, ^A



^k,nk



^B

 

^k,n alınması yeterlidir.

32

Belgede Kantorovich tipli bazı lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri (sayfa 28-42)