Sem sombra de dúvidas, a etapa mais importante de um planejamento estatístico é projetar os experimentos capazes de fornecer as informações necessárias, porém, antes de qualquer coisa, é preciso ter um conhecimento prévio do processo.
O planejamento fatorial permite uma combinação dos fatores em todos os níveis considerados, obtendo-se a análise de um fator, sujeito a todas as combinações dos demais fatores (método multivariado). O planejamento fatorial é útil para medir os efeitos ou influências de um ou mais fatores e é a única maneira de se prever interações entre os fatores (CALADO; MONTGOMERY, 2003).
Os planejamentos fatoriais, considerando k fatores com n níveis, são representados por nk. Por exemplo, tendo dois fatores (k=2) com dois níveis (n=2), tem-se um planejamento 22 e o número de experimentos é igual a quatro. Tendo três níveis (k=3) ao invés de dois, o experimento seria 32 e número de experimentos igual a nove. Denomina-se planejamento fatorial simétrico, aquele em que todos os fatores possuem o mesmo número de níveis e o número de experimentos é calculado como apresentado anteriormente. Quando os fatores apresentam número de níveis diferentes, tem-se um planejamento fatorial assimétrico. Para este tipo de planejamento o número de experimentos totais é dado da seguinte maneira: tendo-se três fatores (k=3), dois fatores com dois níveis (n=2) e um fator com três níveis (n=3) o número de experimentos será igual a 22x31=12.
Quando se realizam todos os experimentos de um planejamento fatorial é dito que se tem um planejamento fatorial completo. Por exemplo, para um planejamento 25 são necessários 32 experimentos. No entanto, percebe-se que, nos planejamos fatoriais, o número de experimentos cresce exponencialmente com o aumento do número de fatores e de níveis tornando-se, muitas vezes, inviável a realização de todos os experimentos de um planejamento fatorial completo. Para contornar esta situação, realiza-se um planejamento fatorial fracionário que visa, principalmente, reduzir o número de experimentos de modo a realizar apenas uma fração do número de experimentos do planejamento fatorial completo. Por exemplo, quando se pretende verificar o efeito de cinco fatores com dois níveis (25, 32 experimentos), pelo método fatorial fracionário pode-se realizar apenas 16 ou 8 experimentos (metade ou um quarto do número total de experimentos do fatorial completo 25). É importante informar que a redução do número de experimentos traz como conseqüência o confundimento entre efeitos principais e interações ou entre somente interações. Este confundimento, em alguns planejamentos fatoriais fracionários, não permite determinar os efeitos e as interações separadamente devido ao número reduzido de experimentos, o que em linguagem estatística significa dizer “devido à falta de graus de liberdade”. No entanto, é possível realizar uma fração de experimentos a qual possua um número de experimentos suficientes para estimar, no mínimo, os efeitos principais sem confundimentos com as interações entre dois fatores, pois os efeitos entre mais de dois fatores são hierarquicamente menos
significativos, a ponto de poderem ser desprezados (BOX; HUNTER; HUNTER, 1978; NETO; SCARMINIO; BRUNS, 2002).
A seguir, serão abordados os conceitos básicos para o entendimento dos planejamentos fatoriais simétricos completos de fatores com dois níveis, estes conceitos podem ser facilmente aplicados a qualquer fatorial completo ou fracionário (simétricos ou assimétricos).
Escolha dos fatores e níveis
A escolha dos fatores e dos níveis a serem estudados é a primeira fase de um planejamento fatorial. Nesta fase, o conhecimento do processo a ser estudado é de extrema importância para que seja escolhido, principalmente, um intervalo abrangente entre os níveis. No entanto, não tão extenso de maneira que não seja sensível o efeito.
Delineamento de experimentos
Para se obter a seqüência de experimentos a ser realizada, obtida a partir de um planejamento fatorial completo 23, por exemplo, necessita-se de oito experimentos. A Tabela 2.20 apresenta o delineamento dos experimentos para este planejamento.
Tabela 2.20 – Delineamento de experimentos para um planejamento fatorial completo 23 Fatores Experimentos x1 x2 x3 Resposta 1 -1 -1 -1 y1 2 +1 -1 -1 y2 3 -1 +1 -1 y3 4 +1 +1 -1 y4 5 -1 -1 +1 y5 6 +1 -1 +1 y6 7 -1 +1 +1 y7 8 +1 +1 +1 y8
Normalmente, costuma-se identificar o nível mais baixo e mais alto de um fator por -1 e +1, respectivamente, conforme o procedimento de codificação das variáveis
contínuas apresentadas anteriormente. Por exemplo, o experimento 1 consiste em ser realizado nos níveis mais baixos dos três fatores. Os delineamentos de experimentos são facilmente obtidos a partir dos programas estatísticos.
Análise das respostas
Sendo obtidas as repostas a partir do delineamento de experimentos, apresentado na Tabela 2.20, por exemplo, inicia-se a análise dos resultados de maneira a estimar os efeitos e as interações.
O efeito de cada fator, denominado efeito principal, é a diferença entre a média das respostas dos experimentos no nível mais alto (y ) e a média das respostas do + nível mais baixo (y ): −
Efeito principal
=
y
+−
y
− (2.7) Por exemplo, para o cálculo do efeito do x1, tem-se as respostas y2, y4, y6, y8quando o Fator 1 está no nível mais alto (+1) e y1, y3, y5, y7 quando no nível mais
baixo (-1) Portanto, o efeito principal do Fator 1 e dado por:
efeito principal (x1) =
(
) (
)
4 4 7 5 3 1 8 6 4 2 y y y y y y y y + + + − + + + (2.8)Para calcular a interação entre dois fatores é necessário multiplicar os sinais dos fatores em questão e depois realizar os cálculos como anteriormente apresentado para o efeito principal. Por exemplo, para determinar o efeito de interação entre os fatores x1 e x2 da Tabela 2.20, multiplica-se os sinais de cada fator e obtém-se uma nova
coluna de sinais para a interação, como apresentado na Tabela 2.21. Semelhante ao cálculo apresentado na eq.(2.7), determina-se o efeito de interação como apresentado na eq.(2.9): Interação (x1.x2) =
(
) (
)
4 y y y y 4 y y y y1 4 5 8 2+ 3+ 6 + 7 − + + + (2.9)Tabela 2.21 – Sinais para a interação entre os fatores x1 e x2 Fatores Experimentos x1 x2 Interação x1 e x2 Resposta 1 -1 -1 +1 y1 2 +1 -1 -1 y2 3 -1 +1 -1 y3 4 +1 +1 +1 y4 5 -1 -1 +1 y5 6 +1 -1 -1 y6 7 -1 +1 -1 y7 8 +1 +1 +1 y8
Interpretação dos sinais dos efeitos e das interações
Se o efeito principal de um determinado fator tiver sinal positivo, isto significa que, se forem alteradas as condições experimentais do nível mais baixo para o mais alto, há um acréscimo no valor da resposta (aumento de rendimento de uma reação, por exemplo). Porém, se o sinal do efeito for negativo, realizando o mesmo procedimento da alteração dos níveis de um fator, como apresentado anteriormente, há um decréscimo do valor da resposta (diminuição do rendimento).
Os sinais das interações devem ser considerados da seguinte maneira:
• positivo: se os fatores considerados têm o mesmo sinal, ambos têm sinal positivo ou negativo. Por exemplo, um efeito de interação temperatura/concentração de reagentes sobre a velocidade de reação é positiva, isto significa que se obtém maiores velocidades com o aumento ou diminuição, concomitante, da temperatura e da concentração;
• negativo: se os fatores considerados têm sinais trocados, ou seja, um fator é positivo e outro negativo. Para que a influência, neste caso, seja positiva, os fatores devem ter sinais diferentes (se um fator estiver em um nível baixo, com sinal negativo, o outro deverá estar em um nível alto, com sinal positivo).
A partir dos maiores valores absolutos dos efeitos principais e de interações, são determinados os efeitos significativos à resposta. Quando há possibilidade de se realizar experimentos em replicatas é possível aplicar o teste de hipóteses para
verificar a significância dos efeitos e das interações. Os programas STATISTICA® Release 5.1 e o MINITABTM Realese 13.0 utilizam o estimador p como resposta do teste de hipótese nula (hipótese de que o fator não seja significativo). Quando o valor de p de um efeito ou interação é menor ou igual ao nível de significância28 (α), rejeita-se a hipótese nula, ou seja, o efeito ou interação é dito ser significativo. Se o valor de p for maior que α aceita-se a hipótese nula, ou seja, o efeito ou interação não é significativo.