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O termo epistemologia passou a fazer parte da didática da matemática nos anos 60. Como lembra o didata Bruno D’Amore:

No nosso campo de pesquisa: uma concepção epistemológica é um conjunto de convicções, de conhecimentos e de saberes científicos, os quais tendem a dizer o que são os conhecimentos dos indivíduos ou de grupos de pessoas, como funcionam, os modos de estabelecer sua validade, bem como adquiri-los e então ensiná-los e aprendê-los; a epistemologia é uma tentativa de identificar e de unificar concepções epistemológicas diferentes relativas a determinadas ciências, a movimentos intelectuais, a grupos de pessoas, a instituições ou a culturas.

(D’AMORE, 2007, p.102) Para Gert Schubring o interesse da Didática da Matemática com relação aos obstáculos epistemológicos surgiu com a mudança de “estatuto” da Didática, antes considerada uma técnica, para uma Ciência própria e independente, em meados dos anos 60. Ele salienta que:

Como uma das conseqüências essenciais da transformação experimental e cognitiva da Didática, os erros dos alunos conseguiriam obter um novo papel: com efeito, entretanto, os erros não são mais considerados possíveis de ser eliminados por uma simples repetição, ou por atenção disciplinar por parte do professor. Pelo contrário, os erros não têm mais um papel marginal na Didática, somente relevante para a prática do professor na sala de aula: eles passaram para o centro de reflexão teórica da Didática e da sua prática experimental. (...) os erros são considerados como indicadores dos processos cognitivos na aprendizagem da Matemática nas salas de aula.

(Schubring, 2002, p. 22-23)

O primeiro autor a fundamentar a noção de obstáculo epistemológico na Matemática foi Guy Brousseau, garantindo, ao contrário de Bachelard, que é possível encontrar obstáculos

na Matemática. Brousseau retoma a idéia de que o conhecimento surge a partir da ruptura de um conhecimento anterior ao afirmar que:

O sentido de um conhecimento matemático se define não apenas pelo conjunto de situações onde este conhecimento é realizado como teoria matemática, não somente pelo conjunto de situações onde o sujeito o encontrou como meio de solução, mas também pelo conjunto das concepções, das escolhas anteriores que ele rejeita, dos erros que ele evita, pelas economias que ele proporciona, as formulações que ele retoma, etc.

(Brousseau, 1983, p.170, apud Motta, 2006)

Em 1981, George Glaeser publicou um estudo intitulado Epistemologia dos números relativos7 detalhando trabalhos de alguns matemáticos – como Diofante, Euler, e D’Alembert – com o objetivo de observar alguns obstáculos que se opunham à aquisição da noção dos números negativos, e, como conseqüência, à conhecida regra de sinais. Como uma possível continuação de seu trabalho, o autor sugere que experimentos viessem a ser feitos para examinar se as dificuldades ocorridam aos grandes matemáticos ocorria com estudantes.

Existe um registro de um debate entre Brousseau e Glaeser ocorrido em 1984 a respeito da noção de obstáculo epistemológico (Igliori, 1999, p.103). Glaeser não utilizou em seu primeiro estudo sobre o tema o termo obstáculo segundo a interpretação de obstáculo epistemológico de Bachelard. Ele utilizava o termo obstáculo como sinônimo de dificuldade, barreira e sintoma. De modo ingênuo, seu objetivo era determinar obstáculos que se opusessem à compreensão e à aprendizagem de Matemática. Vale ressaltar, entretanto, que a discussão do tema era prematura, não havia sido realizada ainda a formalização de tal noção.

Duroux (apud Igliori, 1999) também apresentou estudos sobre a noção de obstáculo epistemológico.

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Título original: Epistemologie des Nombres Relatifs in Recherches em Didactique des Mathématiques, vol. 2,

Para Duroux (1982), um obstáculo é um conhecimento, uma concepção, não uma dificuldade ou falta de conhecimentos. Esse conhecimento produz repostas adaptadas num certo contexto freqüentemente reencontrado.

(Igliori, 1999, p.101-102)

Brousseau, segue essa linha de raciocínio. Para ele um obstáculo se manifesta por meio de um conjunto de dificuldades comuns a diversas pessoas que partilham uma concepção equivocada de uma determinada noção ou conceito matemático, a partir de erros que são persistentes e recorrentes. Desse modo, esses erros estão ligados uma fonte comum: um modo de conhecer, uma concepção coerente, correta em um contexto anterior, um conhecimento antigo e que obteve êxito em todo domínio de ações anteriores. Esses erros não são explícitos e não costumam desaparecer radicalmente, persistem num momento, ressurgem em outros, se manifestam muito tempo depois do sujeito ter rejeitado o modelo defeituoso de seu sistema cognitivo. (Brousseau, 1983).

Assim, esses erros recorrentes e não aleatórios não são necessariamente frutos da ignorância, da incerteza ou do acaso, mas fruto de um conhecimento anterior que tinha sentido, era significativo e que então se revela falso, inadaptado ao novo contexto. Estes erros podem se constituir obstáculos tanto para o professor quanto para o aluno. Brousseau concebe, portanto, o erro como uma manifestação explícita de um conjunto de concepções espontâneas que se tornam obstáculo à aquisição e ao domínio de novos conceitos. A superação dos obstáculos deve integrar o projeto de ensino e o erro constituir em passagem obrigatória, uma vez que ele é necessário para desencadear o processo de aprendizagem do aluno e contribuir para o professor situar as concepções deste aluno, compreendendo os obstáculos subjacentes e, assim, poder agir.

Brousseau ainda nos alerta sobre o fato de que um obstáculo epistemológico não se manifesta apenas por meio de erros recorrentes, mas também pela impossibilidade de enfrentar certas questões ou por uma resolução insatisfatória.

De acordo com Perrin Glorian (1995), Brousseau retoma as idéias de Duroux ao caracterizar o obstáculo da seguinte maneira:

 um obstáculo será um conhecimento, uma concepção; não uma dificuldade ou uma falta de conhecimento;

 este conhecimento produz respostas adaptadas num certo contexto, freqüentemente encontrado;

 entretanto, ele produz respostas falsas fora desse contexto. Uma reposta correta e universal exige um ponto de vista notavelmente diferente;

 além disso, esse conhecimento resiste às contradições com as quais ele é confrontado e ao estabelecimento de um conhecimento melhor; não basta possuir um conhecimento melhor para que o precedente desapareça; é então indispensável identificá-lo e incorporar a sua rejeição no novo saber;

 depois da tomada de consciência de sua inexatidão, ele continua a manifestar- se de modo intempestivo e obstinado. (Perrin Glorian, 1995)

Brousseau, em seus estudos, inspirado pela Epistemologia de Bachelard, diferencia as origens dos obstáculos encontrados na Matemática. São elas:

 obstáculos didáticos de origem epistemológica: inerentes ao conhecimento matemático e identificáveis pelas dificuldades encontradas pelos matemáticos para os superar na história. Exemplo: a associação do número zero com o “nada”;

 obstáculos didáticos de origem didática: resultantes de uma transposição didática que aparentemente depende de uma escolha do professor ou de um

projeto pedagógico. São conhecimentos mal elaborados, incompletos que tendem a ser transmitidos pelos professores. Exemplo: concepção dos números decimais como dois números inteiros separados por uma vírgula;

 obstáculos didáticos de origem ontogênica: resultantes da limitação (neurofisiológica entre outras) do aluno em um determinado momento de seu desenvolvimento. Exemplo: a construção do conceito de volume não é possível antes dos 10 anos de idade aproximadamente, segundo a teoria piagetiana;

 obstáculos didáticos de origem cultural: fruto de concepções errôneas, equivalem a certas maneiras de pensar, mas que não correspondem a conhecimentos científicos reconhecidos. Por exemplo, a idéia da multiplicação como uma sucessão de adições; no conceito de probabilidade a idéia de sorte como determinante para se ganhar ou perder um jogo, ou seja, a crença do acaso como determinante do destino.

Ao defender a tese da diversidade de origens para os obstáculos epistemológicos, Brousseau ampliou a concepção subjetivista de Bachelard da atribuição dos erros no processo de construção do conhecimento exclusivamente aos sujeitos que o constroem e amenizou o pressuposto da existência do paralelismo ontofilogenético. Entretanto, ao preservar a tese do obstáculo epistemológico como algo que se manifesta tanto no processo de construção do conhecimento como no processo de ensino-aprendizagem, não chega a negar completamente o argumento recapitulacionista presente no “princípio genético”.

(Motta, 2006, p.67)

Para Brousseau o aluno só atribui sentido aos conteúdos, na interação constante com situações problemáticas, na interação dialética, uma vez que o sujeito antecipa e finaliza suas ações; ele indica ainda, o caminho necessário para que o professor cuide dos obstáculos epistemológicos que aparecem em sala de aula:

Organizar a superação de um obstáculo consistirá em propor uma situação suscetível de evoluir e de fazer evoluir o aluno segundo uma dialética conveniente. Tratar-se-á não de comunicar as informações que se queira ensinar, mas de encontrar uma situação na qual elas são as únicas a serem satisfatórias ou ótimas – entre aquelas às quais se opõem – para obter um resultado no qual o aluno se dedicou.

(Brousseau, 1983, p.179, apud Motta, 2006)

Como ressalta Brousseau, particularmente na Matemática é preciso prestar atenção à generalização excessiva que muitas vezes aparece no ensino dessa disciplina e identificar quando essa generalização passa a ser uma obstrução ao conhecimento objetivo. Trata-se de uma precipitação do pensamento lógico indutivo, onde a observação de uma caso particular, às vezes, já é suficiente para induzir afirmações gerais. Entretanto, essa não é a generalização existente no saber matemático, onde a observação de casos particulares não garante a validade no caso geral, no máximo, pode sugerir hipóteses ou conjecturas. A generalização proposta por um teorema matemático só faz sentido como síntese da regularidade existente em uma infinidade de casos particulares e mais ainda na existência de regularidade em um caso qualquer. Mas, se o ensino de um assunto matemático for iniciado pelo aspecto de sua generalização, a chance de ocorrer um conhecimento vago é grande. A ordem da construção epistemológica da generalização não se inicia pelo fato geral em si; ela deve ser conjecturada a partir de casos particulares e por meio de um lento processo que envolve indagações, reflexões, avanços e retrocessos, culminando em uma demonstração como síntese de elaboração do saber.

2.3 ALGUNS OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS IDENTIFICADOS NA