Para o processo de atualização das funções de distribuição, é necessário estabelecer uma condição inicial das partículas. Para tal, pode-se definir os valores das funções f como os valores da função de equilíbrio, com velocidade macroscópica e massa específica para algum valor fixo.
As condições de contorno utilizadas nas fronteiras da geometria a ser simulada também devem ser definidas. Estas condições surgem da necessidade de se estimar os valores das funções de distribuição a partir de valores físicos, como velocidade e pressão nas fronteiras. A Figura 3.7 ilustra uma geometria simples, em que o arranjo D2Q9 é considerado, na qual as linhas pontilhadas em azul, verde e vermelho representam as fronteiras com a entrada, a saída de fluido e a parede sólida, respectivamente. Os nós assinalados em cinza deveriam fornecer os valores para as funções de distribuição marcadas em preto, durante a etapa de propagação. Nesta etapa, as funções de distribuição marcadas em cinza deveriam ser transportadas para os nós vizinhos e assim teríamos os valores para as funções de distribuição em preto. Porém, como estes nós em cinzas não existem, as funções de distribuição em preto são desconhecidas após a etapa de propagação. Dessa forma, é necessário se estabelecer regras para os valores das funções de distribuição desconhecidas.
Figura 3.7 – Funções de distribuição desconhecidas nas fronteiras.
Fonte: Acervo pessoal.
Nas fronteiras abertas, é comum se fixar um fluxo de entrada e uma condição de zero gradiente na saída. Para o primeiro caso, as funções de distribuição com valores desconhecidos (em preto na Figura 3.7) são definidas como as respectivas funções no estado de equilíbrio, dada uma densidade e velocidade macroscópica fixa. No caso de problemas de escoamento, é comum prescrever a velocidade ou o perfil de escoamento de entrada de um fluido em um sistema. Para uma fronteira aberta na qual deseja-se fixar a pressão, um valor para a massa específica do fluido pode ser especificado, já que no método de lattice Boltzmann a pressão é proporcional à densidade do fluido. Esta é uma condição de contorno bastante utilizada para saída de um sistema fechado no qual o fluido escoa (NEUMANN, 2013). Outra condição de contorno aberta bastante utilizada é a periódica. Ela é caracterizada pela conectividade entre duas fronteiras do domínio computacional, e é utilizada quando se tem a intenção de isolar o fenômeno de fronteiras reais, sendo adequada quando os efeitos de superfície são desprezíveis. Como resultado, tem-se um sistema infinito, composto apenas por repetições do mesmo domínio (SUCCI, 2001). Na Figura 3.8, observa-se que as funções de distribuição em verde são conhecidas na fronteira do lado direito, uma vez que há nós à esquerda. Estas funções são, então, projetadas para a fronteira da esquerda (setas em verde). Analogamente, as funções de distribuição em azul, do lado esquerdo da figura, são conhecidas e, por sua vez, são transportadas para o lado direito. Seguindo o mesmo raciocínio, as funções de distribuição são copiadas entre as fronteiras horizontais superior e inferior.
Além das condições de contorno abertas, existem também as fronteiras fechadas, nas quais o fluido está em contato com uma superfície sólida. Como já mencionado, são necessárias regras de reflexão para que as funções de distribuição com valores desconhecidos (em preto na Figura 3.7) sejam estimadas. A condição mais utilizada é a situação quando a velocidade da camada de fluido em contato com a parede é nula em relação à fronteira, ou seja, o atrito entre o fluido e a parede é máximo. Esta é a
Figura 3.8 – Condição de contorno periódica.
Fonte: Acervo pessoal.
condição de não-escorregamento nos modelos macroscópicos, que é reproduzida em escala mesoscópica através da inversão das distribuições de partículas na direção exatamente contrária à superfície de contato, e é conhecida como bounce back nos modelos de lattice Boltzmann. Na Figura 3.9, a distribuição fi é transportada do nó xf para o nó xs. De
acordo com a reflexão característica do bounce back, a função seria projetada novamente para o nó de origem (xf) como fbb. A regra de reflexão das distribuições para a condição
de não-escorregamento pode ser computada como (GUO; SHU, 2013):
fbb(xs,t) = fi(xf,t), (3.33)
cbb = −ci, (3.34)
em que cbbé a velocidade discreta referente à fbb. Neste caso, ambas velocidades tangencial
e normal à superfície sólida são nulas.
Outra condição utilizada em sistemas fechados é o oposto do bounce back, na qual não existe atrito entre a camada de fluido e a superfície sólida, e a velocidade não é nula. Em escala mesoscópica, esta condição de contorno pode ser reproduzida através da reflexão especular das funções de distribuição. Neste caso, de acordo com a Figura 3.9, a função de distribuição fi que chega ao nó xs é refletida de forma especular, ao nó xf (mais ao
norte na Figura 3.9), como fre. A regra de reflexão especular pode ser computada da
seguinte forma (GUO; SHU, 2013):
fre(xs,t) = fi(xf,t), (3.35)
Figura 3.9 – Condições de contorno bounce back e reflexão especular.
Fonte: Acervo pessoal.
onde cre é a velocidade discreta referente à função de distribuição fre e n é o vetor
normal à superfície sólida. Esta condição de contorno é caracterizada por ter o gradiente da velocidade tangencial e a componente normal da velocidade nulos.
Uma terceira condição de contorno para superfícies sólidas é o escorregamento parcial. Trata-se de uma combinação entre as duas condições de contorno anteriormente descritas. O fenômeno de escorregamento surge porque o equilíbrio termodinâmico local de momento e temperatura não é atingido, sendo observado em casos de escoamentos a baixa pressão ou quando as dimensões geométricas são muito pequenas, da ordem do caminho livre médio das moléculas. Assim, o impacto entre as moléculas do gás e as fronteiras é menos frequente, e o equilíbrio não é atingido (TRONVILLE; ZHOU; RIVERS, 2013). Esta condição pode ser reproduzida através de uma combinação entre a reflexão especular e o bounce back, com um coeficiente de reflexão ou coeficiente de escorregamento r, que assume valores de 0 a 1, ajustando a “intensidade” do escorregamento (SUCCI, 2002):
rfbb(xs,t) + (1 − r)fre(xs,t) = fi(xf,t). (3.37)
Pela Equação 3.37, pode-se observar que quando r = 1, a condição de bounce back é recuperada, e quando r = 0, tem-se a condição de reflexão especular.
Além de representar a condição de escorregamento, a reflexão especular também pode ser utilizada para implementação da condição de simetria, que impõe um “espelho” na fronteira desejada. Esta condição é bastante útil quando o fenômeno é simétrico a algum plano e tem-se a opção de simular apenas metade do domínio, poupando custo computacional.