Öneriler

Existem diversas formas de buscar a solução do problema estático de risers. Tanto se tratando dos tubos flexíveis, tubos rígidos, bem como dos cabos umbilicais, o comprimento dessas estruturas é cerca de três ordens de grandeza acima do diâmetro das mesmas. Trata-se, portanto, de estruturas que podem ser muito bem representadas globalmente se utilizando de teorias estruturais de barra para simplificações no campo de tensões. Existem diversas teorias estruturais que poderiam ser adotadas, com maior ou menor detalhamento:

• Treliças: a estrutura resiste apenas à tração e à compressão, não apresentando energia de deformação devida a efeitos de momentos fletores ou de torção, nem tampouco energia de deformação devida ao cisalhamento.

• Vigas de Euler-Bernoulli: a estrutura resiste à tração, compressão, e também a momentos fletores ou de torção, porém, existe a hipótese de que cada seção trans- versal deve permanecer ortogonal ao eixo da viga. Dessa forma, não se considera a energia de deformação devido a efeitos cisalhantes da força cortante, mas somente a energia de deformação referentes ao momento fletor, ou de torção e tração (ou compressão) da barra.

• Vigas de Timoshenko: a estrutura resiste à tração, compressão, momentos fle- tores ou de torção, e esforços cisalhantes cortantes à barra. A teoria não considera o mesmo vínculo cinemático em relação à seção transversal considerado na viga de Euler-Bernoulli.

• Teorias que envolvem empenamento da seção transversal: as teorias de bar- ras exemplificadas anteriormente assumem a seguinte hipótese: a seção transversal possui o movimento de um corpo rígido e, portanto, não apresenta nenhum tipo de empenamento ou variação de área. Existem diversos trabalhos publicados, por exemplo Campello (2000) e Dasambiagio (2008) que tratam deformações na seção transversal de modelos de barras. Essas teorias acrescentam graus de liberdade à estrutura para representar movimentos de deformação da seção transversal de cada ponto da viga. Dessa forma podem surgir outros tipos de esforços solicitantes, não

preditos pelas teorias de Euler-Bernoulli e Timoshenko. O empenamento da se- ção transversal pode se dar de forma uniforme ou não uniforme, de acordo com a hipótese adotada. Uma formulação clássica para empenamento é a chamada viga de Saint Venant, que prevê empenamento uniforme da seção transversal. Porém existem outras formas de prever esse fenômeno, de forma não uniforme. Vide, por exemplo, El Fatmi (2007).

Nesse trabalho foi utilizada a teoria de Vigas de Timoshenko. A real importância dos efeitos cisalhantes devido à força cortante no problema é questionável. No entanto, pela natureza da formulação escolhida para o tratamento cinemático de cada seção trans- versal, o mais natural foi considerar que não houvesse nenhum tipo de vínculo cinemático como o de Euler-Bernoulli. Assim a formulação se tornou mais genérica. Efeitos de em- penamento e qualquer tipo de alteração na seção transversal foram desprezados. Essa hipótese deve ser analisada com bastante cuidado. No trabalho de El Fatmi (2007), que aborda a questão de empenamento não uniforme em vigas é dito que desprezar os efeitos de empenamentos de viga pode resultar em erros bastante significativos nos seguintes casos: vigas de perfil aberto sob torção ou flexão e cisalhamento combinados em vigas curtas. Além disso, o autor aponta o estudo de vigas compósitas como uma situação em que o empenamento pode se evidenciar de forma muito significativa.

O assunto “vigas compósitas” é abordado em muitos artigos, e em especial pode-se citar o breve artigo de Rand (2000). O autor aponta que estruturas como pás de helicóp- tero e asas de avião, quando feitas de forma compósita, podem apresentar efeitos bastante significativos de empenamento em sua seção transversal. O autor ainda aponta que para vigas isotrópicas as tensões axiais não dependem de deformações cisalhantes. Já para vigas compósitas essa particularidade não é verdadeira. Devido a efeitos de cisalhamento nas seções transversais, vigas compósitas podem apresentar relações entre momento e curvatura que dependem essencialmente do empenamento. Esse tipo de comportamento é verificado em tubos flexíveis. A estrutura compósita desses tubos levam a relações não lineares entre momento e curvatura. Um modelo para tratar tal fenômeno é apresentado, por exemplo, em Witz e Tan (1992). Os autores além de explorar a modelagem de tubos compósitos para aplicação offshore, apresentam um gráfico que ilustra a relação entre o momento fletor e a curvatura para tubos flexíveis - Figura 4.1.

A relação entre o momento fletor e a curvatura pode ser muito próxima de bili- near. Isso se deve à ocorrência de deslizamento entre camadas da estrutura. A primeira inclinação (mais elevada) da curva, ocorre quando o atrito seco entre camadas adjacentes

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Figura 4.1: Relação entre momento fletor e curvatura para um exemplo de tubo compósito. Extraído de Witz e Tan (1992)

não permite o movimento de escorregamento entre as mesmas, fazendo a estrutura fun- cionar de forma uniforme, com pouco empenamento da seção. Já a partir de um certo valor de curvatura, ocorre escorregamento entre algumas camadas adjacentes, causando uma grande diminuição de rigidez flexional do tubo. Ainda, quando carregado em sen- tido oposto, é notado um comportamento de histerese. O fenômeno ilustrado é muito semelhante à plasticidade em aços estruturais, e à ocorrência de encruamento após tal material sofrer escoamento . Aliás, pode-se inclusive afirmar que o mecanismo de plas- ticidade em aços estruturais é também o escorregamento de camadas, porém, em escala da microestrutura do aço estrutural envolvido (mecanismo associado ao deslizamento de planos cristalográficos, causando deformações permanentes).

Com base nessas observações, a hipótese adotada de Vigas de Timoshenko para o modelo global de risers se mostra adequada à aplicações para risers rígidos, ou para tubos flexíveis ou cabos umbilicais, desde que não se verifique nível de esforço solicitante que cause significativo empenamento e mudanças de rigidez devido a alterações da seção transversal. Por isso, para aplicações para tubos compósitos, uma verificação posterior entre o nível de esforços solicitantes e o valor de rigidez flexional adotado para a análise global do riser, deve ser feita.

Ainda no tocante às teorias de barras e formas de modelar o problema de risers, hipóteses cinemáticas devem ser feitas acerca do movimento de cada seção transversal das vigas que formam a estrutura. O movimento pode ser considerado com pequena magnitude em termos de deslocamentos e rotações, com simplificações no equacionamento.

Ainda, pode ser considerado com grandes deslocamentos e grandes rotações, representando de forma mais realista problemas que tenham esse tipo de comportamento. Imaginando uma configuração de referência como um riser retilíneo e sem nenhum tipo de pré-tensão, e uma configuração deformada e final para um riser em catenária (após a aplicação do carregamentos estáticos bem como das condições de contorno do problema), podem ser identificados grandes deslocamentos e grandes ângulos de rotação (ver Figura 4.2).

Figura 4.2: Configurações de referência e deformada para um riser em catenária

Em situações em que se deseja estudar a estabilidade de configurações de riser submetidos a grandes rotações axiais devido a momentos de torção aplicados, podem ocorrer grandes movimentos compostos por translações e rotações de cada seção trans- versal analisada. Para tratar corretamente esses movimentos é necessário equacionar de forma bastante cautelosa as rotações e translações envolvidas nas seções transversais das vigas, com o mínimo de simplificações cinemáticas. Uma vez que no modelo de viga de Timoshenko as seções transversais permanecem rígidas, seu tratamento deve ser aquele que é utilizado para o movimento geral de um corpo rígido, abordado no ítem 4.3.

A seguir serão comentadas duas técnicas utilizadas para desenvolver teorias es- truturais de viga que possam ser submetidas a grandes movimentos de corpo rígidos (grandes deslocamentos e grandes rotações). As técnicas são: Formulação Co-rotacional e Formulação Cinematicamente Exata.

4.2.1

Formulação Co-rotacional

Formulações clássicas de viga que consideram pequenos deslocamentos não incluem gran- des movimentos de corpo rígido que podem surgir em uma estrutura, mesmo que não haja grandes deformações. Para estudar esse tipo de situação é bastante conveniente que se construa um referencial local no elemento considerado, em sua configuração deformada, a fim de eliminar a parte do movimento de corpo rígido (vista por esse referencial) na caracterização das deformações. Constrói-se, portanto, um novo referencial que é solidário

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ao movimento de corpo rígido do elemento. A técnica pode ser aplicada não somente a elementos de viga, como em Crisfield (1990) e Battini e Pacoste (2002), mas também para elementos sólidos, como por exemplo foi feito por Crisfield e Moita (1996).

Crisfield (1990) apresenta uma formulação 3D de viga utilizando a ideia do refe- rencial co-rotacional. O autor busca de forma bastante didática descrever o tratamento a ser dado para as grandes rotações possivelmente presentes em suas aplicações e define de maneira bastante análoga à aqui tratada, os tensores de rotação na forma de Euler e de Rodrigues, bem como os quaternions, introduzidos por Hamilton em 1844 1_.

Crisfield (1990) apresenta a ideia básica de como definir o referencial móvel que acompanha o movimento de corpo rígido do elemento de viga. O elemento desenvolvido possui 6 graus de liberdade por nó, sendo 3 deles de translação e 3 de rotação. O autor se utiliza do Princípio dos Trabalhos Virtuais para realizar a dedução das matrizes do elemento.

A formulação co-rotacional é uma alternativa para considerar não linearidades de grandes deslocamentos e grandes rotações, porém, apresenta dificuldade para a deter- minação do grau da aproximação e do erro cometido uma vez que, dentro do referencial solidário ao elemento, em geral é assumida linearidade. Além disso, não existe uma forma única de se formular um elemento co-rotacional, sendo o referencial móvel e solidário ao elemento sujeito a certa arbitrariedade. Mesmo com essas dificuldades uma formula- ção co-rotacional se faz capaz de resolver problemas estáticos de risers. Nesse capítulo, busca-se uma formulação que aborde a cinemática das rotações da forma mais exata pos- sível, com o mínimo de arbitrariedades, a fim de conseguir prever o comportamento de risers não somente nas configurações mais comuns, mas também em situações de insta- bilidades estruturais em que pode haver importantes acoplamentos entre torção, flexão e tração e grandes ordens de grandeza de rotação. As arbitrariedades presentes na For- mulação Co-rotacional poderiam dificultar a interpretação das rotações no espaço. Uma outra abordagem, portanto, pareceu ser mais conveniente para a necessidade do presente trabalho. Trata-se da:

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Os quaternions são uma generalização dos números complexos, possuindo não duas, mas quatro componentes, sendo funções do parâmetro de rotação θ de Euler, mostrado na seção 4.3.3. Existe uma álgebra desenvolvida somente para operar com essas entidades matemáticas, apresentada por exemplo em Spring (1986), utilizada em diversas áreas da física, e não somente na mecânica estrutural. A utilização de quaternions é uma alternativa ao uso do tensor de rotação, aqui apresentado, nas formas de Euler e de Rodrigues nos tópicos 4.3.3 e 4.3.4.

4.2.2

Formulação Cinematicamente Exata

A Formulação Cinematicamente Exata pode ser utilizada para desenvolver diversos tipos de teorias estruturais, como por exemplo as vigas e as cascas. Sua forma de tratar o problema é bastante interessante, uma vez que a teoria estrutural é construída do início ao fim com uma grande consistência cinemática dentro das hipóteses feitas. Um dos maiores pesquisadores no desenvolvimento e formalização dessa teoria é Simo, J.C., que nos artigos Simo (1985), Simo (1986) e Simo (1991) apresenta a teoria cinematicamente exata para diferentes aplicações de vigas. Esses trabalhos apresentam uma formulação dinâmica, com bastante rigor matemático no tratamento das rotações no espaço. Pimenta, Campello e Wriggers (2008) apresentam também um interessante trabalho utilizando a Formulação Cinematicamente Exata. É desenvolvida a formulação para a dinâmica, e elucidadores exemplos são discutidos, inclusive entrando no mérito de uma análise sobre a energia potencial e cinética de sistemas dinâmicos e sua conservação no método numérico utilizado para realizar a marcha transiente.

Para descrever o comportamento de uma viga ou casca segundo esse tipo de formulação, é possível trabalhar com duas diferentes descrições cinemáticas:

• Descrição lagrangiana total • Descrição lagrangiana atualizada

A descrição lagrangiana total trata as translações e rotações envolvidas no pro- blema sempre em relação à configuração de referência e, portanto, valores muito elevados de ângulo de rotação podem ocorrer. A principal vantagem dessa técnica é a facilidade de descrever as rotações, pois não há mudanças de referencial, tampouco atualizações de ângulos acumulados de rotação entre passos subsequentes de carregamento aplicados no modelo em questão. A principal desvantagem é a falha ao lidar com rotações de mag- nitude muito elevada, pois nessas situações podem surgir singularidades nos tensores de rotação (seja na forma de Euler ou de Rodrigues). Isso pode ocorrer, por exemplo, para um problema que envolva torção de uma viga muito longa que sofreu várias rotações.

Já a descrição lagrangiana atualizada constrói referenciais intermediários a fim de tratar grandezas de translação e rotação não em relação a um único referencial inicial mas, em relação a outros referenciais mais próximos da configuração a ser descrita. Possui maior complexidade no tratamento das rotações, principalmente em aspectos computacionais. Pode-se trabalhar com passos de carregamento de modo a definir ao fim de cada passo uma

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nova referência para a rotação. Dessa forma, através da solução de um modelo através de pequenos passos de carregamento pode-se lidar dentro de cada passo com rotações não elevadas, não tornando singular o tensor rotação. É necessário, para tal, redefinir um referencial a cada passo de carregamento. Adicionalmente deve-se acumular os esforços internos na estrutura bem como os ângulos de rotação durante os passos de carregamento subsequentes. Não existe limite teórico para a magnitude da rotação acumulada através da descrição lagrangiana atualizada. No entanto, cada passo de carregamento deverá se restringir à faixa de não singularidade do tensor rotação.

A descrição lagrangiana atualizada foi escolhida no presente estudo para abordar o problema da estabilidade da configuração de risers em catenária, pois se desejou estu- dar condições de rotações muito elevadas que não seriam corretamente contempladas na descrição lagrangiana total.

Para desenvolver um modelo estrutural de vigas através da Formulação Cinema- ticamente Exata (seja com descrição lagrangiana total ou atualizada) é importante adotar um parâmetro para descrever as rotações das seções transversais. Para isso, procurou- se no tópico 4.3 ilustrar algumas possibilidades, bem como a justificativa da escolha de parâmetro feita pelo autor.