Öneriler

Neste trabalho foi utilizado o modelo de volatilidade incerta juntamente com o conceito de

Hedging Estático com o objetivo de identificarmos oportunidades de arbitragem estatística

no mercado brasileiro de opções. Uma vez que tais oportunidades foram identificadas, foi composta uma estratégia replicante auto financiável com o objetivo de obtermos lucros. Ao contrário do que o modelo de Black & Scholes admite, sabemos que a volatilidade do ativo subjacente não pode ser observada no mercado, uma vez que não é diretamente negociada, e, portanto, é desconhecida. Além disso, o seu comportamento futuro é completamente imprevisível. Ou seja, há uma incerteza relacionada a volatilidade do ativo, incerteza essa que não pode ser neutralizada através do delta hedge. Assim, a estratégia replicante estará sempre exposta ao risco de volatilidade e, consequentemente, seu resultado final será incerto.

No presente trabalho, procuramos identificar no mercado de opções oportunidades de arbitragens estatística, e não pura, uma vez que o resultado da estratégia replicante está condicionado ao comportamento futuro da volatilidade do ativo subjacente. Na identificação de oportunidades de arbitragem estatística, consideramos sempre o valor do portfólio sob o worst case scenario. O conceito Hedging Estático Ótimo foi utilizado com o propósito de maximizarmos os ganhos provenientes da arbitragem através da escolha ótima das quantidades individuais das opções que compõem o portfólio de derivativos. Uma vez identificada uma oportunidade de arbitragem estatística e definidas as quantidades ótimas dos derivativos que compõem o portfólio, efetuamos o delta hedge da exposição remanescente de forma a neutralizarmos o risco relacionado ao ativo objeto, restando assim apenas o risco relacionado a volatilidade. Obtivemos assim a denominada estratégia replicante ótima.

No entanto, o delta hedge trouxe duas questões fundamentais para abordarmos na elaboração do nosso modelo: os efeitos do hedge discreto e dos custos de transação. Dividimos os custos de transação em dois tipos diferentes, um relacionado ao diferencial entre o preço de compra e o preço de venda das opções que compõem o portfólio de derivativos, o chamado bid and ask spread, e outro relacionado aos custos incorridos ao efetuarmos a compra e venda de determinada quantidade do ativo subjacente para efetuarmos o ajuste do delta hedge.

O bid and ask spread foi incorporado em nosso modelo através da consideração do diferencial entre os preços de compra e venda no cálculo do valor de mercado do portfólio. Ao incluirmos o bid and ask spread, o custo inicial necessário para composição da estratégia replicante ótima é maior do que o calculado sem a sua consideração. No caso dos custos de transação relativos ao delta hedge, verificamos que estes estão correlacionados com os efeitos advindos do hedge discreto, uma vez que ambos dependem da frequência de ajustes com que o delta hedge é efetuado. Quanto menor for a frequência do ajuste do delta hedge, menor será o valor dos custos de transação e maior será a incerteza relacionada ao hedge discreto. Em contrapartida, quanto maior for a frequência do ajuste do delta hedge, maior será o valor dos custos de transação e menor será a incerteza relacionada ao hedge discreto se. Assim, de forma a contemplarmos ambos os efeitos, primeiramente incorporamos os custos de transação na equação diferencial não linear do nosso modelo através de um ajuste do intervalo de volatilidade considerado no UVM, baseado no modelo proposto por Leland em 1985. Em seguida, estabelecemos um critério para definir a frequência do ajuste do delta hedge, de forma a não incorrermos em custos de transação quando, pelo critério adotado, os ajustes são desnecessários.

Efetuamos a implementação de nosso modelo em duas etapas. Primeiramente, utilizamos o método numérico de diferenças finitas para obtermos a solução da equação diferencial não linear e assim calcularmos o worst case scenario para o valor do portfólio composto por derivativos. Em seguida, utilizamos um algoritmo de minimização do MATLAB para identificarmos eventuais oportunidades de arbitragem e calcularmos as quantidades ótimas das opções envolvidas, de forma a maximizarmos os ganhos de nossa estratégia.

Acreditamos que a principal contribuição de nosso trabalho foi no desenvolvimento de um modelo de arbitragem estatística que incorpora os principais riscos e custos envolvidos na elaboração de uma estratégia auto financiável, utilizando em sua elaboração o UVM e incorporando os custos de transação através de um ajuste simples no valor do intervalo de volatilidade considerado. Inicialmente, acreditávamos que a utilização do UVM permitiria obtermos um modelo robusto para identificarmos oportunidades de arbitragem estatística, uma vez que não impomos premissas rígidas sobre o comportamento da volatilidade futura do ativo subjacente e também incorporamos os custos de transação relativos a estratégia replicante.

No entanto, o que notamos na aplicação do nosso modelo é que o comportamento da volatilidade da ação PETR4 é extremamente volátil. Assim, mesmo adotando o UVM, em diversas situações, o valor da volatilidade realizada excedeu os limites impostos no modelo. Como explicado, nessas situações a arbitragem identificada pelo modelo se mostrou incorreta. Outro problema identificado em nosso modelo é relativo a incorporação dos custos de transação do delta hedge baseado no modelo proposto por Leland. Foi possível notar que ao considerarmos os custos de transação tanto na equação do modelo desenvolvido quanto na apuração do resultado real da estratégia replicante ótima, mesmo nas situações em que foram satisfeitas as condições necessárias para concretização da arbitragem, obtivemos perdas financeiras. Esse é um indicio claro de que a incorporação dos custos de transação baseado no modelo de Leland é pouco eficaz.

Para futuras pesquisas, sugerimos o desenvolvimento de modelos mais robustos para estimação do intervalo de volatilidade a ser utilizado no UVM, assim como para incorporação dos custos de transação. Outro tópico a ser estudado de forma mais profunda e completa é referente a definição de estratégias de hedge que considerem simultaneamente os efeitos advindos do delta discreto e dos custos de transação. Tais estratégias podem ser elaboradas para diferentes perfis de risco, estabelecendo-se assim relações claras entre risco e resultado esperado para cada uma das estratégias.

Referências

Avellaneda, M., Levy, A. e Parás, A., “Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities”, Applied Mathematical Finance, 1995

Avellaneda, M. e Parás, A., “Managing the volatility risk of portfolios of derivative securities: the Lagrangian uncertais volatility model”, Applied Mathematical Finance, 1996

Black, F., and Scholes, M., “The pricing of options and corporate liabilities”, J. Political Economy, 81, 1973

Leland, H., “Option Pricing and Replication with Transactions Costs”, The Journal of Finance, 1995

Wimott, P., “Discrete Charms”, Risk Magazine, 1994

Wilmott, P., Hoggard, T., and Whalley, A. Elizabeth, “Hedging Option Portfolios in the Presence of Transaction Costs”, Advances in Futures and Options Research, 1994. Wimott, P., “Quantitative Finance”, 2007