A expressão (3.37) parece confirmar nossa conjectura. Entretanto, com o intuito de verifcar a viabilidade da nova distribuição de conectividade acima deduzida, considera- remos o modelo geográfico de crescimento com ligação preferencial proposto por Soares et al [18, 59]. Os nós da rede são depositados em um plano contínuo, obedecendo as se- guintes regras de crescimento e ligação preferencial:
1. O primeiro nó (i= 1) é colocado em uma origem arbitrária do plano.
rdistribuído segundo a probabilidade
PG(r) ∝ 1/r 2+αG
, (3.38)
com αG≥ 0 (G padrão para growth). Com isso, o segundo nó é ligado com o primeiro.
3. Para adicionar os próximos nós (i= 3, 4, 5, ..., N), calculamos o centro de massa dos nós pré-existentes para funcionar como a origem do sistema e aplicamos a regra do ítem anterior para localizar a posição do novo nó que chega ao sistema. Esse novo nó será ligado a apenas um dos nós existentes, segundo a probabilidade de ligação
pA=
ki/rαiA
∑N−1
j=1 kj/rjαA
. (3.39)
Nesta expressão, αA ≥ 0 (A padrão para attachment), ri é a distância do novo nó ao
i-ésimo nó do aglomerado pré-existente, ki a conectividade do nó i e∑Nj=1−1kj/rjαA é a
normalização.
4. O passo anterior (processo de crescimento e ligação) é repetido, sequencialmente, até o tamanho desejado para a rede. A figura 3.5, mostra a dinâmica da rede proposta para esse modelo.
(a) t= 0 (b) t= 1 (c) t= 2 (d) t= 3
(e) t= 4 (f) t= 5 (g) t= 6 (h) t= 7
Figura 3.5:Dinâmica de crescimento para o modelo geográfico de crescimento de rede com liga- ção preferencial. Em t= 0, um nó é posto no plano em uma posição arbitrária. Em t = 1, um novo nó é adicionado a uma distância r do nó incial, segundo a regra probabilística PG(r) em confor- midade com o parâmetro de crescimento αG ≥ 0. Neste caso, o nó que chega se liga diretamente ao nó pré-existente. Em t= 2, um terceiro nó é adicionado à rede, obedecendo à mesma regra de crescimento PG(r), a uma distância r do centro de massa do aglomerado pré-existente. O novo nó se liga a um dos nós do aglomerado de acordo com a regra de ligação pA, que privilegia os nós mais próximos de acordo com o parâmetro αA≥ 0. A partir de t = 3, a dinâmica de crescimento da rede obedece a regra estabelecida em t= 2 até o tamanho desejado.
3.5.3 Resultados
Discutiremos agora os resultados computacionais obtidos com a implementação do modelo geográfico, obedecendo as regras de crescimento e ligação estabelicidas no ítem anterior. A regra de conexão dada por pAgera uma competição entre a conectividade
e a distância entre os nós. Com o crescimento de αA esta competição quebra os pólos,
favorecendo uma distribuição de conectividade mais uniforme na rede que tende para uma rede aleatória quando αAé muito grande (ver as figuras 3.6(a) e 3.6(b)).
(a) (b)
Figura 3.6: Redes típicas para αG = 1. a) αA = 0 (Barabási e Albert). b) αA = 6 (modelo geo- gráfico de crescimento com ligação preferencial). Os nós verdes são os mais conectados. Figura proveniente da referência [18].
A figura 3.7, mostra o comportamento típico da distribuição de conectividade com respeito a αGem uma rede de tamanho N = 104sobre 2×103amostras. Nesse caso, usamos
valores de αG = 0, 1, 2 e 3, deixando fixo αA = 2. É possível ver, através dessa figura, que
αGnão tem influência sobre a distribuição de conectividade. Sua influência é apenas sobre
o crescimento e a escolha da posição dos nós que chegam à rede. Este resultado também confirma a previsão apresentada na referência [18, 59].
Por outro lado, quando mantemos o parâmetro αGfixo e variamos αA, o compor-
tamento da distribuição de conectividade muda. A figura 3.8, apresenta explicitamente o comportamento dessa distribuição para valores de αA = 0, 3, 4 e 5 e αG = 2 em uma
rede de tamanho N = 2 × 106 sobre 10 amostras. Esta figura também mostra que tal dis-
tribuição pode ser ajustada segundo a κ-exponecial na forma apresentada pela equação (3.37). Nessa figura, comparamos, ainda, o melhor ajuste da κ-exponecial com o melhor ajuste da q-exponecial proposta por Tsallis através da equação (3.19). É possível ver que as propostas ajustam muito bem as mesmas distribuições. Isto é possível porque, embora as estatísticas de Kaniadakis e Tsallis tenham fundamentação distintas, as exponenciais que as governam, nesse caso, têm o mesmo comportamento, ou seja, iniciam como uma exponencial normal, passam por uma região intermediária e terminam com uma cauda que tem um comportamento tipo lei de potência (ver figuras 3.4(a) e 3.2). Este é o mesmo comportamento que se observa à medida que variamos αA. Um fato interessante é que no
limite quando αA → 0, as duas estatísticas recaem em Barabási com seu comportamento
tipo lei de potência característico com γ = 3 e também se equivalem para αAgrande, re-
caindo na exponencial padrão com κ = 0 e q = 1. Nesse limite, a conectividade dos nós da rede tende para um valor característico cuja distribuição passa por um pico em torno desse valor, ou seja, recai em uma distribuição característica de uma rede aleatória.
Nas figuras 3.9 e 3.10, comparamos os índices entrópicos κ e q, e os parâmetros re- ferentes ao número característico de ligação ηκe ηqdas estatísticas de Kaniadakis e Tsallis
como função de αA, respectivamente. Como resultados das nossas simulações, mostra-
mos que κ(αA) e q(αA) decaem exponencialmente como podemos ver na figura 3.9. Já as
funções ηκ(αA) e ηq(αA), parecem crescer linearmente com o crescimento de αA(ver figura
3.10). Entretanto, esse comportamento pode ser questionado, tendo em vista que esses pa- râmetros estão relacionados com o número característico das ligações. Assim, com base na regra de competição entre as ligações dos nós, que quebram os pólos da rede, saimos de um comportamento tipo lei de potência com poucos nós muito conectados em direção a um comportamento aleatório onde cada nó tem um número característico de ligações. Nesse regime, esperamos que ηκ(αA) e ηq(αA) fiquem constantes. Esta é uma conjectura
que pode ser testada, variando αApara valores superiores a cinco.
Em particular, os melhores ajustes para os parâmetros de Kaniadakis e Tsallis são dados por: κ = 0.410 − 0.134e0.200αA, q = 0.675 + 0.671e−0.105αA, η
κ = 0.637 + 0.151αA e ηq =
0.263+ 0.187αA, respectivamente. É interessante mencionar que, a partir dos ajustes para
os parâmetros de Kaniadakis, algumas condições podem ser estabelecidas. Por exemplo, para αA = 0, temos que o índice entrópico κ tem um valor máximo dado κmax= 0.346, sa-
tisfazendo a condição estabelecida pela estatística de Kaniadakis de que−1 < κ < 1. Com- binando essas condições é possível obter os seguintes vínculos: κ∈ [−1; 0.346], αA∈ [0; 12]
e ηκ ∈ [0.637; 2.451]. Nesse caso particular, o modelo de Barabási é dado pela distribuição
de conectividade com κ= 0.346 e ηκ = 0.637.
A figuras 3.11 e 3.12 mostram uma representação diferente daquela apresentada pela figura 3.8. Neste caso, reescrevemos P(k) normalizada por P0em termos de ln{κ}(x).
Assim, a figura 3.11 mostra o comportamento ln{κ}-linear para a distribuição de conectivi- dade relativo a αA= 0, 1, 2 e 5 para seus correspondentes valores de κ. O comportamento
é linear como esperado. Já a figura 3.12 apresenta os melhores ajustes para as mesmas distribuições, mas para κ = −0.5, indicando que os valores simétricos de κ também são válidos. Isto é possível pelo fato de que podemos ter ln{κ}(x) = ln{−κ}(x).
Um outro fato interessante está relacionado ao modelo analítico de crescimento de rede com ligação preferencial proposto por Barabási e Albert na referência [78]. Nesse trabalho, a distribuição analítica calculada é precisamente da forma q-exponencial como observado nas referências [18, 59, 77]. Entretanto, a nova distribuição, equação (3.37), é também similar a distribuição (3.19) no limite quando o parâmetro κȂ 1. Neste limite, o índice entrópico κ é dado por
κ= m
m(2r − 3) − 1 + p + r, (3.40)
sendo (m, r, p) os parâmetros do modelo de Barabási e Albert.
Figura 3.7: Distribuição de conectividade para valores típicos de αGe αA= 2 para uma rede de tamanho N= 103sobre 2×103amostras, mostrando que a distribuição de conectividade independe do parâmetro αG.
Figura 3.8: Distribuição de conectividade para valores típicos de αAe αG = 2 para uma rede de tamanho N = 2 × 106 sobre 10 amostras, mostrando que a distribuição de conectividade depende do parâmetro αA. A medida que αA cresce a rede se torna mais “democrática” de forma que o número de ligações entre os nós tendem para um valor característico típico de uma rede aleatória. As linhas cheias e pontilhadas representam a comparação entre os melhores ajustes, utilizando Kaniadakis e Tsallis, respectivamente.
Figura 3.9: Comparação entre os valores de κ= κ(αA) e q = q(αA), obtidos através dos melhores ajustes calculados na figura 3.6. A figura mostra que q = q(αA) e κ = κ(αA), são ajustadas por curvas exponenciais dadas por κ= 0.410 − 0.134e0.200αA (linha preta) e q = 0.675 + 0.671e−0.105αA (linha vermelha), respectivamente.
Figura 3.10: Comparação entre os valores de ηκ = ηκ(αA) e ηq = ηq(αA), obtidos através dos melhores ajustes calculados na figura 3.8. A figura mostra que ηκ = ηκ(αA) e ηq = ηq(αA), são ajustadas por curvas lineares dadas por ηκ = 0.637 + 0.151αA(linha preta) e ηq = 0.263 + 0.187αA (linha vermelha), respectivamente.
Figura 3.11: Representação ln{κ}-linear da distribuição de conectividade. Nessa representação, usamos a relação ln{κ}(x) = xκ
−x−κ
2κ . Para cada valor de αA, usamos seus respectivos valores de κ. Nesse caso, a distribuição de conectividade se comporta linearmente.
Figura 3.12: Representação ln{κ=−0.5}-linear da distribuição de conectividade. Nesse caso, consi- daramos a propriedade de simetria da κ-logaritma.
PROCESSOS DIFUSIVOS E FENÔMENOS CRÍTICOS
“Imaginar a existência ou as propriedades de objetos que ainda estão além de nosso conhecimento (. . . ) eis a forma de inteligência intuitivva à qual, graças a homens como Dalton e Boltzmann, nós devemos a atomística (. . . )."
Jean Perrin (1870− 1942)
Neste capítulo, faremos uma revisão suscinta sobre difusão e fenômenos críticos presente na Natureza com o intuito de proporcionar um melhor entendimento dos temas exibidos no capítulo seguinte. Neste contexto, apresentaremos uma breve discussão sobre processos difusivos, os tipos de transições de fase, algumas relações de escalas pertinentes na determinação de propridades críticas, entre outros.
4.1 Processos difusivos
Processos difusivos são frequêntes na Natureza, podendo ser encontrados em al- guns processos físicos, químicos ou biológicos. Como exemplo de tais processos, podemos
citar: propagação de calor, propagação de doenças, reação química, migrações popula- cionais, entre outros. Estes fenômenos são considerados dinâmicos e muitos deles são complexos, pertencendo à classe de sistemas fora do equilíbrio. Estes processos são de grande interesse em Física, pois muitos deles apresentam propriedades relevantes como, por exemplo, transição de fase. Este fenômeno é importante porque permite a determi- nação de propriedades críticas relevantes dos sistemas em estudo, possibilitando, através de sistemas simples, o entendimento de sistemas extremamente complicados. O estudo desses processos permitiu ainda uma melhor compreenção dos fenômenos estocásticos, isto é, fenômenos que envolvem variáveis aleatórias ou probabilísticas dependentes do tempo.
Atualmente, é possível classificar os processos difusivos como: difusão usual (ou normal) e difusão anômala. O processo de difusão anômala pode ainda ser dividido como subdifusivo e superdifusivo. A seguir, discutiremos com um pouco mais de detalhes estas classificações.